Funciones crecientes y decrecientes .Calculo diferencial

Pág. 101

Enunciado de la Regla de Hóspital

Pág. 102 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCION:

Se denomina así a los valores (x0)que pertenecen al dominio de la función “f”, en donde: A) Su derivada es nula (Puntos Estacionarios) : f '(x₀)  0

B) Su derivada no existe (Puntos Singulares) : f '(x₀) noexiste

Ejemplo: Encontrar los puntos críticos de: 3

1 2 ) 3 ( ) 4 ( ) (x  x x f Solución: Calculo de f ' x( ):               3 2 2 3 3 2 2 3 1 ) 3 ( 3 ) 4 ( ) 3 ( ) 4 ( 2 ) 1 ( ) 3 )( 3 1 ( ) 4 ( ) 3 )( 1 )( 4 ( 2 ) ( ' x x x x x x x x x f 3 2 3 2 2 ) 3 ( 3 ) 22 7 )( 4 ( ) 3 ( 3 ) 4 ( ) 3 )( 4 ( 6 ) ( '           x x x x x x x x f

Los puntos críticos son aquellos en donde: f '(x0)0 ó f '(x0)no existe, luego:

 f '(x) 0_{, tendremos:} 0 ) 3 ( 3 ) 22 7 )( 4 ( 3 _ 2    x x x              7 22 0 22 7 4 0 4 x x x x

 f '(x)noexiste_{, tendremos:} x30  x3 _{(que si pertenece al Df )}

Finalmente, los puntos críticos de “f” ocurrirán en: 3

7 22 , 4    x y x x

Pág. 103 MONOTONIA DE UNA FUNCION

Se denomina así a la característica de crecimiento o decrecimiento de una función en un cierto intervalo.

TEOREMA DE LA MONOTONIA

Para una función “f” que es continua en un intervalo [a.b] y derivable en (a,b):

 Si: f ’(x) > 0, para toda “x” en (a,b) entonces “f” es creciente en [a,b]

 Si: f ’(x) < 0, para toda “x” en (a,b) entonces “f” es decreciente en [a,b]

Ejemplo 1: Analizar la Monotonía de la siguiente función: ( 4 1)

2 1 ) (x  x2  x f Solución: Calculemos f ’(x): (2 4) '( ) 2 2 1 ) ( ' x  x  f x x f Puntos críticos: f '(x)0  x20  x2  Analizamos el signo de f’(x) en cada intervalo

Intervalo  x2 2x Valor de prueba x= 0 x=3 Signo de: 2 ) ( ' x x f f'(0)20 f'(3)10

Conclusión Decreciente Creciente

f(x) es decreciente en el intervalo: ,2y creciente en el intervalo



2

,





 2 

Una función “f” continua en un determinado intervalo [a, b], es:

 Creciente: ( ) si su derivada es positiva. Ejem: En los intervalos:(a, x1), (x2, x3)

 Decreciente: ( ) si su derivada es negativa. Ejem: En los intervalos:( x1, x2), (x3, b)

 No crece ni decrece: ( ) si su derivada es igual a cero.

Ejem: En: x1, x2, x3.

Pág. 104

Ejemplo 2: Analizar la Monotonía de la siguiente función: 3 ₂ 2

3 ) (x x x f   Solución: Calculemos f ’(x): (2 ) 3( ) 3 ( 1) 2 3 3 ) ( ' x  x2  x  x2 x  x x f Puntos Críticos:            " " , : ) ( ' 1 , 0 0 ) 1 ( 3 0 ) ( ' x de valores hay No existe No x f x x x x x f

Los valores de “x” encontrados, determinan los siguientes intervalos:

Analizamos el signo de f ’(x) en cada intervalo:

Intervalo  x0 0 x1 1 x Valor de prueba x= -1 x= 1/2 x= 2 Signo de: ) 1 ( 3 ) ( ' x  x x f f'(1)60 f'(1/2)3/40 f'(2)60

Conclusión Creciente Decreciente Creciente

 f(x) es creciente en los intervalos: ,0 y 1,

 f(x) es decreciente en el intervalo: 0,1

0 1

Pág. 105

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Los valores máximos o mínimos que toma una función son denominados también: Valores Extremos.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS .Si tenemos una función “f” continua en [a, b] y derivable en (a, b), excepto posiblemente en el punto crítico (x0), se tiene:

Si: Si: relativo extremo un es x f entonces x C P el por pasa x cuando signo de cambia x f Si '( ) . . ₀, ( ₀) VALOR MAXIMO:

Máximo Relativo: Es aquel punto donde la función pasa de creciente a decreciente.

Ejem.: x = x4

Máximo Absoluto: Es aquel punto donde la función toma el mayor de todos sus valores

Ejem.: x = x2

VALOR MINIMO:

Mínimo Relativo: Es aquel punto donde la función pasa de decreciente a creciente.

