CHICLANA
MAT I
Matem´aticas de Ciencias y Tecnolog´ıa
Primero de Bachillerato CCTT
Ejercicios y problemas del tema 1
2.1.
Ejercicios de Trigonometr´ıa - Parte 2
2.1.1. Manejo de f´ormulas trigonom´etricas
1. Demuestra las siguientes igualdades:
a) 2 senα − sen 2α 2 senα + sen 2α = tg
2 α
2
b) cos(α−β) cos(α+β) =
1 + tgα tgβ
1 − tgα tgβ
c) sen(α+β) sen(α−β) =
tgα + tgβ
tgα − tgβ d) senα + cosα=√2 cos(α−45o)
e) sen 3α= 3 senαcos2α
− sen2α f) senα+ cosα=√2 cos(π
4 −α)
g) sen2(α+β
2 ) − sen 2(α−β
2 ) = senα senβ h) cos2(α−β
2 ) − cos 2(α+β
2 ) = senα senβ i) cos(α+β) cos(α−β) = cos2α
− sen2β j) cosα cos(α−β) + senα sen(α−β) = cosβ
k) cos(α+ π
3) − cos(α+ 2π
3 ) = cosα
l) cosα + senα cosα − senα −
cosα − senα
cosα + senα = 2 tgα m) 2 tgα cos2 α
2 − senα = tgα
2. Expresa sen 3α y cos 3α en funci´on de senα y cosα
3. Expresa sen 4α y cos 4α en funci´on de senα y cosα
4. Al igual que en los dos ejercicios anteriores, expresa sen 5α y cos 5α en funci´on s´olo de senα y cosα
5. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 2 cos(45
o +α) cos(45o −α) cos 2α
b) 2 tgαcos2 α
2 −senα
6. Demostrar que para todo par de ´angulos a, b se verifican las siguientes igualdades:
a) cosA+ cosB = 2 cos A+B 2 cos
A−B
2
b) cosA−cosB =−2 senA+B 2 sen
A−B
2
c) senA+ senB = 2 senA+B 2 cos
A−B
2
d) senA−senB = 2 cosA+B 2 sen
A−B
2
7. Demostrar que para todo par de ´angulos a, b se verifican las siguientes igualdades:
a) cosacosb = cos(a−b) + cos(a+b) 2
b) cosasenb = sen(a+b)−sen(a−b) 2
c) senasenb = cos(a−b)−cos(a+b) 2
8. Simplifica la expresi´on sen 2α
1−cos2α y calcula su valor para α= 90 o
9. A partir de las razones de 30o, 45o y 60o, obt´en, sin usar la calculadora, las razones principales
10. Demuestra que si α, β y γ son los tres ´angulos de un tri´angulo, se verifica:
a) sen(α+β)−senγ = 0
b) cos(α+β) + cosγ = 0
c) tg(α+β) + tgγ = 0
d) tgα + tgβ + tgγ = tgα tgβ tgγ
11. Demuestra las siguientes igualdades (son algo m´as dif´ıciles que las del ejercicio 1):
a) senα = 2 tg
α
2
1 + tg2 α
2
b) cosα= 1−tg
2 α
2
1 + tg2 α
2
c) tgα= 2 tg
α
2
1−tg2 α
2
12. Teniendo en cuenta las f´ormulas trigonom´etricas conocidas, calcula sin usar la calculadora las razones principales de los ´angulos 7o300 y 210o.
13. Simplifica:
a) sen(30 +α) =
b) cos(α−60o) =
c) tg(45o
−α) =
d) cos(α+ 30o) =
14. Si senα= 006 y cosα=−008; calcula las siguientes razones trigonom´etricas:
a) cos(α−π) =
b) sen α+π
2
=
c) tg α+ π
4
=
d) sen(α−π) =
e) cos α− π
4
=
f) tg π
4 −α
=
15. Sabiendo que senα = 25 para α del segundo cuadrante:
a) Calcula, sin hallar previamente el valor deα, sen α+ π
4
b) Calcula, sin hallar previamente el valor de α, tg α−π
3
c) Explica c´omo calcular´ıas las razones de π
4 y
π
3 radianes
16. Sabiendo que las razones de 32o son, aproximadamente, sen 32o = 0,5299 y cos 32o = 0,8480,
calcula las principales razones trigonom´etricas de:
a) 92o (Ind:92 = 32 + 60) b) 31o (Ind:31 = 32/2) c) 64o (Ind:64 = 2
·32)
d) 2o (Ind:2 = 32
−30)
17. Sabiendo que tgα= 2, para α en el primer cuadrante, calcular:
a) sin 2α=
b) tg 2α =
c) cosα
2 =
18. Demuestra que se verifican las siguientes igualdades:
a) 1 + sen 2α = 2 sen(α+ 45o)
·cos(α−45o) b) cos 2α = 2 sen(α+ 45o)
·cos(α+ 45o)
19. Sabiendo queαes un ´angulo del 2o cuadrante, y que tgα=
−0,5322, determina, sin calcular el ´angulo α:
a) sen 2α b) cos 90o
− α2
20. Sabiendo que aproximadamente sen 56o
' 008290 y que cos 23o ' 009205, halla las razones
trigonom´etricas principales de:
a) 79o; (Ind:79o
= 56o
+ 23o
)
b) 33o; (Ind:33o
= 56o
−23o
)
c) 28o; (Ind:28o
= 56o 2 )
d) 46o; (Ind:46o
= 23o
+ 23o
)
e) 69o; (Ind:69o= (23o+ 23o) + 23o)
21. Sabiendo que cos 27o
'00891 y que sin 47o
