Estadística e Introducción a la Econometría Curso 2012-13
Ejercicios del Tema 9 Soluciones
1.- Considere el siguiente modelo para el peso de un bebé al nacer
log(bwght) = 0+ 1cigs+ 2log(f aminc) + 3parity+ 4male+ 5white+u
dondebwghtes el peso del bebé al nacer en onzas,cigses el número de cigarrillos diarios que consumió la madre durante el embarazo,f aminces la renta de la familia en miles de dólares, parityes el orden de nacimiento del niño, male es una variable …cticia que vale1 si el bebé es un varón, whitees otra variable …cticia que vale 1 si el bebé es de raza blanca.
Utilizando los datos sobre 1388 nacimientos del …chero BWGHT del libro de Wooldridge se ha estimado el modelo obteniéndose los siguientes resultados:
\
log(bwght) = 4:66
(0:022) (0:00085)0:0044cigs+ 0(0:0059):0093log(f aminc) + 0(0:0056):016parity
+0:027
(0:010)male+ 0(0:013):055white
n = 1388; R2 = 0:047
a) Manteniendo todos los demás factores constantes ¿Cuál es el efecto de fumar10 cigarrillos más al día sobre el peso del bebé al nacer?
b) Manteniendo todos los demás factores constantes ¿Pesan más en promedio los bebés de raza blanca que los de raza no blanca? ¿Cuánto más? ¿Es esa diferencia estadísticamente signi…cativa? c) Manteniendo todos los demás factores constantes ¿Pesan más en promedio los niños que las niñas? ¿Cuánto más? ¿Es esa diferencia estadísticamente signi…cativa?
d) Manteniendo todos los demás factores constantes ¿Qué diferencia hay en promedio entre el peso de los varones de raza blanca y de las hembras de raza no blanca?
Solución:
a) Puesto que la variable dependiente está en logaritmos, fumar 10 cigarrillos más al día, manteniendo todos los demás factores constantes, supone en promedio una disminución del peso del bebé al nacer del 4:4% (100 0:0044 10 = 4:4).
b) Puesto que el coe…ciente de la variable whitees positivo, manteniendo constantes el resto de los factores, los bebés de raza blanca pesan más en promedio que los de raza no blanca, en concreto pesan en promedio un 5:5% más. Para ver si esa diferencia es signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 5= 0
H1 : 56= 0
El estadístico de contraste es:
t= b5
se(b5) t1382 Bajo H0
Para esta muestra t= 0:055=0:013 = 4:23 y el p-valor es prácticamente cero. Por tanto, la diferencia es estadísticamente signi…cativa a cualquier nivel de signi…cación razonable.
c) Puesto que el coe…ciente de la variable malees positivo, manteniendo constantes el resto de los factores, los niños pesan más en promedio al nacer que las niñas, en concreto pesan en promedio un 2:7%más. Para ver si esa diferencia es signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 4= 0
H1 : 46= 0
El estadístico de contraste es:
t= b4
se(b4) t1382 Bajo H0
Para esta muestrat= 0:027=0:010 = 2:7y el p-valor es0:0082. Por tanto, la diferencia es estadísticamente signi…cativa al 1%.
d) Como 100 (0:027 + 0:055) = 8:2, tenemos que según estos resultados los varones de raza blanca pesan en promedio al nacer un 8:2%más que las hembras de raza no blanca.
2.- Para analizar el salario de los profesores universitarios se utiliza el modelo: salario= 0+ 1Homb+ 2Blanco+ 3Homb Blanco+ 4exper+u
donde salario es el salario anual del profesor en miles de dólares, exper son los años de experiencia docente, Homb es una variable binaria que vale 1 si el profesor es hombre y Blancoes otra variable binaria que vale1 si el profesor es de raza blanca.
a) Determine el salario medio para: a1)Hombres de raza blanca. a2)Mujeres de raza blanca. a3)Hombres de raza no blanca. a4)Mujeres de raza no blanca.
b) ¿Cuál es la diferencia en el salario medio entre
b1) hombres blancos y mujeres blancas con la misma experiencia laboral? b2) hombres blancos y hombres no blancos con la misma experiencia laboral? b3) mujeres blancas y mujeres no blancas con la misma experiencia laboral? b4) hombres no blancos y mujeres no blancas con la misma experiencia laboral?
c)¿Cómo contrastaría la hipótesis “La diferencia en el salario medio entre blancos y no blancos con la misma experiencia laboral es la misma para hombres y mujeres”?.
