DEL PERMANENTE DE UNA MATRIZ ANDRES FELIPE SÁNCHEZ BEJARANO. CARLOS ORLANDO OCHOA CASTILLO Magister en Matemáticas

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DEL PERMANENTE DE UNA MATRIZ

ANDRES FELIPE S ´ANCHEZ BEJARANO

CARLOS ORLANDO OCHOA CASTILLO Magister en Matem´aticas

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS´E DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACI ´ON

MATEM ´ATICAS BOGOT ´A D.C

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DEL PERMANENTE DE UNA MATRIZ

ANDRES FELIPE S ´ANCHEZ BEJARANO

Trabajo presentado como requisito para optar al titulo de: Matem´atico

Director: Carlos Orlando Ochoa Castillo Magister en Matem´aticas

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS´E DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACI ´ON

MATEM ´ATICAS BOGOT ´A D.C

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III

Nota de Aceptaci´on

Firma del Director

Firma del Jurado

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IV

.

Los encantos de esta ciencia sublime, las matem´aticas, s´olo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Carl Friedrich Gauss

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V

Resumen

Los determinantes hicieron su aparición en el mundo de las matemáticas alrededor del siglo _XVI más de un siglo antes que las matrices; son muchos los historiado-res que coinciden en afirmar que la teor´ıa de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz quien los empleó en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, es decir, se buscaba determinarsi un sistema de ecuaciones lineales ten´ıan o no solución. Las contri-buciones más prol´ıficas a la teor´ıa de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy, quien en su famosa memoria de 84 páginas desa-rrolla la teor´ıa de los determinantes como un tipo especial de funciones simétricas alternantes, las cuales distinguió de las funciones simétricas ordinarias al llamar a estas ultimas funciones simétricas permanentes. También introdujo una cierta subclase de funciones simétricas que más tarde fueron denominadaspermanentes por el matemático escocés Sir Thomas Muir y que hoy en d´ıa se conocen por este nombre.

Esta función, la función permanente puede definirse de una forma muy similar al determinante y gracias a esta similitud uno esperar´ıa que el permanente tenga propiedades análogas a las propiedades del determinante. Desafortunadamente los permanentes fallan al heredar propiedades claves y esta deficiencia explica el hecho de que las pruebas de teoremas de permanentes y su cálculo es sustancial-mente mucho más dif´ıciles.

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VI

´

_{Indice general}

Planteamiento del problema . . . VII Objetivos . . . VIII

1. Determinantes 1

1.1. El determinante . . . 1

1.2. Interpretaci´on de los determinantes como ´area y volumen. . . 4

2. Permanentes en la historia 6 2.1. Origen . . . 6

2.2. Binet tambi´en lo hizo . . . 8

2.3. Aportes de Borchardt, Cayley y Sir Thomas Muir . . . 10

2.4. Renacimiento del Permanente . . . 11

3. Propiedades de los permanentes 15

4. El permanente y los cubrimientos de ciclo de un grafo. 23

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´INDICE GENERAL VII

Planteamiento del Problema

Descripci´on

El permanente hace su primera aparición alrededor del año 1812 en las memorias de Cauchy y Binet como una clase de función simétrica alternante. Esta función a pesar de su notoria similitud con el determinante, al menos en su definición, genera grandes problemas a la hora de su cálculo y de probar posibles propiedades que surgen a partir de esta. Se ha buscado, por ejemplo, escribir el permanente en términos de determinantes, nuevas ideas de calcularlo de una forma más eficiente y además se han encontrado problemas equivalentes al cálculo del permanente que aumentan el interés por el tema.

Delimitaci´on

A pesar de que el permanente cuenta con un n´umero relativamente reducido de propiedades, al menos comparado con el determinante, si tiene mucho de que hablar. Pero en este documento nos centraremos en exhibir s´olo las primeras pro-piedades que surgieron y en dar un problema equivalente relacionado con la teor´ıa de grafos.

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´INDICE GENERAL VIII

Objetivos

Objetivo General

Presentar la funci´on permanente y algunas de sus consecuencias.

Objetivos Espec´ıficos

1. Resaltar el problema que se genera al intentar calcular el permanente de una matriz.

2. Exhibir las primeras propiedades que surgieron del permanente, adem´as de mostrar resultados an´alogos a resultados del determinante.

3. Analizar parcialmente la equivalencia que hay entre el problema de calcular el número de cubrimientos de ciclos disjuntos de vértices de un digrafo, con el cálculo del permanente de una matriz .

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1

Cap´ıtulo 1

Determinantes

El concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estu-diar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales y sin duda esta teor´ıa, la Teor´ıa de los determinantes, se hizo fundamental en el mundo de las matemáticas ; as´ı que en este cap´ıtulo se darán algunas definiciones, conceptos y resultados básicos de la Teor´ıa de los determinantes.

El enfoque que se le dará a la función determinante usa el grupo de permutaciones de un conjunto finito. Si no se dice lo contrarioRdenotará un anillo conmutativo.

1.1. El determinante

Definici´on 1.1.1 Para n ∈ _N, sea Sn el conjunto de todas las funciones

biyec-tivas del conjunto In = {1,2, ..., n}. Cada una de estas funciones biyectivas se

denominapermutaci´on del conjuntoIn. El conjuntoSn es claramente un grupo

bajo la composici´on de funciones y a este grupo se le denominagrupo sim´ etri-co de grado n. Una permutaci´on σ ∈ Sn se le llama ciclo de longitud m, con

1≤m≤n, si existe un subconjunto{a1, a2, ..., am} ⊆In de elementos diferentes

tales que σ(ai) = ai+1 para 1 ≤ i ≤ m−1 , σ(am) = a1 y σ(a) = a para todo

a∈In\ {a1, a2, ..., am}. A un ciclo de longitud 2 se le denomina transposici´on,

adem´as dos ciclos π = (α1, α2, ..., αm) y θ = (β1, β2, ..., βr) se dicen disjuntos si

{α1, α2, ..., αm} ∩ {β1, β2, ..., βr}=∅.

Una permutaci´on σ ∈Sn se denomina par, si se descompone en un n´umero par

de transposiciones, de lo contrario diremos que es impar.

Ahora es necesario enumerar algunas propiedades de los grupos de permutaciones que son necesarias

(i) La composici´on de ciclos disjuntos conmuta.

(ii) Toda permutaci´on deSn es el producto de ciclos disjuntos y esta

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CAP´ITULO 1. DETERMINANTES 2

(iii) Toda permutaci´on de Sn es producto de transposiciones.

(iv) Si una permutaci´on σ ∈ Sn tiene dos descomposiciones en productos de r

y s transposiciones, entonces r es par si, y solo si, s es par.

(v) El conjunto An que consta de todas las transposiciones pares de Sn bajo la

composici´on es un grupo y se denomina grupo alternante de grado n. (vi) Sn tiene n! elementos, mientras que An tiene n₂!.

