ANISOMODEL - una extensión del modelo de dos superficies modificado (2SM) para suelos sobreconsolidados

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(1)ANISOMODEL: una extensión del modelo de dos superficies modificado (2SM) para suelos sobreconsolidados. Tesis para obtener el título académico de magister en ingeniería civil. Por Germán Enrique García Díaz. Asesor Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano Peláez. Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 2012.

(2) Resumen ANISOMODEL es una extensión del modelo modificado de dos superficies (2SM) desarrollado por Grammatikopoulou (2004) para arcillas sobreconsolidadas. La presente extensión es propuesta para capturar la respuesta mecánica isotrópica y anisotrópica de arcillas reconstituidas sujetas a corte monotonico y cíclico no drenado. Con el fin de simular anisotrópia durante todo proceso de carga elasto-plástico, las superficies de fluencia y del potencial plástico utilizadas en el modelo M2S son reemplazadas por las superficies del modelo SANICLAY (2006). Las leyes de evolución para las variables de endurecimiento rotacional e isotrópico de las superficies de fluencia y de su potencial plástico correspondiente, corresponden exactamente a las del modelo SANICLAY. La regla de traslación de la superficie de fluencia cinemática dentro de la superficie limitante sigue los lineamientos tenidos en cuenta por Grammatikopoulou para el desarrollo de la ley de traslación del modelo (2SM), incluyendo el concepto de superficie de fluencia activa.. 1.

(3) Agradecimientos Agradezco principlamente a Dios, luz y guia en mi vida. Agradezco a mis padres por su especial apoyo en cada uno de los dias que dedique a este proceso, por ser guias y fuente de fortaleza. A mis hermanos, les agradezco por haberme motivado constantemente y aventarme hasta el final de esta meta. Mi más sincero agradecimiento al profesor Lizcano por haber contribuido notoriamente con sus enseñanzas y consejos en mis formación académica. Quiero agradecer a la Universidad de los Andes por haberme brindado todas las herramientas posibles para el desarrollo de la investigación. La participación en conferencias y seminarios han contribuido con mi formación. Por último, al grupo de investigación de Geotecnia, a mis colegas y amigos.. 2.

(4) Contenido 1. Introducción. 15. 2. Formulación constitutiva 2.1. Leyes fundamentales de la termodinámica . . . . . . . 2.1.1. Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Balance de impulso-principio de momento lineal 2.1.3. El primer principio de la termodinámica-Ley de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. El segundo principio de la termodinámica . . . 2.2. Elastoplásticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Descomposición del tensor de deformación . . . 2.2.2. Región elástica y función de fluencia . . . . . . 2.2.3. Regla de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Leyes de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Condiciones Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . la conservación de la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 17 18 19 20 21 26 26 26 27 27 28. 3. Integración númerica de un modelo constitutivo elastoplástico 3.1. Integración númerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Metodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Esquema de integración modificado de Euler . . . . . . . . . . . . . .. 33 33 35 44. 4. Revisión de algunos modelos constitutivos 4.1. Modelo Cam-Clay modificado (CCM), espacio triaxial de esfuerzos. 4.1.1. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Superficie del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . 4.1.3. Ley de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Módulo de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Modelo Cam-Clay modificado (CCM), espacio general de esfuerzos. 4.2.1. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Superficie del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . 4.2.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . .. 49 49 50 50 51 51 53 53 54 54 55. 3. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ..

(5) CONTENIDO. MIC 20112009. 4.3. Integración numérica del modelo Cam-Clay modificado, espacio general de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.1. Determinación de la fluencia inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.2. Esquema de integración modificado de Euler . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.3. Análisis de la respuesta mecánica del modelo Cam-Clay modificado 65 4.4. Modelo de dos superficies (2S), Al-Tabbaa(1987). . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.1. Superficie limitante y superficie de fluencia cinemática . . . . . . . . 67 4.4.2. Superficies del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . . . . . 68 4.4.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . . . . . . 74 4.5. Modelo de dos superficies (2S), espacio general de esfuerzos . . . . . . . . . . 81 4.5.1. Superficie limitante fl y superficie de fluencia cinemática fc . . . . . . 82 4.5.2. Superficies del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . . . . . 84 4.5.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . . . . . . 93 4.6. Integración numérica del modelo de dos superficies, espacio general de esfuerzos 99 4.6.1. Determinación de la fluencia inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.6.2. Análisis de la respuesta mecánica del modelo de dos superficies (2S) . 139 4.7. Modelo de dos superficies modificado (2SM), espacio general de esfuerzos . . 141 4.7.1. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . . . . . . 142 4.8. Integración numérica del modelo de dos superficies modificado, espacio general de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.8.1. Análisis de la respuesta mecánica del modelo modificado de dos superficies (2SM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.9. Modelo SANICLAY, espacio triaxial de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.9.1. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.9.2. Superficie del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . . . . . 162 4.9.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.9.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . . . . . . 168 4.10. Modelo SANICLAY, espacio general de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.10.1. Superficie de fluencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.10.2. Superficie del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . . . . . 170 4.10.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.10.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . . . . . . 174 4.11. Integración numérica del modelo SANICLAY, espacio general de esfuerzos . 175 4.11.1. Determinación de la fluencia inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.11.2. Esquema de integración modificado de Euler . . . . . . . . . . . . . . 180 4.11.3. Análisis de la respuesta mecánica del modelo SANICLAY . . . . . . . 189 5. Extensión del modelo de dos superficies modificado 5.1. Desarrollo del modelo en el espacio triaxial de esfuerzos. . . . 5.1.1. Superficie limitante y superficie de fluencia cinemática 5.1.2. Superficie del potencial plástico - Regla de flujo . . . . 5.1.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 191 193 193 194 196.