Solución: a1)
E(salariojHomb= 1; Blanco= 1; exper) = 0+ 1+ 2+ 3+ 4exper a2)
E(salariojHomb= 0; Blanco= 1; exper) = 0+ 2+ 4exper a3)
E(salariojHomb= 1; Blanco= 0; exper) = 0+ 1+ 4exper a4)
b1)
E(salario jHomb = 1; Blanco= 1; exper) E(salariojHomb= 0; Blanco= 1; exper) = 1+ 3
b2)
E(salario jHomb = 1; Blanco= 1; exper) E(salariojHomb= 1; Blanco= 0; exper) = 2+ 3
b3)
E(salario jHomb = 0; Blanco= 1; exper) E(salariojHomb= 0; Blanco= 0; exper) = 2
b4)
E(salario jHomb = 1; Blanco= 0; exper) E(salariojHomb= 0; Blanco= 0; exper) = 1
c) Acabamos de ver que la diferencia en el salario medio entre blancos y no blancos con la misma experiencia laboral es 2+ 3 para los hombres y 2 para las mujeres, y por tanto, la diferencia será idéntica para hombres y mujeres si 3= 0;y tendríamos que contrastar
H0 : 3= 0 H1 : 36= 0 El estadístico de contraste es t= b3 se b3 tn 5 Bajo H0 RechazaremosH0 a nivel si jtj> tn 5; =2:
3.-Supongamos que se reúne información sobre salarios, educación, experiencia y sexo a partir de una encuesta. Además, se pregunta sobre el consumo de marihuana. La pregunta se formula así: ¿En cuántas ocasiones fumaste marihuana el mes pasado?
a) Escriba un modelo que permita estimar los efectos del consumo de marihuana en el salario, teniendo en cuenta los efectos de otros factores. El objetivo es poder realizar a…rmaciones del tipo "si se consume una vez más marihuana al mes, el salario variará en promedio un x%".
b) Especi…que un modelo que permita contrastar si el consumo de esta droga tiene distintos efectos en los salarios de hombres y mujeres. ¿Cómo contrastaría que el efecto de esta droga es el mismo para hombres y mujeres?
c) Supongamos que se considera preferible medir el consumo de marihuana clasi…cando a la gente en cuatro categorías: no consumidor, consumidor ocasional (de una a cinco veces al mes), consumidor moderado (de seis a diez) y consumidor habitual (más de diez veces al mes). Utilizando esta clasi…cación, escriba un modelo que permita estimar los efectos de esta droga sobre el salario.
d) Usando el modelo del apartado c), explique cómo contrastar la hipótesis nula de que el consumo de marihuana no afecta al salario. La respuesta debe indicar la hipótesis nula y alternativa, y el estadístico de contraste, la distribución del estadístico bajo la nula y cuál sería la región crítica.