Definici´on 1.1.2 Sea n ∈_N y R un anillo conmutativo. Para cada A= (aij) ∈

Mn(R) se define sudeterminante como el elemento deR dado por

det(B) = X

σ∈Sn

ε(σ)a1σ(1)· · ·anσ(n) (1.1)

donde ε(σ) es 1 o −1 si σ es par o impar, respectivamente. Proposici´on 1.1.1 Sea A= (aij)∈Mn(R). Entonces

det[A1, ..., aAi, ..., An] T

=a det(A), a∈R.

donde los Ak son los vectores fila de A escritos como vectores columna, con 1≤

k ≤n. Tambi´en se tiene que

det[A1, ..., aAi, ..., An] =a det(A), a∈R.

viendo los Ak como los vectores columna de A, con 1≤k ≤n.

Proposici´on 1.1.2 Sea B = (bij)∈Mn(R) y (a1, ..., an)∈Rn. Entonces

det         b11 · · · b1n .. . . .. ... bi1+a1 · · · bin+an .. . . .. ... bn1 · · · bnn         =det(B) +det         b11 · · · b1n .. . . .. ... a1 · · · an .. . · · · ... bn1 · · · bnn        

Proposici´on 1.1.3 Si dos filas de una matriz son iguales, entonces su determi-nante es nulo.

Proposici´on 1.1.4 Si en una matriz se intercambian dos filas (o dos columnas), entonces el determinante cambia de signo.

Corolario 1.1.1 Si la matriz C ∈ Mn(R) se obtuvo de B ∈Mn(R) mediante la

permutaci´on σ de filas, entonces det(C) =ε(σ)det(B)

Proposici´on 1.1.5 Si se suma un m´ultiplo escalar de una fila(o columna) a otra, entonces el valor del determinante no cambia. Esto es, si B ∈Mn(R), entonces

(11)

det[B1, ..., Br+aBs, ..., Bs, ..., Bn]T =det(B), cona ∈R y r 6=s.

Teorema 1.1.1 Sean B, C ∈Mn(R), entonces

det(BC) = (det(B))(det(C)).

Corolario 1.1.2 (i) SiB ∈GLn(R), entoncesdet(B)∈R∗y adem´asdet(B−1) =

(det(B))−1.

(ii) Matrices similares tienen el mismo determinante. (iii) Los anillos conmutativos son dimensionales.

Teorema 1.1.2 Si A∈Mn(R), entonces det(A) =det(AT).

Los conceptos y resultados que se exhibieron anteriormente son tomados de [5] y los que se dan a continuaci´on en esta secci´on son tomados de [4].

Teorema 1.1.3 Los vectores columna A1, ..., An de dimensi´on n son linealmente

dependientes si, y solo si

Det[A1, ..., An] = 0.

Corolario 1.1.3 SiA1, ..., Anson vectores columna deRntales quedet[A1, ..., An]6=

0 y si B es un vector columna, entonces existen n´umeros x1, ..., xn tales que

x1A1+· · ·+xnAn=B

Estos números están determinados de manera única por B.

Teorema 1.1.4 (Regla de Cramer) Sean A1, ..., An vectores columna tales

que

det[A1, ..., An]6= 0

Sea B un vector columna; si x1, ..., xn son n´umeros tales que

x1A1+· · ·+xnAn=B

entonces, para j = 1, ...n, tenemos que xj =

det[A1, ..., Aj−1, B, Aj+1, ..., An]

det[A1, ..., An]

Teorema 1.1.5 Sea A ∈ Mn(R) tal que det(A) 6= 0, entonces A es invertible.

Sea Ej el vector unitario de la columna j y sea

bij =

det[A1, ..., Ej, ..., An]

det(A)

donde Ej aparece en lugar de Ai en el i−´esimo puesto. Entonces la matriz B =

(12)

Definici´on 1.1.3 (Menor complementario) Sea A = (aij) ∈ Mn, se llama

menor complementario del elementoaijal determinante de la matriz de ordenn−1

que resulta de eliminar la filaiy la columnaj de la matrizA, y la representamos por αij.

Definici´on 1.1.4 (Adjunto de un elemento) Llamamos el adjunto del ele-mentoaij al determinante que resulta al atribuir el signo + al menor

complemen-tario αij si i+j es par y el signo − si i+j es impar, y la representamos por

Aij.

Aij = (−1)i+jαij

Teorema 1.1.6 (Expansi´on de Laplace) Sea A = aij ∈ Mn, entonces el

valor del determinante de A es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, as´ı tomando una fila f cualesquiera el determinante es: det(A) = n X j=1 af jAf j

y tomando una columna h

det(A) =

n

X

i=1

aihAih.

1.2. Interpretaci´

on de los determinantes como

´

area y volumen.

Los conceptos y resultados que se exhiben en esta secci´on son tomados de [4]. Considere el paralelogramo que se genera por los vectores v, w ∈ _R2_{. Por}

de-finici´on, este paralelogramo es el conjunto de todas las combinaciones lineales t1v+t2w donde 0≤t1, t2 ≤1.

Consideremos los vectores v y w como vectores columna para as´ı formar su de-terminante det[v, w].

Definici´on 1.2.1 SeaP(v, w) el paralelogramo generado por los vectores v, w∈

R2. Denotemos con V ol0(v, w) el ´area deP(v, w) si el determinante det[v, w]≥0

y −V ol0(v, w) sidet[v, w]<0. As´ı, al menosV ol0(u, w) tiene el mismo signo que

el determinante, y diremos que V ol0(v, w) es el ´area orientada.

Denotemos por V ol(v, w) el ´area del paralelogramo generado por v y w, es decir, V ol0(v, w) =±V ol(v, w).

Teorema 1.2.1 Sea ϕ una funci´on de dos variables vectoriales A1, A2 ∈R2 tal

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(i) ϕ es bilineal, esto es, ϕ es lineal en cada variable. (ii) ϕ(A1, A1) = 0 para todo A1 ∈R2.

(iii) ϕ(E1, E2) = 1 si E1 y E2 son los vectores unitarios can´onicos.

Entonces ϕ(A1, A2) es el determinante.

Teorema 1.2.2 El ´area del paralelogramo generado por v y w es igual al valor absoluto del determinante, a saber, |det[v, w]|.

Teorema 1.2.3 El volumen de la caja generada por u, v, w ∈ _R3 _{es el valor}

absoluto del determinante, esto es

V ol(u, v, w) =|det[u, v, w]|.

Teorema 1.2.4 Sean v1, v2, ..., vn ∈ Rn. Sea V ol(v1, ..., vn) el volumen de n

di-mensiones de la caja de dimensi´on n generada por los vectoresv1, ..., vn, entonces

V ol(v1, ..., vn) =|det[v1, ..., vn]|.