(6) CONTENIDO. MIC 20112009. 5.1.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga, hLi. . . . . . . 5.2. Desarrollo del modelo en el espacio general de esfuerzos . . . . . . . . 5.2.1. Superficie limitante y superficie de fluencia cinemática . . . . . 5.2.2. Superficies del potencial plástico - Regla de flujo . . . . . . . . . 5.2.3. Leyes de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Módulo de endurecimiento, A, e índice de carga hLi. . . . . . . 5.3. Integración numérica, espacio general de esfuerzos . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Determinación de la fluencia inicial . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Análisis de la respuesta mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Comportamiento no drenado, deformación controlada . . . . . . 5.4.2. Comportamiento no drenado bajo carga cíclica, ∆q = constante 5.4.3. Comportamiento bajo carga cíclica, q = constante . . . . . . . . 5.4.4. Comportamiento drenado, deformación controlada . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 206 214 214 214 219 225 234 235 302 303 305 311 314. A. Cálculo del gradiente de la función del potencial plástico ∂g/∂σ modelo AL-Tabbaa(1987). 327. B. Cálculo del gradiente de la función del potencial plástico ∂g/∂σ modelo SANICLAY. 331. C. Cálculo del gradiente de la función del potencial plástico correspondiente a la superficie de fluencia cinemática ∂gc /∂σ - extensión. 336. D. Cálculo del gradiente de la función fluencia cinemática ∂fc /∂σ extensión 341 E. Listado de UMATs desarrolladas en esta tesis. 5. 343.

(7) Lista de Tablas 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.. Clasificación LCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parámetros del modelo Cam-Clay modificado para las simulaciones . . . . . Parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parámetros del modelo de dos superficies para las simulaciones . . . . . . . . Parámetros del modelo de dos superficies para la simulación del ensayo triaxial no drenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Parámetros del modelo 2SM para la simulación del ensayo triaxial no drenado 4.8. Parámetros del modelo 2MS para la simulación del ensayo cíclico lento . . . 4.9. Parámetros del modelo Cam-Clay modificado para las simulaciones . . . . .. 140 158 158 190. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.6. 5.5.. . . . . . .. 235 304 304 308 313 313. E.1. Listado de UMATs desarrolladas en este trabajo . . . . . . . . . . . . . . .. 343. Parámetros Parámetros Parámetros Parámetros Parámetros Parámetros. del modelo . . . . (ANISOMODEL) (2SM) . . . . . . (ANISOMODEL) (2SM) . . . . . . (ANISOMODEL). . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 6. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 65 65 66 82 139.

(8) Lista de Figuras 2.1. Acciones de naturaleza puramente mecánica sobre un cuerpo material cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Material no disipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Material disipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Descripción del comportamiento elastoplástico. (a) Curva esfuerzodeformación elastoplástica. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ) 27 2.5. Descripción del endurecimiento isotrópico. (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ) . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6. Descripción del endurecimiento cinemático. (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ) . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7. Descripción de endurecimiento isotrópico y cinemático combinados. (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Malla de elementos finítos de un terraplén, despúes de Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Condición de borbe para el terraplén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Aplícación del algoritmo modificado Newton-Raphson, despúes de [30] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplícación del esquema de integración de Euler . . . . . . . . . . . . Rt ∂p(σ, k) dt con el esquema de integración de Euler 3.5. Evalución de tnn+1 L ∂σ 3.6. Integración explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Integración implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Esquema para representa la porción elástica del incremento de deformación. (a) Región elástica (RE) y su límite f (σ, k) = 0. (b) Porción elástica del incremento de deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. división de ∆εep en subpasos ∆εss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Superficie de fluencia Cam-Clay modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Indices λ y κ del módelo Cam-Clay modificado . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Formas de las superficies de fluencia y del potencial plástico. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . .. 7. 33 35 39 40 41 43 44. 45 46 50 51 54.

(9) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 4.4. Integración numérica, fn+1 = 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5. Integración numérica, fn+1 > 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.6. Comparación de datos y simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación isotrópica. (a) Ensayo a compresión. (b) Ensayo a extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.7. Superficie de fluencia cinemática y superficie limitante, Grammatikopoulou(2004) 67 4.8. Configuración inicial de la superficie de fluencia cinemática. (a) no hay contacto entre fc y fl . (b) hay contacto entre fc y fl . . . . . . . . . . . 69 4.9. vectores paralelos n y nim en las superficies fc y fl . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.10. Traslación relativa de la superficie de endurecimiento cinemático a lo largo del vectór γ que une el estádo de esfuerzos en el punto C con su conjugado en D, Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.11. Esquema para deducción para la regla de traslación . . . . . . . . . . . . . . 72 4.12. Puntos singulares y regiones inestables sobre la superficie de fluencia cinemática debido a la función ho , Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . 79 4.13. Vector γ y el vector n, Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.14. Máximo valor de b, Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.15. Formas de las superficies de fluencia y del potencial plástico. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos, definido por el valor del angulo de Lode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.16. Comportamiento asintotico de las superfcicies de fluencia fc y fl . . . . . . . 86 4.17. Comportamiento asintotico de las superfcicies de fluencia fc y fl , configuración 1 86 4.18. Comportamiento asintotico de las superficies de fluencia fc y fl , configuración 2 87 4.19. Regla de traslación, configuración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.20. Regla de traslación, configuración 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.21. Configuración 1. No hay contacto, fc,n = 0 y fl,n < 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 100 4.22. Configuración 2. Hay contacto, fc,n = 0 y fl,n = 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.23. Configuración 3. No hay contacto, fc,n < 0 y fl,n < 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 101 4.24. Configuración 4. Hay contacto, pero fc,n < 0 y fl,n < 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 102 4.25. Configuración 5. Las superficies se intersectan, fc,n = 0 y fl,n > 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . 102 4.26. Configuración 6. Las superficies se intersectan, fc,n < 0 y fl,n = 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . 103 4.27. Caso 1: En el tiempo t = tn el estado de esfuerzos se encuentra sobre las superficies fc y fl y estas estan en contacto. Al final del incremento continuan en contacto, tiempo t = tn+1 . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 104. 8.

