3
AÑO
Funciones I
Par ordenado
Es un conjunto formado por dos objetos matemáticos cualesquiera "a" y "b" denotado por (a; b) que se consideran ordenados con el criterio de uno antecede al otro.
Notación:
(a; b) se lee: "par ordenado a; b"
2da
componente 1ra
componente
Ejemplos:
(2; 5); (-1; -2); (5; 0); (verde; rojo); (hoy; mañana); (vida; muerte); (subida; bajada) etc.
Observaciones
1. Un par ordenado no es conmutativo Así: (a; b) (b; a)
2. Igualdad de pares ordenados
Si: (x; y) = (a; b) entonces: x = a y = b
Ejemplo:
• Hallar "x" e "y" si:
Igualando los componentes:
x + 9 = 11 y + 10 = 14
x= 2 y = 4
Luego: x2 + y2 = 22 + 42 = 20
Resuelve los siguientes problemas:
1. Hallar "x" e "y", si (x + 6; 9) = (10; y - 4) Indicar "x + y"
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
2. Hallar "xy", si (2x + y; 2x - y) = (20; 12) a) 32 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28
3. Hallar "x - y", si (2; 3) + (x; -y) = (5; 1) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0
Resolución:
(x + 3; 9) = (7; y + 4)
4. Calcular el valor de "x + y" si se cumple:
(x+3; 9) = (7; y+4) x + 3 = 7
x = 4
Ejemplo:
y + 4 = 9 y = 5
(2; 4) + (7; 6) - (5; 2) = (x - 2; y - 2) a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
• Hallar "x2 + y2" en la siguiente igualdad:
(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10) Resolución:
5. Dado:
(3x + 2y; 11) = (22; 4x - y)
(x + 2; 6) + (7; 8) = (11; y + 10)
Sumando los pares ordenados
(x + 2 + 7; 6 + 8) = (11; y + 10) (x + 9; 14) = (11; y + 10)
Calcular "xy"
Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B; A x B es el producto cartesiano que esta formado por el conjunto de pares ordenados (a; b); tales que la primera componente pertenece a "A" y la segunda componente a "B".
Es decir:
A x B = {(a; b) / a A y b B} En caso que: A = B se define por:
2
Hallar el número de elementos del producto cartesiano A x B Resolución:
Número de elementos de A: n(A) = 5 Número de elementos de B: n(B) = 3
Número de elementos de AxB: n(AxB) = n(A) x n(B)
= 5 x 3 = 15 Métodos para calcular el producto cartesiano
Sea: A = {1; 2; 3} y B = {a; b}
A x A = A
Ejemplo:
= {(a; b) / a A b A}
Hallar A x B y graficar:
A. Diagrama del árbol lógico • Sea: A = {1; 2; 5}
B = {p; q} Hallar:
a) A x B b) B x A Resolución:
a) A x B = {(1; p) (1; q) (2; p) (2; q) (5; p) (5; q)} b) B x A = {(p; 1) (p; 2) (p; 5) (q; 1) (q; 2) (q; 5)} Podemos afirmar: A x B B x A
• Sea: A = {1; 2; 3} Hallar: A x A
a (1; a)
b (1; b) 1
a (2; a) 2
b (2; b)
3
a (3; a)
b (3; b)
Siguiendo el recorrido de las ramas se obtiene: A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)} B. Diagrama sagital
Resolución: A B
A x A = {1; 2; 3} x {1; 2; 3} 1 a
2
A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1) b
(3; 2) (3; 3)} 3
Conclusiones:
1. El producto cartesiano no es conmutativo en el caso que: A B o sea:
A x B B x A
Siguiendo el recorrido de las flechas:
A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)} C. Diagrama cartesiano
2. n(A x B) = n(A) x n(B)
Fórmula para calcular el número de elementos del producto cartesiano.
Ejemplo:
B
b (1; b)
(1; a)
a
(2; b)
(2; a)
(3; b)
(3; a)
AxB
• Sea: A = {1; 2; 3; 4; 9} B = {a; b; c}
Del plano cartesiano se tiene:
A x B = {(1; a) (1; b) (2; a) (2; b) (3; a) (3; b)} Ejemplo:
• Dados los conjuntos:
A = {x / x es par 3 x < 9} B = {x / x es impar 6 < x 11} Hallar el producto cartesiano A x B Resolución:
A = {4; 6; 8} y B = {7; 9; 11}
Para nuestro ejemplo utilizo el diagrama del árbol
7 9 11 4
7 6
9 11
8
7 9 11
Luego:
A x B = {(4; 7) (4; 9) (4; 11) (6; 7) (6; 9) (6; 11) (8; 7) (8; 9) (8; 11)}
Dados los siguientes conjuntos halla los productos cartesianos correspondientes graficándolos además, por todas las formas posibles.
1. A = {x/x IN 1 < x < 4} B = {x/x IN 3 x 5}
2. A = {x/x es una vocal} B = {x/x ZZZ -1 x 2}
3. A = {x/x ZZZ -1 x 1} B = {x/x IN 2 < x < 4}
4. A = {x/x es un día de la semana} B = {x/x ZZZ 7 x 10}
5. A = {x/x es par 2 x 10} B = {x/x es impar 6 x 11}
6. A = {y/y IN; y = x + 2 1 < x 4} B = {y/y IN; y = 2x 6 < x < 10}
7. A = {y/y IN; y = 3x + 1 2 < x < 7} B = {x/x ZZZ ; x = y - 3 -1 < y 1}
Relación binaria
Dados dos conjuntos no vacios A y B.
"R" es una relación de A en B, si "R" es un subconjunto del producto cartesiano A x B y cumple una regla de correspondencia.
R: A B R A x B
* Ejemplo:
• Sea: A = {1; 2; 3} B = {1; 2; 4}
Encontrar la siguiente relación:
R = {(x; y) A x B / x > y}
Regla de correspondencia
Resolución:
A x B = {(1; 1) (1; 2) (1; 4) (2; 1) (2; 2) (2; 4) (3; 1)
(3; 2) (3; 4)}
x > y: Indica que debemos buscar en A x B los pares ordenados donde la primera componente es mayor que la segunda.