Teorema 1.2.5 SeaP un paralelogramo generado por dos vectores. SeaL:_R2 _→

R2 una aplicaci´on lineal. Entonces

´

(14)

6

Cap´ıtulo 2

Permanentes en la historia

La informaci´on hist´orica, los conceptos y resultados que se exhiben en este cap´ıtu-lo son tomados de [7].

2.1. Origen

Los determinantes hicieron su aparición en el mundo de las matemáticas, alrede-dor del siglo _XVI más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue acuñado por el matemático ingles James Joseph Sylvester(1814-1897), tratando de dar a entender que era la madre de los determinantes .

Son muchos los historiadores que coinciden en afirmar que la teor´ıa de los deter-minantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, es decir, se buscaba determinar si un sistema de ecuaciones lineales ten´ıan o no solución. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes.

Las contribuciones más prol´ıficas a la teor´ıa de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). En su famosa memoria de 84 páginas Cauchy desarrollo la teor´ıa de los determinantes como un tipo es-pecial de funciones simétricas alternantes, las cuales distinguió de las funciones simétricas ordinarias al llamar a estas ultimasfunciones simétricas permanentes. También introdujo una cierta subclase de funciones simétricas que más tarde fue-ron nombradas permanentes por el matemático escocés Sir Thomas Muir (1844-1934) y que hoy en d´ıa se conocen por ese nombre.

Estas funciones pueden definirse, con la notaci´on moderna por medio de matrices, como sigue.

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CAP´ITULO 2. PERMANENTES EN LA HISTORIA 7

con m ≤n. El permanente deA, que se escribe como per(A), est´a definido por per(A) =X

σ

a1σ(1)a2σ(2)· · ·amσ(m) (2.1)

donde la sumatoria se extiende sobre todas las funciones 1-1 de {1, ..., m} a

{1, ..., n}. A la sucesi´on (a1σ(1), a2σ(2), ..., amσ(m)) se le denomina la diagonal de

A y al producto a1σ(1)∗a2σ(2)∗...∗amσ(m) se le llama producto diagonal de A.

Entonces el permanente de Aes la suma de todos los productos diagonales de A. Ejemplo 2.1.1 Si A, B y C son matrices definidas como

A =2 3 4 B = 3 2 4 2 1 5 C=   3 2 4 2 1 5 −1 2 −2  

Entonces per(A) = 9, per(B) = 44 y per(C) = 18.

En efecto, observe que, por ejemploB es una matriz 2×3, as´ı que las funciones 1−1 de {1,2} en{1,2,3} son: σ1 :{1,2} → {1,2,3} 17→1 27→2 σ2 :{1,2} → {1,2,3} 17→1 27→3 σ3 :{1,2} → {1,2,3} 17→2 27→3 σ4 :{1,2} → {1,2,3} 17→2 27→1 σ5 :{1,2} → {1,2,3} 17→3 27→1 σ6 :{1,2} → {1,2,3} 17→3 27→2

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Es evidente que la cantidad de funciones surge de realizar la permutación del número de columnas por el número de filas de la matriz, es decir

n´umero de funciones = nP m= n! (n−m)!. As´ı al calcular per(B) tenemos

per(B) =X σ 2 Y i=1 biσ(i) = 6 X k=1 2 Y i=1 biσk(i) =b1σ1(1)b2σ1(2)+b1σ2(1)b2σ2(2)+b1σ3(1)b2σ3(2) +b1σ4(1)b2σ4(2)+b1σ5(1)b2σ5(2)+b1σ6(1)b2σ6(2) =b11b22+b11b23+b12b23+b12b21+b13b21+b13b22 =(3)(1) + (3)(5) + (2)(5) + (2)(2) + (4)(2) + (4)(1) =44

y de igual manera para per(C) tenemos

per(C) =X σ 3 Y i=1 ciσ(i) =c1σ1(1)c2σ1(2)c3σ1(3)+c1σ2(1)c2σ2(2)c3σ2(3)+c1σ3(1)c2σ3(2)c3σ3(3) +c1σ4(1)c2σ4(2)c3σ4(3)+c1σ5(1)c2σ5(2)c3σ5(3)+c1σ6(1)c2σ6(2)c3σ6(3) =(3)(1)(−2) + (2)(5)(−1) + (4)(2)(2) + (−1)(1)(4) + (2)(5)(3) + (−2)(2)(2) =18

dondeσ1, σ2, σ3, σ4, σ5 yσ6 son las funciones 1-1 de{1,2,3}en{1,2,3}. Note que

las funciones σi son los elementos del grupo de permutaciones S3.

2.2. Binet tambi´

en lo hizo

El permanente de una matriz fue introducido en 1812 casi simult´aneamente por Binet (1786-1856) y Cauchy. Binet en su memoria tambi´en dio formulas para calcular permanentes de matrices m×n para m ≤4.

El permanente de una matriz A, m ×n, con m ≤ n es la suma de todo los productos diagonales de A; en otras palabras el per(A), es la suma de todos los productos de melementos deA donde no hay dos elementos de la misma fila o la misma columna. Observe que el conjunto de los sumandos al calcularper(A), est´a

(17)

contenido en el conjunto de t´erminos que se obtiene al multiplicar las sumas de los elementos de cada fila deA. SiAes una matriz de 2×n entonces, el producto de las sumas de los elementos de cada fila de A esta dado por

2 Y i=1 n X j=1 aij = n X s,t=1 a1sa2t= X s6=t a1sa2t+ n X s=1 a1sa2s y donde per(A) =X s6=t a1sa2t por lo tanto per(A) = 2 Y i=1 n X j=1 aij − n X s=1 a1sa2s (2.2)

la cu´al es la f´ormula de Binet para m= 2.

Sea Qt,k el conjunto de todas la sucesiones estrictamente crecientes de enteros

w= (w1, ..., wt) tal que 1≤w1 <· · ·< wt ≤k. Para cada matrizA = (aij)m×n

y una sucesi´on (i1, ..., is)∈Qs,m se define

γi1∗···∗is = n X j=1 ai1jai2j· · ·aisj y en particular γi = n X j=1 aij

denota la suma de lai−´esima fila deA. Entonces la f´ormula de Binet (2.2) puede ser escrita de la forma

per(A) =γ1γ2 −γ1∗2.

Ahora se considera una matriz A = (aij) de 3 × n con n ≥ 3. El

conjun-to de sumandos que se generan al hacer el producconjun-to γ1γ2γ3 contiene todos los

términos de per(A) y en adición n3 − n(n −1)(n − 2) términos no deseados como a11a21a3j, a12a22a3j, ..., a11a2ja31, ..., a1ja21a31, ...,etc para j = 1, ..., n,

es-to es, los t´erminos de γ1∗2γ3, γ1∗3γ2 y γ2∗3γ1. Parece adem´as que si sustraemos

γ1∗2γ3 + γ1∗3γ2 +γ2∗3γ1 de γ1γ2γ3 deber´ıamos quedarnos con los t´erminos de

per(A), pero desafortunadamente este no es el caso. Lo que sucede es que, aun-que restemos todos los términos no deseados de esta forma, también restamos algunos términos más de una vez. Para ser precisos, los términos a1ja2ja3j con

j = 1, ..., n aparecen en los productos γ1∗2γ3, γ2∗3γ1 y γ1∗3γ2, luego cada termino

se restar´ıa tres veces en lugar de una sola vez. Pero observe queγ1∗2∗3 es la suma

de todos los t´erminosa1ja2ja3j con lo que obtenemos la segunda f´ormula de Binet

(18)

Por supuesto hay f´ormulas para matrices 3×n y 4×n, pero Binet no dio una f´ormula general para el permanente de una matriz m×n.

