Proporcionalidad geométrica (Parte I)

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MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUERIA 1

Proporcionalidad geométrica (Parte I)

Ojo: Os explico la teoría detalladamente, indico la que tenéis

que estudiar, os resuelvo algunos ejemplos y además os

propongo otros. ¡Seguro que no tenéis ningún problema con

esta unidad, yo sé que podéis comprenderla sin problemas,

sois unos campeones!! Ánimo chic@s!!!

Definición 1. ( de segmento de una recta ): Segmento de una recta es la porción de ella que limitan dos de sus puntos. El segmento que une el punto A con B en una recta se escribe de la forma AB, y su longitud será: AB̅̅̅̅_.

longitud de AB= AB̅̅̅̅_.

Definición 2. ( de razón de dos segmentos ): La razón r de dos segmentos AB y CD es un número que resulta de dividir la longitud del segmento AB entre la longitud del segmento CD:

r=

AB̅̅̅̅

CD ̅̅̅̅

Ejemplo: ( de razón de dos segmentos ): Si queremos calcular la razón de los segmentos AB y CD, hallamos el cociente de sus longitudes:

r=

AB̅̅̅̅ CD ̅̅̅̅

=

5 10

=

1 2

=

0,5

Ejemplo: ( de razón de dos segmentos ): La razón entre los segmentos AB y CD es 0,4. Si AB mide 6 cm, ¿cuánto mide CD?

Solución: Como la razón vale 6, entonces:

r=

AB̅̅̅̅_CD_̅̅̅̅

=

_̅̅̅̅_CD6

=0,4

⇒ CD

̅̅̅̅

=

_0,46

=

46 10 ⁄

=

6 . 10

4

=15 cm

Ejemplo: ( de razón de dos segmentos ): Halla las longitudes de los segmentos AB y BC si se sabe que su razón es un cuarto y que la longitud del segmento AC es 2 dm.

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MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUERIA 2 Solución: Si llamamos x a la longitud del segmento AB, así: x=AB̅̅̅̅_{, entonces:}

r=

AB̅̅̅̅ CD ̅̅̅̅

=

x CD ̅̅̅̅

=

1 4

⇒ CD

̅̅̅̅=4x

por tanto: x+4x=20 m ⇒ 5x=20 ⇒ x=4 m. Es decir: AB̅̅̅̅_{=4 m y BC}_{̅̅̅̅=4x=16 m}

Definición 3. ( de proporción entre segmentos ): Los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos EF y GH si la razón de los dos primeros es igual a la razón entre los segundos:

r=

AB̅̅̅̅ CD ̅̅̅̅

=

EF ̅̅̅ GH ̅̅̅̅

Ejemplo: ( de proporción entre segmentos ): Dados los siguientes segmentos, comprueba si los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos EF y GH indicando la razón de proporcionalidad en caso afirmativo:

Solución: Como:

{

𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅

=

12 8

=

3 2 EF ̅̅̅ GH ̅̅̅̅

=

6 4

=

3 2

⟹

𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅

=

EF ̅̅̅ GH ̅̅̅̅

=

3

2

= 1,5

, entonces si son proporcionales siendo la razón de proporcionalidad r=1,5.

Ejemplo: ( de proporción entre segmentos ): Dados tres segmentos AB, CD y EF, cuyas medidas son AB̅̅̅̅_{=5 cm , CD}̅̅̅̅_{=8 cm y EF}̅̅̅̅_{=12 cm , ¿cuánto debe medir otro segmento GH para que} AB y CD sean proporcionales a EF y GH?

Solución: Como queremos que sean AB y CD proporcionales a EF y GH, entonces:

𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅= EF ̅̅̅ GH ̅̅̅̅ ⇒ 5 8= 12 𝑥 ⇒ 𝑥 = 12 . 8 5 = 96 5 = 19,2

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Teorema de Thales: Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, los segmentos determinadas en una de ellas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra:

Thales de Mileto

Nota: Podéis ver las relaciones de proporcionalidad en esta applet de geogebra que realicé para que vieseis la relación de proporcionalidad. Podéis moverlos puntos azules y podéis comprobar como siempre se mantiene dicha proporcionalidad geométrica:

file:///C:/Users/merce/Desktop/geogebra%20curso/Teorema%20de%20Thales.html

Otras applet relativas al teorema de Thales (explorarlas y jugar con los puntos):

https://www.geogebra.org/m/tkAHF5nQ https://www.geogebra.org/m/nJ2DFKy6

https://www.geogebra.org/m/ZjmGq76k#material/D3zxkrph

Este applet es interesante también, se ve como trabajar con segmentos que están en el triángulo adyacente, mirad los segmentos OH y OI:

https://www.geogebra.org/m/ZjmGq76k#material/KxNg5v2B

Ejemplo: ( del teorema de Thales ): Calcula el valor de la x en la siguiente figura:

Solución: Aplicando las relaciones de proporcionalidad del teorema de Thales: 8 5= 6 x ⇒ x= 6 . 5 8 = 3,75 cm

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Solución: Aplicando las relaciones de proporcionalidad del teorema de Thales:

9 3= 15 x ⇒ x= 3 . 15 9 = 5 cm

Solución: Ten mucho cuidado ahora al aplicar las relaciones de proporcionalidad del teorema de Thales. Ojo que se coherente el situar en los numeradores la información de una misma recta y en el denominador lo correspondiente a la otra:

x ← segmento recta t 30← segmento recta s= 18← segmento recta t 20← segmento recta s ⇒ x= 18 . 30 20 = 27 cm