Luego la relación pedida es:
R = {(2; 1) (3; 1) (3; 2)} * Ejemplo:
• Dado A = {1; 2; 3}
Hallar: R = {(x; y) A x A / x + y 4} Resolución:
A x A = {(1; 1) (1; 2) (1; 3) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (3; 1) (3; 2) (3; 3)}
Luego la relación pedida es:
Dominio y rango de una relación
- Llamamos dominio de una relación, al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de dicha relación.
- Llamamos rango de una relación, al conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de dicha relación.
* Ejemplo:
A f B
1 0
1 3
7
9 10
Ejemplo:
• Dada la relación: R = {(0; 3) (-1; 2) (-2; 1)} Establecemos luego:
Dominio de la relación: D(R) = {0; -1; -2}
Rango de la relación: R(R) = {3; 2; 1}
Función
Una función "f" de A en B, es un conjunto de pares ordenados donde no existen dos pares ordenados con la misma primera componente.
* Ejemplo:
• R1 = {(2; 0) (2; 6) (3; 1)} no es una función pues existe 2 pares ordenados con la misma primera componente
• R2 = {(3; 6) (5; -1) (2; 4)} es una función
Expresado de otro modo:
Una función "f" es una correspondencia entre dos conjuntos A y B tales que a cada elemento x A se le asocia un único elemento y B tal que y = f(x)
Ejemplo:
No es función pues al elemento 1 se le asocia dos elementos a la vez
f =
{
(1; 0) (1; 1) (3; 10) (9; 7)}
Propiedad
Si (a; b) f y (a; c) f entonces b = c * Ejemplo:
• Hallar "a" para que el conjunto de pares ordenados: f = {(2;3) (-1; -3) (2; a+5)}
Sea una función Resolución:
Buscando dos pares ordenados que tienen la misma componente:
(2; 3) f y (2; a + 5) f Igualando las segundas componentes: 3 = a + 5 luego a = -2 Propiedad
Si el par ordenado (a; b) "f" entonces podemos
A f 2
4
6
conjunto de partida
B 1
7
6
conjunto de llegada
escribirlo así: b = f(a) y diremos que "b" es imagen de "a" vía la función "f"
* Ejemplo: Sea la función:
f = {(2; 3) (3; 4) (7; 3) (-2; 6) (4; 1)} Hallar:
Es una función pues cumple con la definición, luego: f = {(2; 7) (4; 1) (6; 6)}
f(7) f(3) f(2) K
Resolución:
(2; 3) f 3 = f(2) (3; 4) f 4 = f(3) (7; 3) f 3 = f(7) (-2; 6) f 6 = f(-2) (4; 1) f 1 = f(4) Reemplazando en "K":
* Ejemplo:
Calcular la regla de correspondencia del gráfico mostrado.
A f B
5 4
4 16
2 25
K 3 4 3
6 1
10 2
5 Resolución: Del gráfico
K = 2
Dominio de una función
Se designa "Df " y se define como el conjunto: Df = {x A / ! y; tal que (x; y) f}
Es decir son las primeras componentes de los pares ordenados.
* Ejemplo: Dada la función:
f = {(3; 1) (4; -1) (6; 2) (1/2; -2)} Entonces el dominio de la función es:
Df = { 3; 4; 6; 1/2} Rango de una función (o imagen)
Se designa "Rf" y se define como el conjunto: Rf = {y B / x ; tal que (x; y) f}
Es decir son las segundas componentes de los pares ordenados
* Ejemplo: Dada la función:
f = {(6; 4) (7; 3) (9; 4) (-7; 3) (4; 1/2)} Entonces el rango de la función es:
Rf = {4; 3; 1/2}
f(5) = 25 = 52
f(4) = 16 = 42
f(2) = 4 = 22
Entonces la regla de correspondencia es: f(x) = x2
* Ejemplo: Determinar la regla de correspondencia de la función "f" tal que:
f = {(1; 2) (2; 5) (3; 8) (4; 11) (5; 14) (6; 17)} Resolución:
f(1) = 2 f(1) = 3(1) - 1 f(2) = 5 f(2) = 3(2) - 1 f(3) = 8 f(3) = 3(3) - 1 f(4) = 11 f(4) = 3(4) - 1 f(5) = 14 f(5) = 3(5) - 1 f(6) = 17 f(6) = 3(6) - 1
Luego: f(x) = 3x - 1, es la regla de correspondencia. Gráfica de una función
La gráfica de una función "f" está formada por un conjunto de puntos (x; y) en el plano donde los pares ordenados correspondientes a estos puntos los obtenemos asignando a "x" cualquier número real, lo que reemplazamos en la regla de correspondencia para obtener los respectivos valores de "y", esto lo anotamos en una tabla como la siguiente:
Graficar: y = x + 1
Dando valores a "x" obtenemos: Regla de correspondencia
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 La regla de correspondencia de una función es la relación
que se establece entre la variable independiente ("x") y la y
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano
Luego la gráfica de: y = f(x) = x + 1 será un trazo
continuo de infinitos puntos generando una recta. Nivel I
Problemas para la clase
1. Si se cumple: (2x - 1 ; 8) = (5 ; y + 5)
y Indicar "x2 + y2 "
-4 -3 -2 4
3 2
1 2 3 x -1
-2 -3
a) 12 b) 36 c) 18 d) 24 e) 6
2. Dados los conjuntos: A = {1; 5}
B = {4; 6} Calcular "A x B"
a) {(1; 4) (1; 6) (5; 4) (5; 6)} b) {(1; 4) (5;6)}
Propiedad de las funciones
Una gráfica cualquiera será función; si y solo si, al trazar una paralela al eje "y" corta a la gráfica en un sólo punto.
y
f
x
"f "; si es función
y
"h"
x
"h" no es función pues la recta corta a la gráfica en más de un punto.
c) {(4; 1) (4; 5) (6; 1) (6; 5)} d) {(4; 1) (6; 5)}
e) {(1; 4) (4; 5) (5; 4) (5; 6)} 3. Dado el conjunto: A = {2; 3}
Hallar A x A y señale la suma de los elementos de los pares ordenados.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} B = {a; b}
Hallar "A x B" y señale el número de elementos. a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9 5. Siendo:
A ={x/x IN 1 < x < 4} B ={x/x IN 3 < x < 5}
Determinar "A x B" y señalar el número de elementos. a) 4 b) 2 c) 6
d) 8 e) 9 6. Dados: A = {1 ; 2} B = {1 ; 2}
Hallar: M = {(x ; y) A x B / y = 2x}
Señalar la suma de los elementos de los pares ordenados de "M".