(10) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 4.28. Caso 2: En el tiempo t = tn las superficies fc y fl estan en contacto y el estado de esfuerzos esta sobre estas. Al final del incremento continuan en contacto y el estado de esfuerzos esta dentro de fc . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . 4.29. Caso 3: En los tiempos t = tn y t = tn+1 las superficies fc y fl no estan en contacto. En el tiempo tn el estado de esfuerzos esta dentro de fc . En el tiempo tn+α∆t el estado de esfuerzos esta sobre fc . Entre los tiempos tn+α∆t y tn+1 la superficie fc se traslada dentro de fl . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . 4.30. Caso 4: En los tiempos t = tn y t = tn+1 las superficies fc y fl no estan en contacto y la superficie fc se traslada dentro de fl . El estado de esfuerzos en el tiempo tn esta sobre la superficie fc . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 4.31. Caso 5. El estado de esfuerzos en el tiempo tn esta sobre la superficie fc y la superficie fc se traslada dentro de fl . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.32. Caso 6: En el tiempo t = tn las superficies no están en contácto. En el tiempo t = tn+β∆t las superficies están en contacto y continuan en contacto hasta t = tn+1 . El estado de esfuerzos en el tiempo tn esta sobre la superficie fc y en los tiempos t = tn+β∆t y t = tn+1 está sobre ambas superficies. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.33. Las superficies se intersectan en el tiempo tj+1 . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 4.34. Caso 7: En el tiempo t = tn las superficies no están en contacto y el estado de esfuerzos está dentro de fc . En el tiempo t = tn+1 las superficies están en contacto. El estado de esfuerzos en el tiempo tn+α∆t esta sobre la superficie fc y en el tiempo t = tn+1 está sobre ambas superficies. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.35. Comparación de datos y simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación isotrópica. (a) Ensayo a compresión. (b) Ensayo a extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.36. Simulación de ensayo triaxial ciclíco lento q = constante despúes de consolidación Anisotrópica. (a) η = q/p vs εv : Acumulación de deformacion volumétrica. (b) η = q/p vs εs : Acumulación de deformacion cortante . 4.37. Simulación de una trayectoria de esfuerzos despues de una consolidación isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.38. Simulación de una trayectoria de esfuerzos despues de una consolidación anisotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.39. Representación esquematica de la configuración que representa el inicio de fluencia y An+α∆t = inf inito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 111. 112. 123. 124. 125 134. 138. 139. 140 141 142 145.

(11) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 4.40. Representación esquematica de resultados tipicos de la primera formulación para un ensayo compresión triaxial no drenado (a) trayectoria de esfuerzos (b) curva rigidez-deformación (c) relación b/bmax vs deformación, por Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.41. Representación esquematica de la segunda formulación (sin tener en cuenta los cambios en po ), despúes de Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . 4.42. Representación esquematica de la segunda formulación (teniendo en cuenta los cambios en po ), despúes de Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . 4.43. Representación esquematica de la segunda formulación. (c) relación b/bmax vs deformación, por Grammatikopoulou(2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.44. Representación esquematica en el espacio de esfuerzos triaxialde (a) etapa de carga previa i−1 (b) Etapa de carga actual i (c) configuración de las superficies para el calculo del valor de b∗o , despúes de Grammatikopoulou(2004) . . . . . 4.45. Representación esquematica de la región de transición elastoplástica, fc = 0 y fl = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.46. Representación esquematica de la región de transición elastoplástica, fc = 0 y fl < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.47. Curva normalizada rigidez-deformación (pi es el esfuerzo efectivo medio al inicio del corte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.48. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados despues de consolidación anisotrópica, OCR = 7 . (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) Trayectoria de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.49. Simulación de ensayo triaxial ciclíco lento q = constante despúes de consolidación Anisotrópica. (a) η = q/p vs εv : Acumulación de deformacion volumétrica. (b) η = q/p vs εs : Acumulación de deformacion cortante . 4.50. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados despues de consolidación anisotrópica. Trayectoria de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.51. Superficie de fluencia y superficie de potencial plástico, despúes de Dafalias . 4.52. Evolución de α y β para carga constante η < α. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.53. Evolución de α y β para carga constante η > α . . . . . . . . . . . . . . . . 4.54. Erronea evolución de β para carga constante η > α . . . . . . . . . . . . . . 4.55. Formas de las superficies de fluencia y del potencial plástico. (a) Superficie del potencial plástico definida por el angulo de Lode. (b) Función de fluencia definida por el parámetro N, adquiere una forma circular. . . . . . . 4.56. Evolución de la variable de endurecimiento rotacional α . . . . . . . . . . . . 4.57. Integración numérica, fn+1 = 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.58. Integración numérica, fn+1 > 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.59. Comparación de datos y simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación isotrópica. (a) Ensayo a compresión. (b) Ensayo a extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Superficie de fluencia cinemática, fc , y superficie limitante, fl . . . . . . . . . 10. 146 147 147 148. 152 156 156 159. 159. 160 161 163 166 167 168. 171 173 178 179. 190 194.

(12) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 5.2. Esquema para deducción para la regla de traslación para la superficie del potencial plástico, gc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Traslación relativa de la superficie de endurecimiento cinemático a lo largo del vector γ que une el estado de esfuerzos en el punto C con su conjugado D, Configuración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Esquema para deducción para la regla de traslación para la superficie de fluencia cinemática, Configuración 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Esquema para deducción para la regla de traslación para la superficie de fluencia cinemática cuando hay contacto entre fc y fl , Configuración 2 . . . . . . 5.6. Esquema para calcular el modulo de endurecimiento, A, configuración 1 . . . 5.7. Esquema para calcular el endurecimiento, A, configuración 2 . . . . . . . . . 5.8. Máximo valor de b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Configuración de fc y fl en la etapa de carga previa, i − 1. . . . . . . . . . . 5.10. Configuración de fc y fl en la etapa de carga actual, i − 1. . . . . . . . . . . 5.11. Configuración de fc y fl en la etapa de carga actual, i, para el calculo de b∗o . 5.12. Configuración de las superficies de fluencia y del potencial plástico bajo un estado de esfuerzos actual para determinar los tensores relativos rr , αr y β r . (a) plano triaxial de esfuezos. (b) plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Formas de las superficies de fluencia y del potencial plástico. (a) Traslación relativa de la superficie de endurecimiento cinemático a lo largo del tensor γ que une el estádo de esfuerzos en el punto C con su conjugado D, espacio general de esfuezos. (b) Traslación relativa en el plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Esquema para calcular el modulo de endurecimiento, A, configuración 1 . . . 5.15. Esquema para calcular el endurecimiento, A, configuración 2 . . . . . . . . . 5.16. Máximo valor de b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17. Configuración de fc y fl en la etapa de carga previa, i − 1. . . . . . . . . . . 5.18. Configuración de fc y fl en la etapa de carga actual, i − 1. . . . . . . . . . . 5.19. Configuración de fc y fl en la etapa de carga actual, i, para el calculo de b∗o . 5.20. Configuración 1. No hay contacto, fc,n = 0 y fl,n < 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 5.21. Configuración 2. Hay contacto, fc,n = 0 y fl,n = 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 5.22. Configuración 3. No hay contacto, fc,n < 0 y fl,n < 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 5.23. Configuración 4. Hay contacto, pero fc,n < 0 y fl,n < 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 5.24. Configuración 5. Las superficies se intersectan, fc,n = 0 y fl,n > 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . 5.25. Configuración 6. Las superficies se intersectan, fc,n < 0 y fl,n = 0. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . .. 11. 195. 199 200 205 207 208 210 211 212 212. 217. 223 226 227 230 232 233 234 237 238 239 240 241 242.