Fue en la segunda mitad del siglo _XX donde se generalizó la fórmula de Binet para m >4 y se dio una formula más eficiente para evaluar permanentes.

2.3. Aportes de Borchardt, Cayley y Sir

Tho-mas Muir

Durante el siglo siguiente a la aparici´on de las memorias de Cauchy y Binet, se publicaron unos 20 art´ıculos sobre permanentes.

Los resultados que crearon mayor inter´es son las identidades de Borchardt(1817-1880), Cayley(1821-1895) y Muir(1844-1934). Las tres son f´ormulas para el pro-ducto del permanente y determinante de una matriz.

Sea A= (aij) una matrizn×n, entonces

per(A)det(A) = X σ∈E n Y i=1 aiσ(i) !2 − X σ∈F n Y i=1 aiσ(i) !2 (2.3)

dondeE yF son los conjuntos de permutaciones pares e impares, respectivamente (E =An). El gran problema es como expresar la diferencia a la derecha en una

forma m´as atractiva; por ejemplo, es claro que es igual

X σ∈E n Y i=1 a2_iσ₍_i₎−X σ∈F n Y i=1

a2_iσ₍_i₎+f(A) = det(A(2)) +f(A) (2.4) donde A(2) = A·A es la matriz cuya entrada (i, j) es a2_ij y f(A) representa los t´erminos restantes.

Sin = 2, entonces f(A) = 0. Para n= 3, Cayley expresa a f(A) en t´erminos del determinante de una matriz relacionada.

Teorema 2.3.1 (Cayley) SeaA= (aij)una matriz3×3, conaij 6= 0 para toda

entrada (i, j) y sea A(−1) la matriz 3×3 cuya entrada (i, j) es a−1_ij , entonces per(A)det(A) =det(A(2)) + 2 Y

i,j

aij

!

det(A(−1)). (2.5)

Corolario 2.3.1 Si B = (bij) es una matriz singular con bij 6= 0 para toda

entrada (i, j), entonces

per(B(−1))det(B(−1)) =det(B(−2)) (2.6) donde B(−2) denota la matriz 3×3 cuya entrada (i, j) es b−2_ij .

Borchardt obtiene una f´ormula similar a (2.6) para cualquier n, pero solo para un tipo especial de matriz.

(19)

Teorema 2.3.2 (Borchardt) Sea A = (aij) una matriz n×n cuyas entradas

(i, j) son de la forma (si−tj)−1. Entonces

per(A)det(A) =det(A(2)). (2.7) Sir Tomas Muir ocupa un lugar único en la historia del permanente y más aún en la historia del determinante. Muir en su publicaciónla teor´ıa de los determinantes en el orden histórico del desarrollo, da entre otras cosas, un resumen de cada art´ıculo sobre permanentes escrito antes de 1920, un tercio de los cuales fueron sus propias contribuciones. Los art´ıculos de Muir tratan principalmente sobre expresiones e identidades que involucran a permanentes y determinantes.

De todos estos presentamos a continuaci´on uno de los resultados en su primer art´ıculo sobre permanentes.

Teorema 2.3.3 (Muir) Sea A = (aij) y X = (xij) matrices cuadradas n×n.

Entonces

per(A)det(X) = X

σ∈Sn

ε(σ)det(A∗Xσ) (2.8)

donde Xσ es la matriz cuya i−´esima fila es laσ(i)−´esima fila de X yA∗Xσ es

el producto Hadamard (El producto Hadamard de dos matrices n×n, P = (pij)

y Q= (qij) es la matriz n×n cuya entrada (i, j) es pijqij).

Cien años después, la aparición del art´ıculo de Cayley, Levine generaliza la identi-dad(2.6)a matrices 4×4. Un año después Carlitz y Levine producen la siguiente generalización para matrices n×n.

Teorema 2.3.4 Si B = (bij) es una matriz cuadrada n ×n de rango menor o

igual que 2 y son entradas nulas, entonces

per(B(−1))det(B(−1)) = det(B(−2)). (2.9)

2.4. Renacimiento del Permanente

Los resultados en permanentes de Borchardt, Cayley, Muir y otros escritores en el siglo _XIX consisten de identidades que involucran permanentes y determinantes. Todos estos resultados son sencillos y elementales a pesar de que algunos de estos no son fáciles de probar, debido a la complejidad inherente en cualquier función multilineal. El punto de retomar en la historia del permanente vino a comenzar en ese siglo, con la aparición del hermoso teorema de Muirhead(1860–1941 ) y otros tres sobresalientes eventos que marcaron el comienzo de la nueva era: Un problema posteado por Pólya(1887 - 1985 ), el concepto de funciones matriciales generalizadas introducido por Schur(1875 - 1941) y una conjetura propuesta por Van der Waerden.

(20)

Definici´on 2.4.1 Siα = (α1, ..., αn) es una n−tupla real , sea α∗ = (α∗1, ..., α∗n)

la n−tupla reorganizada en orden no creciente, es decir, α∗₁ ≥...≥α∗_n.

Una n−tupla no negativa α= (α1, ..., αn) se dice mayorizadapor una n−tupla

no negativa β = (β1, ..., βn) y se escribe α≺β, si

α∗₁+· · ·+α∗_k ≤β₁∗+· · ·+β_k∗ para cada k = 1, ...,−1 y

α1+· · ·+αn ≤β1 +· · ·+βn

Teorema 2.4.1 (Muirhead)Seac= (c1, ..., cn)unan−tupla y seanα= (α1, ..., αn)

yβ = (β1, ..., βn)n−tuplas de enteros no negativos. SeanAyB matricesn×n

cu-yas entradas son cαj

i yc βj

i , respectivamente. Una condici´on necesaria y suficiente

para que

per(A)≤per(B) (2.10) es que

α ≺β (2.11)

La igualdad en (2.10) se mantiene si, y solo siα =β o c1 =· · ·cn.

