Vol. 21, núm. 4 (2006)

(1)

Ingeniería hidráulica en México, vol. XXI, núm. 4, pp. 115-124, octubre-diciembre de 2006

Presión hidrodinámica en presas de gravedad

con embalse finito, considerando la compresibilidad

y viscosidad del agua

César Vera

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, México

Javier Avilés

Instituto Mexicano de Tecnología del Agua

Se presenta una solución analítica-numérica para determinar presiones hidrodinámicas generadas por sismo en presas de gravedad con paramento no vertical y embalse finito, considerando los efec-tos de la compresibilidad y viscosidad del agua. Se considera además el movimiento desfasado de la pared del embalse respecto al de la cortina. La solución se obtiene con un método de frontera mediante la combinación lineal de un conjunto completo de funciones de Trefftz, que satisfacen la ecuación de movimiento y las condiciones de frontera en el fondo y la superficie libre. Los coefi-cientes desconocidos de esta expansión lineal se determinan satisfaciendo las condiciones de fron-tera faltantes en el paramento de la cortina y la pared del embalse, en el sentido de mínimos cuadra-dos. Se presentan resultados numéricos para diferentes geometrías del paramento de la cortina y la pared del embalse. La eficiencia del método propuesto se verifica mediante comparación con la solución conocida para un embalse particular con líquido incompresible.

Palabras clave:presión hidrodinámica, cortina, embalse, compresibilidad, viscosidad, movimien-to desfasado.

Introducción

Westergaard (1933) realizó la primera investigación im-portante enfocada al estudio de la presión hidrodinámica generada sobre una cortina rígida debido a excitación sísmica. Específicamente encontró una expresión muy simple para calcular la distribución de presiones con la profundidad, considerando las siguientes hipótesis: el flujo es compresible, irrotacional y no viscoso; la cortina es rígida y de paramento mojado vertical; la base del embalse es rígida, horizontal y de longitud infinita, y la excitación es armónica, horizontal y de pequeña ampli-tud. Obviamente, debido al gran número de hipótesis adoptadas, la solución de Westergaard tiene aplicación limitada. Chopra (1967) demostró que esta solución es válida sólo para frecuencias de excitación menores que la frecuencia fundamental del embalse y propuso una expresión cuya aplicación se extiende a un intervalo de frecuencias más grande. La solución de Chopra se ha

puesto en práctica ampliamente, aunque ahora se cono-cen soluciones más realistas.

(2)

Tsai (1992) para incluir la compresibilidad del agua. An-tes, Werner y Sundquist (1949) habían encontrado una solución para presas con paramento vertical y embalse finito, despreciando la compresibilidad del agua. Esta solución fue mejorada por Bustamante et al.(1963), al in-cluir la compresibilidad del líquido. El efecto de la lon-gitud del embalse también ha sido estudiado por Liu (1986) para el caso de líquido incompresible, así como por Avilés y Sánchez-Sesma (1989) para diferentes geo-metrías del paramento de la cortina y la ladera del em-balse frente a la cortina. A este último término nos refe-riremos como la pared del embalse.

Las soluciones anteriores no consideran ningún me-canismo de disipación de energía y por tanto predicen picos resonantes irreales. Las principales fuentes de di-sipación de energía son la absorción de ondas de pre-sión por el fondo y la viscosidad del líquido. Hall y Cho-pra (1982), y Fenves y ChoCho-pra (1983) propusieron una técnica aproximada para tener en cuenta el efecto de la flexibilidad del fondo del embalse. Esta técnica ha sido utilizada, entre otros, por Sharan (1992) y Li et al.(1996) para el cálculo de fronteras de radiación en vasos de longitud infinita. A pesar de que el efecto de la viscosi-dad puede ser pequeño, el considerarlo elimina el princi-pal inconveniente del modelo no viscoso: los picos reso-nantes infinitos. Para propósitos prácticos, la viscosidad del agua usualmente se considera indirectamente a tra-vés de un porcentaje del amortiguamiento crítico (New-mark y Rosenblueth, 1971).