'007313, calcular de manera razonada:
a) sen 74o =
b) cos 20o =
c) tg 63o =
d) tg 137o =
e) cosec 133o =
f) cotg 313o =
g) sec 10o =
h) tg 207o =
22. Sabiendo que cos 54o
'005878 y que sen 46o
'007193, calcular de manera razonada:
a) sen 27o =
b) cos 23o =
c) tg 99o =
d) tg 84o =
e) sen 76o =
f) cos 106o =
g) sen 8o =
h) tg 100o =
23. Sabiendo que cos 40o
'007660 y que cos 24o
'009135, calcular de manera razonada:
a) tg 70o =
b) tg 54o =
c) sen 80o =
d) cos 12o =
e) cos 16o =
f) sen 8o =
g) sen 64o =
h) tg 88o =
24. Sabiendo que sen 1o
'000175, calcular de manera razonada:
a) sen 2o =
b) cos 3o =
c) tg 4o =
d) tg 5o =
e) sen 6o =
f) cos 8o =
g) tg 10o =
h) cos 16o =
25. Sabiendo que cos 42o '7431 y que tg 50o '101918, calcular de manera razonada:
a) sen 21o =
b) cos 25o =
c) tg 80o =
d) tg 72o =
e) sen 87o =
f) cos 84o =
g) sen 92o =
h) tg 8o =
26. Sabiendo que cos 21o '009336 y que sin 20o '003420, calcular de manera razonada:
a) tg 42o =
b) tg 63o =
c) sen 10o =
d) cos 5o =
e) cos 51o =
f) cos 41o =
g) sen 65o =
27. Sabiendo que cos 88o
'000348, calcular de manera razonada:
a) cos 44o =
b) sin 22o =
c) cos 58o =
d) tg 43o =
e) sen 28o =
f) cos 50o =
g) tg 80o =
h) cos 118o =
28. Sabiendo que sen 70o '009397, calcular de manera razonada:
a) sen 35o =
b) cos 140o = c) tg 100o =
d) tg 115o =
e) sen 40o =
f) cos 25o = g) tg 50o =
h) cos 105o =
29. Sabiendo que tg 50o
'101918, calcular de manera razonada:
a) sen 25o =
b) cos 100o =
c) tg 105o =
d) cos 20o =
e) sen 110o =
f) tg−10o =
g) cos 140o =
h) cos 5o =
30. Sabiendo que sen 82o
'009903, calcular de manera razonada:
a) sen 41o =
b) sen 164o = c) cos 127o =
d) cos 41o =
e) sen 142o =
f) tg 52o = g) cos 22o =
h) sen 112o =
31. Sabiendo que tg 140o ' −008391, calcular de manera razonada:
a) sen 70o =
b) cos 170o =
c) cos 80o =
d) tg 95o =
e) sen 110o =
f) tg 280o =
g) cos 230o =
h) sen 50o =
32. Sabiendo que cos 27o
'008910, calcular de manera razonada:
a) sen 57o =
b) cos 117o =
c) tg 54o = d) cos−3o =
e) sen 72o =
f) tg 207o =
g) cos 87o = h) cos 63o =
33. Sabiendo que tg 76o '400108, calcular de manera razonada:
a) sen 38o =
b) tg 46o =
c) cos 31o =
d) cos 106o =
e) cos 166o =
f) sen 121o =
g) sen 16o =
2.1.2. Ecuaciones trigonom´etricas
34. Construir un ´angulo1:
a) Cuyo seno sea el doble que el coseno
b) Cuyo coseno sea el triple del seno
c) Cuya tangente sea el triple del seno
d) Cuyo coseno sea igual al seno del doble del ´angulo
e) Cuya tangente sea igual al seno del doble del ´angulo
f) Cuya cosecante sea igual a su secante
g) Cuya tangente sea igual al doble del seno
h) Cuya secante sea igual a su coseno
35. Resuelve el siguiente abecedario de ecuaciones trigonom´etricas:
a) 3 sen2x+ cos2x+ cosx= 0;
b) sen 3x − cos 3x= senx − cosx;
c) sen2x−senx= 0;
d) tg2x − 4 tgx= 0;
e) cos 2x+ 3 senx= 2;
f) cos(x+π
6) = √
3 2 ; g) 2 sen 2x= 1;
h) cos 3x+ cosx= 0;
i) cos2 x
2 + cosx − 1 2 = 0 j) 2 cosx·tgx= 1;
k) sen 2x= senx;
l) tgx+ 2 senx= 0;
m) sen 2x + √3 cosx= 0;
n) tgx= 5 senx;
˜
n) senx + cosx= 0;
o) 2 cos 2x=−1;
p) sen 3x − 2 senx= 0;
q) sen(45o+x) = −√2 2 ; r) sen 2x·cosx= 6 sen3x
s) 4 sen2x + senxcosx − 3 cos2x= 0
t) sen2x−cos2x= 1 2; u) cos 2x + 3 senx= 2;
v) tg 2x tgx= 1;
w) cosxcos 2x + 2 cos2x= 0;
x) 2 sen2x+ 3 cosx= 3
y) sen 2xcosx= 3 sen2x;
z) cos 2x − 3 senx + 1 = 0;
1
En todos los ejercicios de esta secci´on, una vez encontradas las soluciones v´alidas en [0,360o
), por la 2π−circularidad de las razones trigonom´etricas es evidente que se repiten +2kπ, conk∈Z. Para mayor claridad en las soluciones no voy a indicar ese +2kπ, sino s´olo las que hay en [0,2π). En todo caso, si hubiera que matizar algo t´engase en cuenta en las soluciones quek∈Z.