7. Sea: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} y las relaciones en "A". 10.¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función? F = {(x; y) A x A / x < y}
G = {(x; y) A2 / x + y = 5} y y
¿Cuántos elementos tiene F G?
a) b)
x x
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
8. ¿Cuántas de las relaciones siguientes son funciones? y y
c) d)
R1 = {(2 ; 2) , (3 ; 2) , (4 ; 2)} x
R2 = {(1 ; 0) , (1 ; 2) , (3 ; 3)}
R3 = {(-1 ; 0) , (-1 ; 1) , (2 ; 3)} y
R4 = {(1 ; 0) , (1 ; 1) , (1 ; 2)}
R = {(-1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1)} 5 e) a) 1 b) 3 c) 4
d) 5 e) 2
9. ¿Cuál de los diagramas sagitales no representa una función?
f g
1 4 1 2
2 5 3 4
3 6 5 6
h
Nivel II
1. Si:
F = {(2 ; a+3) , (2 ; 2a - 1) , (4 ; b+3) , (a ; 3b - 1)}; es función, calcular "ab"
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
2. Sea la función:
f = {(1; 5) (2; 4) (3; -1) (6; 9)}
3 1 Hallar:
4 5
f (6)
f (1) f (2) f (3)
a) 0 b) 1 c) 2
2 6 d) 3 e) 4
a) Solo f b) Solo g c) Solo h d) f y g e) f y h
3. Dada la función:
f(x) = x - 3a Además: f = {(12; b) (4a; 6) (c; 12)} Hallar "a + b + c"
a) -1 b) 0 c) 6 d) 29 e) 30
4. Si se cumple:
( x y ; 12) = (6 ; x - y)
Hallar "xy"
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7 , 5. Dada la función:
F = {(5 ; 3) , (2m+3 ; 1) , (6 ; 3m-1) , (6 ; 8)} Señalar la suma de los elementos del dominio. a) 18 b) 25 c) 20
d) 30 e) 26 6. Hallar el rango de la función:
G = {(1 ; b) , (1 ; b2 - 2) , (b ; - 2) , (-1 ; 3)}
a) {3} b) {-1 ; 2 ; 3} c) {-1 ; 3} d) {-2 ; 2; 3} e) {-1 ; 2 ; -2 ; 3}
7. Hallar el dominio Df y el rango Rf de la función: F = {(b ; a-1) , (9 ; b+3) , (a+1 ; 2a-7) , (2a-1 ; a) ,
(a+1 ; 3)}
Luego, indicar "Df Rf".
a) {3} b)
c) {2} d) {2 ; -1} e) {2 ; 3}8. Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 además
f(2) = 2f(3). Hallar f(100)
a) -100 b) -96 c) -92 d) -91 e) -94
9. Sea la función:
H = {(6 ; b) , (3a ; 9) , (c ; 12)} Con regla de correspondencia: H(x) = x - 2a Hallar "a + b + c"
a) 47 b) 27 c) 20 d) 26 e) 19
10.Sea:
Nivel III
1. Dada la función "H", tal que: H(x) = ax +b.
Hallar "a - b", conociendo la siguiente tabla para esta:
x 3 5 y 2 1
a) -3 b) -2 c) -4 d) -1 e) 6
2. Sea: A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }; y "F" una función definida en "A por A".
F = {(1 ; 3) , (2 ; m) , (m+1 ; 2) , (1 ; n - 1)} Calcular "F(1) - F(2) + F(4)"
3. Sean las funciones:
F = {(x ; y) R2/f(x)= 3x+2}
G = {(4 ; n) , (7 ; n+1) , (n+1 ; 5)} Si: F(4) + G(G(a) ) =19, hallar "a"
a) 4 b) 7 c) 11 d) 5 e) 9
4. Sea la función: f(x) = mx + n, tal que: f(5) = 17 f(2) = 6 + f(0)
Calcular "f(7)"
a) 12 b) 38 c) 23 d) 42 e) 28
5. Si el par ordenado (3 ; 26) pertenece a la función: f(x) = 2x + x + m
x 2 5, Si : x 4 Hallar el par ordenado de abcisa dos que pertenece a f .