(13) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 5.26. Caso 1: En el tiempo t = tn el estado de esfuerzos se encuentra sobre las superficies fc y fl y estas estan en contacto. Al final del incremento continuan en contacto, tiempo t = tn+1 . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 5.27. Caso 2: En el tiempo t = tn las superficies fc y fl estan en contacto y el estado de esfuerzos esta sobre estas. Al final del incremento continuan en contacto y el estado de esfuerzos esta dentro de fc . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . 5.28. Caso 3: En los tiempos t = tn y t = tn+1 las superficies fc y fl no estan en contacto. En el tiempo tn el estado de esfuerzos esta dentro de fc . En el tiempo tn+α∆t el estado de esfuerzos esta sobre fc . Entre los tiempos tn+α∆t y tn+1 la superficie fc se traslada dentro de fl . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . 5.29. Caso 4: En los tiempos t = tn y t = tn+1 las superficies fc y fl no estan en contacto y la superficie fc se traslada dentro de fl . El estado de esfuerzos en el tiempo tn esta sobre la superficie fc . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 5.30. Caso 5: En los tiempos t = tn y t = tn+1 las superficies fc y fl no están en contácto y la superficie fc se traslada dentro de fl . El estado de esfuerzos en el tiempo tn esta sobre la superficie fc . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . 5.31. Caso 6: En el tiempo t = tn las superficies no están en contácto. En el tiempo t = tn+β∆t las superficies están en contacto y continuan en contacto hasta t = tn+1 . El estado de esfuerzos en el tiempo tn esta sobre la superficie fc y en los tiempos t = tn+β∆t y t = tn+1 está sobre ambas superficies. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.32. Las superficies se intersectan en el tiempo tj+1 . (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . 5.33. Caso 7: En el tiempo t = tn las superficies no están en contacto y el estado de esfuerzos está dentro de fc . En el tiempo t = tn+1 las superficies están en contacto. El estado de esfuerzos en el tiempo tn+α∆t esta sobre la superficie fc y en el tiempo t = tn+1 está sobre ambas superficies. (a) Plano triaxial de esfuezos, p − q. (b) Plano desviador de esfuerzos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.34. Calibración de constantes λ y κ. (a) a partir de Cc y Cr . (b) a partir de Cc∗ y Cr∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.35. Simulaciones vs Datos LCT para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica, C = 16. (a) Trayectoria de esfuerzos plano p − q. (b) Esfuerzo desviador q vs deformación axial ε1 . (c) Esfuerzo desviador q vs deformación axial ε1 (pequeñas deformaciones) . . . . . . . . . . . . . . 5.36. Simulaciones vs Datos LCT para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica, C = 32 . (a) Trayectoria de esfuerzos plano p − q.. (b) Esfuerzo desviador q vs deformación axial ε1 . . . . . . . . . . . . 12. 243. 254. 255. 276. 277. 278 298. 303 304. 306. 307.

(14) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 5.37. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. (a) Curva de rigidez normalizada-Deformación, C = 16. (b) Curva de rigidez normalizada-Deformación, C = 32 . . . . . . . . . . . . . . 5.38. Simulaciones vs Datos LCT para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. (a) Trayectoria de esfuerzos plano p − q (Descarga), C = 16. (b) Trayectoria de esfuerzos plano p − q (Descarga), C = 32. (c) Trayectoria de esfuerzos plano p − q (Descarga-corte no drenado), C = 16. (d) Trayectoria de esfuerzos plano p − q (Descarga-corte no drenado), C = 32. 5.39. Simulaciones vs Datos LCT para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación isotrópica, C = 16. (a) Trayectoria de esfuerzos plano p − q. (b) Esfuerzo desviador q vs deformación axial ε1 . (c) Curva de rigidez normalizada-Deformación, C = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.40. Simulaciones vs Datos LCT para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación isotrópica, C = 16. (a) Trayectoria de esfuerzos plano p − q. (b) Esfuerzo desviador q vs deformación axial ε1 . . . . . . . . . . . . . . . . 5.41. Simulaciones para ensayos triaxiales ciclicos no drenados bajo consolidación anisotrópica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.42. Relaciones entre amplitud de corte, εs,p , y numero de ciclos, N . Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a (a) αparam = 3, (b) αparam = 30, (c) αparam = 300, (d) αparam = 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.43. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (a) y (b): 0 0 qcic /pi = 0,185. (c) y (d): qcic /pi = 0,213. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.44. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (e) y (f ): 0 0 qcic /pi = 0,241. (g) y (h): qcic /pi = 0,268. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.45. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (i) y (j): 0 0 qcic /pi = 0,321. (k) y (l): qcic /pi = 0,346. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.46. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (a) y (b): 0 0 qcic /pi = 0,185. (c) y (d): qcic /pi = 0,213. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.47. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. . (e) y (f ): 0 0 qcic /pi = 0,241. (g) y (h): qcic /pi = 0,268. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.48. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (i) y (j): 0 0 qcic /pi = 0,321. (k) y (l): qcic /pi = 0,346. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.49. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (a) y (b): 0 0 qcic /pi = 0,185. (c) y (d): qcic /pi = 0,213. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.50. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (e) y (f ): 0 0 qcic /pi = 0,241. (g) y (h): qcic /pi = 0,268. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 307. 308. 309. 310 310. 312. 313. 314. 315. 316. 317. 318. 319. 320.