36. Posiblemente estas p´aginas sean una de las m´as completas compilaciones de ejercicios de nometr´ıa (y de otros contenidos). Como ejemplo, resuelve otro abecedario de ecuaciones trigo-nom´etricas:
a) sen π
6 −x
+ cos π
3 −x
= 12
b) 3 cosx
2 = 105;
c) 4 sen2xcos2x + 2 cos2x
− 2 = 0
d) 4 sen2x= 2 tgx e) tg 2x+ tgx= 0;
f) 1110cosx= 11 + cosx;
g) 5 sen 4x= 0;
h) cos 2x+ 5 cosx−3 = 0;
i) sen(2x+ 40o) + sen(x+ 20o) = 0; j) cos 2x= 1 + 4 senx;
k) sen 2x − 2 cos2x= 0;
l) cos 3x + sen 2x − cosx= 0;
m) 2 senx= tg 2x;
n) 2 sen2 x
2 + cos 2x= 0 ˜
n) sen 3x − senxcos 2x= 0;
o) cos2x + senx= 0; p) sen 2x+ cosx= 1;
q) sen(x+ 30o)−cosx= 0;
r) 4 senx−secx= 0;
s) 2 sen2x+ cosx= 1;
t) cos 2x+ π
2
= −√2 2 ; u) sen 2x+ π
2
= −√2 2 ; v) cos2x
− senx= 0;
w) senx·(senx−1) = 5 cos2x −4;
x) sen2x−cos2x= 1; y) (cosx+ senx)2 = 2; z) tg π
4 −x
+ tgx= 1;
37. Resolver las siguientes ecuaciones trigon´ometricas:
a) cos 2xsenx= 0;
b) cos 3x − 2 cos(π−x) = 0;
c) cosx−tgx= 0;
d) 4 senxcotgx=−1
e) 4 senx−secx= 0;
f) 4 sen 2(x+ 30o) = 1 g) senx+ cosx = 0
h) 2 cosx+ senx= 1;
i) 2 cosx−1 = secx j) sen(60o
−x) = cosx;
k) cos2x
38. Como no hay dos sin tres, resuelve el tercer abecedario de ecuaciones trigon´ometricas:
a) 2 cos2x
−√3 cosx= 0;
b) 3 tg2x
−√3 tgx= 0;
c) sen2x
−senx= 0;
d) sen2x+ cosx= 0;
e) 1−cos 2xsenx = 34;
f) 4 tgxcos2x=√3;
g) √3 senx
2 + cosx= 1; h) 2 cosx−1 = secx;
i) tg(x+ 45o) + tg(x−45o) = 2 cotgx
j) sen(x+ 30o) + cos(x+ 60o) = 1 + cos 2x;
k) 3 + tg2x = 2 sec2x;
l) sen 2x−π
2
= −1 2 m) 2 cos2x+ senx= 1;
n) tgx−sen 2x= 0;
˜
n) tgx+ senx= 0;
o) 2 cos2x
−sen2x+ 1 = 0; p) tg(π
4 −x)−1 = 0; q) sen 2x+ cosx= 1;
r) senx+ cosx= 0;
s) tgx−sen 2x= 0;
t) tgx+ senx= 0;
u) cosx−sen2x= 0;
v) cosxtgx= 2−1
w) cos 2x−sen 2x= 0
x) cos 2x+ sen 2x= 1
y) 1 + cosx − secx= 0;
z) cos2 x
2
−sen2 x
2
= senx
39. Resolver las siguientes ecuaciones trigon´ometricas:
a) 1
cosx+ senx + sen 2x= 2 cosx;
b) cos 2x
2 = 2−3 sen
2x
c) cos
2x
2 cosx+ senx = senx;
d) sen(60
o −x) cosx = 1
e) 1
2.1.3. Sistemas de ecuaciones trigonom´etricas
40. Resolver los siguientes sistemas. Dar las soluciones correspondientes al primer cuadrante.
a)
x+y = 90o
2 cosxcosy = 1
b)
senx seny = √2/4 cosx seny = √6/4
c)
senx+ seny = 3/2 senx−seny = −1/2
d)
x+y = 90o
senx+ cosy = 1
e)
x+y = 12o
senx−seny = 1/2
f)
sen2x+ cos2y = 1
cos2x
−sen2y = 1
g)
4y senx cosx = 3 2ycos 2x = √3
h)
senx+ seny = 1 cosx − cosy = 1
i)
senx+ seny = √3 cosx+ cosy = 1
j)
x+ sen2y = 2 x+ cos2y = 1
k)
senx+ cosy = √2
x−y = π/2
l)
sen2x+ cos2y = 1
cos2x
−sen2y =
−1/2
m)
cos(x+y) = 1 sen(x−y) = √3/2
n)
senx + seny = 3/2 senx seny = 1/2
˜ n)
x+y = 90o
senx + seny = √6/2
o)
2 senx = 2 2 seny = −1
41. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones trigonom´etricas. Encontrar cualquier solucion v´alida2.
a)
sen2x+ sen2y = 1
cos2x
−cos2y = 1/2
b)
sen(x+y) = √2/2 cos(x−y) = √2/2
c)
x+y = 60o
cosx = seny
d)
y−x = 30o
tgy = tg(y−3x)
e)
sen2x+y = 1
cos2x+y = 2
f)
senx+ seny = 1
x+y = 90o
g)
2 senx = 1−cosy
2 cosx = 1 + cosy
h)
ysenx = √3
ycosx = 1
i)
cos(x+y) = 1/2 sen(x−y) = 1/2
j)
cosxcosy = −1/2 senxseny = −1/2
2
En todos los ejercicios de esta secci´on, una vez encontradas las soluciones v´alidas en [0,360o
), por la 2π−circularidad de las razones trigonom´etricas es evidente que se repiten +2kπ, conk∈Z. Para mayor claridad en las soluciones, no voy a indicar ese +2kπ, sino s´olo las que hay en [0,2π). En todo caso, si hubiera que matizar algo, t´engase en cuenta en las soluciones quek∈Z.
2.1.4. Resoluci´on de tri´angulos y similares
42. Un nadador quiere atravesar un tramo recto de r´ıo de anchura constante que posee una corriente de 1m/s. Si el nadador nada a una velocidad constante de 2m/s, ¿Con qu´e ´angulo debe nadar respecto la orilla de partida para que a pesar de la corriente del r´ıo llegue a la orilla final a la misma altura que el punto de partida (en la misma perpendicular a la orilla)?
43. Al igual que en el problema anterior, de nuevo se pide el ´angulo inicial de ataque al cruzar el r´ıo si ´este posee una anchura de 50m, la corriente es de 002m/s, el nadador nada a 005m/s, y
desea llegar a la segunda orilla a un punto que est´a situado 10 metros corriente abajo, del punto de salida. ¿Cu´anto tiempo tardar´a en cruzar el r´ıo?
44. Una barca puede navegar en agua tranquila a velocidad de 8km/h. Si la corriente del r´ıo lleva una velocidad de 6km/h ¿Bajo que ´angulo ha de cortar la barca a la corriente para que la direcci´on de su movimiento sea perpendicular a la misma? ¿Cu´al ser´ıa la velocidad final de la barca?