a) El modelo que tenemos que considerar es
log(salario) = 0+ 1educ+ 2exper+ 3M uj+ 4Cons_mar+u
dondeCons_mar es el número de veces al mes que el individuo consume marihuana. En este modelo 100 4 es la variación porcentual media en el salario cuando el consumo de marihuana aumenta en una vez más al mes, manteniendo constante los años de educación, la experiencia laboral y el sexo. En este modelo el efecto del consumo de marihuana sobre el salario es idéntico para hombres y para mujeres. b)Para permitir que el consumo de marihuana tenga distinto efecto sobre el salario dependiendo del sexo del individuo tendríamos que considerar el modelo:
log(salario) = 0+ 1educ+ 2exper+ 3M uj+ 4Cons_mar
+ 5M uj Cons_mar+u
En este modelo100 4 es la variación porcentual media en el salario de los hombres cuando el consumo
de marihuana aumenta en una vez más al mes, manteniendo constante los años de educación, la experiencia laboral y 100 ( 4+ 5) es la variación porcentual media en el salario de las mujeres
cuando el consumo de marihuana aumenta en una vez más al mes, manteniendo constante los años de educación, la experiencia laboral. Para contrastar si existen diferencias entre hombres y mujeres en el efecto del consumo de marihuana sobre los salarios, tenemos que contrastar H0 : 5= 0 frente a
H1: 5 6= 0:
c) De…nimos el modelo
log(salario) = 0+ 1educ+ 2exper+ 3M uj+ 4Ocas+ 5M od (1) + 6Hab+u
donde la categoría omitida es no consumir marihuana y
Ocas= 1 si consume marihuana de 1 a 5 veces al mes 0 en caso contrario
M od= 1 si consume marihuana de 6 a 10 veces al mes 0 en caso contrario
Hab= 1 si consume marihuana más de 10 veces al mes 0 en caso contrario
d) En el modelo del apartado c)la hipótesis nula de que el consumo de marihuana no afecta al salario es H0: 4 = 5 = 6 = 0. Para contrastar esta hipótesis tendríamos que estimar el modelo
restringido
log(salario) = 0+ 1educ+ 2exper+ 3M uj+u (2) y comparar la suma cuadrática residual de este modelo restringido (2), SCRr;con la suma cuadrática
residual del modelo no restringido (1), SCRnr;mediante el estadístico F
F = (SCRr SCRnr)=3 SCRnr=(n 7)
F3;n 7 bajoH0
Una vez calculado el estadístico F, rechazaríamosH0 a nivel si F > F3;n 7; :
4.-Para contrastar la efectividad de un programa de formación laboral sobre los salarios posteriores de los trabajadores, especi…camos el modelo
donde traines una variable binaria con valor 1 si el trabajador participó en el programa. Pensemos que el término de error contiene características no observables del trabajador. Si los trabajadores menos hábiles tienen mayores posibilidades de ser seleccionados para el programa, y se usa un análisis MCO, ¿qué se puede decir sobre el sesgo probable en el estimador MCO de 1?
Solución:
En el tema 2 vimos cómo determinar el signo del sesgo cuando omitimos una variable relevante, en este caso la "habilidad" de los trabajadores. Si los trabajadores menos hábiles tienen mayores posibilidades de ser seleccionados para el programa, uytrainestarán negativamente correlacionadas, y cómo la habilidad tiene un efecto positivo sobre el salario, el estimador MCO de 1 tendrá un sesgo negativo. Además, puesto que cabe esperar que 1 >0;es probable que concluyamos que el programa es menos efectivo de lo que realmente es.
5.- Supongamos que estamos interesados en analizar las posibles diferencias en el consumo de cerveza según el sexo. Para ello especi…camos el modelo
cerv= 0+ 1Renta+ 2M uj+ 3M ujRenta+u
donde cerv es el gasto anual en cerveza en euros, Rentaes la renta anual en miles de euros, M uj es una dummy que vale 1 para las mujeres y M ujRenta=M uj Renta. En base a una muestra de 34 individuos se ha obtenido el siguiente modelo estimado:
d
cerv = 186:47
(45:67) + 2(0:9):3Renta (57:01)126:0M uj (1:0)1:3M ujRenta
n = 34; R2 = 0:5055
Además, utilizando la misma muestra se ha estimado el modelo
cerv= 0+ 1Renta+ 3M ujRenta+u obteniéndose que elR-cuadrado es0:3445; se ha estimado el modelo
cerv = 0+ 1Renta+ 2M uj+u obteniéndose que elR-cuadrado es0:2903; y se ha estimado el modelo
cerv = 0+ 1Renta+u obteniéndose que elR-cuadrado es0:1355:
a) ¿Cuál es la diferencia estimada en el gasto medio anual en cerveza entre hombres y mujeres con renta 25000euros al año?.
b) Suponiendo que los errores son normales, contraste las siguientes a…rmaciones
b1)Controlando por renta, no existen diferencias en el consumo de cerveza según el sexo. b2) Controlando por renta, la propensión marginal al consumo de cerveza es mayor para los hombres que para las mujeres.
Solución:
a) El consumo medio de cerveza es:
E(cerv jM uj= 0; Renta= 25) = 0+ 125 para los hombres con renta 25000euros, y
para las mujeres con renta 25000euros.