Es bien sabido que los métodos de elementos finitos o de frontera son los más poderosos para calcular la presión hidrodinámica en presas y embalses de geome-tría arbitraria. Sin embargo, estos métodos son relativa-mente complejos para aplicarse en la práctica. Un méto-do de frontera puede ser la alternativa para muchos casos, especialmente cuando se utiliza un conjunto completo de funciones de Trefftz que satisfacen, ade-más de la ecuación de movimiento, algunas de las con-diciones de frontera, con lo que se reducen drástica-mente los grados de libertad del problema.

En este trabajo se presenta un método de este tipo. La solución se obtiene mediante una expansión lineal de fun-ciones base, cuyos coeficientes de participación se deter-minan satisfaciendo las condiciones de frontera faltantes en el sentido de mínimos cuadrados. El objetivo principal es evaluar la presión hidrodinámica generada sobre presas rígidas, considerando aspectos como la inclinación del paramento mojado de la cortina y de la pared final del embalse, la compresibilidad y viscosidad del líquido, la lon-gitud del embalse y el movimiento desfasado de la cortina y la pared del embalse. La disipación de energía se intro-duce utilizando un modelo viscoso equivalente que

depen-de depen-de la frecuencia depen-de excitación. Con este método no es posible considerar el efecto tridimensional, el cual es im-portante en boquillas estrechas. Kotsubo (1959) ha encon-trado la solución para ciertas secciones transversales del embalse, concluyendo que la distribución de presión hidro-dinámica es mayor en embalses rectangulares, un poco menor en embalses semicirculares y significativamen-te menor en embalses triangulares.

Formulación del problema

La formulación del modelo hidrodinámico por investigar se realiza bajo las siguientes hipótesis:

1. El movimiento del líquido es irrotacional. 2. Los desplazamientos son pequeños.

3. La cortina, las paredes del embalse y el fondo son rígidos.

4. No hay oleaje gravitacional en la superficie libre del líquido.

5. El sistema cortina-embalse es bidimensional y el em-balse es finito.

6. El movimiento del terreno es armónico y horizontal. Con estas hipótesis, el movimiento del líquido está gobernado por la ecuación reducida de onda (Newmark y Rosenblueth, 1971):

donde k= ω_/_c_{, siendo}ω_{la frecuencia circular de} excita-ción, la velocidad de ondas de compresión en el agua, Eel módulo de Lammé y ρ_{la densidad del} líqui-do. Además, φ_{es un potencial de velocidad que cumple} con las siguientes condiciones:

donde y son las velocidades de partícula en las di-recciones xy y, respectivamente, tes el tiempo y pes la presión hidrodinámica.

Además, las condiciones de frontera en la superficie libre y el fondo del embalse están dadas por:

donde Hes el tirante de agua.

(1) ∇2φ+_k2φ=₀

c= E/ρ

(2)

˙ ˙

u

x y p t

= −∂φ = − =

∂ ν

∂φ

∂ ρ

∂φ ∂

y

(3) ∂φ

∂_y y=

=

0 0

˙ u ν˙

(4)

∂φ ∂_t y H=

(3)

Modos de vibración del líquido

Aplicando el método de separación de variables a la ecuación (1), los modos naturales de vibrar del embalse, en términos del potencial de velocidad, se pueden ex-presar como:

donde V(y) es una función que sólo depende de la orde-nada y, λ_{es el número de onda horizontal e es} la unidad imaginaria. Sustituyendo la ecuación (5) en la (1) se encuentra que:

donde q2 ₌_k2_–_λ2_{. La solución general de la ecuación} diferencial (6) es:

donde Ay Bson constantes de integración que se deter-minan aplicando las condiciones de frontera (3) y (4).

Sustituyendo la ecuación (5) en la (3), teniendo en cuenta la (7), se deduce fácilmente que B = 0 y, por tanto, V(y) = Acos (qy). Satisfaciendo ahora la ecuación (4) se obtiene:

Esta ecuación trascendente tiene un número infinito de raíces, las cuales están dadas por:

Así, los modos naturales de vibrar del embalse resul-tan ser:

donde .

Finalmente, la solución general de la ecuación (1) se construye mediante superposición modal como:

Al sustituir la ecuación (10) en la (11) se llega a:

donde Anson coeficientes de participación modal.