45. Con los datos que se te suministran, distancia AB igual a 20m, Ab = 75 + 72o, Bb = 68o, Hb = 90o,
calcula las distancias OA, OB y HO.
46. Obt´en la relaci´on existente entre el lado de un pent´agono regular y el radio de la circunferencia donde se ha circunscrito.
47. Una casa de planta rectangular mide 12m de largo y 8m de ancho. El tejado es una superfi-cie plana con una inclinaci´on de 18o, cuya parte m´as elevada se apoya en la parte ancha del
rect´angulo. Calcula el ´area del tejado.
48. Un faro, de altura h, se encuentra situado sobre una roca de altura BO, siendo B la base del faro,
A su c´uspide, y O la proyecci´on vertical del faro sobre la horizontal. Sea Q un punto de la orilla de modo que O, Q y un barco en posici´on P quedan alineados. Si la distancia P Q es igual a 45m, y adem´as OP A[ = 63o350,OQA[ = 85o270 y \OQB =
42o310, determinar h.
49. Resolver los tri´angulos ABC, con:
a) Bb= 40o,b = 603cm, c= 802cm.
b) a= 7m, b= 8m, Ab= 27o400
c) Bb= 36o,b = 503m, c= 704m
50. Calcular la distancia que hay entre los puntos A
y B, separados por un r´ıo, si para ello tomamos un tercer punto Cy consideramos que la distancia
AC es de 60m, y que est´an los ´angulos Ab = 60o,
b
51. Desde un banco, B, se emite una se˜nal de alarma que se recibe en dos comisar´ıas A y C, distantes entre s´ı 205km. Desde las comisar´ıas se miden, sobre un plano de la ciudad, los ´angulos
[
BAC = 48o y BCA[ = 37o. Halla la distancia del banco a cada una de las comisar´ıas.
52. Dos aviones salen de un mismo punto, a distintas direcciones, formando un ´angulo de 46o visto
desde el origen. Suponiendo que han marchado en l´ınea recta, si en un momento uno ha recorrido 500km y el otro 820km. ¿Cu´al es la distancia que separa los dos aviones en dicho momento?
53. Las puntas de los brazos de un comp´as distan 7cm. Sabiendo que cada brazo mide 12cm, hallar el ´angulo que forman los brazos del comp´as.
54. Desde un cierto punto del suelo se ve un ´arbol bajo un ´angulo de 42o. Bajo que ´angulo se ver´a si
nos colocamos al doble de distancia? ¿Y al triple?
55. En un tri´angulo, los lados miden 24m, 28my 36m. Hallar la tangente del mayor de los ´angulos.
56. Un globo aerost´atico se encuentra sujeto al suelo mediante dos cables de acero, en dos puntos que distan 60m. El cable m´as corto mide 80m, y el ´angulo que forma el otro con el suelo es de 37o. Calcula.
a) La medida del otro cable.
b) La distancia del globo al suelo.
57. Uno de los lados de un tri´angulo es el doble que el otro, y el lado comprendido vale 60o. Resolver
el tri´angulo.
58. Hallar el ´area del tri´angulo ABC sabiendo que a= 1m, B = 30o y C = 45o
59. Consideramos dos puntos A y B separados por un peque˜no estanque. La distancia deAa un puntoP externo es de 114m, y la distancia de B a P es de 100m. Si el ´angulo Pb es de 50o,
determinar la distancia de A aB
.
60. Hallar los dos lados de un tri´angulo sabiendo que su ´area mide 18cm2, y dos de sus ´angulos
valen 30o y 45o
61. Tres pueblos A,B y C, est´an unidos por carreteras rectas y llanas. La distanciaAB= 6km, la
BC = 9km, y el ´angulo que formanAB y BC es de 120o. ¿Cu´anto distan A y C?
62. En una circunferencia de 100m de radio se unen dos puntos con una cuerda de 50m ¿Cu´anto vale el ´angulo central?
63. El ancho de un escenario de teatro mide 8m. Las localidades que hemos comprado est´an situadas a una distancia de 6 y 12m de cada uno de los extremos laterales del escenario. ¿Cu´al es el ´angulo de visi´on que tendremos para ver la representaci´on?
64. Dos exploradores se han perdido, y deciden seguir caminos distintos para conseguir ayuda. Para saber donde est´a el otro en cada momento deciden seguir un rumbo fijo, formando sus trayectorias un ´angulo de 54o. Si uno camina a 5km/hy el otro lo hace a 4km/h¿A qu´e distancia
se encontrar´an al cabo de 3 horas?
65. Calcula el valor de la basea en el siguiente cuadrilatero irregular.
66. Las medidas de los lados de un tri´angulo son proporcionales a 5, 6 y 7, y su ´area es 24√6. Determina la medida de sus lados y de sus ´angulos.
67. Dos fuerzas iguales forman un ´angulo de 60o ¿Cu´anto mide la fuerza resultante?
68. Dos personas est´an en la orilla de un r´ıo, y ven una roca justo en la orilla opuesta. Calcula la anchura del r´ıo si las personas est´an separadas 40m y ven a la roca bajo ´angulos en el plano horizontal respecto la orilla en la que est´an de 38o y 44o.
69. En una circunferencia de 8kmde di´ametro, calcula la medida del segmento AB y del arco de circunferencia AB sabiendo que provienen de un ´angulo opuesto de un punto en la circun-ferencia de 30o, tal como se ve en la imagen adjunta.
70. Sabemos que tgα = 1,5. ¿Podr´ıas calcular tg α+π
2
sin determinar previamente el ´angulo α? Si tienes problemas con la f´ormula del ´angulo suma, usa que π2 = π4 + π4.
71. En una circunferencia de radio 10cm, trazamos la cuerda AB de 8cm. Si O es el centro de la circunferencia, calcula el ´angulo AOB[.
72. Para construir un viaducto que permita salvar un ba-rranco se toman las medidas reflejadas en la imagen al margen.
a) ¿Qu´e longitud tendr´a el viaducto?
b) ¿Cu´al es la altura m´axima del pilar que lo ha de sujetar?