(15) LISTA DE FIGURAS. MIC 20112009. 5.51. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (i) y (j): 0 0 qcic /pi = 0,321. (k) y (l): qcic /pi = 0,346. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.52. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (a) y (b): 0 0 qcic /pi = 0,185. (c) y (d): qcic /pi = 0,213. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.53. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (e) y (f ): 0 0 qcic /pi = 0,241. (g) y (h): qcic /pi = 0,268. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.54. Simulaciones para ensayos triaxiales no drenados bajo consolidación anisotrópica. Ko = 0,55, R = 0,2, qi /pi = 0,643, po = 250kP a. (i) y (j): 0 0 qcic /pi = 0,321. (k) y (l): qcic /pi = 0,346. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.55. Simulación de ensayo triaxial ciclíco lento q = constante despúes de consolidación Anisotrópica. (a) η = q/p vs εv : Acumulación de deformacion volumétrica. (b) η = q/p vs εs : Acumulación de deformacion cortante . 5.56. Simulaciones vs Datos LCT para ensayos triaxiales drenados bajo consolidación anisotrópica, C = 16. (a) Esfuerzo desviador q vs deformación axial ε1 . (b) Trayectoria de esfuerzos plano p − q. (c) deformación volumétrica εv vs deformación axial ε1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 321. 322. 323. 324. 325. 326.

(16) Capítulo 1 Introducción El presente trabajo tiene como objetivo principal desarrollar una extensión de los modelos constitutivos propuestos por Al-Tabbaa [2] y Grammatikopoulou et al [18] formulados bajo el concepto de endurecimiento cinemático. La finalidad de la extensión es simular el comportamiento observado bajo cargas cíclicas para arcillas bajo un estado de esfuerzos inicial estático de corte. Estos modelos han sido desarrollados en el marco teórico del estado crítico de la mecánica de suelos para la simulación de la respuesta mecánica de arcillas sobreconsolidadas, en donde el modelo base utilizado es el Cam-Clay modificado. El modelo de dos superficies (2SM) propuesto por Grammatikopoulou et al[18], [17] es una extensión del modelo de dos superficies (2S) propuesto por Al-Tabbaa[2]. Con el modelo 2SM puede obtenerse una transición suave al pasar de comportamiento puramente elástico al comportamiento elastoplástico. Con esto se obtienen curvas de degradación del módulo de rigidez más realistas. Para lograr ésto, Grammatikopoulou et al[18] proponen un nuevo módulo de endurecimiento y el cambio de superficie de fluencia activa. Aunque estos modelos presentan una mejora sobre el comportamiento mecánico de arcillas sobreconsolidadas, tienen limitaciones cuando tratan de simular el comportamiento bajo cargas cíclicas. La limitación obedece a la forma de las superficies de fluencia y a la regla de traslación utilizada para desplazar la región elástica en el espacio de esfuerzos. Cuando este modelo es utilizado para simular un ensayo cíclico no drenado para un estado de esfuerzos inicial cualquiera, la trayectoria de esfuerzos cíclica se moviliza hacia un estado de esfuerzos donde el OCR final es igual a 2. Este tipo de respuesta mecánica no ha sido observada experimentalmente. Los trabajos de Hyodo et al[21],[20] sobre comportamiento de arcillas bajo cargas cíclicas muestran que la trayectoria de esfuerzos cíclica se desplaza hacia la relación de estados críticos. En arcillas normalmente consolidadas, una vez los esfuerzos alcanzan la relación de estados críticos, un ciclo estable se mantiene en la trayectoría de esfuerzos. En ensayos cíclicos iniciados desde un estado de esfuerzos anisotrópico el estado de esfuerzos puede cruzar la linea del estado crítico, excepto para valores muy altos de esfuerzos estaticos iniciales[21]. Para superar la limitación que presentan estos modelos de endurecimiento cinemático, en el presente trabajo se propone una regla de traslación de un tipo similar a las de los trabajos de Al-tabbaa[2] y Grammatikopoulou y otros[18], pero utilizando como superficie de fluencia la superficie de fluencia y leyes de evolución de las variables internas del modelo SANICLAY propuesto por 15.

(17) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 20112009. Dafalias et al[8]. El presente trabajo está divido en tres capitulos. En el primero se hace una revisión de algunos modelos constitutivos para simular la respuesta observada en arcillas sobreconsolidadas. Se inicia con la revisión del modelo Cam-Clay modificado, señalando las limitaciones del modelo para simular la respuesta bajo carga monotonica y cíclica para estados de esfuerzos dentro de la superficie de fluencia. El segundo modelo tratado es el de las dos superficies, propuesto por Al-Tabbaa[2]. Inicialmente se presenta la formulación de este modelo en el plano p − q y luego en el espacio general de esfuerzos, teniendo en cuenta la extensión propuesta por Grammatikopoulou[17]. Esta fromulación permite mantener en contacto las superficies de fluencia cinemática y limitante bajo carga elastoplástica subsecuente una vez estas entran en contacto por primera vez. El tercer modelo tratado es el modelo de dos superficies modificado propuesto por Grammatikopoulou et al[17], con el cual se pueden obtenerse curvas de degradación de rigidez-deformación más realistas. En esa sección se revisa la regla de traslación del modelo y se presentan las limitaciones para la simulación de trayectorias de esfuerzos cíclicos. Al final del Capítulo, el modelo SANICLAY es revisado. En el capitulo 5 se propone una extensión del modelo de dos superficies utilizando algunas propiedades del modelo SANICLAY. La modificación puede simular algunas características importantes de la respuesta de las arcillas bajo cargas cíclicas.. 16.

(18) Capítulo 2 Formulación constitutiva 2.1.. Leyes fundamentales de la termodinámica. Un modelo constitutivo puramente mecánico, basado en la teoría de medios continuos, debe cumplír con las leyes fudamentales de la termodinámica [19] que se presentarán en esta sección. Antes de presentar estas leyes, primero se definirán los tipos de fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Estas fuerzas se describirán de acuerdo al esquema presentado en la Figura 2.1.. Figura 2.1: Acciones de naturaleza puramente mecánica sobre un cuerpo material cualquiera. En la Figura 2.1 se presenta un cuerpo M de masa mM y superficie ∂M . De este cuerpo se ha extraido un subcuerpo cualquiera B con una superficie ∂B. Del subcuerpo tomaremos un 17.