Tipos de modos

Es bien sabido que para un medio elástico, la velocidad de las ondas de presión es real; sin embargo, para un medio viscoelástico puede representarse como una can-tidad compleja. De esta manera, el amortiguamiento in-terno debido a la viscosidad del líquido se considera al reemplazar cpor , y kpor , donde ζ _{es la fracción del amortiguamiento crítico. Los modos} de vibración del embalse dependen de los posibles valo-res de λ_{n. En el caso de líquido no viscoso,}λ_n_{puede ser} una cantidad real o imaginaria. Si es real, se tiene un modo real:

Cuando λ_n _{sea positiva, la onda se propagará hacia} la derecha y en caso contrario lo hará hacia la izquierda. Si λ_{n es imaginaria, se tiene un modo exponencial:}

En este caso, la propagación es nula. Cuando k = qn, λ_n_{= 0, con lo que se tiene un modo estacionario:}

donde ω_n_{es la frecuencia natural del embalse dada por} ω_n_{= (2}_n_{– 1)}π_c_/2_H_.

En el caso de líquido viscoso, λ_n _{es una cantidad} compleja y entonces se tiene un modo complejo. Sepa-rando la parte real λr_n _{de la imaginaria}λi_{n, se puede} escribir:

Si λi_n_{es positiva, la onda tendrá un decaimiento hacia} la izquierda, y en caso contrario, será hacia la derecha.

Para un embalse finito, todos los modos son posibles y, por tanto, la solución general se construye mediante la siguiente expansión:

donde Any Bnson coeficientes complejos desconocidos que se determinan al satisfacer las condiciones de fron-tera en las paredes de la cortina y el embalse.

(5) φ=_{V y e}

( )

i t x(ω λ− )

(6)

d V

dy q V

2

2 + 2 =0

i= −1

(7)

V A= _cos(q y B)+ _sen(q y)

(8) cos(q H)=0

(9)

q n

H n=

−

(

2 1

)

_∞

2 1 2

π

; n= , , ...

(10) φ_n₌cos

( )

_{q y e}_n −i xλn ; n=1 2, , ..._∞

(11)

φ= φ ω

= ∞

∑

A en n i t n1

(12)

φ= −λ

(

)

ω

= ∞

∑

A en i x q y en i t n

n cos

1

λ_n= _{k q}2− _n2

c 1 2+i ζ _k_{/ 1 2}+_i ζ

(13) φ_n₌cos

( )

_{q y e}_n i t(ω λ± nx)

(16)

φ λ ω λ

n q y en nx i te x

i

n r

=_cos

₍

₎

( − )

(14)

φ_n₌cos

(

_{q y e}_n

)

±λnx i t_eω

(15)

φ ω

n=cos

(

q y en

)

i tn

(17)

φ₌

(

λ ₊ −λ

)

( )

ω

= ∞

∑

A en i x B en i x q y e

n

n i t

n n

1

(4)

Coeficientes de participación modal

Para determinar los coeficientes de participación modal, vamos a suponer que los movimientos de la cortina y la pared del embalse son armónicos, de igual amplitud y están desfasados. Esto se puede escribir como:

donde Q es la amplitud de la excitación, es la ace-leración de la cortina, es la aceace-leración de la pared del embalse y ϕ _{es el ángulo de fase. Sin perder} generali-dad, la ecuación (17) se puede reescribir como:

donde:

Los coeficientes complejos An y Bn se determinan aplicando las condiciones de frontera que deben cum-plirse en el paramento mojado de la cortina y en la pared opuesta del embalse, las cuales están dadas por:

donde Screpresenta la superficie del paramento mojado de la cortina y Spla superficie de la pared opuesta del embalse; θ_{c es la inclinación del paramento y}θ_{p la} incli-nación de la pared, respecto a la vertical, y ndenota la dirección normal al plano considerado, como se mues-tra en la ilusmues-tración 1. Considerando la forma de las ecua-ciones (18) y (19), las ecuaecua-ciones (21) y (22) se reducen a:

En vista de que ∂_/∂_n₌∂_/∂_x₊∂_/∂_y_{, las ecuaciones (23)} y (24) se transforman en:

Ahora bien, sustituyendo la ecuación (20) en la (25), se tiene que:

donde:

Ilustración 1. Presa de gravedad con embalse finito sometida a movimientos desfasados en los extremos del vaso.

n

Cortina rígida

xc

..