73. ¿Es posible resolver el tri´angulo a = 4cm, b = 5cm, Ab= 58o Como dir´ıa cierto entrenador de f´utbol ¿por qu´e?
74. A yB son dos picos de dos monta˜nas inaccesibles. Desde dos puntos C y Dseparados 100m en el llano que hay entre las monta˜nas se han podido medir los ´angulos\ACD= 110o, \BCD= 35o
y \ADC = 25o. ¿Cu´al es la distancia entre los dos picos de monta˜na?
75. Se trata de determinar si los dos tri´angulos no rect´angulos de la imagen al margen son o no semejantes. En el tri´angulo
ABC se tieneAb= 30◦, AC = 6 yCB= 3√2. En el tri´angulo
EF G se tiene Fb= 45◦,GF = 6, as´ı como EH = 3√6, donde
HG es la altura referida a la base EF.
76. Desde dos puntos A y B situados en la misma orilla de un r´ıo, y distantes entre s´ı 80m, se observa el punto C, situado en la orilla opuesta, bajo ´angulos de 30o y 60o respectivamente.
Calcula las distancias AC y BC
77. Dado el cuadril´atero de la figura, donde la dis-tancia CD es de 350m, y se tienen los ´angulos
b
C = 85o, Db = 73o, y \DCO= 35o, \ODC = 40o, se
78. De un dep´osito de agua salen dos tuber´ıas, una de 175m y otra de 205m, que abastecen a dos casas, A y B. Si el ´angulo que forman las tuber´ıas es de 105o ¿cu´al es la distancia entre estas
dos casas?
79. Desde dos puntos situados en la misma orilla recta de un r´ıo, puntos separados entre s´ı 30m, se observa un ´arbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al ´arbol es de 24m, y el ´angulo que forma la visual del segundo punto con respecto el ´arbol es de 45o37’. Calcula la
distancia del segundo punto al ´arbol y el ´angulo que forma la visual del primer punto.
80. Un barco pide socorro, recibi´endose la se˜nal en dos estaciones A y B que distan entre s´ı 45km. Desde cada estaci´on se miden los ´angulos BAC[ = 44o550, y ABC[ = 52o160 ¿A qu´e distancia se
encuentra el barco de cada estaci´on?
81. Resolver el siguiente tri´angulo; Ab= 30o, a= 40m, b= 65m
82. En un mapa, observamos cuatro puntos A, B, C, D situados como v´ertices consecutivos de un cuadril´atero. Se tienen las distancias AB = 10km, BC = 15km, CD = 12km. Si los ´angulos
[
ABC = 105o y \CDA= 60o, calcular la distanciaAD
83. De un tri´angulo ABC sabemos las longitudes a = 12cm, b = 18cm y el ´angulo ˆA+Bb = 110o
¿Cu´anto valen ˆA y Bb?
84. Dos asistentes a una conferencia se sit´uan en las dos butacas extremas de una fila, estando separados 30m. Cada uno, desde su posici´on, mide el ´angulo que determinan el conferenciante y el otro as´ıstente, obteniendo resultados de 37o y 42o ¿A qu´e distancia est´a cada uno de ellos
del conferenciante? ¿A qu´e distancia se encuentran ambos del escenario?
85. Dos amigos parten de un mismo punto en direcci´on a dos ciudades situadas a 200 y 300km
respectivamente del punto de partida. El ´angulo que forman dichas carreteras es de 60o, y en
sus coches tienen un aparato de radio con un alcance de 250km. ¿Podr´an ponerse en contacto una vez que lleguen a su destino?
86. Se tiene la situaci´on de la figura, con dos barcos en el mar y dos faros que los observan bajo una serie de ´angulos conocidos. Sabiendo adem´as que la dis-tancia entre los dos faros es de 1350m, determinar la distancia a la que se encuentran los dos barcos.
87. Resolver los tri´angulos 4ABC donde se conocen:
a) a= 30dm, Bb = 33o100, Cb= 43o b) a= 4dm, b= 6dm, Cb = 37o
c) a= 7dm, b= 5dm, c= 10dm
d) a= 11cm, b= 10cm, Ab= 57o100
e) a= 7m, b= 8m,Ab= 27o400
88. En una pared hay dos argollas separadas 8m. Atamos a cada argolla un extremo de una cuerda, y nos alejamos de la pared hasta que la curda queda tensa, momento en el que la cuerda forma con la pared dos ´angulos de 50o y 37o.
a) ¿Cu´anto mide la cuerda?
2.1.5. Ejercicios de todo tipo para que el alumno los ubique, algunos resueltos
89. [R] Hallar las razones trigonom´etricas principales del ´angulo de 75o teniendo en cuenta que
75o = 30o+ 45o
90. [R] Si tg(α+β) = 4 y tg(α) =−2, calcula tg(2β)
91. [R] Resolver el tri´angulo 4ABC sabiendo quea = 67,2m, b= 74m y Ab= 56, 12o.
92. [R] Simplificar 2 cos(45
o +α) cos(45o−α)
cos(2α)
93. [R] Sabiendo que senx= 2
3 y que x es un ´angulo del primer cuadrante, calcula: a) sen 2x=
b) tgx
2 = c) cos(30o
−x) =
94. [R] Demostrar que 2 senα−sen 2α 2 senα+ sen 2α = tg
2 α
2
95. [R] Simplificar senα·cos 2α−cosα·sen 2α
96. [R] Resolver los siguientes sistemas. Dar las soluciones correspondientes al primer cuadrante.
a)
senx+ seny = √3 cosx+ cosy = 1
b)
cos(x+y) = 1/2 sen(x−y) = 1/2
c)
sen2x+ cos2y = 3/4
cos2x
−sen2y = 1/4
97. [R] Un hombre est´a situado al oeste de una torre, observando que su ´angulo de elevaci´on es de 45o, y que si camina 50m hacia el sur desde la posici´on anterior, el ´angulo pasa a ser de 30o.
Hallar la altura de la torre.