(19) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. elemento diferencial de volúmen dV y sobre la superficie del subcuerpo un elemento diferencial de área dA. Sobre el elemento diferencial de volúmen actuará una fuerza volumétrica, que es condicionada por el campo gravitacional. Sobre el elemento diferencial de área dA, actuará un fuerza sobre su superficie, condicionada por el contacto. Esta última fuerza es llamada en la literatura [19] como fuerza de traccón o fuerza superficial. Las fuerzas actuantes sobre el partes diferenciales del subcuerpo B y sus dimensiones son definidas como: fuerza volumétrica dF~ = f~dV. donde la dimensión de. Fuerza f~ es Dim [f~] = Volúmen. (2.1). donde f~ = ρ~k, ρ es la densidad del cuerpo y ~k es una fuerza de masa condicionada por el campo gravitacional. La dimensión de ~k es: Fuerza Dim [~k] = masa. (2.2). fuerza superficial dF~ = ~σ dA donde la dimensión de. 2.1.1.. ~σ es Dim [~σ ] =. Fuerza Área. (2.3). Conservación de la masa. El principio de conservación de la masa establece que la tasa de incremento de masa en una parte fija de un material es siempre cero [25]. Z D ρdV = 0 (2.4) Dt (B) donde ρ y dV corresponden a la densidad y al volúmen del elemento de masa dm que me mueve con el material. Realizando las operaciones en la ecuación (2.4), Z Z D D(ρ) D(dV ) D(ρ) 1 D(dV ) ρdV = (ρdV ) = dV + ρ = +ρ dV = 0 Dt Dt Dt dV Dt (B) (B) Dt (B) (B) (2.5) 1 D donde el termino dV da la tasa del cambio de volumen por unidad de volumen. Este dV Dt termino tambien puede ser expresado en terminos de componentes de velocidad [25] como: D Dt. Z. Z. . 1 D ∂vi dV = = divv dV Dt ∂xi. 18. (2.6).

(20) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. asi que la Ecuacón (2.5) se convierte en: Z Z Dρ D (ρdV ) = + div ρ dV = 0 Dt (B) (B) Dt. MIC 20112009. (2.7). como la Ecuación (2.7) debe ser valida para todo V , entonces, el integrando deber ser cero. El prinicipio de conservación de la masa se puede expresar como: Dρ + div ρ = 0 Dt. 2.1.2.. (2.8). Balance de impulso-principio de momento lineal. La fuerza I~ que lleva un cuerpo B cuando se mueve es igual a la suma de todas las fuerzas ~ F sobre ese cuerpo: Z D ~ I= ~v dm = F~ (F~ : Suma de fuerzas sobre B) (2.9) Dt (B) donde ~v es la velocidad del cuerpo B, dm es la masa de un elemento diferencial de volumen dV del cuerpo B. Como dm = ρdV , la fuerza lleva un cuerpo cuando se mueve se puede expresar como: Z D ~ ρ~v dV (2.10) I= Dt (B) la suma de las fuerzas,F~ , que actuan sobre el cuerpo que se mueve son: Z Z ~ ~ F = ρkdV + ~σ dA (B). (2.11). (∂B). utilizando el segundo axioma de Cauchy [25], ~σ = σ T n̂, luego la Ecuación (2.11) toma la forma: Z Z ~ ~ F = ρkdV + σ T n̂dA (2.12) (B). (∂B). utilizando la identidad σ T n̂ = n̂σ, donde n̂ es un vector unitario normal al elemnto diferencial de área dA. Z Z F~ = ρ~kdV + n̂σdA (2.13) (B). (∂B). utilizando el teorema de Gauss: Z. Z ∇σdV. n̂σdA = (∂B). (B). 19. (2.14).

(21) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA y ahora F~ se puede expresar como: Z Z ~ ~ ρkdV + F = (B). Z ∇σdV =. (B). MIC 20112009. ρ~kdV +. (B). Z Div σdV. (2.15). (B). por último, de la Ecuación (2.9) se llega:. I~ − F~ =. Z. ρ~v˙ dV −. Z. (B). ρ~kdV −. Z. (B). Z Div σdV =. (B). . ˙ ~ ρ~v − ρk − Div σ dV = 0 (2.16). (B). razonando, la integral para cualquier cuerpo B puede desaparecer únicamente cuando desaparezca el integrando. Con: ~x = ~u + ξ~ → ~x˙ = ~v = ~u˙ → ~x¨ = ~a = ~u¨. (2.17). resulta el impulso ó la ecuación de movimiento: ρ~v˙ − ρ~k − Div σ = 0. (2.18). con f~ := ρ~k como fuerza volumétrica: ρ~u¨ = f~ + Div σ. (2.19). En (2.17), ξ~ describe la posición inicial del elemento, y ~u el desplazamiento de este elemento desde la posición ξ~ hacia la posición ~x.. 2.1.3.. El primer principio de la termodinámica-Ley de la conservación de la energia. La derivada temporal del incremento de las energias cinética,U , e internas,T , para una parte fija de un material es igual a la suma de la potencia debida al trabajo de las fuerzas superficiales,P∂B , y las fuerzas de cuerpo,Pb , más todas las otras energías que entren o salgan del cuerpo en la unidad de tiempo [25]. En el presente documento solo se considerarán energias mecánicas. El primer principio de la termodinamica queda expresado por la siguiente ecuación: Z D (U + T ) = P∂B + PB (2.20) Dt B en la siguiente ecuación, Z D Dt B. ϕ es la energia especifica interna Z Z Z 1 2 ~ ρv dV + ρϕdV = ρk ◦ ~v dV + ~σ ◦ ~v dA 2 B B ∂B. 20. (2.21).