f( x ) 2x 2, Si : x 4
(x)
Si : x 4
Calcular "f(5) + f( f(3) ) "
a) 12 b) 25 c) 24 d) 27 e) 28
a) 12 b) 18 c) 15 d) 24 e) 23
6. Si las funciones:
f(x) = - x + 3 g(x) = x2 + 2x - 7
Se intersecan en los puntos (m ; n) y (p ; q). Hallar "mp + nq"
7. Señale la suma de los elementos del rango de la función: f(x) = 2x + 3; siendo: x = {1 ; 2 ; 3}
9. Encontrar la función lineal f(x) = ax + b, tal que se cumple:
a) 21 b) 18 c) 14 d) 10 e) 6
8. Sea la función F: A B
Siendo: F = {(1; 2), (3;4), (6; 7), (8; 9), (10; 6)} Hallar: F(1) + F(3) - F(6) - F(8) - F(10)
a) -15 b) -16 c) -14 d) -13 e) -12
f(2) = 3 ... (1) f(3) = 2f(4) ... (2)
a) f(x) = -2x + 1 b) f(x) = -x + 4 c) f(x) = -x + 5 d) f(x) = -3x - 4 e) f(x) = -x
10.Hallar la suma de los elementos del rango de la función F = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b - a), (a + b2; a)}
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
Autoevaluación
1. Calcular "x + y", si: (2x - 1; 3y + 1) = (7; 10)
a) 1 b) 3 c) 4 d) 7 e) 12
2. Cuántos elementos tiene A x B, si: A = {x IN / 99 x < 101} B = {x IN / 2 000 < x 2 002} a) 2 b) 4 c) 6 d) 2 000 e) 2 008
3. Si:
A = {x/x IN 11 < x < 15} B = {x/x IN 1 x 2}
Indicar el número de elementos de A x B a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
4. Hallar el valor de "a - b" si la siguiente relación es una función real:
R = {(3; -7) (2; a + b) (5; 7) (2; 3-a) (2; 2)} a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
5. Si A = {x ZZ/ 4 x 7} B = {x ZZ/ 2 x 5} C = {x ZZ/ 10 x 14} D = {x ZZ/ 13 x 16} Calcular (A B) x (C D)
Dar como respuesta el número de elementos del producto cartesiano.
3
AÑO
Funciones II
Cálculo del Dominio y Rango de Funciones
Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.
Asi:
Df = {x A / ! y; tal que (x; y) "f"}
También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.
Asi:
Rf = {y B / x; tal que (x; y) "f"} * Ejemplo:
1. Dominio y Rango de la función lineal
y = f
(x)= ax + b / a
IR
b
IR
Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales.
Luego el Dominio y Rango de la función lineal será: Df = IR y Rf = IR
* Ejemplo:
La función f(x) = 2x - 5 por ser lineal, su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR.
* Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9; 16}
La f un ci ón f 1 x La relación: f = {(2; 4) (3; 9) (4; 16)} es una función
1
( x )
1
5 3 es l in e al p ue s
f( x ) x , luego su Dominio y Rango será f: A B con dominio Df = {2; 3; 4} y Rango Rf = {4; 9; 16} 3 5
Para que se pueda definir bien una función es suficiente conocer su dominio (Df) y una regla que permita asignar para cualquier x Df y pueda encontrarse su imagen f(x).
Df = IR y Rf = IR.
2. Dominio y Rango de la función racional
* Ejemplo: Dada la función: f(x) = 2x2 + x - 3
y = f
(x)= ax + b
cx + d
Donde x {-1; 2; 4}Hallar el rango de la función Resolución:
Como x {-1; 2; 4} Df = {-1; 2; 4}
Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f(x) ó simplemente el rango de la función.
• El Dominio de la función (Todos los valores de "x") es el conjunto de los números reales IR menos el conjunto
de valores de "x" que anulen al denominador. Df: IR - {cx + d = 0}
* Ejemplo:
x = -1 f(-1) = 2(-1)2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 f(-1) = -2
Hallar el dominio de la función: f(x) 2x 1 4x 8 x = 2 f(2) = 2(2)2 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3 f(2) = 7
x = 4 f(4) = 2(4)2 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3 f(4) = 33 Finalmente la imagen o rango de la función será:
Rf = {-2; 7; 33}
Resolución:
El dominio de la función se obtendrá así: Df: x IR - {4x - 8 = 0}
Resolviendo la ecuación: x = 2
Observación: el dominio de la función: y f(x) 2x 1
4x 8
x 6y 4
3y 1 lo podemos encontrar de la siguiente manera:
y IR 4x - 8 0 4x 8 x 2
Df: x IR - {2}
Como: x IR 3y - 1 0
3y 1
y 1
3 * Ejemplo:
Hallar el Dominio de la siguiente función
el rango de la función será:
1 Rf: y IR
y f(x) 4x 1
x 2
6 3x 9
3
Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función Resolución:
y IR x - 2 0 3x + 9 0
x 2 3x -9
f(x) x 4
3x 6 x 2 x -3
Df: x IR - {-3; 2}
Dividiendo los términos lineales del numerador y denominador.
x 1 Así: R f : y IR y IR Para hallar el rango de la función racional: y
se despeja "x" en función de "y"
ax b
cx d * Ejemplo:
3x 3
Hallar el Dominio y Rango de la función: * Ejemplo:
Hallar el rango de la función: f(x)
Resolución:
x 4 3x 6
Resolución:
f(x) 10x 1
5x 1
Como: y = f(x) entonces y x 4
3x 6
Cálculo del Dominio: 5x + 1 0 5x -1
x 1 5 y(3x - 6) = x + 4
Efectuando la multiplicación: D
f: x IR
1
5
3yx - 6y = x + 4 Cálculo del Rango: (Utilizo el método práctico)
R : y IR 10x Despejando "x"
3yx x 6y 4
común: x
f
5x y IR - {2}
f
3. Dominio y Rango de la función cuadrática
y = f
(x)= ax
2+ bx + c; a
0
• El Dominio de la función está representado por todos los números reales es decir Df = IR
• Los valores de "y"; es decir el rango de la función cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y"
Ejemplo:
Hallar el Dominio y Rango de la función cuadrática: f(x) = 2x2 + 3x + 2
Ejemplo:
Calcular el rango de la función cuadrática f(x) = 3x2 - 5x + 1; x IR
Resolución:
Como y = f(x) entonces y = 3x2 - 5x + 1
la ecuación de 2do grado será: 3x2 - 5x + (1 - y) = 0
Así como el problema anterior para encontrar el rango de la función, resolveremos:
Resolución:
Cálculo del Dominio: x IR
Cálculo del Rango: y = 2x2 + 3x + 2
Formando una ecuación de 2do grado
2x2 + 3x + (2 - y) = 0
Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y"
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
b2 4ac 0
discriminante de la ecuación de 2do. grado
a = 3 ; b = -5 ; c = 1 - y (-5)2 - 4(3)(1 - y) 0
25 - 12(1 - y) 0 Despejando "y" 25 - 12 + 12y 0
13 + 12y 0
x b b
2 4ac
12y -13 2a
b2 4ac
discriminante
y 13 12
de la ecuación
R f
13 ; 12 3
x 9 4(2)(2 y)
2(2)
4. Dominio y Rango de la función Raíz
cuadrada
Para que x IR lo que esta dentro de la raíz cuadrada
o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa, es decir:
= 9 - 4(2)(2 - y) 0 Resolviendo:
9 - 8(2 - y) 0 +9 - 16 + 8y 0
-7 + 8y 0 8y 7
y = f
(x)• Al resolver la inecuación f(x) 0 obtendremos el Dominio de la función.