Hardy, Littlewood y Pólya extendieron el teorema de Muirhead a cualquiern−tupla no negativaαyβ, probando el teorema extendido y mostraron que es equivalente a la siguiente condición: existe una matrizn×n doblemente estocásticaS tal que

α=Sβ

Para la prueba del teorema de Muirhead ver [3]. Para un esbozo de la prueba de que (2.11) y la anterior igualdad son equivalentes puede encontrarse en [6]. La siguiente referencia histórica de los permanentes fue una pregunta hecha por Pólya. Hay muchos problemas que involucran permanentes y presentan un difi-cultad considerable, mayor a los problemas correspondientes para determinantes. Es interesante encontrar una transformación que convirtiera los permanentes en determinantes. Dado un conjuntoS, de matricesn×n, para encontrar una trans-formación lineal T enS tal que

per(T(A)) =det(A) (2.12) para todo A ∈ S. El problema de Pólya se refiere a transformaciónes que in-volucran solo fijaciones uniformes de un signo mas o menos para cada posición de las entradas en la matriz. Por ejemplo, para matrices A = (aij) ∈ M2 y

(21)

B = (bij)∈M3 con b13 = 0 tenemos que

T a11 a12 a21 a22 = a11 −a12 a21 a22 T   b11 b12 0 b21 b22 b23 b31 b32 b33  =   b11 b12 0 −b21 b22 b23 b31 −b32 b33  

y as´ı se cumple(2.12). Pólya afirmó que no existe una transformación linealT en Mn paran≥3, que involucre una fijación uniforme de signos±para las entradas

de matrices tales que per(T(A)) = det(A) para todo A ∈ Mn. La demostraci´on

es sencilla (ver [7]).

Este resultado cerr´o final y completamente la puerta a cualquier esperanza de que problemas que involucraran permanentes puedan ser solucionados f´acilmente por medio de determinantes.

Un enfoque completamente nuevo para permanentes y determinantes fue iniciado en 1918 por Schur, quien introduce el concepto de funciones matriciales genera-lizadas en matrices cuadradas, a menudo llamadas funciones de Schur.

Sea A∈Mn(R) (R cualquier anillo conmutativo con unidad), seaH un

subgru-po del grusubgru-po sim´etrico Sn y sea χ : H → R una funci´on a valor escalar en H.

Definimos la funci´on dH_χ :Mn(R)→R por dH_χ(A) = X σ∈H χ(σ) n Y i=1 aiσ(i)

De particular inter´es el caso cuando χ es un homomorfismo y llamamos funci´on de Schur , si este es el caso. En particular, si H =Sn y χ = ε (es decir, χ es la

funci´on signo), entonces dH_χ es simplemente la funci´on determinante. Si H =Sn

y χ es un homomorfismo, entonces esta es la funci´on permanente.

El estudio de las funci´ones de Schur produjo el siguiente elegante resultado, ob-tenido por el mismo Schur.

Teorema 2.4.2 (Schur)Si A es una matriz positiva semi definida hermitiana, entonces

det(A)≤per(A) (2.13) La igualdad se mantiene en (2.13) si, y solo si A es diagonal o A tiene una fila nula.

(22)

Tal vez la principal causa del interés por la teor´ıa de permanentes es la llamada Conjetura de Van der Waerden. Comenzó como un inocente problema pro-puesta por van der Waerden: ¿cuál es el m´ınimo valor de la función permanente en Ωn? donde Ωn es el conjunto de matrices n×n doblemente estocásticas. La

respuesta a esta pregunta es conocida como la conjetura de Van der Waerden. Sea Jn la matriz cuyas entradas son todas 1_n. Si A∈Ωn con A 6=Jn, entonces se

conjetura que

per(A)> per(Jn) =

n! nn.

(23)

15

Cap´ıtulo 3

Propiedades de los permanentes

Los conceptos y resultados que se exhiben en este cap´ıtulo son tomados de [7]. Debido a la similitud en las definiciones de permanentes y determinantes, mu-chas de las propiedades de determinantes tiene sus análogos para permanentes. Desafortunadamente los permanentes fallan al heredar propiedades claves de los determinantes: la propiedad de la multiplicación y la invarianza bajo ciertas ope-raciones elementales en matrices. Esta deficiencia es la que explica el hecho de que las pruebas de teoremas de permanentes y su cálculo es sustancialmente más dif´ıcil, en general al solucionar problemas análogos para determinantes.

Requerimos la siguiente notaci´on para simplificar.

Sea Γr,nel conjunto de todas lasnrsucesionesω = (ω1, ..., ωr) tales que 1≤ωi ≤n

coni= 1, ..., r. SeaGr,nel subconjunto de Γr,nque consiste de todas la sucesiones

no decrecientes

Gr,n ={(ω1, ..., ωr)∈Γr,n|1≤ω1 ≤ · · · ≤ωr ≤n}

y sea Qr,n el conjunto de las sucesiones crecientes

Qr,n ={(ω1, ..., ωr)∈Γr,n|1≤ω1 <· · ·< ωr ≤n}.

Para la sucesi´on ω ∈ Γr,n, sea mt(ω), el n´umero de ocurrencias de t en ω. Por

ejemplo m1((2,4,4,4,5,5)) = 0 y m2((2,4,4,4,5,5)) = 1.

Sea µ(ω) el producto de los factoriales de las multiplicidades de los distintos enteros enteros en ω, esto es

µ(ω) = n Y t=1 mt(ω)! Ejemplo 3.0.1 µ((2,4,4,4,5,5)) = 6 Y i=1 mt((2,4,4,4,5,5))! = (0!)(1!)(0!)(3!)(2!)(0!) = (2!)(3!) = 12.

(24)

CAP´ITULO 3. PROPIEDADES DE LOS PERMANENTES 16

Tambi´en requerimos la siguiente notaci´on matricial.

Sea A = (aij) ∈ Mm×n, α ∈ Gh,m y β ∈Gk,n, entonces A[α|β] denota la matriz

h×k cuya entrada (i, j) es aαiβj. Si sucede que α ∈ Qh,m y β ∈ Qk,n, entonces

A[α|β] es una submatriz de A. Si α=β simplificamos la notaci´on a A[α].

De nuevo, si α ∈ Qh,m y β ∈ Qk,n, entonces A(α|β) denota la submatriz (m−

h)×(n−k) de A complementaria a A[α|β], esto es, la submatriz obtenida de A eliminando las filas α y columnas β. En particular, la submatriz (m−h)×n obtenida de A eliminando las filas α se denota por A(α|−). De forma similar, A(−|β) denota, la submatriz obtenida de A eliminando columnas β.

Teorema 3.0.1 (a) La función permanente en matrices m ×n con m ≤ n, es una función multilineal de las filas de cada matriz. Si m = n, esta es también un función multilineal de columnas.

(b) Si A es una matriz m×n con m≤n, P y Q son matrices de permutaci´on de ´ordenes m y n, respectivamente, entonces

per(P AQ) =per(A).

(c) Si A es una matriz n−cuadrada, entonces per(AT) = per(A). Demostraci´on.

(a) Sea A = (aij) ∈ Mm×n(R) con m ≤ n, α ∈ R y β = (β1, ..., βn) ∈ Rn.