(22) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. dedido a que ~σ ◦ ~v = σ T ~n ◦ ~v = ~n ◦ σ~v se obtiene con el teorema de Gauss: Z Z Z ~n ◦ σ~v = ∇ ◦ (σ~v )dV = [(∇σ) ◦ ~v + σ ◦ L] dV ∂B. B. (2.22). (B). con las definiciones siguientes: L := Grad ~v = ∇ ⊗ ~v. (2.23). donde L es el tensor gradiente del campo vectorial de velocidades. La parte simétrica de L es el tensor de velocidad de deformación D: D :=. 1 1 Grad ~v + (Grad ~v )T = ∇ ⊗ ~v + (∇ ⊗ ~v )T 2 2. (2.24). debido a que σ es simétrico, se llega a que σ : L = σ : D por que el producto interno entre un tensor simétrico con un tensor antisimétrico desaparece. El balance de energia de energía queda como: Z. Z. Z. ρ~n ◦ ~v + (B). ρϕdV = (B). ρ~k ◦ ~v dV +. Z. (B). Z (Div σ) ◦ ~v dV +. (B). σ : DdV. (2.25). (B). donde v 2 = ~v ◦ ~v ha sido reemplazado en la Ecuación (2.25).  Z (B).  ~n ◦  =0.  ρ~v − Div σ − ρ~k | {z } según balance de impulso. Z   dV +. (ρϕ − σ : D) dV = 0. (2.26). (B). debido a esto, se llega a: ρϕ = σ : D. (2.27). donde σ : D es la potencia de esfuerzos. El cambio de la energía específica interna es igual a la suma de potencia de esfuerzos.. 2.1.4.. El segundo principio de la termodinámica. Para presentar el segundo principio de la termodinámica, solo se considerarán energias puramente mecánicas. La energía especifica interna por unidad de volumen se representará con la letra ξ. A continuación se presentan de tipos de materiales para ilustrar el principio. Material no disipativo Material en donde toda la energia que entra al sistema,σdV , es almacenada. La explicación 21.

(23) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. se da a continuación, primero para el caso unidimensional y por ultimo se extenderá al caso tridimensional. Considere un elemento de longitud L, y área A como el de la Figura 2.2, que es sometido a una fuerza F . Debido a la fuerza aplicada, el elemento experimentrá un cambio de longitud a una tasa δ̇. El cambio de energia sobre el elemento será P̂ = F δ̇. Donde P̂ es la potencia que entra al sistema. Esta energía expresada por unidad de volúmen es:. Figura 2.2: Material no disipativo. P̂ F δ̇ ξ˙ = = = σ ε̇ V AL. (2.28). ξ˙ = σ ε̇. (2.29). como puede verse en la Ecuación (2.29), la energía generada por la fuerza externa,F , fue ˙ Ahora, si la fuerza, F , es retirada completamente, el transformada en energía interna ξ. ˙ que material recuperará las dimensiones iniciales, es decir, que toda la energia interna, ξ, se generó con la aplicación de la carga, F , ha sido liberada por el material, una vez se ha retirado la carga, ver Figura 2.2. Material disipativo En este material, no toda la energía que entra al sistema es almacenada. Considere el esquema de la Figura 2.3. En este esquema se presenta un elemento de longitud L, y area A, que ha sido sometido a una fuerza F . La fuerza F , ha generado una deformación sobre el elemento. La energía que entra al sistema es P̂ = F δ̇. Se puede observar en la Figura 2.3 que al retirar completamente la fuerza F , el elemento no recupera completamente sus dimensiones iniciales. Ahora la longitud y el area del elemento es diferente a la inicial. Esto sugiere que, de toda la energía que entró al sistema, el sistema solo fue capaz de liberar una cantidad de energía que permitío recuperar al elemento parte de sus dimensiones iniciales. la energía restante se transformó en energía asocidada con la deformación que no pudo recuperarse. Este último 22.

(24) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. tipo de energía está asociada a algún mecanismo de disipación. Para los propositos de este documento, el mecanismo de disipación será la fricción entre las particulas que constituyen el material. El primer principio de la termodinámica para este material se puede expresar como:. Figura 2.3: Material disipativo. ξ˙ = P̂ = Ψ̇ + D. (2.30). donde Ψ y D corresponden a la energía libre Helmholtz [19] y la energía disipada por unidad de volúmen respectivamente. La energía que permite al elemento recuperar completamente ó parcialmente sus dimensiones iniciales, es conocida como energia libre Helmholtz y se representá con la letra Ψ. La segunda ley de la termodinámica para un proceso puramente mecánico se puede expresar como: D = ξ˙ − Ψ̇ ≥ 0. (2.31). D = σ ε̇ − Ψ̇ ≥ 0. (2.32). La cantidad de energía disipada por unidad de volúmen D, será asociada al mecanismo de disipación de energía por fricción y será tenida en cuenta como una parte de la energía que entró al sistema y se manifesto como deformación no recuperable. La deformación no recuperable será expresada de ahora en adelante como εp , por lo tanto: D = D̂(εp , k). (2.33). La letra D̂ antes del parentesis quiere decir que la energí a disipada,D, depende de la deformación no recuperable, εp , y a una variable k, cuya magnitud dependerá del mecanismo de 23.

(25) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. disipación. En la Ecuación (2.38), εp , k son conocidas como variables internas, ya que están asociadas al mecanismo de disipación interno del sistema. En el material no disipativo, la tasa de energía libre Ψ para el caso unidimensional es expresada como: Ψ̇ = σ ε̇. (2.34). para el caso tridimensional, la tasa de energía libre, Ψ̇, se puede expresar como: Ψ̇ = σ : ε̇. (2.35). La Ecuación (2.35) adquiere la misma forma para deformaciones infinitesimales, ya que D = ε̇ [19]. Este es el tipo de deformación que se tratan en este trabajo. de la Ecuación (2.35) se llega a: Ψ = Ψ̂(ε) (2.36) En el caso del material disipativo, la tasa de energía libre, Ψ̇, para el caso tridimensional se expresa como: Ψ̇ = σ : ε̇ − D̂(εp , k). (2.37). y la energía disapada (en la forma de desigualdad de Clausius - Duhem) [13] con la expresión: D = σ : ε̇ − Ψ̇ ≥ 0. (2.38). de la Ecuación (2.37) se concluye que: Ψ = Ψ̂(ε, εp , k). (2.39). Obteniendo la tasa de cámbio de la función de energía libre Helmholtz, y utilizando la Ecuación (2.39) se llega a: Ψ̇ =. ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ˙p ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ∂ Ψ̂(ε, εp , k) : ε̇ + :ε + ∗ k̇ ∂ε ∂εp ∂k. (2.40). donde el operador ∗ representa la operación adecuada entre los terminos que opera [19]. reemplazando la expresión obtenida para Ψ̇ en la Ecuación (2.32) se obtiene:. D = σ : ε̇ −. ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ˙p ∂ Ψ̂(ε, εp , k) : ε̇ − :ε − ∗ k̇ ≥ 0 ∂ε ∂εp ∂k. 24. (2.41).