Por tanto, puesto que126 + 1:3 25 = 158:5;se estima que los hombres con con renta25000euros gastan en media 158:5 euros más al año en cerveza que las mujeres con la misma renta.
b1) Tenemos que contrastar
H0 : 2 = 3 = 0
H1 : 2 6= 0 y/o 3 6= 0
Para hacer el contraste hay que considerar el modelo restringido cerv = 0+ 1Renta+u
y comparar elR-cuadrado de este modelo restringido,R2r;con elR-cuadrado del modelo no restringido, R2 nr;mediante el estadístico F = R 2 nr R2r =2 (1 R2 nr)=30 F2;30 Bajo H0
El valor del estadístico en la muestra es
F = (0:5055 0:1355)=2
(1 0:5055)=30 = 11:22
y el p-valor es P rob(F2;30 > 11:2) = 0:00023. Por tanto, podemos rechazar la hipótesis nula a
cualquier nivel de signi…cación razonable y concluir que existen diferencias en el consumo de cerveza entre hombres y mujeres.
b2) La propensión marginal al consumo de cerveza para los hombres es: @cerv
@renta = 1 mientras que para las mujeres es:
@cerv
@renta = 1+ 3 Por tanto, tenemos que contrastar
H0 : 3= 0
H1 : 3<0
El estadístico de contraste es:
t= ^
3
se ^3
t30 BajoH0
Para esta muestra t= 1:3=1:0 = 1:3 y el p-valor es 0:1018:Por tanto, no podemos rechazar H0 al
10%; es decir, no existe su…ciente evidencia para a…rmar que la propensión marginal al consumo de cerveza es mayor para los hombres que para las mujeres.
6.- Considere el siguiente modelo
sat= 0+ 1hsize+ 2hsize2+ 3f emale+ 4black+ 5f emale black+u
donde sat es la puntuación en el test SAT de aptitud escolar, hsize es el número de alumnos en la promoción de bachillerato (en centenares), f emalees una variable …cticia que vale1si el individuo es mujer, black es otra variable …cticia que vale1 si el individuo es de raza negra.
Utilizando los datos del …chero GPA2 del libro de Wooldridge se ha estimado este modelo obteniéndose los siguientes resultados:
c sat = 1028:1 (6:29) + 19(3:83):3hsize (0:527)2:19 hsize 2 45:09 (4:29)f emale 169:8
(12:71)black+ 62(18:15):30f emale black
n = 4137; R2 = 0:0858
a) ¿Hay evidencia fuerte de que hsize2 debería incluirse en el modelo? De acuerdo con esta ecuación, ¿cuál sería el tamaño óptimo de la promoción?
b) Manteniendo …jo hsize, ¿cuál es la diferencia estimada ensat entre las mujeres no negras y los hombres no negros? ¿Hasta qué punto es estadísticamente signi…cativa esta diferencia?
c) Manteniendo …jo hsize, ¿cuál es la diferencia estimada de puntuación SAT entre hombres negros y hombres que no lo son? ¿Es esa diferencia estadísticamente signi…cativa?
d) Manteniendo …johsize, ¿cuál es la diferencia estimada de puntuación SAT entre mujeres negras y mujeres que no lo son? ¿Qué se necesitaría hacer para contrastar la hipótesis de que la diferencia es estadísticamente signi…cativa?
Solución:
a) Para ver si hay evidencia de que hsize2 debería incluirse en el modelo tenemos que
contrastar
H0 : 2= 0
H1 : 26= 0
El estadístico de contraste es:
t= b2
se(b2) t4131 Bajo H0
Para esta muestrat= 2:19=0:527 = 4:16y el p-valor es0:000032. Por tanto,hsize2es estadísticamente signi…cativa a cualquier nivel de signi…cación razonable y hay una fuerte evidencia de que debemos incluir hsize2 en el modelo.