• El rango de la función se obtiene construyendo la función a partir del dominio.
Ejemplo:
Hallar el Dominio y Rango de la función:
y 7 Resolución:
f(x) x 5
7 R =
8 8
;
Cálculo del Dominio:
C ál cu lo d el R an go : Co ns tr uy en do l a fu nc ió n Resolviendo las inecuaciones: y f (x) x 5 , partiendo del Dominio. x
-4 6 x Dominio: x 5
Resto 5: x - 5 5 - 5 x - 5 0
Graficando:
x -4 x 6
Dominio
Extraemos : x 5 0 -4 6
como: y x 5 x [-4 ; 6]
y 0 Rf = [0; +
Ejemplo:
Hallar el Rango de la función: f(x) x 2 6
Los valores enteros son: -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
Número de elementos = 11 Ejemplo:
Calcule el Dominio y Rango de la función:
Resolución:
Cálculo del Dominio:
x + 2 0 Resolución:
f (x) x 2 10 x 21
Cálculo del Rango:
x -2 Df = [-2; +
Cálculo del Dominio: -x2 + 10x - 21 0
Multiplicando por (-1):
x2 - 10x + 21 0
x -7 Dominio: x - 2
x + 2 0 x -3
(x - 3)(x - 7) 0 extraemos : x 2 0
Restando 6:
x 2 6 0 63 7
como: y x 2 6
Df: 3 x 7 ó [3; 7] Luego: y -6
Rf = [-6; + Ejemplo:
Cálculo del Rango:
f (x) x 2 10 x 21 Calcular el Dominio de la función: Completando cuadrados:
f(x) x 4 4 6 x
f (x) x 2 10 x 25 4 Indicar el número de elementos enteros.
Resolución:
Cuando el radical es de índice par lo que esta dentro de
la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir: Luego:
-x2 + 10x - 25 = -(x2 - 10x +25)
= -(x - 5)2
2
Recordamos que para hallar el Rango de la función debemos partir del Dominio para construir la función f(x):
Df: 3 x 7 Restando 5:
3 - 5 x - 5 7 - 5 -2 x - 5 2 Al cuadrado:
Sumando 4:
- 4 + 4 -(x - 5)2 + 40 + 4 0 -(x - 5)2 + 44
Extraemos :
0 - (x - 5)2 4 4
0 (x - 5) 22
0 - (x - 5)2 4 2 0 (x - 5)2 4
Multiplicando por - 1: Como: y f(x) - (x - 5)2 4 - 4 -(x - 5)2 0 entonces: 0 y 2
Rf = [0; 2]
Dominio y Rango
la
función
Lineal Racional
(x)
Cuadrática
2
Raíz cuadrada f = ax + b
a
0 f(x) =
ax + b cx + d
f(x) = ax + bx + c
a
0 y = f(x)Dominio Dominio Dominio Dominio
x IR x IR - {cx + d = 0} x IR
Se resuelve la inecuación
f(x) 0
Rango Rango Rango Rango
y IR
y IR a
c
Se resuelve la inecuación
0
Se debe construir la función a partir
del dominio
a) [3 ;+ [ b) [2 ; + [ c) ] ; 2]
d) IR e)
a) 9 b) 10 c) 14 d) 16 e) 18
a) IR - b) c) 4 d) IR+ e) IR
Problemas para la clase 9. Hallar el rango de la función: G(x)= 3x + 2
Nivel I
1. Señale la suma de los elementos del rango de la función:
f(x) = x2 + 2, siendo: x = {-2; -1; 1; 2} 10.Hallar el rango de la función: H( x ) x 2
a) [2 ; + [ b) [0 ; + [ c) ] ; 2]
d) IR e) 2. Hallar el dominio de la función: f(x) = 4x - 1 Nivel II
1. Calcular el rango de la función: G(x) x 2
3. Hallar el rango de la función: f(x) = 4x - 1
a) IR - b) c) 4 d) IR+ e) IR
a) [-2 ; 2] b) [0 ; +[ c) [2 ; +[ d) ]-; -2] e) [-2 ; +[
2. Calcular el rango de: 4. Hallar el dominio de:
F(x) 7x 3
F(x) 2x 5
x 3 x 7
a) IR b) IR - {8} c) IR - {7}
d) IR - {1} e) IR - {-7}
5. Hallar el rango de:
a) [3 ; +[ b) IR - {3} c) IR - {2}
d) ]-; 2] e)
3. Hallar el dominio: y = 2001x + 2002 a) 2001 b) 2002
G(x) 5x 3
x 6 c) [2001; +e) IR [ d) [2002; +[ a) IR - {5} b) IR - {-6} c) IR - {-5}
d) IR - {1} e) IR - {-7}
6. Hallar el dominio de la función:
4. Hallar el dominio:
h : R R; h (x) 2 x 2 4
F(x) x 4
a) IR - {-2 ; 2} b)
-2; 2
c) [-2 ; 2] d) IR - {2}
a) IR+ b) IR c)
4 ; e) IRd) [ _ 4 ; e)
5. Hallar el dominio:
G : R R ; G (x) 1 7. Hallar el dominio de la función: F(x) x 6 3 x
a) IR+ b) IR - {1} c) [0; a) [6;+ [ b) [-6 ; + [ c) [0 ; + [
d) IR e)
8. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 + 3x + 1
d)
;0]
e) IR - {0}6. Hallar el dominio:
5 5 G : R R ; G( x ) x 1 4 x 3
a) ; b) ; 4
5 c) ; 4
4
d) IR
a) [1; +
b) [3; +
c)
; 1 d)
; 1] e) [1 ; 3]a)