98. [R] Resolver los siguientes sistemas. Dar las soluciones correspondientes al primer cuadrante.
a)
x+y = 120o
senx−seny = 1 2
b)
sen2x+ cos2y = 1
cos2x−sen2y = 1
c)
senx+ cosy = 1
x+y = 90o
99. [R] Simplifica: senα·cos 2α−cosα·sen 2α
100. [R] Resuelve el sistema (da las soluciones relativas al primer cuadrante).
4 cos(4x)−4 sen2
y
2
= 1
2 cos2(2x) + 2 sen2(y) = 3
102. [R] Sea sec 124o
' −107883. Calcular a partir de ello las siguientes razones trigonom´etricas:
a) sen 56o =
b) tg 34o =
c) cos 31o =
d) cosec 17o =
e) cotg 17o =
f) cosec 87o =
103. [R] Sea α del segundo cuadrante, de modo que cosα = 1−√3. Calcular: sen 2α, cosα
2, sec
α
4,
cosec(α+ 90o), cotg(α
−30o), y tg 3α.
104. [R] Resolver tg(2x) + 2 cosx= 0. Dar soluciones v´alidas en cualquier cuadrante.
105. Hallar el radio de la circunferencia circunscrita3 la tri´angulo cuyos lados miden 13m, 14m y
15m
106. El radio de la circunferencia circunscrita al tri´angulo mide 2√2m, y dos de sus ´angulos son de 30o y 45o. Resolver dicho tri´angulo.
107. Recurriendo a la f´ormula de la tangente de la suma, demuestra en la siguiente figura que:
γ =α+β
108. Los segmentos que unen los v´ertices de un tri´angulo con su circuncentro dividen la circunferencia circunscrita en 3 partes. Si el radio de dicha circunferencia mide 4cm y dos de los arcos tienen una amplitud de 128o y 83o.
a) ¿Cu´anto mide el otro arco?
b) Calcula la medida de los lados y ´angulos del tri´angulo.
109. En un tri´angulo rect´angulo se verifica tambi´en el teorema del seno. Determina si ello nos da informaci´on adicional sobre los elementos de ese tri´angulo.
110. Dos circunferencias coplanarias, de radios 4 y 6cm, tienen sus centros distantes 12cm. Si suponemos los dos centros sobre una misma recta horizontal, calcular la inclinaci´on sobre la misma de:
a) La tangente com´un interior
b) La tangente com´un exterior
111. Considera la f´ormula: sen2
x+ 30o
2
= 2−
√
2 cos 30o+√2 sen 30o
4
a) Comprueba que dicha f´ormula se cumple para x= 45o
b) Demuestra que dicha igualdad s´olo se cumple para otro valor de x. H´allalo.
112. Demuestra que: 1−cos
2α
sen 2α =
tgα
2
113. Demuestra que: 2 senα
tg 2α = cosα−senα·tgα
3
Como indicaci´on, el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo es el incentro, que es el corte de las tres mediatrices de los lados del tri´angulo y que equidista de los tres lados del tri´angulo.
114. Simplifica: 2 cos(45
o
−α)·cos(45o+α)
cos 2α
115. El lado desigual de un tri´angulo is´osceles mide 50cm, y los ´angulos iguales miden, cada uno, 40o. Determinar el per´ımetro y el ´area de ese tri´angulo.
116. Un barco A pide socorro y sus se˜nales son recibidas por dos faros, B y C, que distan entre s´ı 80km. La recta que une BC forma con la direcci´on norte un ´angulo de 48o. AB
recibe las se˜nales con una direcci´on de 135o
con el norte, mientras AC las recibe con una direcci´on de 96o con el norte. ¿A que
distan-cia de cada uno de los dos faros se encuentra el barco?
117. Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles desde otros dos puntos C y D separados por una longitud 73,2m. Suponiendo que tenemos los ´angulos \ACD = 80o120, BCD\ = 43o310, \
BDC = 32o y ADC\= 23o140, determinar la distancia AB
118. Si sen 37o
'006 y cos 37o '008 ¿Cu´al ser´a el valor de las razones trigonom´etricas de 53o, 127o
y 143o? Razonar la respuesta.
119. Sabiendo que tgx= 2 y que 180o < x <270o, calcular:
a) sen(2x−30o) = b) tg(π+ 2x) =
c) tg 2x+π
2
=
120. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonom´etricas:
a)
x+y = 120o
cosx = 1
2 cosy + senx·tgy
b)
senx+ 2 cosy = 2 3 senx−4 cosy = 1
c)
4 senx+ cos2y = 2
2 senx+ cosy = 1
121. Resuelve:
a) ¿Cu´al es el ´angulo agudo tal que el triple de su tangente es igual al doble de su coseno?
b) ¿Cu´al es el ´angulo obtuso tal que su seno sumado con el triple de su coseno da −1?
c) ¿Cu´al es el ´angulo agudo tal que su seno multiplicado por su coseno da 1/4?
d) Construir un ´angulo cuyo coseno sea igual al seno del triple del ´angulo
122. Resuelve cada uno de los tri´angulos ABC, no necesariamente rect´angulos, sabiendo que:
a) B = 120o,C = 20o, b= 10m
b) a= 36m,b = 46m y c= 52m
c) A= 50o, a= 50m y b = 30m
d) C = 48o, a= 32m y b= 20m
e) B = 35o,a= 62m y b = 30m
123. Un jugador de rugby, para realizar un ensayo, est´a situado a 10 y 16 metros de los postes de la porter´ıa, a la que ve bajo un ´angulo de 65o- ¿Cu´al es la anchura de la porter´ıa?
124. Carmen est´a de pie, y desde sus ojos al suelo hay una distancia de 1075m. Observa los extremos
de un poste, situado a 4mde distancia, bajo un ´angulo de 63o ¿cu´al es la altura de dicho poste?
125. Una antena de telefon´ıa m´ovil est´a sujeta al suelo con dos vientos desde su punto m´as alto, con uno de los cables el doble de largo que el otro. Los puntos de sujeci´on de los cables est´an alineados con el pie de la antena. La distancia entre dichos anclajes es de 70m, y el ´angulo formado por los cables es de 120o. Calcula la longitud de cada cable y la altura de la torre de
telefon´ıa.
