Límites de una función
Límite de una función
Habilidades a desarrollar:
Al terminar el presente tema, Usted estará en
capacidad de:
1) Calcular el valor numérico del límite de una
función a partir de gráfica de funciones
continuas o discontinuas.
2) Calcular límites infinitos y límites al infinito.
Límite de una función
Problema motivador
Los registros de salud publica indican que días después del brote de cierta clase de gripe aproximadamente el número de personas infectadas se encontró que sigue la ley de formación
Límite de una función
Ejemplo. Consideremos la función definida por con dominio en .
La representación gráfica es la siguiente:
Nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2.
Puede observarse de ambas tablas que, conforme se aproxima más a 2, toma, cada vez, valores más próximos a 3.
lim
𝑥→2
Límite de una función
Ejemplo. Dada la función ¿Cómo se comporta cuando toma valores cada vez más próximos a 1?
Cuando se acerca a 1 por la izquierda, se acerca a 2.
Se escribe
lim
𝑥
→
1
(
𝑥
2
−
1
𝑥
−
1
)
=
2
lim
𝑥
→
1
(
𝑥
2
−
1
𝑥
−
1
)
=
2
lim
𝑥→1−
𝑓 (𝑥)=2
0 1
0,5 1,5
0,99 1,99
0,9999999 1,9999999
Cuando se acerca a 1 por la derecha, se acerca a 2.
Se escribe
lim
𝑥→1+¿
𝑓 (𝑥)=2¿
¿
1,5 2,5
1,1 2,1
Límite de una función
Límite de una función en un punto: definición intuitiva
Si y son dos números reales, la expresión
Indica que cuando la variable independiente , toma valores
muy cercanos al número , los correspondientes valores de
se aproximan al número .
La notación
Límite de una función
Se dice que el número es el limite de
cuando tiende hacia por la derecha, si al tomar valores mayores a próximos al número , los valores de se aproximan al número y se designa por:
lim
𝑥→𝑎+¿
𝑓 (𝑥)=𝐿¿ ¿
Se dice que el número es el limite de
cuando tiende hacia por la izquierda, si al tomar valores menores a próximos al número , los valores de se aproximan al número y se designa por:
lim 𝑥→𝑎−
𝑓 ( 𝑥 )=𝐿
Límite de una función
Una función tiene un límite cuando tiende a , si
y sólo si, tiene límites por la derecha y por la
izquierda en ese punto y ésos son iguales.
lim
𝑥
→
𝑐
𝑓
(
𝑥
)=
𝐿
lim
𝑥
→
𝑐
𝑓
(
𝑥
)=
𝐿
Si
Límite de una función
Generalización de la idea de límite
Límite de una función
Generalización de la idea de límite
Note que
Por tanto
Note que
Límite de una función
Ejemplo. De la grafica de la
gráfica de la función , se observa que:
No existe
Ya que sus límites laterales son diferentes:
El
Ya que sus límites laterales son iguales:
El
Límite de una función
Ejemplo. De la grafica de la gráfica de la función , se observa que:
El
Ya que sus límites laterales son iguales:
El
Ya que sus límites laterales son iguales:
No existe
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.1. Sobre la unicidad del límite
Sea una función definida en un intervalo tal que . Si
entonces .
O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.
Teorema 1.2.
Si , donde es una constante real,
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.4.
Si y es un número real entonces se cumple que
Ejemplo. Ejemplo.
Teorema 1.3.
Si , donde es un entero positivo, entonces
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.5.
Si y son dos funciones para las que
entonces se cumple que
Ejemplo.
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.6.
Si y son dos funciones para las que
entonces se cumple que
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.7.
Si y son dos funciones para las que
entonces se cumple que
Ejemplo.
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.8.
Si y son dos funciones para las que
entonces se cumple que
siempre que .
Ejemplo. Ejemplo.
Ejemplo.
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.9.
Si es una función polinómica, entones
Ejemplo.
Límite de una función
Teoremas fundamentales sobre límites
Teorema 1.10.
Sean y dos funciones polinómicas de , entones
siempre sea diferente de cero.
Límite de una función
Límites infinitos
Ejemplo. Considere la función
¿Qué ocurre con el
comportamiento de la función cuando se aproxima a 0?
Si los valores de la función
decrecen indefinidamente.
Si los valores de la función
crecen indefinidamente.
Las dos ramas de la curva se acercan cada vez más al eje a medida que se aproxima a cero.
Para esta gráfica la recta es
Límite de una función
Ejemplo. Considere la función
¿Qué ocurre con el
comportamiento de la función cuando se aproxima a 1?
Si los valores de la función
crecen indefinidamente.
Si los valores de la función
decrecen indefinidamente.
Las dos ramas de la curva se
acercan cada vez más a la recta a medida que se aproxima a ese valor.
Para esta gráfica la recta es
Límite de una función
Ejemplo. Considere la función
¿Qué ocurre con el
comportamiento de la función cuando se aproxima a 0?
Si los valores de la función
crecen indefinidamente.
Si los valores de la función
crecen indefinidamente.
Las dos ramas de la curva se
acercan cada vez más a la recta a medida que se aproxima a ese valor.
Para esta gráfica la recta es
Límite de una función
Asíntota vertical.
La recta es una asíntota vertical de una función si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Por ejemplo, de la función se observa que es una asíntota vertical, ya que Cuando el denominador tiende a cero, y la expresión tiende a .
Cuando se aproxima a 3 por izquierda, la expresión es positiva, pues el numerador es negativo, el factor es positivo y es negativo. Por lo tanto, el límite es .
Ósea
lim
𝑥→3−
Límite de una función
Límites en el infinitos
Ejemplo. Considere la función
¿Qué ocurre con el comportamiento de la función cuando se crece
indefinidamente y cuando decrece indefinidamente?
Si crece indefinidamente la
función se acerca a 0.
Si decrece
indefinidamente, los valores de la función se acercan a 0.
La recta es asíntota horizontal
Límite de una función
Asíntota horizontal.
Sea una función no lineal. La recta es una asíntota horizontal de la gráfica de si y sólo si, por lo menos uno de los siguientes
enunciados es cierto:
Por ejemplo, de la función se tiene que es su asíntota horizontal, ya que Cuando toma valores grandes, es pequeño. Tomando suficientemente grande, puede hacerse tan pequeño como queramos. Por lo tanto
Por otra parte
Límite de una función
Ejemplo. Los registros de salud publica indican que días después del brote de cierta clase de gripe aproximadamente el número de personas infectadas se encontró que sigue la ley de formación
Si la tendencia continua por un largo periodo de tiempo indeterminado y considerando que solo existe medicamente hasta para 2 500 personas. ¿Cree Usted qué alcanzará la medicina para todos los enfermos?
lim
𝑡→+∞
2
1+3𝑒−0,8𝑡 =𝑡lim→+∞
2
1+ 3
𝑒0,8𝑡
= 2
1+0=2 Resolución
Para resolver el problema, bastará calcular el límite de la función cuando
Si la tendencia continua por un largo periodo de tiempo indeterminado y considerando que solo existe medicamento hasta para 2500 personas entonces si alcanzará la medicina para todos los 2000 enfermos.
Límite de una función
Conclusiones:
1) Hablar del límite de una función, significa conocer
como se comporta cuando se aproxima a un valor ,
donde no necesariamente pertenece al dominio de
una función.
2) Existe , si y sólo si, existan los límites laterales, y
además, sean iguales. Es decir
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Bibliografía
• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson.