θ_c

k H y

Sc

n

Fondo rígido

L

x

Pared rígida

H

Sp

xp

.. θ_p

(18) ˙˙_x _Qe ˙˙_x _Qe( )

c= i tω y p= i tω ϕ+

˙˙x_c ˙˙

xp

(19) φ

ωφ

ω

= Q

i oei t

(20)

φ λ λ

o n i x n i x n

n A e n B e n q y

=

(

+ −

)

₍

₎

= ∞

∑

1

cos

(21)

ρ ∂ φ

∂ ∂ ρ θ

2

cos

n t Sc= − ˙˙xc

( )

c

(22)

ρ ∂ φ

∂ ∂ ρ θ

2

cos

n t Sp= x˙˙p

( )

p

∂φ

∂_no Sc= −cos

( )

θc

∂φ

∂ θ

ϕ

o

p i n Sp=cos

( )

e

(23)

(24)

(25)

∂φ

∂ θ

∂φ ∂ o

c o x Sc+tan

( )

y Sc= −1

f x y en( , )= i xλn

[

tan(θc)qnsen(q y in )−λncos(q yn )

]

g x y en( , )= − λi xn

[

tan(θc)qnsen(q y in )+ λncos(q yn )

]

(26)

∂φ

∂ θ

∂φ ∂

ϕ

o

p o i

x Sp−tan

( )

y Sp= −e

(27)

A f x yn n S B g x yn n S

n c c

( , ) + ( , )

[

]

=

= ∞

∑

1

(28)

(5)

De la misma manera, sustituyendo la ecuación (20) en la (26), se tiene que:

donde:

Las ecuaciones (27) y (30) no se pueden resolver de forma exacta. Por ello, las incógnitas Any Bnse determi-narán aplicando el método de mínimos cuadrados, con el enfoque propuesto por Sánchez-Sesma et al.(1982). Así, el valor absoluto del error cuadrático residual en las condiciones de frontera debe ser mínimo.

El error cuadrático residual de las ecuaciones (27) y (30) integrado en las paredes de la cortina y el embalse es:

El error Edepende de los coeficientes desconocidos

Any Bn, por lo que para minimizarlo es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:

donde el asterisco representa el complejo conjugado. Al aplicar la ecuación (34) sobre la (33) se obtiene un sistema lineal de ecuaciones algebraicas con coefi-cientes complejos, que en notación matricial se expresa de la siguiente manera:

Para solucionar la ecuación (35) es necesario truncar el orden de las expansiones a un número finito, digamos

L, y resolver el sistema resultante de 2Lecuaciones con

2Lincógnitas mediante un método estándar de elimina-ción gausiana. Las integrales de frontera que definen a la matriz de coeficientes y el vector de términos indepen-dientes se calculan usando integración numérica.

Es de interés hacer ver que el efecto del movimiento sísmico vertical podría incluirse fácilmente, ajustando las condiciones de frontera. No obstante, el problema prác-tico radica en la forma de evaluarlo conjuntamente con el efecto de la flexibilidad del fondo. Rosenblueth (1968) ha mostrado que la presión hidrodinámica se incremen-ta debido a la aceleración vertical, pero a la vez se redu-ce debido a la refracción en el fondo.

Resultados numéricos

Las presiones hidrodinámicas fueron calculadas para varios ángulos de inclinación de la cortina y la pared, distintos valores del ángulo de fase y un amplio interva-lo de frecuencias normalizadas Ω_{= (}π_/2)ω_/ω₁_{, siendo}ω₁ la frecuencia fundamental del embalse. Asimismo, se es-tudió la influencia de la viscosidad del líquido y la longi-tud del embalse. Los resultados se presentan en térmi-nos de un coeficiente de presión definido a continuación. Una vez conocidos los coeficientes Any Bn, la presión hidrodinámica se calcula, según las ecuaciones (2) y (19), como:

De aquí, el coeficiente de presión se define como:

Los cálculos numéricos se realizaron empleando quin-ce términos de la expansión (20), con lo que se obtienen resultados satisfactorios para fines de ingeniería. Como se ha demostrado (Avilés y Sánchez-Sesma, 1989), los mé-todos de frontera basados en el uso de funciones de Trefftz pueden dar errores considerables en las condiciones de

r x yn( , )= −ei xλn

[

tan(θp)qnsen(q y in )+ λncos(q yn )