El efecto marginal dehsizesobre sates @sat
@hsize = 1+ 2 2hsize
El tamaño óptimo se alcanza cuando 1 + 2 2hsize = 0; es decir cuando hsize = 1
2 2: Se estima
que el tamaño óptimo es 2 2:1919:3 = 4:41; y como la variable hsizeesta medida en cientos de alumnos, el tamaño óptimo estimado es441alumnos. Este resultado es similar al que obtuvimos en el ejercicio 8 del tema 3 sin controlar por el sexo y la raza.
b) Manteniendo …johsize, las mujeres no negras obtienen en media45:1puntos menos ensat que los hombres no negros. Para ver si esa diferencia es signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 3= 0
H1 : 36= 0
El estadístico de contraste es:
t= b3
se(b3) t4131 Bajo H0
Para esta muestra t = 45:09=4:29 = 10:51 y el p-valor es cero. Por tanto, la diferencia es estadísticamente signi…cativa a cualquier nivel de signi…cación razonable.
c) Manteniendo …johsize, los hombres negros obtienen en media 169:8puntos menos en sat que los hombres no negros. Para ver si esa diferencia es signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 4= 0
H1 : 46= 0
El estadístico de contraste es:
t= b4
se(b4) t4131 Bajo H0
Para esta muestra t = 169:8=12:71 = 13:36 y el p-valor es cero. Por tanto, la diferencia es estadísticamente signi…cativa a cualquier nivel de signi…cación razonable.
d) Manteniendo …jo hsize, las mujeres negras obtienen en media 107:5 ( 169:8 + 62:3 = 107:5) puntos menos en sat que las mujeres no negras. Para ver si esa diferencia es signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 4+ 5 = 0
H1 : 4+ 5 6= 0
Para hacer el contraste podemos utilizar la dummy de ser hombre en lugar de la de ser mujer, así especi…caríamos el modelo
sat= 0+ 1hsize+ 2hsize2+ 3male+ 4black+ 5male black+u
En este modelo 4 mide la diferencia en sat entre mujeres negras y mujeres no negras, de forma que
en este modelo tendríamos que contrastar
H0 : 4 = 0
H1 : 4 6= 0
7.- Considere el siguiente modelo
log(salary) = 0+ 1log(sales) + 2f inance+ 3consprod+ 4utility+u
donde salary es el salario anual del director general de la empresa en miles de dólares, sales son las ventas anuales de la empresa en millones de dólares, y f inance,consprod y utility son variables binarias que indican el sector en el que opera la empresa (sector …nanciero, sector de bienes consumo y sector servicios). El sector omitido es el sector industrial.
a) Estime el modelo utilizando los datos del …chero CEOSAL1 del libro de Wooldridge y presente los resultados en forma de ecuación.
b) Contraste si el salario de los directores generales depende del sector en el que opera la empresa.
c)Manteniendo …jas las ventas, calcule la diferencia porcentual promedio en el salario estimado entre los sectores servicios e industrial ¿Es esta diferencia estadísticamente signi…cativa al 1 por ciento? d) Manteniendo …jas las ventas, ¿cuál es en promedio la diferencia porcentual en el salario estimado entre el sector de bienes de consumo y el sector …nanciero? Contraste si la diferencia es estadísticamente signi…cativa.
Solución:
a) Los resultados de la estimación son \
log(salary) = 4:89
(0:275)+ 0(0:032):244log(sales) + 0(0:089):124f inance+ 0(0:083):239consprod
0:353
(0:097)utility
b) Tenemos que contrastar si los coe…cientes de las dummies sectoriales son signi…cativos conjuntamente. Es decir tenemos que contrastar:
H0 : 2= 3= 4= 0
H0 : 26= 0 y/o 36= 0 y/o 46= 0
Para contrastar esta hipótesis tenemos que estimar el modelo restringido log(salary) = 0+ 1log(sales) +u y calcular la suma cuadrática residual, SCRr= 52:65600:
El estadístico de contraste es
F = (SCRr SCRnr)=3 SCRnr=(209 4 1)
F3;204 bajo H0
y puesto que SCRnr = 44:33320 ySCRr= 52:65600;tenemos que
F = (52:65600 44:33320)=3
44:33320=204 = 12:77
Como el p-valor del contraste es prácticamente cero, podemos rechazar H0 a cualquier nivel de
signi…cación razonable y concluir que el salario de los directores generales depende del sector en el que opera la empresa.