Puedes hacer una autoevaluación trabajando del ejercicio 1 al 7 incluido en el siguiente enlace:

https://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491478128/contid o/ud7_proporcionalidad_geometrica_y_teorema_Thales/4_cuestionario.html

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Definición 4. ( de triángulos semejantes): Dos triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes

si

tienen:

a) Los ángulos iguales:

Â=A´̂ , B̂=B´̂ y Ĉ=C´̂

b) Los lados son proporcionales: 𝑨𝑩̅̅̅̅ 𝑨´𝑩´ ̅̅̅̅̅̅

=

AC ̅̅̅̅ 𝑨´𝑪 ̅̅̅̅̅_´ ̅̅̅̅̅̅

=

CB ̅̅̅̅ 𝑪´𝑩´ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

o bien, por abreviar:

_a´a

=

_b´b

=

_c´c

Es decir, tienen la misma forma, pero distinto tamaño.

Nota. ( Criterios de semejanza de triángulos ) Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que tienen quecumplir dos triángulos ABC y A´B´C´ para que sean semejantes.

a) Primer criterio: Criterio LLL (lado - lado - lado)

Si tienen los tres lados proporcionales:

a a´

=

b b´

=

c c´

b)Segundo criterio:Criterio AA (ángulo - ángulo)

Si tienen dos ángulos iguales:

A

̂

=A´

̂ , B̂=B´

̂

c)Tercer criterio:Criterio LAL (lado - ángulo - lado)

Si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales:

A

̂

=A´

̂

y _b´b

=

_c´c

Ojo: La definición 4 y los criterios de semejanza hay que

memorizarlos.

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MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUERIA 6 Solución: Falso. Sus lados no son proporcionales. Ya que: 10

2

=

15

3

≠

9 2

Ejemplo: ( de semejanza de triángulos): Indica si los triángulos ABC y A’B’D’ con 𝐶̂ = 𝐶’̂_{, 𝐴𝐶}̅̅̅̅ = 6 cm, 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 8 cm, 𝐴’𝐵’̅̅̅̅̅_{= 9 cm y 𝐵’𝐶’}̅̅̅̅̅_{= 12 cm son semejantes}

Solución: Verdadero. Tienen dos lados proporcionales, ya que: 9

6

=

12

8

=1,5

y además el ángulo que forman esos lados es igual.

Ejemplo: ( de semejanza de triángulos): Sabiendo que los siguientes triángulos son semejantes calcula los valores de x e y:

Solución: Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos, así:

{ 10,2 x = 15,9 10,6 ⇒ x=6,8 m y 6,5= 15,9 10,6 ⇒ y=9,75 m

Definición 5. ( de triángulos en posición de Tales): Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos.

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Si dos triángulos si se pueden colocar en posición de Thales entonces son semejantes.

Como podemos ver en esta applet de geogebra (moved los vértices de los dos

triángulos hacia el punto que esta suelto):

https://www.geogebra.org/m/w6uhqm3j

Ejemplo: ( de triángulos e posición de Thales): Calcula el valor de x, en la figura

Los dos triángulos que se forman están en posición de Thales, por tanto, por ser

semejantes, sus lados son proporcionales:

2 1,5= x 3 ⇒ x= 2 . 3 1,5 = 4 cm

Los dos triángulos que se forman están en posición de Thales, por tanto, usando que

sus lados son proporcionales:

8 x= 5+3 3 ⇒ x= 8 . 3 8 = 3 cm

Los dos triángulos que se forman están en posición de Thales, por tanto, usando que

sus lados son proporcionales:

3,9 x = 5 3,4 ⇒ x= 3,9 . 3,4 5 =2,65 cm

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Ejemplo: ( de triángulos e posición de Thales): Calcula el valor de x e y, en la figura

Los dos triángulos que se forman están en posición de Thales, por tanto, usando que

sus lados son proporcionales:

{ y 5= 8+3 8 ⇒ y= 55 8 = 6,87 cm 10+x 10 = 8+3 8 ⇒ 10+x 10 = 11 8 ⇒ 10+x= 110 8 =13,75 ⇒ x=3,75 cm

Os sugiero realizar como autoevaluación los paquetes 23 y 24 de actividades del siguiente

recurso online:

https://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/geoclic/0dd0de23-69cc-4d19-80b7-7c75a797a744

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Ahora os propongo los siguientes ejercicios para que practiquéis el

Teorema de Thales y la semejanza de triángulos, a lo largo de la

semana, las resoluiones las enviaré en la próxima entrega de

material, así como la segunda parte de la unidad didáctica 9:

Ejercicio 9.1: Se tienen cuatro segmentos de longitudes: AB = 2 cm, CD = 3 cm, EF = 4 cm y GH = 6 cm.

a) ¿Cuál es la razón de los segmentos AB y CD? b) ¿Cuál es la razón de los segmentos EF y GH?

c) ¿Los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos EF y GH?

Ejercicio 9.2: Verificar que se cumple el teorema de Tales:

Ejercicio 9.3: Si las rectas a, b y c son paralelas, calcular el valor de x:

Ejercicio 9.4: Si las rectas a, b y c son paralelas, ¿se puede afirmar que la recta c es paralela a ambas?

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MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUERIA 10 Ejercicio 9.5: Hallar la mediada de los segmentos a y b de la figura:

Ejercicio 9.6: Calcular las longitudes desconocidas:

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MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUERIA 11 Ejercicio 9.9: Calcular los valores de x e y en centímetros:

Ejercicio 9.10: Indicar la relación de proporcionalidad de los triángulos:

Os voy a indicar un correo electrónico, para que os pongáis en contacto conmigo,

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