-
; 6] b) [6; +
c)-
; -6] d)-
; 10] e)-
; -4]a) IR b) [5; +
c) [4; +
d)
; 5] e) d)0; 4
e)a) IR b) IR - {1} c) [5; +
d) [-5; +
e) IR - {5}
4 4
7. Hallar el dominio: 4. Hallar "", si el dominio de la función: F : R R ; F(x) x 1 4 6 _ x f (x) (x 2 1) 4x 2 1
a) [1 ; 6] b) 1 ; 6 c) IR - {1 ; 6}
es: x [;] [;]
d) IR+ e) IR
8. Hallar el rango:
a) 1 b) 1 c) 3
2 2
1
f( x )
x
d) 2 e) 1
3 6
a) IR b) IR - {1} c) IR - {0}
5. Obtener el número de elementos enteros del dominio de: d) IR+ e) IR - F(x) x 3 3 x
9. Hallar el rango de la función:
F(x) = -x2 + 2x - 5; x IR
x 2 1 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
6. Calcular el rango de la función:
10.Hallar el rango de la función:
F(x)
0 ; 1 x 2 4 1 F(x) = x2 - 4x + 9 a) 0 ; 1
b) c)
-1; 0
Nivel III
1. Hallar el rango de: g(x) = |x + 7| + 5
_1
; 0 4
7. Hallar el dominio y rango de la función:
y 10
8
2. Hallar el dominio de la función:
x
2
g(x) x
x 2 1
-5 6
-3
a) IR b) IR - {1} c) IR - {1 ; -1} a) x [-5 ; 6; y
8 ; 10]
d) e) [-1 ; 1] b) x -5 ; 6
; y [8 ; 10 3. Hallar el dominio de la función: c) x d) x [-5 ; 6-5 ; 6
; y ; y [-3 ; 10[-3 ; 8]f (x) (x 2)(x 5) 3 x 3
e) x IR{-5 ; 6} ; y [-3 ; 10 8. Hallar el rango de la función: a)
-
; -5]
[2 ; +- {3}b)
-
; -4
[4 ; +- {5} c)
-
; -5]
3 ; +
d)
-
; -5]
[2 ; +F(x) x 2
5x 2 64
e) IR 1
a) 0 ; b) ; 1 c) [0; 5
5 5
1 d)
5
a) IR - {4} b) IR - {2} c) IR - {-2}
d) IR e) IR - {1/2}
5
9. Hallar el valor mínimo de la siguiente función: 3. Calcular el dominio de la función: F(x) = 2x2 - 4x + 7
a) 0 b) 1 c) 5
g(x) 4x 1 x 2
8 x 5 d) -1 e) -5
10.Dada la función: F(x) Calcular "Df Rf"
2 x 3
a) IR - {-5; 2} b) IR - {5; 2} c) IR
d) IR - {2} e) IR - {-5}
a) -3; 2] b) [-3 ; 2 c) d) [-3 ; 2] e) IR
Autoevaluación
1. Si el conjunto de pares ordenados representa una función. Calcular "xy"
F = {(2; 4), (3; x+y), (5; 6), (3; 8) (2; x - y)}
4. Calcular el rango de la función: h(x) 8x 1
4x 2
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
2. Calcular el dominio de la función: f (x) 5 x 2 4
5. Calcular el rango de la función: f(x) = 5x2 + 2x + 1
a) IR - { 2} b) IR - {-2; 2} c) IR
d)
-2; 2
e) IR - {-2} a) ;4
4 b)
5 ;
c) IR
d)
; 1] e) [-1; +
f
3
AÑO
k
0 1 2 3
Funciones III
Problemas resueltos
Ejemplo:
• Graficar la siguiente función:
F = {(1; 3) (2; 5) (3; 4) (5; 2)} Resolución:
Ubicando los pares ordenados en el plano cartesiano.
Funciones especiales
1. Función Identidad: f = {(x; y)
IR2 / y = x}Significa que todos los pares ordenados de la función tienen componentes iguales.
Así: f = { ... (0; 0) (1; 1) (2; 2) (3; 3) ... } La gráfica es una recta:
y y
5 3
4 2
3 1
2 45°
0 1 2 3 x
1
1 2 3 4 5 x
Del gráfico: Df = IR Rf = IR • Ejemplo:
Si: f: IR IR graficar la función: f(x) = 2x + 1 2. Función constante: f = {(x; y)
IR2/ y = k ; k
IR}Resolución:
Se trata de una relación en IR2 y que los pares ordenados
que se logren darán lugar a puntos que al graficarlos quedarán ubicados unos a continuación de otros constituyendo una línea que en este caso es una línea recta, dando valores a "x" mediante la regla de correspondencia y = 2x + 1 llenamos la siguiente tabla.
x -2 -1 0 1 2 3 4 ... y -3 -1 1 3 5 7 9 ...
Ubicando los puntos correspondientes a cada par ordenado en el plano cartesiano se obtiene:
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
Esto significa que todos los pares ordenados tienen segunda componente igual a "k".
Así: f = { ... (0; k) (1; k) (2; k) ...}
La gráfica en este caso será una recta horizontal paralela al eje x.
y
x
Del gráfico: Df = IR Rf = {k} * Ejemplo:
Graficar: f(x) = 3
Resolución:
En el plano cartesiano: y = 3 ó f(x) = 3
y
3
-4 -3 -2 -1 -11 2 3 4 x
-2 -3
x
3.