c)El salario es en promedio un 35:3%menor en el sector servicios que en el sector industrial. Para ver si esa diferencia es estadísticamente signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 4= 0
H1 : 46= 0
El estadístico de contraste es:
t= b4
se(b4) t204 BajoH0
Para esta muestrat= 3:648y el p-valor es 0.003. La diferencia es estadísticamente signi…cativa al1%.
d) Como100 (0:239 0:124) = 11:5;el salario es en promedio un11:5%mayor en el sector de bienes de consumo que en el sector …nanciero. Para contrastar si esta diferencia es estadísticamente signi…cativa tenemos que incluir en el modelo la dummy del sector industrial y excluir la del sector …nanciero. Los resultados de la estimación son
\
log(salary) = 5:01
(0:277)+ 0(0:032):244log(sales) (0:089)0:124industry+ 0(0:089):114consprod
0:477
(0:104)utility
n = 209; R2= 0:336; SCR= 44:33320
La diferencia no es estadísticamente signi…cativa ya que el p-valor del contraste de signi…catividad individual de la variableconsprod es0:2121:
8.-Considere el modelo
colgpa= 0+ 1hsize+ 2hsize2+ 3hsperc+ 4sat+ 5f emale+ 6athlete+u
dondecolgpa es la cali…cación media acumulada en la universidad, hsizees el número de alumnos en la promoción de bachillerato (en centenares), hsperc es el percentil que ocupa en la distribución de
cali…caciones de los alumnos del instituto que se graduaron el mismo año (de…nido de forma que, por ejemplo, hsperc = 5se re…ere al cinco por ciento de los mejores alumnos que se gradúan), sat es la puntuación en el test SAT de aptitud escolar,f emalees una variable …cticia que vale1si el estudiante es mujer,athlete es otra variable …cticia que vale 1si el estudiante es atleta.
a) Estime el modelo utilizando los datos del …chero GPA2 del libro de Wooldridge y presente los resultados en forma de ecuación. ¿Cuál es la diferencia estimada en la nota media de la universidad entre los atletas y los que no lo son? ¿Es esta diferencia estadísticamente signi…cativa?
b) Suprima sat del modelo y vuelva a estimar la ecuación. ¿Cuál es ahora la diferencia estimada por ser atleta? Explique por qué la estimación es diferente de la obtenida en el apartadoa. c) Considere ahora un modelo que permita que el efecto de ser atleta sobre la nota media di…era en función del sexo del alumno y contraste la hipótesis nula de que, manteniendo constantes los restantes factores, la diferencia en la nota media entre atletas y no atletas es la misma para hombres y mujeres (incluya tambiénsat en la ecuación).
d)Considere ahora un modelo que permita que el efecto de sat sobre la nota de la universidad pueda ser distinto para hombres y mujeres ¿hay evidencia su…ciente para a…rmar que el efecto de sat sobre la nota de la universidad di…ere por sexos?.
Solución:
a) Los resultados de la estimación son \ colgpa = 1:24 (0:079) 0(0:0164):0569hsize+ 0(0:0022):0047hsize 2 0:0132 (0:00057)hsperc+ 0(0:000069):0016 sat +0:155 (0:018)f emale+ 0(0:042):169athlete n = 4137; R2 = 0:293
Manteniendo los otros factores …jos, los atletas obtienen, en media,0:169puntos más de nota que los no atletas. Para ver si esa diferencia es estadísticamente signi…cativa tenemos que contrastar
H0 : 6= 0
H1 : 66= 0
El estadístico de contraste es:
t= b6
se(b6) t4130 Bajo H0
Para esta muestrat= 3:998y el p-valor es prácticamente cero. La diferencia es estadísticamente signi…cativa a cualquier nivel de signi…cación razonable.
b) Cuando suprimimossatde la ecuación, el coe…ciente estimado deathletepasa a ser0:0054 y el error estándar es 0:045. Al suprimir sat; athlete no es signi…cativa y además su efecto es muy pequeño desde el punto de vista económico. La estimación es diferente ya que la media desates menor para atletas que para no atletas (la correlación entreathlete ysates negativa) y el efecto desatsobre colgpa es positivo, por tanto cuando no controlamos porsat el coe…ciente estimado deathlete tiene sesgo negativo.