Debemos ver que

per         a11 · · · a1n .. . . .. ... ai1+β1 · · · ain+βn .. . . .. ... am1 · · · amn         =per(A) +per         a11 · · · a1n .. . . .. ... β1 · · · βn .. . · · · ... am1 · · · amn         y adem´as que per         a11 · · · a1n .. . . .. ... αai1 · · · αain .. . . .. ... am1 · · · amn         =α per(A).

Para ello, sea B = (bij), C = (cij)∈Mm×n tal que

bij = aij si i6=j aij +bj si i =k , cij = aij si i6=j αaij si i=k

(25)

Para 1≤k ≤m fijo y as´ı usando la Definici´on 2.1.1 per(B) =X σ b1σ(1)· · ·bkσ(k)· · ·bnσ(n) =X σ a1σ(1)· · ·(akσ(k)+βσ(k))· · ·anσ(n) =X σ a1σ(1)· · ·akσ(k)· · ·anσ(n) +X σ a1σ(1)· · ·βσ(k)· · ·anσ(n) =per(A) +per         a11 · · · a1n .. . . .. ... β1 · · · βn .. . · · · ... an1 · · · ann         .

Por otro lado

per(C) =X σ c1σ(1)· · ·ckσ(k)· · ·cmσ(m) =X σ a1σ(1)· · ·αakσ(k)· · ·amσ(m) =αX σ a1σ(1)· · ·akσ(k)· · ·amσ(m) =α per(A).

(b) Note que una matriz de permutaci´on de orden h se conforma ´unicamente deh vectores (oh−tuplas), las cuales son precisamente los elementos de la forma e1 =(1,0,· · ·,0) e2 =(0,1,· · ·,0) .. . eh =(0,0,· · ·,1)

es decir, estas forman las filas (o columnas) de la matriz de permutaci´on; as´ı que denotemos por Eσ donde σ ∈ Sh, a la matriz que resulta de permutar

las filas de la matriz identidadIh = (ei) mediante la permutaci´onσ, esto es

(26)

Adem´as note que si A = (aij) ∈ Mh×n(R), entonces al hacer la

multipli-caci´on matricial EσA, obtenemos la matriz Aσ la cu´al es el resultado de

permutar la filas de la matriz A mediante la permutaci´on σ. Pero al rea-lizar AEσ obtenemos la matriz Aσ la cu´al es el resultado de permutar las

columnas de la matriz A mediante la permutaci´onσ. Ahora bien, sean A∈Mm×n(R), σ∈Sm y ω ∈Sn, as´ı

EσAEω = (Aσ)ω = (Aω)σ = (aσ(i)ω(j)) con lo que per(EσAEω) = X β m Y i=1 aσ(i)β(σ(i)) =X β m Y k=1 akβ(k) =per(A). donde k=σ(i). (c) Es trivial.

El siguiente teorema es un an´alogo del teorema de expansi´on de Laplace para determinantes.

Teorema 3.0.2 Si A es una matriz m×n con 2≤m≤n yα∈Qr,m, entonces

per(A) = X

ω∈Qr,m

per(A[α|ω])per(A(α|ω)) (3.1)

en particular, para cualquier i, 1≤i≤m, per(A) = n X t=1 aitper(A(i|t)) (3.2) si m=n yβ ∈Qr,n, entonces tambi´en per(A) = X ω∈Qr,m per(A[ω|β])per(A(ω|β)) (3.3) y para cualquier j, 1≤j ≤n per(A) = n X t=1 atjper(A(t|j)). (3.4)

(27)

Demostraci´on.

Seaα= (α1, ..., αr)∈Qr,m y seaα

0

= (α0₁, ..., α0_m₋_r) la sucesi´on complementaria a αen (1, ..., m), es decir, al ordenar el conjunto{α1, ..., αr, α

0

1, ..., α

0

m−r}de menor a

mayor, obtenemos justamente a (1, ..., m) donde {α1, ..., αr} ∩ {α

0

1, ..., α

0

m−r}=∅.

As´ı podemos escribir

X ω∈Qr,m per(A[α|ω])per(A(α|ω)) = X ω∈Qr,m " X θ∈Sr r Y t=1 aαtθ(αt) # ·   X β∈Sm−r m−r Y k=1 a_α0 kβ(α 0 k)   = X ω∈Qr,m X θ∈Sr   r Y t=1 aαtθ(αt)   X β∈Sm−r m−r Y k=1 a_α0 kβ(α 0 k)     = X ω∈Qr,m X θ∈Sr X β∈Sm−r r Y t=1 aαtθ(αt) m−r Y k=1 a_α0 kβ(α 0 k).

Ahora bien, observe que si σ ∈ Sm, entonces podemos encontrar θ ∈ Sr y β ∈

Sm−r tales que σ =θ·β, por supuesto manteniendo los ´ındices originales de los

elementos de la matriz Aen las submatrices A[α|ω] yA(α|ω); y adem´as teniendo en cuenta que 1≤α1 <· · ·< αr≤m y 1≤α 0 1 <· · ·< α 0 m−r ≤m, tenemos que X ω∈Qr,m X θ∈Sr X β∈Sm−r r Y t=1 aαtθ(αt) m−r Y k=1 a_α0 kβ(α 0 k) = X σ∈Sm r Y t=1 aαtσ(αt) m−r Y k=1 a_α0 kσ(α 0 k) = X σ∈Sm m Y i=1 aiσ(i) =per(A). Y as´ı se ha probado (3.1).

La fórmula (3.3) es consecuencia delTeorema 3.0.1 (c) y de la fórmula (3.1). Las fórmulas(3.2) y (3.4) son consecuencia inmediata de(3.1) y (3.3),

respec-tivamente.

Antes de declarar el siguiente teorema, el cual es un an´alogo al teorema de Cauchy-Binet para determinantes, probemos un lema combinatorio.

Lema 3.0.1 Sea f una funci´on escalar en m−tuplas de enteros. Entonces

X ω∈Γm,n f(ω1, ..., ωm) = X ω∈Gm,n 1 µ(ω) X σ∈Sm f(ωσ1, ..., ωσm) (3.5) donde ω = (ω1, ..., ωm). Demostraci´on.

Hagamos una partici´on en el conjunto de las m−tuplas Γm,n en clases de

(28)

enteros. Entonces cada clase de equivalencia tiene exactamente una m−tupla en Gm,n. Si ω = (ω1, ..., ωm) ∈ Gr,m y permutamos todos los enteros ω1, ..., ωm en

todas las m! formas posibles, obtenemos todas las m−tuplas de la clase de ω y cada m−tupla aparece µ(ω) veces. Observe que a mano derecha de (3.5) se realiza la sumatoria sobre el conjunto de permutaciones Sm por lo que se esta

sumando µ(ω) veces la imagen de ω pero solo una vez las demás imágenes de las demásm−tuplas de la clase de ωya que estas no están enGm,n. As´ı que se divide

esta sumatoria por µ(ω). Esto ´ultimo es solo un sumando ya que depende de los elementos de Gm,n y por esto se realiza la sumatoria general sobre todo Gm,n.