IR * Ejemplo:
Graficar: f(x) = -6
Resolución:
En el plano cartesiano
y
x
-6 y = -6 ó f(x) = -6
Luego: Df = IR Rf = {-6}
* Ejemplo: Calcular la función lineal que tenga las ecuaciones.
f(1) = 3 ... (1) f(2) = 2f(3) ... (2)
Resolución:
Definamos la función lineal como: f(x) = ax + b como: f(1) = 3 f(1) = a + b = 3 ... () Además:
f(2) = 2f(3) 2a + b = 2(3a + b) Reduciendo:
b = -4a ... ()
2
F u n c i ó n l i n e a l : f = { (x ; y ) / y = ax + b}
De y : a b 3 Es una función con dominio y rango en todos los reales
y la regla de correspondencia es y = f(x) = ax + b, donde "a" y "b" son constantes cualesquiera (a 0), su
gráfica es una recta. * Ejemplo:
Graficar la función: f(x) = 3x + 6
Resolución:
b 4a se tiene: a - 4a = 3
a = -1 b = 4 f(x) = -x + 4
4. Función valor absoluto: f = {(x; y)
IR2 / y = |x|}Definiendo el valor absoluto de un número real "x":
f(x) = 3x + 6 y = 3x + 6
| x | x, si : x 0 si: x = 0 entonces:
y = 3(0) + 6
x, si : x 0 y = 6 luego un punto de la recta es (0; 6)
si: y = 0 entonces: 0 = 3x + 6
x = -2 luego el otro punto de la recta es (-2; 0) Con estos dos puntos pertenecientes a la recta ya podemos trazar su gráfica.
Esto significa que:
f = {... (-2; |-2|) (-1; |-1|) (0; |0|) (1; |1|) (2; |2|) ...} f = {...(-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2) ...}
La gráfica son dos rectas con un punto común formando la letra "V"
y y
(0; 6)
(-2; 0) x
45° x
-2 -1 0 1 2
Del gráfico: Df = IR Rf = IR
2 2
2 2
5. Función raíz cuadrada: f = {(x; y) IR2 / y = x }
Significa que:
f = {(0; 0) (1; 1) (2; 2 ) (3; 3 ) ... }
La gráfica es una semiparábola:
b2 2b2 4ac
y
4a 4ac b2
y ó
4a y
b2 4ac 4a ....(1)
pero "b2 - 4ac" se llama discriminante y lo podemos
y reemplazar por: D = b2 - 4ac
3 Luego en (1): y D
2 4a
1
0 1 2 3 x
el vértice de la parábola, tiene las siguientes
coordenadas: V b ; D
Del gráfico: Df = IR+ {0} 2a 4a Rf = IR+ {0}
6. Función cuadrática:
f = {(x; y)
IR2 / y = ax2 + bx + c ; a, b, cIR
; a
0}* Ejemplo: Graficar la función f(x)
Resolución:
= 2x2 + 4x - 1
Es una función con dominio en el conjunto de los números reales, su gráfica es una línea curva llamada parábola.
Identificando: a = 2 ; b = 4 y c = -1 Calculamos la abscisa del vértice: La parábola es abierta hacia arriba, si: a>0 y hacia abajo
si: a<0. x 2a b x
4
2(2) x 1
y
a>0
y
vértice de la parábola
Calculando la ordenada del vértice: y D
4a
x 1 x 2 x x1 a<0 x2 x y
b y = -3
4ac 4a
4 4(2)(1) 4(2)
Los puntos x1 x2 lo obtenemos cuando la ordenada "y" es cero: 0 = ax2 + bx + c
Resolviendo la ecuación se obtiene los valores de "x"
Observación: Si x = -1 lo reemplazamos en la regla de correspondencia y = 2x2 + 4x - 1 obtendremos el
valor de "y":
que son "x1" y "x2". Así: y = 2(-1)2 + 4(-1) - 1 y = -3
Coordenadas del vértice de la parábola b La abscisa del vértice esta dada por: x
2a
Luego el vértice de la parábola es V(-1; -3)
Como a = 2 ("a" es positivo) la parábola se abre hacia arriba, la gráfica aproximada es:
Si reemplazamos este valor de "x" en la regla de y
correspondencia: y = ax2 + bx + c obtenemos la ordenada
del vértice.
y = ax2 + bx + c -1
2 x
y a
b
2a
b
b
c 2a
-3
0b
* Ejemplo:
Graficar la función: f(x) = x2
Resolución:
la gráfica aproximada es:
y
3 4
a 1 (la parábola se abrehaciaarriba) y 1x2 0x 0
c 0
x1 x2 x
-25 8
la abscisa del vértice será: Los puntos "x1" y "x2" los obtenemos cuando la ordenada
"y" es cero.
x b 0 0 x 0 0 = 2x2 - 3x - 2 2a 2(1)
x = 0 lo reemplazamos en la regla de correspondencia para hallar la ordenada.