c) Para permitir que el efecto de ser atleta di…era en función del sexo del alumno tenemos que introducir en el modelo la interacción entreathlete yf emale. Es decir tenemos que considerar el modelo
colgpa = 0+ 1hsize+ 2hsize2+ 3hsperc+ 4sat
Los resultados de la estimación de este modelo son \ colgpa = 1:24 (0:080) 0(0:0164):0568hsize+ 0(0:0023):0047hsize 2 0:0132 (0:00057)hsperc+ 0(0:000067):0016 sat +0:155
(0:018)f emale+ 0(0:048):167athlete+ 0(0:096):0077f emale athlete
n = 4137; R2 = 0:293
La hipótesis que tenemos que contrastar para ver si la diferencia en la nota media entre atletas y no atletas es la misma para hombres y mujeres es
H0 : 7 = 0
H1 : 7 6= 0
El estadístico de contraste es:
t= b7 se(b7)
t4129 Bajo H0
Para esta muestrat= 0:08 y el p-valor es 0:94, no podemos rechazar la hipótesis nula a ningún nivel de signi…cación razonable, y por tanto concluimos que la diferencia en la nota media entre atletas y no atletas es la misma para hombres y mujeres.
d) Para permitir que el efecto de sat sobre la nota de la universidad pueda ser distinto para hombres y mujeres tenemos que interaccionar la variable …cticia de ser mujer con sat, es decir tenemos que considerar el modelo
colgpa = 0+ 1hsize+ 2hsize2+ 3hsperc+ 4sat
+ 5f emale+ 6athlete+ 7f emale sat+u
Los resultados de la estimación de este modelo son \ colgpa = 1:26 (0:097) 0(0:0164):0569hsize+ 0(0:0022):0047hsize 2 0:0132 (0:00057)hsperc+ 0(0:000085):0016 sat +0:102
(0:134)f emale+ 0(0:043):167athlete+ 0(0:00013):000051f emale sat
n = 4137; R2 = 0:293
La hipótesis que tenemos que contrastar para ver si el efecto de sat sobre la nota de la universidad di…ere por sexos es
H0 : 7= 0
H1 : 76= 0
El estadístico de contraste es:
t= b7 se(b7)
t4129 BajoH0
Para esta muestrat= 0:40 y el p-valor es 0:69, no podemos rechazar la hipótesis nula a ningún nivel de signi…cación razonable, y por tanto concluimos que el efecto de satsobre la nota de la universidad es el mismo para hombres y mujeres.
9.- Considere el siguiente modelo que relaciona el tiempo dedicado a dormir y el dedicado a trabajar, junto a otros factores que afectan el sueño:
donde el tiempo dedicado a dormir (sleeph) y el tiempo total de trabajo (totwrkh) se miden en horas por semana (tenga en cuenta que las variables que aparecen en el …chero son sleep y totwrk; ambas medidas en minutos por semana, y por tanto tiene que generar sleeph y totwrkh antes de estimar el modelo). El nivel de educación (educ) y la edad (age) se miden en años y yngkid es una variable binaria que toma el valor 1 si el individuo tiene hijos menores de 3 años.
a) Estime esta ecuación por separado para hombres y mujeres utilizando los datos del …chero SLEEP75 del libro de Wooldridge y presente los resultados en forma de ecuación. ¿Existen grandes diferencias entre las dos ecuaciones estimadas?
b) Calcule el test de Chow para la igualdad de los parámetros de la ecuación de las mujeres y la de los hombres. ¿Cuáles son los grados de libertad relevantes para este test? ¿Se debería rechazar H0 al 5%?
c) Estime el modelo que incluye todas las variables, la dummy de ser hombre (o la de ser mujer), y las interacciones entre todas las variables y la dummy de ser hombre (o la de ser mujer) y compruebe que la SCR de este modelo coincide con la suma de lasSCR de las ecuaciones estimadas para hombres y mujeres por separado que obtuvo en el apartado a.
d) Permitiendo que los términos constantes sean distintos para hombres y mujeres, contraste ahora si hay diferencias en las pendientes.