Teorema 3.0.3 (Binet-Cauchy) Si B y C son matrices m×n y n×m res-pectivamente, con m≤n, entonces

per(BC) = X

ω∈Gm,n

1

µ(ω)per(B[1, ..., m|ω])per(C[ω|1, ..., m]). Demostraci´on.

Veamos al permanente como una funci´on multilineal escalar de filas (m−tuplas) de una matriz. Sea A= (aij)∈Mm y denotemos porA(i) a la i−´esima fila de A,

y as´ı definimos

per(A) =per(A(1), ..., A(m))

Ahora bien, observe que

(BC)(i) =

n

X

t=1

bitC(t)

y adem´as por Teorema 3.1 (a) tenemos per(BC) =per((BC)(1), ...,(BC)(m)) =per n X t=1 b1tC(t), ..., n X t=1 bmtC(t) ! =per b11C(1), m X t=1 b2tC(t), ..., m X t=1 bmtC(t) ! +per n X t=2 b1tC(t), X t=1 b2tC(2)..., n X t=1 bmtC(t) ! =per b11C(1), ..., m X t=1 bmtC(t) ! +per b12C(2), ..., m X t=1 bmtC(t) ! +per m X t=3 b1tC(t), ..., m X t=1 bmtC(t) !

(29)

CAP´ITULO 3. PROPIEDADES DE LOS PERMANENTES 21 .. . = m X i1=1 per b1i1C(i1), m X t=1 b2tC(t)..., m X t=1 bmtC(t) ! .. . = m X i1=1 m X i2=1 · · · m X im=1 per b1i1C(i1), b2i2C(i2), ..., bmimC(im) = m X i1=1 m X i2=1 · · · m X im=1 m Y j=1 bjijper C(i1), ..., C(im) = X ω∈Γm,n m Y j=1 bjω(j)per C(ω1), ..., C(ωm) = X ω∈Gm,n 1 µ(ω) X σ∈Sm m Y j=1 bjωσ(j)per C(ωσ(1)), ..., C(ωσ(m))

por el lema 3.0.1 . Pero por Teorema 3.0.1(b) tenemos que per(C(ωσ(1)), ..., C(ωσ(m))) =per(C(ω1), ..., C(ωm))

=per(C[ω|1, ..., m]),

donde Cω = (C(ω1), ..., C(ωm)) y hacemos el producto matricial EσCωIm, con

Im = (ei) la matriz identidad en Mm yEσ = (eσ(i))∈Mm la matriz que surge de

permutar las filas de Im medianteσ ∈Sm. Por lo tanto

per(BC) = X ω∈Gm,n 1 µ(ω)per(C[ω|1, ..., m]) X σ∈Sm m Y j=1 bjωσ(j) = X ω∈Gm,n 1 µ(ω)per(C[ω|1, ..., m])per(B[1, ..., m|ω]).

Lo cu´al prueba el teorema.

La siguiente identidad es menos conocida que el resultado anterior, parece ha-ber sido notado primero por Caianiello como un an´alogo a la propiedad para determinantes dada por Arnaldi .

Teorema 3.0.4 Sean A= (aij) y B = (bij) matrices n×n. Entonces

per(A+B) = n X r=0 X α,β∈Qr,n per(A[α|β])per(B(α|β)),

(30)

donde per(A[α|β]) = 1 y per(B(α|β)) =det(B) cuando r= 0.

Demostraci´on. La siguiente prueba fue sugerida por Marvin Marcus. Primero note la siguiente identidad

n Y i=1 (xi+yi) = n X r=0 X α∈Qr,n r Y i=1 xαi n−r Y j=1 y_α0 j donde α ∈Qr,n y α 0

es la sucesi´on complementaria a α en (1, ..., n). Con lo cual tenemos per(A+B) = X σ∈Sn n Y i=1 (aiσ(i)+biσ(i)) =X σ∈Sn n X r=0 X α∈Qr,n r Y i=1 aαiσ(αi) n−r Y j=1 b_α0 jσ(α 0 j) = n X r=0 X α∈Qr,n X σ∈Sn r Y i=1 aαiσ(αi) n−r Y j=1 b_α0 jσ(α 0 j) ! = n X r=0 X α∈Qr,n X σ∈Sn X σ∈Sn r Y i=1 aαiσ(αi) n−r Y j=1 b_α0 jσ(α 0 j) ! = n X r=0 X α∈Qr,n " X σ∈Sn r Y i=1 aαiσ(αi) ! X σ∈Sn n−r Y j=1 b_α0 jσ(α 0 j) !# ,

y por Teorema 3.0.2 conseguimos el resultado

= n X r=0 X α,β∈Qr,n per(A[α|β])per(B(α|β)). Algo importante y de gran interés a mencionar sobre la teor´ıa de permanen-tes y que no se desarrollará en este documento es que Marcus y Newman en 1961 representarón la función permanente como un producto interior del espacio de clases de simetr´ıa de tensores completamente simétricos.

(31)

23

Cap´ıtulo 4

El permanente y los cubrimientos

de ciclo de un grafo.

Una buena manera de estudiar un problema es a partir de problemas equivalentes, ya que puede que nos brinden una mejor perspectiva de lo que se estudia en cuentión. Por esta razón, en este cap´ıtulo se muestra a la función permanente a partir de un problema más conocido que el mismo permanente, y este este es el número de cubrimientos de ciclo disjuntos de vértices que se pueden encontrar en un digrafo.

Definici´on 4.0.1 (Grafo) Un grafoGes una tripla ordenada (V(G), E(G), IG),

donde V(G) es un conjunto no vac´ıo de v´erticies(puntos o nodos), E(G) es un conjunto disjunto a V(G) de aristas(o bordes) e IG es una funci´on de incidencia

que asocia a cada arista de E(G) con un par de v´ertices de V(G) no necesaria-mente distintos.

Siu, v ∈V(G) ye∈E(G) tal queIG(e) ={u, v}, entonces decimos queuyv son

los extremos de la aristae. Además siV(G) yE(G) son finitos, decimos queGes un grafo finito. Denotamos por n(G) y m(G) al número de vértices y aristas de G, respectivamente. Al númeron(G) se le llamaorden de G y al número m(G) se le llama tamaño deG.

Ahora bien, todo grafo puede ser representado por un diagrama en el plano, sea G= (V, E, IG) un grafo, donde V ={v1, v2, ..., v5} , E ={e1, e2, ..., e6}y IG(e1) ={v1, v5} IG(e2) ={v2, v3} IG(e3) ={v2, v4} IG(e4) ={v2, v5} IG(e5) ={v2, v5} IG(e6) ={v3},

(32)

CAP´ITULO 4. EL PERMANENTE Y LOS CUBRIMIENTOS DE CICLO DE

UN GRAFO. 24

as´ı el diagrama en el plano que lo representa es el siguiente

Figura 4.1: Diagrama de G.