126. Hallar el ´area de un tri´angulo 4ABC sabiendo que a= 10dm, Bb= 45o y Cb = 30o
127. Dos aviones que se encuentran a 10 y 7kmde un aeropuerto se observan bajo un ´angulo de 38o.
¿Qu´e distancia separa los aviones?
128. Observamos dos caba˜nas, en la orilla de un lago, bajo un ´angulo de 65o. Calcula la distancia
que las separa si nuestra distancia a las mismas es de 305 y 206km respectivamente
129. Para medir la altura de una monta˜na se han hecho dos observaciones desde los puntos A y B
separados entre s´ı 800m, y no alineados con la misma. Desde el punto B la monta˜na se ve bajo un ´angulo de 30o, y la carretera, perfectamente recta, que separa los puntos AyB se ve desde el
pico de la monta˜na bajo un ´angulo de 45o. Sabiendo que la distancia deAal pico de la monta˜na
es 2/3 de la distancia deB, halla la altura de la monta˜na
130. Estas ecuaciones trigonom´etricas no son nada, nada f´aciles. ¿Te atreves con?
a) cotgx+ tgx cotgx−tgx = 2
b) sen 5x+ sen 3x cosx+ cos 3x = 1
c) sen 3x + senx cos 3x−cosx =
√
3
131. S´olo para aquellos que quieran pasar un rato de diversi´on; expresa sen 6α y cos 6α en funci´on s´olo de senα y cosα
132. Desde un punto del suelo, una torre se ve bajo un ´angulo de 55o. ¿Bajo que ´angulo se ver´a si
nos situamos al triple de distancia?
133. Desde cierta distancia, el ´angulo que forma la horizontal con una torre es de 60o. Si nos alejamos
10m el ´angulo pasa a ser de 30o. ¿Cu´al es la altura de la torre?
134. Calcula el ´area de los siguientes tri´angulos no rect´angulos:
a) b= 4cm,c= 8cm, A= 93o;
b) a= 3cm, b= 5cm, c= 7cm;
c) a= 6cm, b= 5cm, C = 32o;
135. Resuelve los siguientes tri´angulos:
a) A= 55o, B = 98o, a= 705cm;
b) A= 35o, b = 20cm, c= 14cm;
c) a= 3cm, b= 8cm, A= 25o;
d) a= 1206cm, b= 2604cm, B = 124o340;
Ejercicios de autoevaluaci´
on
1.2.
Ejercicios de autoevaluaci´
on de trigonometr´ıa - Parte 2
1.2.1. Manejo de f´ormulas trigonom´etricas
136. Sabiendo que cos 40o
'007660 y que sen 35o
'005736, calcular de manera razonada:
a) tg 75o =
b) cos 5o =
c) sen 20o =
d) tg 100o =
e) sen 85o
f) sen 70o =
g) sen 80o =
h) cos 130o =
i) tg 145o =
j) cos 10o =
137. Sabiendo que cos 80o '001736, calcular de manera razonada:
a) sen 40o =
b) cos 20o =
c) sen 160o =
d) cos 140o =
e) tg 170o =
f) tg 10o =
g) cos 20o =
h) tg 35o =
i) cos 50o =
j) sen 260o =
138. Hemos llamado ´angulos notables a los ´angulos de 30o, 45o y 60o porque hemos encontrado de
manera f´acil y exacta sus razones trigonom´etricas. Teniendo en cuenta que 75o = 45o + 30o y
que 15o = 45o
−30o, completa la siguiente tabla... de manera exacta, claro:
α senα cosα tgα
75o
15o
139. Halla, sin calculadora, el valor num´erico de las siguientes expresiones:
a) cos 195o
−cos 75o = (Ind:195o
= 90o
+ 60 + 45o
, 75o
= 30o
+ 45o
)
b) sen 40
o + sen 20o
cos 40o + cos 20o = (Ind:40
o
+ 20o
= 60o
)
c) cos 75
o+ cos 15o
cos 75o −cos 15o = (Ind:75
o
+ 15o
= 90o
, 75o
−15o
= 60o
)
d) cos2135− 1
2tg 225
o
·sen 300o−cotg 315o =
e) 2
5sen 330
o
− tg 135 o
4 + 2 cos 270
o
− 240 o
6 =
f) senπ 4 −tg
2 π
3 ·cotg 4π
3 + sec 5π
6 =
140. Sin usar la calculadora, halla las siguientes razones trigonom´etricas:
a) cos(67o300) = (Ind:3·45o/2)
b) sen(195o) = (Ind:90o
+ 60o
+ 45o
)
c) sen(52o300) = (Ind:30o
+ 45o
141. Simplifica las siguientes expresiones:
a) sen 5α−sen 3α cos 5α+ cos 3α =
b) cos
2α−sen2α
cosα+ senα = c) sen(60 +α) =
d) cos(α−30o) =
e) cotgx−2 cotg 2x=
f) 1 + cosα
2 + cosα=
g) cos(45o+α) =
h) tg(α+ 60o) =
142. Comprueba las siguientes identidades:
a) senα+ cosα
cosα−senα ·cos 2α= 1 + sen 2α
b) tg 3α= 3 tgα−tg
3α
1−3 tg2α
c) cotgα−tgα = cotg
2α −1 cotgα d) tgx= cos 2x(tg 2x−tgx)
e) sen 2α= 2 tgα 1 + tg2α
f) tg(45o+α)−tg(45o−α) = 2 tg 2α
g) (senα+ cosα)2 = 1 + sen 2α
h) 1−tgα 1 + tgα =
1−sen 2α
cos 2α
i) senαcosα
cos2α−sen2α =
tgα
1−tg2α
j) senα+ cotgα
tgα+ cosecα = cosα
k) 1 + cos 2α 2 = cos
2α
l) sen 2α
1 + cos 2α = tgα
m) senα·sen(α−β) + cosα·cos(α−β) = cosβ
143. ¿Es cierto que tgα+ cosα
senα = secα+ tgα?