]

s x yn( , )= −e− λi xn

[

tan(θp)qnsen(q y in )− λncos(q yn )

]

(30)

A r x yn n S B s x yn n S ei

n p p

( , ) + ( , )

[

]

= = ∞

∑

ϕ 1 (31) (32) ∂ ∂ E Am*

, , ..., =₀_m=_{1 2} ∞

(34)

∂ ∂

E Bm*

, , ..., =₀_m=_{1 2} ∞

(33)

E A f x y B g x y dS

A r x y B s x y e dS

n n n n

n

c S

n n n n i

n S p c p =

[

+

]

− +

_[

+

_]

− = ∞ = ∞

∑

∫

∑

∫

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 2 1 2 ϕ = +         +                           = ∞

∫

f dS e r dS

g dS e s dS

m n

m c i m p

S S

m c i m p

S S p c p c * * * * , , , ..., ϕ ϕ 1 2 (35)

f f dS r r dS f g dS r s dS

g f dS s r dS g g dS s s dS m n c m n p

S S

m n c m n p

S S

m n c m n p S

S

m n c m n p S

S

p

c c p

p

c c p

* * * * * * * * +         +         +         +   

∫



∫

                     

{ }

        A B n n (36) p

t Q eo i t

=ρ∂φ=

∂ ρ φ

ω

(37)

C p

(6)

Vera, C. y J. Avilés, Presión hidrodinámica en presas de gravedad con embalse finito, considerando la compresibilidad...

frontera cerca de la base de la cortina para ángulos de in-clinación grandes; sin embargo, esto no influye de manera importante en la presión hidrodinámica.

En la ilustración 2 se muestra la variación de la magni-tud del coeficiente de presión con la profundidad para el caso de cortina y pared verticales, almacenando un líquido no viscoso. Se consideraron dos longitudes de embalse (L/H = 1 y 2) y tres ángulos de fase (ϕ _{= 0, 90 y 180º).} Como se esperaba, el coeficiente de presión para movi-miento fuera de fase es mayor que para movimovi-miento en fase. Este efecto es más grande en embalses de longitud corta. Para L/H= 1, el incremento de presión en el fondo es mayor del 100%, pero es menor del 20% para L/H= 2. Es interesante notar que el coeficiente de presión aumenta con la longitud del embalse para movimiento en fase, pero disminuye para movimiento desfasado.

El efecto de la longitud del embalse puede verse en la ilustración 3 para el caso de cortina y pared verticales, almacenando un líquido viscoso con ζ_{= 0.1. Los} resul-tados muestran la magnitud del coeficiente de presión en la base de la cortina para diferentes frecuencias de excitación y ángulos de fase. Para Ω_{= 0.5 se aprecia} que la influencia de la longitud del embalse es

importan-Ilustración 2. Variación del coeficiente de presión con la profun-didad para θθc= θθp= 0, ζζ= 0 y ΩΩ= 0.5.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

L / H = 1

y

H ϕ = 0

Cp

ϕ = 90º

ϕ = 180º

ϕ = 0

ϕ = 180º

L / H = 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y H

Ilustración 3. Influencia de la longitud del embalse en el coefi-ciente de presión en la base de la cortina para θθc= θθp= 0 y ζζ= 0.1.

4

3

2

1

0 0

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

7 8

8 9

9 10

10 3

2.5 2 1.5 1 0.5 0

L / H Cp

Cp

ϕ = 180º

Ω = 0.5

ϕ = 0

Ω =π / 2 ϕ = 0

te sólo en vasos muy cortos, llegando a ser despreciable cuando L/H > 3, independientemente del ángulo de fase. Sin embargo, este comportamiento cambia radical-mente para frecuencias excitadoras cercanas a la fre-cuencia fundamental del embalse dada por Ω₌π _{/2. En} este caso, el coeficiente de presión no se atenúa mono-tónicamente con la longitud del embalse, sino que tiende a oscilar de forma amortiguada hasta que se estabiliza en L/H> 10. Cabe señalar que el fondo del embalse en realidad no es rígido; sin embargo, la refracción de on-das de compresión que ahí ocurre tiene un efecto favo-rable en la presión hidrodinámica (Vera y Avilés, 2005). Si se desprecia la viscosidad del líquido, los resultados para fondo rígido crecen infinitamente alrededor de la frecuencia resonante del embalse, ya que en este caso se carece de un mecanismo de disipación de energía. Para fondo flexible, la magnitud de la presión hidrodiná-mica siempre es finita, incluso para líquido no viscoso.