2x +1 x -2
Resolviendo: 2x + 1 = 0 x - 2 = 0
y = x2 y = (0)2 y = 0
La gráfica será la parábola que se abre hacia arriba cuyo vértice es (0; 0)
x 1 2
x1
Finalmente la gráfica será:
x 2
x2
y
V (0; 0) x
y
-1 2
-25 8
3 4
2 x
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = 2x2 - 3x - 2
Resolución:
Identificando los coeficientes:
Desplazamiento de funciones
a. Desplazamiento horizontal (siendo: h > 0)
y 2x 2 3x 2 a 2
(la parábola se abre hacia arriba)
f(x+h) f(x) f(x-h)
b 3 c 2
h: unidades hacia
la izquierda h: unidades a la derecha
Abscisa: x b
2a Ordenada:
2
x
2
3
2(2) x 3 4 * Ejemplo:
Graficar: f(x) = |x - 3|
Resolución: 3 unidades a la derecha se tendrá:
y
y b 4ac 4a
(3) 4(2)(2)
4(2) y = |x| y = |x - 3|
25
8 y 25 8 x
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = (x + 2)2
* Ejemplo:
Graficar: f(x) = |x| - 2
Resolución: 2 unidades a la izquierda se tendrá: Resolución:
Graficando: y = x 2
y = (x+2)2
Graficando: y = |x| 2 unidades hacia abajo se tendrá
y = |x| - 2
-2 -1
b. Desplazamiento vertical (siendo: h > 0)
y
f(x) + h
Reflejo de funciones
a. Reflejo en el eje "x"
"h" unidades hacia arriba
x
-f(x)
y
f(x)
x
f(x)
b. Reflejo en el eje "y"
y y
y f(x) f(-x)
x f(x) - h
x x
"h" unidades hacia abajo
* Ejemplo:
Graficar: f(x) x 2
c. Con valor absoluto
y
f(x)
y
|f(x)|
Resolución: x x
Graficando: y= x 2 unidades hacia arriba se tendrá
y y y= x + 2
2 1
x x
y
x
Nivel I
Problemas para la clase 4. G r a f i c a r : g (x)= -2x + 3
y y
1. Graficar: f(x) = 3x - 2
y y
a) x b) x
a) x b) x
y y
c) d)
y y
c) x d) x
y e) x
e) x
5. Graficar: y = | x | + 5
2. Graficar: f(x) = 6
y 6
a)
x
y
b) x
y y
5
a) b)
x x
y y
y y
c) d) x
6 x
c) x d) x
-5
y
y e) x
x
e)
-6
6. Graficar: y = | x - 2 | + 3
3. Graficar: f(x) = -2
y y
y y
3 3
a) b)
2 x -2 x
a) -2 x b)
2 x y y
3
y y c) 2
2
3
d)
-2 x
c) x d) x
y
e)
y x
e) x
x
y
x
7. Graficar: y = x2 - 2
10.Graficar: y x 3
y y
a) b)
x x
-2
y y
a) x b) x
y y
2
c) d) 2
x x
y y
c) x d) x
y
e)
-2 x
y
e) x
8. Graficar: y = x2 + 4
Nivel II
y y
a) x b) x
-4
1. Graficar: y 5 4
; x 10
; x 10
y y
y
c) -4
y
4
d) x
a) x b) x
y y
c) x d) x
y
4
e) x
9. Graficar: y x 3
e) x
y y
a) x b) x
2. Hallar el área de la región formada por la función: g: R R; g(x) = -2x + 3; con los ejes de coordenadas
cartesianas.
a) 3 u2 b) 6 c) 1
9
y y
c) x
-3
d) 3
d) 9 e) 9 4
3. Hallar el área de la región formada por la función lineal: f: R R; f(x) = -2x - 5; y los ejes de coordenadas. y
e)
-3 x a) 25 u
2 b)
8. = x
2
4. Hallar el área de la región formada por las funciones:
f (x) = 8 ; g(x) = x y el eje "y".
a) 8 u2 b) 16 c) 32
d) 64 e) 30 5. Sea la función:
7. Graficar: f(x) = |x - 2|
y
a) x
y
b) x
-2
y f(x)
x
Graficar: f(x - 2)
y y
y y
c) x d) x
y
e)
-2 x
a) b)
2 x 2 x
2
S i : b < 0 ; l a g r á f i c a d e : F
(x)
y
+ 2bx + b2; es:
y
y y
a) x b) x
c) d)
2 x -2 x
y y
y
c) x d) x
e) 2 x
y
6. Sea la función:
y
e) x
Graficar: g(x) + 2
y
g(x)
x
y
9. Graficar:
y
f (x) 1,
0, 1,
si: si: si:
x > 1 x = 1 x < 1
y 1
a) b)
2 x x
-2
1
a) b)
0 1 x 0 x
-1 -1
y y
y y
2 2
c) x d) x c) 1 d)
0 1 x 1 x
-1 -1
y y
e) x e)
x
2
x
x
10.Graficar: f(x) = |x| + 2 3. Graficar: f
(x) x
y y
a) 2 b)
x x
-2
y y
2
c) d)
x x
y y
a) x b) x
y y
y
e)
-2 x
c) x d) x
y
Nivel III e)
x
1. Graficar: f(x) = x2 + 1
y 1
a) x b)
y
-1 x
4. Hallar el área del triángulo mostrado:
y
f(x) = -x2+9
y
1
c) x
y
1
d) x
y
a) 1 8 u
e) x d) 24 e) 25 b) 32 c) 27
-1
5. Hallar el área del triángulo sombreado, si "L" es una recta de pendiente -3.
2. Graficar: f(x) = x2 + 12x + 36
y y y
a) b)
-6 x
y
c)
6
y
e) x
-6
y
6
d) x
x L
a) 12 u2 b) 32 c) 18
d) 24 e) 16
6. Hallar el área de la región limitada por las rectas: f(x) = x + 3 ; g(x) = -4 y el eje "y"
a) 51 u2 b)
2 32 3 c) 49 2 d) 23 e) 25
2
7. Sea la función lineal: f : R R; f(x)= 2x - 3; y la función 9. Graficar: f = | x 2 3 | c u a d r á t i c a : g
(x) = 6x
puntos (a;b) y (c;d). Indique " db "
ac
+ x - 4; se interceptan en los (x)
y
a)
y
x b) x
a) -22 b) -44 c) 11 d) -11 e) -33
8. Graficar: f ( x ) | x |
x
y y
c) x d) x
y 1
a) x
-1
y
y
b) x
e) x
y
1 1
c) d) x
-1
10.Graficar: f ( x ) x 2 2 | x | 1
y y
1
e) -1
a) b)
x
y
-1 1 x
1
c) -1 d)
x
5. = x2
Autoevaluación 4. Graficar: f ( x ) x 1
1. Graficar: f (x) x 2 y y
y y
2
a) x b) x
-2
a) x b) x
-1
y
y
y y
c) d)
x 2 x
1
c) x d) x
y
y
e)
1 x
e)
-2 x
2. Graficar: f(x) = 2x + 3
y y
G r a f i c a r : f (x)
y
+ 10x + 25
y
a) b)
x x
a) b)
x x
-5
y y
c) d)
x x
y y
c) 5 x d)
5 x
y
y e)
-5 x
x
3. Graficar: f(x) = -3
y y
3
a) x b) x
-3
y y
c) 3 x
y
e) 3 x
d) -3 x Claves