144. Encuentra una f´ormula simplificada para calcular las razones del ´angulo triple:
a) cos 3α =
b) sen 3α=
c) tg 3α=
1.2.2. Ecuaciones y sistemas trigonom´etricos
145. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonom´etricas4:
a) cos 2x−cos 6x= sen 5x+ sen 3x;
b) cosx= sen 2x;
c) sen 3x − senx= cos 2x
d) sen 2xcosx= 6 sen3x; e) sen π
4 +x
−√2 senx= 0
f) tgx=√2 cosx;
g) 2 cosx − 1 + senx= 0;
h) senx−tgx= 0;
i) 2 cos2x
−cosx= 0;
j) 4 cos2x
−1 = 0;
4
En todos los ejercicios de esta secci´on, una vez encontradas las soluciones v´alidas en [0,360o
), por la 2π−circularidad de las razones trigonom´etricas es evidente que se repiten +2kπ, conk∈Z. Para mayor claridad en las soluciones, no voy a indicar ese +2kπ, sino s´olo las que hay en [0,2π). En todo caso, si hubiera que matizar algo, t´engase en cuenta en las soluciones quek∈Z.
146. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonom´etricas:
a) cos(30o+x) = senx; b) 4 sen2x
−1 = 0;
c) cos2x
−3 sen2x= 0; d) 2 tgx−3 cotgx−1 = 0
e) 4 cos 2x+ 3 cosx= 1
f) 3 tg 2x=√3;
g) cos 3x+ senx= cosx;
h) 2 sen 2x=√2;
147. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. Encontrar cualquier solucion v´alida.
a)
senxcosy = −√3/4 cosx seny = √3/4
b)
senx = 2 seny
senx seny = 1/2
c)
senx+ cosy = √2 senx cosy = 1/2
d)
senxcosy = 3/4 cosxseny = 1/4
e)
sen2x+ cos2y = 5/4
sen2x
−cos2y = 3/4
f)
sen2x+ cos2y = 3/4
cos2x
−sen2y = 1/4
1.2.3. Resoluci´on de tri´angulos y similares
148. Un tri´angulo posee dos lados de 25cm y 45cm, y el ´angulo comprendido de 47o. Calcula su
´area. ¿Es rect´angulo?
149. Resuelve el tri´angulo ABC del que se conocen como datos sus tres lados a= 9cm, b= 12cm y
c= 14cm
150. ¿Es posible que haya un tri´angulo ABC que posee a= 12cm, b = 7cm y A = 63o? Resu´elvelo
si es posible.
151. Desde un punto de la calle se ve un edificio bajo un ´angulo de 54o. Si retrocedemos 100m lo
vemos bajo un ´angulo de 25o ¿qu´e altura posee el edificio?
152. En el tejado de una casa hay una antena. Desde un punto del jard´ın se ven la casa y la antena bajo ´angulos de 20 y 38o respectivamente. Si retrocedemos 50m la antena se ve ahora bajo un
´angulo de 25o. ¿Qu´e altura posee la antena?
153. En una circunferencia de radio 8cmtrazamos una cuerda de 6cm¿Cu´anto vale el ´angulo central que determinan sus extremos?
154. ¿Es posible construir un tri´angulo a = 90cm, b = 100cm y A = 110o? Halla el resto de sus
elementos el el caso de que sea posible.
155. ¿Es posible un tri´angulo con a= 5m, b= 8m, c= 9m y B = 54o?
156. Cada uno de los dos lados iguales de un tri´angulo is´osceles mide 60cm, y el ´angulo que forman es de 42o140. Calcula la base y la altura.
157. Cada fila de la siguiente tabla son los datos de un tri´angulo ABC. Resu´elvelos. Por cierto, el tercero tiene dos soluciones.
a b c Ab Bb Cb
3cm 4cm 28o
24m 70o 38o
3cm 4cm 28o
16m 42m 60o
12m 7m 9m
52cm 60cm 22o
32m 40o 72o
158. Las diagonales de un rect´angulo miden 16cm, y uno de los ´angulos que forman al cortarse es de 54o. Calcula el per´ımetro de dicho rect´angulo
159. De un tri´angulo se conocen a= 45cm, B = 33o y C= 47o. Calcula el resto de sus elementos
160. De un tri´angulo se conocen b= 29cm, c= 43cm y B = 37o. Calcula el resto de sus elementos
sabiendo que posee dos soluciones
161. Halla el ´area de un pent´agono regular de 30cm de lado
162. Los brazos de un comp´as miden 14cm. ¿Qu´e ´angulo tendr´an que abrirse para dibujar una circunferencia de 3cm de radio?
163. Dos observadores, situados a 2kmde distancia ven un globo que vuela entre ambos con ´angulos de elevaci´on de 65o y 70o respectivamente. ¿A qu´e altura vuela el globo? ¿Y si el globo volase a la izquierda de ambos observadores?
164. Dos aviones que se encuentran a 6 y 9km de distancia de un aeropuerto se ven desde ´este bajo un ´angulo de 42o ¿Qu´e distancia separa los aviones?
165. Resuelve un tri´angulo de per´ımetro 93cmcuyos lados est´an en progresi´on aritm´etica de raz´on 9
166. Un solar urbano tiene forma triangular con dos lados de 70 y 10 metros, formando ambos un ´angulo de 30o. Halla la medida de su contorno y su superficie.
167. Un campo de f´utbol tiene 48m de ancho y las porter´ıas miden 7m. Bajo que ´angulo ver´a la porter´ıa un jugador situado en la banda lateral a 18m del fondo?
168. Sea ABC un tri´angulo equil´atero de lado 3cm. Sea P el punto del lado AB que queda a 1cm
del v´erticeA. ¿Cu´al es la longitud del segmentoCP?
169. Calcula el ´area de un tri´angulo is´osceles, cuyo lado desigual mide 10cm, inscrito en una circun-ferencia de 15cm de radio
170. Las tangentes comunes a dos circunferencias secantes de 2 y 3 cent´ımetros de radio forman un ´angulo de 36o. Calcula la distancia
que hay entre los centros de las circunferencias
171. Las diagonales de un rect´angulo miden 17cm, y uno de los ´angulos que forman al cortarse es de 63o. Calcula el per´ımetro y el ´area