(7)

Avi-Vera, C. y J. Avilés, Presión hidrodinámica en presas de gravedad con embalse finito, considerando la compresibilidad...

lés y Li (1998) han mostrado que valores equivalentes hasta de 10% son admisibles en casos reales. Conside-rando este rango de valores, el efecto de la viscosidad puede apreciarse en la ilustración 4 para el caso de corti-na y pared verticales separadas ucorti-na distancia L/H= 5, moviéndose en fase para la condición de resonancia. Es evidente que la magnitud de la presión hidrodinámica es muy grande para ζ_{= 0.01, pero disminuye} drásticamen-te al aumentar la viscosidad hasta ζ_{= 0.05 y, en menor} medida, al pasar de este valor a ζ_{= 0.1.}

En lo que sigue, se fija la longitud del embalse en

L/H = 2 y se evalúa el efecto de la inclinación de las paredes de la cortina y el embalse, así como la influen-cia de la difereninfluen-cia de fases de sus movimientos. En la ilustración 5 se comparan los coeficientes de presión

cuando el paramento de la cortina es inclinado y la pa-red del embalse es vertical, θ_c_{= 30º y}θ_p_{= 0, contra los} coeficientes de presión cuando el paramento de la cor-tina es vertical y la pared del embalse es inclinada, θ_c_{= 0 y}θ_p_{= 30º, para movimientos en fase y} desfasa-dos. Nótese que, para movimientos en fase, los coefi-cientes de presión son mayores cuando la cortina es vertical y la pared inclinada. En cambio, para movimien-tos desfasados, los coeficientes de presión son mayores cuando la cortina es inclinada y la pared vertical.

La geometría de la presa afecta significativamente la distribución de presiones. Esto se aprecia en la ilustra-ción 6 para una cortina cuyo paramento mojado está formado por un segmento vertical y otro inclinado. Con-siderando movimiento en fase, se observa que el coefi-ciente de presión disminuye rápidamente al aumentar el ángulo de inclinación. Aquí conviene hacer notar que si el fondo del embalse es inclinado, podría simularse con-siderando la pared opuesta a la cortina con un θ_p cerca-no a π _{/2; este valor corresponde a fondo plano.}

Como se dijo anteriormente, las soluciones presenta-das se calcularon usando quince términos de la expan-sión (20). Al aumentar el número de términos no se ob-servaron modificaciones visibles en la representación gráfica de los resultados. No obstante, para verificar la precisión del método propuesto se compararon sus re-sultados contra los obtenidos rigurosamente para el caso de líquido incompresible. Según Avilés y Sánchez-Sesma (1989), para un embalse simplificado de forma triangular con movimiento en fase se tiene que:

Ilustración 4. Influencia de la viscosidad del líquido en el coefi-ciente de presión en el paramento de la cortina, para θθc= θθp= 0,

ϕ

ϕ= 0, L/H= 5 y ΩΩ= ππ/2.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

01 23 45 6 78

y H

L/H = 5

ζ=0.01

ζ=0.05

ζ=0.10

Cp

Ilustración 6. Variación del coeficiente de presión con la pro-fundidad para L/H= 2, ζζ= 0.1, ΩΩ= 0.75, k= 0.5 y θθp= 0, con-siderando el paramento de la cortina formado por dos planos y movimiento en fase.

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

y

H _θ

c = 45º

θc = 30º

θc = 15º

Cp

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.8 0.6

0.4 0.2

0

y

H ϕ = 180º

Cp

θc = 30º

θp = 0

θp = 30º

θc = 0

ϕ = 0

Ilustración 5. Variación del coeficiente de presión con la profun-didad para L/H= 2, ζζ= 0.1 y ΩΩ= 0.5, considerando diferentes inclinaciones del paramento de la cortina y la pared del embalse.