Ejem.: x = x1

Mínimo Absoluto: Es aquel punto donde la función toma el menor de todos sus valores

Ejem.: x = x3 relativo máximo un es x f b x x x f y x a x x f ) ( , ) , ( 0 ) ( ' ) , ( 0 ) ( ' 0 0 0        relativo mínimo un es x f b x x x f y x a x x f ) ( , ) , ( 0 ) ( ' ) , ( 0 ) ( ' 0 0 0        MAXIMOS RELATIVOS MINIMOS RELATIVOS a x0 b a x0 b

Pág. 106 Si: relativo extremo un es no x f b x x x f y x a x x f ) ( , ) , ( 0 ) ( ' ) , ( 0 ) ( ' 0 0 0        relativo extremo un es no x f b x x x f y x a x x f ) ( , ) , ( 0 ) ( ' ) , ( 0 ) ( ' 0 0 0        relativo extremo un es no x f entonces x C P el por pasa x cuando signo de cambia no x f Si '( ) . . ₀, ( ₀)

Calculo de Máximo y Mínimos Absolutos:

Para encontrar los máximos o mínimos absolutos de una función “f” continua en un intervalo cerrado [a, b]:

1. Se encuentran los puntos críticos (x0) y se calcula cada valor de f(x0)

2. Se calculan los valores de “f” en cada extremo del intervalo: f (a) y f(b) 3. El Máximo absoluto es el mayor de los valores encontrados en: f(x0), f (a) y f(b)

4. El Mínimo absoluto es el menor de los valores encontrados en: f (x0), f(a) y f(b)

Ejemplo: Encontrar el máximo y mínimo absoluto de: f (x) x3 12x en el intervalo [-3, 5]

Solucion:

1. Hallamos los puntos críticos de “f”para lo cual resolveremos: f '(x)0 12 3 ) ( ' x  x2  f _{, } 3x2 12 0  x2  4

Los puntos críticos x0 son: x0  2

Calculamos el valor de la función para cada punto crítico  f (x0) :

16 ) 2 ( 12 ) 2 ( ) 2 (   3   f _{, y} f(2)(2)3 12(2)16

2. Calculamos el valor de la función para cada extremo del intervalo  f(a) y f(b): f(3)(3)312(3)9, y f(5)(5)3 12(5)65

3. El máximo absoluto es el mayor de los valores encontrados  f(5)=65 (5,65) 4. El mínimo absoluto es el menor de los valores encontrados f(2)=-16 (2,-16) La grafica de f(x) muestra lo encontrado:

Pág. 107

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS

Si tenemos una función “f” tal que: f'(x₀)0 _{(entonces “x0}” es un punto crítico) y la segunda derivada de “f” existe en un intervalo abierto que contiene a “x0”, entonces:

 Si: f ''(x₀)0  entonces “f” tiene un mínimo relativo en: (x₀, f(x₀))

 Si: f ''(x₀)0  entonces “f” tiene un máximo relativo en: (x₀, f(x₀))

 Si: f ''(x₀)0 ó f ''(x₀): noexiste _{el criterio es inconsistente}

Ejemplo 1: Encontrar los extremos relativos de f(x) x33x2 9x2 Solución:

1) Encontremos los puntos críticos, a partir de: f '(x)0 9 6 3 ) ( ' x  x2 x  f  3x26x 90  3(x1)(x3)0 Puntos críticos: x1, x3 2) Encontremos la segunda derivada: f '' x( )  f ''(x)6x6 3) Evaluamos la segunda derivada f '' x( ) _{para cada punto crítico:}

 Para: x1, f ''(1)6(1)612 0_{,  habrá un máximo relativo.} El máximo relativo es: (x₀, f(x₀))  (1, f(1)) ₌ (1,7)

 Para: x3, f ''(3)6(3)612 0_,  _{habrá un mínimo relativo.} El mínimo relativo es: (x₀, f(x₀))  (3, f(3)) = (3,25)

Pág. 108 Ejemplo 2: Encontrar los extremos relativos de

1 ) (   x x f _{en el intervalo (-4,2)} Solución:

1) Encontremos los puntos críticos, a partir de: f '(x₀)0, f '(x₀):noexiste

2 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( '        x x x x x x x x f _ 2 ) 1 ( ) 2 ( ) ( '    x x x x f

Posibles puntos críticos: x0, x2, x1

De estos valores, x1, no es punto crítico porque no pertenece al dominio de “f”, sin embargo se toma en cuenta cuando se analiza los intervalos de crecimiento o decrecimiento.