Solución:
a) La ecuación estimada para hombres es: \
sleeph = 60:8
(5:17) (0:024)0:182totwrkh (0:124)0:218educ+ 0(0:239):119age (0:0028)00075age
2+ 1:006 (0:984)yngkid
n = 400; R2 = 0:156; SCR= 17712:22 y para mujeres es:
\
sleeph = 70:65
(384:89) 0(0:027):140totwrkh 0(0:160):170educ (0:309)0:506age+ 0(0:0037):0061age
2 1:97
(1:55)yngkid
n = 306; R2= 0:098; SCR= 15913:49
Las ecuaciones estimadas son muy distintas. Tener hijos pequeños disminuye el tiempo dedicado a dormir para las mujeres (en unas 2 horas a la semana) y aumenta el tiempo dedicado a dormir para los hombres (en aproximadamente 1 hora a la semana). El efecto de la edad sobre el tiempo dedicado a dormir también es muy distinto, la relación para hombres tiene forma de U invertida mientras que para mujeres tiene forma de U.
b) El estadístico de Chow es
F = (SCRr (SCR1+SCR2))=6 (SCR1+SCR2)=(706 2 6)
F6;694 bajo H0
donde SCR1 y SCR2 son las SCR que hemos obtenido en el apartado a estimando el modelo por
separado para hombres y mujeres, y SCRr es la SCR obtenida estimando el modelo con todas las
observaciones.
El valor del estadístico en la muestra es
F = (34240:96 (17712:22 + 15913:49))=6
(17712:22 + 15913:49)=(706 2 6) = 2:12 y el p-valor es 0:049por lo que podemos rechazarH0 al5%:
c) Tenemos que estimar ahora el modelo
sleeph = 0+ 0male+ 1totwrkh+ 1male totwrkh+ 2educ+ 2male educ+ 3age
+ 3male age+ 4age2+ 4male age2 + 5yngkid+ 5male yngkid+u
MCO, usando las observaciones 1-706
Variable dependiente: sleeph
Coeficiente Desv. Típica Estadístico t Valor p
---const 70.6455 6.13087 11.52 3.11e-028 ***
male
-9.84202 8.14653
-1.208 0.2274
totwrkh
-0.139950 0.0264349
-5.294 1.61e-07 ***
maletotwrkh -0.0421737 0.0366740
-1.150 0.2506
educ
-0.170086 0.152739
-1.114 0.2658
maleeduc
-0.0474541 0.199466
-0.2379 0.8120
age
-0.505943 0.295175
-1.714 0.0870 *
maleage 0.625219 0.385389 1.622 0.1052
agesq 0.00613234 0.00355753 1.724 0.0852 *
maleagesq
-0.00687847 0.00459856
-1.496 0.1352
yngkid
-1.97138 1.48436
-1.328 0.1846
maleyngkid 2.97771 1.80175 1.653 0.0988 *
Media de la vble. dep. 54.43926 D.T. de la vble. dep. 7.406891
Suma de cuad. residuos 33625.71 D.T. de la regresión 6.960749
R-cuadrado 0.130618 R-cuadrado corregido 0.116839
F(11, 694) 9.478958 Valor p (de F) 4.95e-16
y tenemos que la SRC de este modelo es SCR = 33625:71 que coincide con SCR1 +SCR2 =
17712:22 + 15913:49:
d) El modelo restringido es ahora
sleeph= 0+ 0male+ 1totwrkh+ 2educ+ 3age+ 4age2+ 5yngkid+u
y estimando este modelo con toda la muestra obtenemosSRC = 33929:94: El estadístico de contraste es
F = (SCRr SCRnr)=5 SCRnr=(706 2 6)
F5;694 bajo H0
El valor del estadístico en la muestra es
F = (33929:94 33625:71)=5
33625:71=(706 2 6) = 1:26
y el p-valor es 0:28 por lo que no podemos rechazar H0 a ningún nivel de signi…cación razonable
y concluimos que no hay evidencia para a…rmar que, una vez que permitimos distintos términos constantes para hombres y mujeres, las pendientes sean distintas para estos dos grupos. Este es un ejemplo en el que hay diferencias muy importantes entre los coe…cientes pero dichas diferencias no son estadísticamente signi…cativas, seguramente porque el tamaño muestral no es muy grande.