(38)

C y

H Hy

p= −

 

 

 

(8)

En la ilustración 7 se comparan los resultados arroja-dos por esta expresión contra los calculaarroja-dos con el mé-todo propuesto y se observa que la coincidencia entre ambos es excelente a lo largo de toda la profundidad. Esto, a pesar de que la condición de frontera en el para-mento mojado no se satisface plenamente. En la ilustra-ción 8 se grafica el error residual a lo largo de la pro-fundidad, el cual oscila desde un poco menos del 1% cerca de la superficie hasta un poco más del 10% cerca del fondo. Estos resultados sugieren que los coeficien-tes de presión son precisos y relativamente robustos (poco sensibles) respecto a la condición de frontera en el paramento mojado.

Conclusiones

Se presentó una solución analítica-numérica para calcular presiones hidrodinámicas generadas por sismo en presas de gravedad con paramento no vertical y embalse finito, considerando los efectos de la compresibilidad y viscosi-dad del agua, así como la influencia de los movimientos desfasados en los extremos del vaso. La solución se ob-tuvo con un método de frontera mediante la combinación lineal de un conjunto completo de funciones de Trefftz, que sólo les hace falta satisfacer las condiciones de frontera en el paramento de la cortina y la pared del embalse. Los coeficientes desconocidos de esta expansión lineal se calcularon satisfaciendo dichas condiciones de frontera en el sentido de mínimos cuadrados.

De los análisis realizados se encontró que la influen-cia de los movimientos desfasados en los extremos del vaso es despreciable cuando la relación entre longitud y profundidad del embalse es mayor que tres. Sin

embar-go, esta condición no se cumple para frecuencias exci-tadoras cercanas a la frecuencia fundamental del vaso. Para embalses cortos, el incremento de presión debido a movimiento desfasado 180º puede ser mayor del 100%, respecto del movimiento en fase. En todos los casos, la distribución de presiones depende, además, de la fre-cuencia relativa de excitación y del porcentaje de amorti-guamiento crítico.

Asimismo, la geometría del paramento de la cortina y de la pared del embalse es determinante. En general, la inclinación de las paredes disminuye la magnitud de la presión hidrodinámica. Para el caso de paramento in-clinado, la solución propuesta da errores hasta del 10% en las condiciones de frontera cerca de la base de la cortina. A pesar de ello, los resultados muestran que los coeficientes de presión son precisos y relativamente ro-bustos respecto a las condiciones de frontera.

Recibido: 22/11/2005 Aprobado: 09/02/2006

Referencias

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1

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Error

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Ilustración 8. Error residual en la condición de frontera en el paramento mojado, para el caso de la ilustración 7.

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y H

Cp

Ilustración 7. Comparación de las soluciones numérica (sím-bolos) y exacta (línea continua) para un embalse triangular con

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Abstract

VERA, C. & AVILÉS, J. Hydrodinamic pressure on gravity dams with finite reservoir, considering water com-pressibility and viscosity.Hydraulic engineering in Mexico(in Spanish). Vol. XXI, no. 4, October-December, 2006, pp. 115-124.

An analytical-numerical solution is presented for determining earthquake-induced hydrodynamic pressures on rigid gravity dams with non-vertical upstream face and finite reservoir, considering the effects of compressibility and viscosity of water. Out-of-phase motion of the reservoir wall with respect to that of the dam is also considered. The solution is obtained by a boundary method using a linear combination of a complete set of Trefftz’s functions, which satisfy the equation of motion and boundary conditions at the bottom and free surface. The unknown coef-ficients of this linear expansion are determined by satisfying the remaining boundary conditions at the upstream dam face and reservoir wall, in the least-squares sense. Numerical results are presented for different geometries of the upstream dam face and reservoir wall. The efficiency of the proposed method is verified by comparison with the known solution for a particular reservoir with incompressible liquid.

Keywords:Hydrodynamic pressure, dam, reservoir, compressibility, viscosity, out-of-phase motion.

Dirección institucional de los autores:

M. en I. César Vera-Mendoza

Facultad de Ingeniería,

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, Apartado Postal J39 Ciudad Universitaria, Puebla, Puebla,

teléfono: + (52) (222) 229 5500, extensión 7623, [email protected]

Dr. Javier Avilés-López