Definici´on 4.0.2 (Subgrafo) Un grafo H se dice subgrafo de G si V(H) ⊆

V(G), E(H) ⊆ E(G) y adem´as IH es la restricci´on de IG a E(H). Si H es un

subgrafo de G, entonces se dice que G es un supergrafo de H.

Definici´on 4.0.3 (Ciclo) Una caminata en un grafo G es una sucesi´on W donde se alternan elementos deV yE,v0e1v1e2v2...epvpcomenzando y terminando

con v´ertices vi−1, vi, tales que IG(ei) = {vi−1, vi}. Un camino se dice cerrado si

v0 =vp y abierto en otro caso. Un sendero es una caminata en el que todas las

aristas son distintas. Un ciclo es un sendero cerrado en el que todos los v´ertices son distintos.

Ejemplo 4.0.1 Considere el grafo G representado por el siguiente diagrama

y observe que v5e7v1e1v2e4v4e5v1e7v5e9v6 es una caminata pero no un sendero,

mientras que v1e1v2e2v3e3v2e1v1 es una caminata cerrada; v1e1v2e4v4e5v1e7v5 es

un sendero y tanto v1e1v2e4v4e6v5e7v1 como v1v2v4v5v6v1 son un ciclos.

Definici´on 4.0.4 (Grafo dirigido) Un grafo dirigidoDes una tripla ordenada (V(D), A(D), ID), donde V(D) es un conjunto no vac´ıo, de v´ertices; A(D) es un

(33)

UN GRAFO. 25

incidencia que asocia con cada arco de D una pareja ordenada de v´ertices de V. Un grafo dirigido es tambi´en llamadodigrafo.

Al igual que los grafos, los digrafos se pueden representar con un diagrama en el plano. En el siguiente diagrama observe que al lado izquierdo los arcos del digrafo se representan mediante “ aristas con direcci´on ”.

Definici´on 4.0.5 (Grafo ponderado) Sea G un grafo. A cada arista e de G le asociamos un n´umero no negativo w(e) al que se le denominapeso de la arista e. El grafo resultante es un grafo ponderado.

Definición 4.0.6 (Cubrimiento de un grafo) Un subconjunto K del con-junto de vérticesV del grafo G, se dice un cubrimiento de Gsi toda arista de G incide al menos un vértice de k .

Ejemplo 4.0.2 Considere el grafo G que est´a representado por el siguiente dia-grama

as´ıK ={v1, v2, v3, v4, v5} es un cubrimiento deG.

Las difinici´ones, conceptos, diagramas y ejemplos anteriores exhibidos en este cap´ıtulo son tomados de [1].

Definici´on 4.0.7 (Matriz de pesos) Sea G = (V, D, IG) un digrafo tal que

|V| = n. Sea A = (aij) ∈ Mn tal que aij = w(eij) donde IG(eij) = (i, j) con

(34)

UN GRAFO. 26

Definici´on 4.0.8 (Cubrimiento de ciclos de un digrafo ponderado) Un cubrimiento de ciclo de un digrafo ponderado G = (V, D, IG) es un subconjunto

R ⊆ D que forma una colección de ciclos dirigidos disjuntos de vértices que cubren todos los vértices de G. El peso deR, denotado por W(R), es el producto de los pesos de los arcos en R.

Las definiciones 4.0.7 y 4.0.8 son tomadas de [2].

Ahora bien, note que con la anterior definici´on siG es un digrafo ponderado con matriz de pesos A, entonces el permanente de A es igual a la suma de los pesos de todos los cubrimientos de ciclo de G.

Proposici´on 4.0.1 SeaG= (V, D, IG)un digrafo ponderado con matriz de pesos

A= (aij), tal que |V|=n. Entonces

per(A) = X

C∈CG

W(C)

donde CG es el conjunto de cubrimientos de ciclo de G.

Demostración. La prueba consiste en mostrar la correspondencia entre cada permutación σ∈Sn y un único cubrimiento de ciclo C ∈CG. Esto es,

n

Y

i=1

aiσ(i) =k⇐⇒ ∃!C ∈CG;W(C) =k.

Para ello etiquetemos los n v´ertices de G con {1, ..., n}. As´ı podemos escribir

∀1≤i, j ≤n, aij =w(eij) tal queIG(eij) = (i, j) con eij ∈D.

Ahora bien, supongamos que existe un cubrimiento de cicloC tal queW(C) = k conk 6= 0. Sik= 0 significa que una arista no est´a presente y por lo tanto ning´un cubrimiento de ciclo es posible con las aristas de C, con lo que podemos suponer k 6= 0.

Ahora observe que una permutaci´onσ puede escribirse como σ(i) =j para todo (i, j) =IG(eij) con eij ∈C y ya que C cubre todos los v´ertices de G, entonces σ

está definido sobre todo el conjunto {1, ..., n} y además como C se compone de ciclos disjuntos, entonces cada aristaeij ∈Ces única. Por lo tanto la permutación

σ actúa como una función biyectiva y es una permutación valida en Sn.

Por otro lado, seaσ ∈Sntal queQn_i₌₁aiσ(i) =k con k 6= 0. Sik = 0, entonces no

existe ningún ciclo posible con la permutación dada ya que hay un peso de valor cero, o lo que es lo mismo, no hay una arista presente. As´ı supongamos k 6= 0 y fijemosi∈ {1, ..., n}. Ahora considere la sucesión (i, σ(i), σ2(i), ..., σn(i)) dondeσh para h≥0 se obtiene aplicando h veces la funciónσ y por principio del palomar es claro que al menos uno de los elementos de la sucesión se repite. Esto ya que la funciónσ está definida para n términos y en la sucesión hay n+ 1 términos. Sin

(35)

UN GRAFO. 27

perdida de generalidad suponga σl_{(i) y} _σm_{(i) repetidos tales que 1}_≤_{l < m}_≤_n

y ya que ning´un peso es cero, los v´ertices σl_{(i), σ}l+1_{(i), ..., σ}m−1_{(i), σ}m_{(i) =} _σl_(i)

tienen arcos entre ellos con lo que claramente forman un ciclo. As´ı repitiendo este proceso para todos los valores de ipodemos encontrar todos los ciclos, los cuales son disjuntos ya queσ es una permutaci´on y que adem´as forman un cubrimiento de ciclos del digrafo. As´ı

n Y i=1 aiσ(i) = Y eij∈C i,j∈{1,...,n} w(eij) =W(C). (4.1)

Ahora hacemos en(4.1) la suma sobre todas las permutaciones en Sn al lado

iz-quierdo y la suma de todos los cubrimientos de ciclos correspondientes al lado

de-recho.

El anterior resultado es clave para probar que el c´alculo del permanente de una matriz es]P−completo, esto es, es un problema completo para la clase de proble-mas de conteo asociados con c´alculos a tiempo polinomial no determinista (ver [2] y [8]).

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Bibliograf´ıa

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