2) Calculamos la segunda derivada : f '' x( ) 4 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 2 ( ) 1 )( 2 2 ( ) ( ' '        x x x x x x x f _ 3 ) 1 ( 2 ) ( ''   x x f

3) Evaluamos f '' x( ) _{para cada punto crítico:}

 Para: x0, 2 0 ) 1 0 ( 2 ) 0 ( '' 3    

f _{,  habrá un mínimo relativo}

Mínimo relativo en: (x₀, f(x₀))  (0, f(0)) ₌ (0,0)

 Para: x2, 2 0 ) 1 2 ( 2 ) 2 ( '' 3      

f _{,  habrá un máximo relativo}

Máximo relativo en: (x₀, f(x₀))  (2, f(2)) ₌ (2, 4)

Pág. 109 CONCAVIDAD:

Si “f” es una función derivable en un punto “c” que pertenece a (a, b):

1) “f” será cóncava hacia arriba (



) en el punto (c, f(c)) , si su grafica está por encima de la recta tangente trazada en “c”

2) “f” será cóncava hacia abajo (



) en el punto (c, f(c)) , si su grafica está por debajo de la recta tangente trazada en “c”

CRITERIO DE CONCAVIDAD:

Si “f” es una función derivable en un intervalo (a, b) tal que “c”  (a,b) y

) ( '' c

f _existe:

1) Si f ''(c)0, la función es cóncava hacia arriba (



) en “c” 2) Si f ''(c)0, la función es cóncava hacia abajo (



) en “c”

El signo de la segunda derivada en un determinado punto nos indicara que tipo de concavidad tiene la función en ese punto.

PUNTO DE INFLEXION:

Es aquel punto en el cual la grafica de la función cambia de concavidad. Si en una función “f(x)”, en x=c hay un punto de inflexión, entonces:

- f ''(c)0 o f '' c( ) no está definida y además: f '''(c)0

- f '' tiene signos opuestos en valores cercanos antes de “c” y después de “c”

f

a c b

Concava hacia arriba (Convexa)

f

a c b

Pág. 110

Ejemplo: Si f(x)x4 3x3x1 encontrar sus intervalos de concavidad y puntos

de inflexión

Solución:

Se observa que “f” es una función polinómica, continua en R

Para averiguar la concavidad necesitamos la segunda derivada: f’’(x)

Primera derivada: f '(x)4x39x21 Segunda derivada: f ''(x)12x218x Para encontrar los puntos de inflexión, hacemos f’’(x)=0:

2 3 x 0 x 0 ) 3 x 2 ( x 6 0 x 18 x

12 2          Posibles puntos de inflexión

Calculamos f'''(x): f'''(x)24x 18 y lo evaluamos en los Posibles puntos de inflexión

18 ) 2 / 3 ( ' ' ' f 18 ) 0 ( ' ' '

f     como en ambos casos resulta que f '''0,

Entonces en los dos valores de “x”, se encontraran puntos de inflexión, : 2 3 x 0 x   Intervalos Valor de prueba x = -1 x = 1 x = 2 Signo de: ) 3 2 ( 6 ) ( ' ' x  x x f f''(1)300 f''(1)60 f''(2)120 Concavidad

Cóncava hacia arriba



Cóncava hacia abajo



Cóncava hacia arriba



Puntos de inflexión Con x=0,  f(0)1, Con 2 3  x  16 89 ) 2 3 (  f El Punto de Inflexión es (0,1) El Punto de Inflexión es

Problema: Si f(x)3x410x312x210x9encontrar sus intervalos de concavidad y puntos de inflexión



0 2 3



) 16 89 , 2 3 ( 

Pág. 111 CONDICION SUFICIENTE PARA CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXION Y

EXTREMOS CON LA DERIVADA ENESIMA

Pueden presentarse casos en los cuales los criterios de la primera o segunda derivada no son aplicables. Por ejemplo, si:

4 ) 2 ( ) (x  x

f _ f '(x)4(x2)3_{, x=2 es un valor critico para “f”}

Si queremos encontrar sus extremos, aplicando el criterio de la segunda derivada: Si f ”(c) > 0 hay un mínimo, Si f ”(c) < 0 hay un máximo, tendremos:

2 ) 2 ( 12 ) ( '' x  x

f _{y evaluado en el valor critico: ''(2)}₁₂₍₂₂₎2 ₀

f .

Con lo cual, este criterio de la segunda derivada es inconsistente para poder encontrar los extremos de la función.

Para casos como el presentado, tenemos la siguiente forma general:

Si “f” es una función derivable en un intervalo (a, b) y “c” que (a,b) es un valor critico de “f” tal que: f ''(c)0 _{y además:}

a) “f” tiene derivadas continuas hasta el orden “n” b) f ''(c) f ' ''(c)... f(n1)(c)0

c) f(n)(c)0 Tendremos:

 Si “n” es par y

f

(n)

(

c

)



0

, entonces “f” es cóncava hacia arriba en “c” y en este valor habrá un extremo mínimo de “f”.

