POLIGONO:
Figura cerrada de n lados, llamada línea poligonal.
Cuando el polígono es regular, según el numero de lados se designan por Numero de lados Nombre.
3 Triangulo equilátero 4 Cuadrado 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono
RELACIONES METRICAS MÁS IMPORTANTES.
SUMA DE LOS ANGULO INTERIORES DE UN POLIGONO REGULAR /REGULAR.
En la figura , el polígono se ha dividido en 4 triángulos , como la suma de los ángulos interiores de cada uno de los cuatro triángulos es 180º , y como son cuatro en total la suma es 4x180º , esta suma equivale a la suma de los ángulos interiores del polígono , es decir : º 180 ) 2 ( º 180 ) 2 6 ( º 180 4 1 − = − = = <
∑
i x x n n La relación: ( 2) 180º 1 x n i n − = <∑
, es valida para cualquier polígono Cuando el polígono es regular, es decir cuando tiene todos los lados y ángulos iguales, entonces cada uno de los ángulos interiores medirá:<i=
n x n 2) 180º ( −
ANGULO EXTERIOR DE UN POLIGONO REGULAR:
En la figura. Si el polígono tiene n lados, la suma: i + e = 180º, se repetirá n veces. Esto es.
(n-2) x180º+
∑
e = nx180º180n-360º +
∑
e = 180n, de donde∑
e= 360ºANGULO BASAL DEL TRIANGULO FUNDAMENTAL PARA UN POLIGONO REGULAR. <b= n x n 2 180 ) 2 ( − , <c=<e= n 360
NUMERO DE DIAGONALES QUE SE PUEDEN TRAZAR DESDE UN VÉRTICE:
Como hay tres vértices a los cuales no se puede trazar un diagonal, estos son los dos adyacentes y el propio vértice, entonces el número de diagonales que pueden trazarse desde un mismo vértice son
NUMERO DE DIAGONALES QUE PUEDEN TRAZARSE DESDE TODOS LOS VÉRTICE (TOTAL DE DIAGONALES)
Como desde un vértice pueden trazarse n-3 diagonales, desde los enésimos vértices se podrán trazar: n(n-3), pero como la mitad de ellas se repite, entonces la cantidad se reduce a: D= 2 ) 3 (n− n EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1.-Calcule el Angulo central de:
1.1- Pentágono 1.2.- hexágono 1.3.- octágono 1.4.- pentadecágono 1.5.- icoságono 1.6.-decágono 1.7.- endecágono 1.8.- eneágono.
2.- calcular la suma de los ángulos interiores de un:
2.1.- pentágono 2.2- octágono 2.3.- dodecágono 2.4.- polígono de 100 lados 2.5.- polígono de infinitos lados. 3.- calcular el Angulo exterior de un:
3.1.- pentágono 3.2.- hexágono 3.3- decágono 3.4.- icoságono 3.5.- polígono de 32 lados.
4.- calcular el Angulo basal del triangulo fundamental de un:
4.1.- polígono de 17 lados 4.2.- hexágono 4.3.- triangulo equilátero. 4.4.- octágono.
5.- determinar en que razón están el Angulo central y el interior de un eneágono. 6.- en que razón están el Angulo central y el Angulo exterior de un polígono de 104 lados.
7.- calcule el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un: 7.1.- eneágono 7.2.- dodecágono 7.3.- polígono de 18 lados. 8.- determinar el polígono regular en el cual el Angulo exterior mide:
8.1.- 120º 8.2.- 60º 8.3.- 90º 8.4.- 24º
9.- ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde un vértice en un polígono cuyo Angulo interior mide 30º
10.- ¿Cuántas diagonales pueden trazarse desde un vértice en un polígono cuyo Angulo central mide 6º.
11.- ¿Cuántas diagonales en total pueden trazarse en un polígono cuyo Angulo interior mide 162º?
12.- ¿Cuántas diagonales en total pueden trazarse en un polígono cuyo Angulo basal del triangulo fundamental mide 72º?
13.- ¿Cuantos lados tiene el polígono en el cual el Angulo basal del triangulo fundamental mide 67,5º?
14.-¿Cuál es polígono en el cual se pueden trazar desde un vértice :
14.1.- 3 diagonales. 14.2.- 6 diagonales 14.3.- 9 diagonales. 15.- Calcule el número total de diagonales que se pueden trazar en un:
15.1.- octágono 15.2.- decágono 15.3.- icoságono. 16.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total? 17.- ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 20 diagonales en total?
18.- ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual la diferencia entre el Angulo basal del triangulo fundamental y el Angulo exterior es de 36º?
19.- ¿Cuál es el polígono en el cual el Angulo exterior es la mitad del Angulo interior? 20.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo interior y el exterior es de 3 a 1?
21.- ¿Cuál es el polígono en el cual la suma de los ángulos interiores es 1800º?
22.- ¿Cuál es el polígono en el cual la suma de los ángulos interiores es igual a 3600º? 23.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo central y el exterior y el central es n:n?
24.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo exterior y el central 2:1? 25.- ¿Cuál es el polígono en el cual la razón entre el Angulo basal del triangulo fundamental y el Angulo del vértice del mismo es de 9:2?
26.- ¿A que valor tiende la suma de los ángulos interiores cuando el numero de lados tiende a infinito?
27.- ¿A que valor tiende el ángulo exterior cuando el numero de lados tiende a infinito? 28.- ¿A que valor tiende el ángulo interior cuando el numero de lados tiende a infinito? 29.- ¿A que valor tiende el ángulo central cuando el numero de lados tiende a infinito? 30.- ¿A que valor tiende el ángulo basal del triangulo fundamental cuando el numero de lados tiende a infinito?
31.- ¿A que valor tiende el perímetro de un polígono regular cuando el número de lados tiende a infinito?
32.- ¿A que valor tiende el área de un polígono regular cuando el número de lados tiende a infinito?
33.- ¿A que valor tiende el ángulo exterior de un polígono regular cuando el ángulo basal del triangulo fundamental tiende a 90º?
34.- ¿A que valor tiende el ángulo central de un polígono regular cuando el ángulo exterior tiende a 0º?
35.- ¿A que valor tiende el ángulo central de un polígono regular cuando el ángulo interior tiende a 180º? RESPUESTAS: 1.- 72º , 60º , 45º , 24º , 18º , 36º , 11 8 32 , 40º 2.- 54º , 1080º , 1800º , 17640º , ∞ 3.- 72º , 60º , 36º , 18º , 4 1 11 4.- 17 7 79 , 70º , 30º , 2 1 67 5.- 2/7 6.- 1 7.- 6 , 9 ,15
8.- triángulo, Hexágono, cuadrado, pentadecágono. 9.- no existe tal polígono.
10.- 57 11.- 170 12.- 35
13.- octágono.
14.- hexágono, Endecágono, dodecágono 15.- 20 , 35 , 170 16.- heptágono 17.- octágono 18.- decágono 19.- hexágono 20.- octágono 21.- dodecágono 22.- 22 lados 23.- cuadrado
24.- No existe tal polígono 25.- icoságono. 26.- ∞ 27.- 0 28.- 180 29.- 0 30.- 90º
31.- 2 Rπ 32.- πR2
33.- 0 34.- 0 35.-0