 Si “n” es par y

f

(n)

(

c

)



0

, entonces “f” es cóncava hacia abajo en “c” y en este valor habrá un extremo máximo de “f”.

 Si “n” es impar, en “c” existe un punto de inflexión de “f”. Retomando el ejemplo anterior: f(x)(x2)4

 3 ) 2 ( 4 ) ( ' x  x

f _{, x=2 es un valor critico para “f”}

 2 ) 2 ( 12 ) ( '' x  x

f _y f ''(2)4(22)3 0_{, tendremos que seguir derivando}

 f ' ''(x)24(x2) _y f ' ''(2)24(22)0_{, seguimos derivando}

 f(4)(x)24 _y f (4)(2)240_{, ya no seguimos derivando, con lo cual:} Como “n” es par (Derivada de orden 4) y f (4)(2)es 0, entonces:

Pág. 112

GRAFICA DE FUNCIONES

Usando los criterios de la primera y segunda derivada (o derivada enésima) podemos determinar el comportamiento de las funciones: puntos críticos, intervalos de

crecimiento, decrecimiento, discontinuidad, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y esbozar su grafica.

Ejemplo: Trazar la grafica de: f (x) x3 27x4 Solución:

a) Dominio:

Es una función polinómica, luego: Df 

b) Interceptos con el eje y:

Son los puntos en donde x = 0: f (0)0327(0)44

c) Asíntotas:

Asíntotas verticales: Son los valores de: x = a, para los cuales lim ( )

xa f x  . Pero

como se trata de una función polinómica, tenemos que: lim ( ) ( )

xa f x  f a por lo tanto no

hay asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales: Son los valores de: y = b (valor finito), para los cuales lim ( ) x f x b . Para el ejemplo: ) (x f Lim

x no tiene un valor finito.

d) Puntos críticos.

Son los puntos de la función donde: f’(x) =0 ó no existe: 4 27 ) (x x3 x f _, f '(x)3x227_, 3x2 270    27 9 3x2 x2 _{Valores críticos: x = 3, x = −3} Para: x = 3  f (3)3327(3)450 Punto Crítico: (3, -50)

Para: x = -3  f (3)(3)327(3)458 Punto Crítico: (-3, 58) Ojo: Toda función polinómica f(x) es derivable para cualquier valor de “x”.

Pág. 113

e) Intervalos de crecimiento.

Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función están determinados por el signo de la derivada de la función:

 Si f ´(x) > 0  f(x) es creciente

 Si f ´(x) < 0  f(x) es decreciente

Analizaremos el signo de f '(x) en los intervalos determinados por los valores críticos encontrados: x = 3, x = −3 Intervalos Valor de prueba x = -4 x = 0 x = 4 Signo de: 27 3 ) ( ' x  x2  f f'(4)210 f'(0)270 f'(4)210

f(x) es creciente en los intervalos: ,3 y3, _{y decreciente en:} 3,3

f) Máximos y mínimos

Por el criterio de la Segunda Derivada: Para los valores críticos (c) de “f”, se tiene:

 Si: f ''(c)0_{entonces “f” tiene un mínimo relativo (en} xc) que es: (c, f(c))

 Si: f ''(c)0entonces “f” tiene un máximo relativo (en xc) que es: (c, f(c)) Tenemos que f '(x)3x227 y la segunda derivada es: f ''(x)6x

En esta última expresión reemplazaremos los valores críticos de “f”:

Para: x = -3  f''(3)180, entonces f(x) tiene un máximo relativo en: ))

( ,

(c f c  (3, f(3))(3,58)

Para: x = 3  f''(3)180_{, entonces f(x) tiene un mínimo, que es:} ))

( ,

(c f c  (3, f(3))(3,50)

Nota: No todo punto crítico se convierte en máximo o mínimo.

g) Puntos de inflexión.

Los puntos de inflexión son aquellos puntos donde cambia la concavidad.

Los puntos de inflexión se presentan donde la segunda derivada es cero (f ''(x) = 0) o no existe.

Entonces: f (x) x327x4 

f

'

(

x

)



3

x

2



27

 f ''(x) = 6x 6x = 0  x=0 Aquí habrá un punto de inflexión que es: (0, f(0))  (0, 4): Punto de Inflexión,

Pág. 114

h) Intervalos de concavidad

Analizamos el signo de f ''(x) en los intervalos de concavidad: Punto de Inflexión Intervalos Valor de prueba x = -1 x = 1 Signo de: x x f ''( )6

0

6

)

1

(

'

'









f



0

6

)

1

(

'

'





f



La gráfica de f es cóncava hacia abajo



en el intervalo (− ∞,0). La gráfica de f es cóncava hacia arriba



en el intervalo (0,

∞

)

Gráfica



0



Extremo máximo ) 58 , 3 ( ) 50 , 3 ( Extremo mínimo ) 4 , 0 ( Punto de Inflexión

Pág. 115