(26) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. simplificando algunos terminos se llega a:. ∂ Ψ̂(ε, εp , k) σ− ∂ε. D=. ! : ε̇ −. ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ˙p ∂ Ψ̂(ε, εp , k) :ε − ∗ k̇ ≥ 0 ∂εp ∂k. (2.42). En un proceso no disipativo, donde εp no existe, y D = 0, la Ecuación (2.42) se transforma en: ! ∂ Ψ̂(ε, εp , k) : ε̇ = 0 (2.43) D= σ− ∂ε de esta expresión se llega a: σ=. ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ∂ε. (2.44). si en un proceso elástico la expresión anterior se mantiene, esta se mantendrá para cualquier proceso. En consecuencia, la Ecuación (2.42) se reescribe de la siguiente forma: . . ∂ Ψ̂(ε, εp , k)  ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ˙p ∂ Ψ̂(ε, εp , k)  D = σ − :ε − ∗ k̇ ≥ 0  : ε̇ − ∂εp ∂k | {z∂ε }. (2.45). =0. debido a que la restricción (2.45) debe mantenerse para cualquier estado admisible [σ, ε, εp , k], y para todas las tasas [ε̇, ε˙p , k̇] [19], entonces: los esfuerzos aplicados al sistema se otienen como: σ=. ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ∂ε. (2.46). y la energía disipada como sigue: ∂ Ψ̂(ε, εp , k) ˙p ∂ Ψ̂(ε, εp , k) D=− :ε − ∗ k̇ ≥ 0 ∂εp ∂k. (2.47). donde esta ultima expresión tendrá una gran influencia sobre la formulación de los modelos constitutivos a tratar en este documento. La rama dentro de la que se rigen los modelos constitutivos tratatos en las siguientes Secciones, corresponde a la termodinámica irreversible con variables de estado internas [19].. 25.

(27) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. 2.2.. MIC 20112009. Elastoplásticidad. En la formulación de modelos constitutivos elastoplásticos se define para el material un dominio elástico, es decir, un conjunto de valores de esfuerzos donde el comportamiento es completamente elástico[13]. Este comportamiento completamente elástico tiene un límite, y este limite es definido por la función de fluencia. Cuando los esfuerzos sobre el material alcanzan esta superficie, el material fluye y el comportamiento es elastoplástico. Para entender cualquier modelo constitutivo elastoplástico, es necesario, además de describir en que consiste el dominio elástico y la función de fluencia, se deben definir con ellos los otros compenentes que constituyen la teoría. Los siguientes literales tratan con cada unos de estos componentes.. 2.2.1.. Descomposición del tensor de deformación. Los modelos constitutivos elastoplásticos suponen que el tensor de deformación puede descomponerse en un tensor de deformación elástica, εe , y un tensor de deformación plástica, εp . De acuerdo con esto: ε := εe + εp. (2.48). El tensor de esfuerzos puede escribirse como: σ = C e : (ε − εp ). (2.49). σ̇ = C e : ε̇ − ε˙p. (2.50). y en su forma incremental:. 2.2.2.. . Región elástica y función de fluencia. Cuando el estado de esfuerzos se encuentra dentro de la región elástica, RE, el comportamiento es totalmente elástico, todo punto sobre la linea o1p1 en la Figura2.5, excepto σ y(1) . Una vez el estado de esfuerzos, σ, alcanza una superficie definida como superficie de fluencia, fy , tanto deformaciones elásticas y plásticas empiezan a presentarse. En la Figura 2.5 los esfuerzos σ y(1) y σ y(2) se encuentran sobre esta superficie. Con lo dicho anteriormente, la superficie de fluencia se puede definir como un límite entre el comportamiento puramente elástico y comportamiento elastoplástico. La función de fluencia depende del estado de esfuerzos. Si el modelo constitutivo contiene algún tipo de endurecimiento, entonces, también será función de una variable de endurecimiento, que de aquí en adelante se denotará con la letra k. Entonces la función de fluencia se puede definir como: f (σ, k) = 0. 26. (2.51).

(28) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. En terminos matematicos el dominio elástico se puede tambien como: Eσ := {σ ∈ S | f (σ, k) ≤ 0}. (2.52). donde S es un espacio de tensores simetricos de segundo orden[13],[15] y k son las variables de endurecimiento cinemático, kcin , e isotrópico, k iso , que evolucionan en presencia de deformaciones plásticas. kcin es un tensor de segundo orden y k iso es una función escalár. La forma en la que evolucionan estas variables se presentará en detalle en las siguientes secciones.. b). a). Figura 2.4: Descripción del comportamiento elastoplástico. (a) Curva esfuerzo-deformación elastoplástica. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ). 2.2.3.. Regla de flujo. La regla de flujo define la forma en la que se dan los incrementos de deformaciones plásticas. En muchos casos, el incremento de las deformaciones plásticas se asocia con una función del estado de esfuerzos elastoplástico denominada potencial plástico. El incremento de las deformaciones plásticas, ε˙p , es entonces definido como el gradiente del potencial plástico: ε˙p = L. ∂p(σ, k) ∂σ. (2.53). El significado del termino L será explicado más adelante en este documento.. 2.2.4.. Leyes de endurecimiento. Son leyes que definen la forma en la que el dominio elástico cambia y/o se traslada, en el espacio de esfuerzos, bajo la presencia de flujo plástico. Estas leyes son en la mayoria de 27.

(29) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. los casos función del incremento de las deformaciones plásticas, ε˙p , y pueden utilizarse para simular comportamiento de endurecimiento y/o ablandamiento observado en experimentos sobre algunos materiales[3],[2],[18],[17],[8]. La evolución para las variables internas, k̇, puede expresarse, matematicamente, como una función del incremento de las deformaciones plásticas, ε˙p , como: k̇ = k̇(ε˙p ). (2.54). Dos tipos de endurecimientos pueden utilizarse para capturar el comportamiento realista de materiales. Uno de estos tipos de endurecimiento, es el endurecimiento cimemático, que a partir de una variable conocida en la literatura[13] como “back stress” permite definir la forma como el centro de la región elástica se desplaza a través del espacio de esfuerzos. El otro tipo de endurecimiento es el endurecimiento isotrópico, que define cómo cambia el tamaño de la región elástica bajo carga elastoplástica. Para tener una idea más clara sobre estos dos tipos de endurecimiento, la explicación se hará con referencia a las Figuras 2.5 y 2.6. La Figura 2.5 muestra el caso de endurecimiento isotrópico. En esta Figura se muestra una curva esfuerzodeformación típica para este tipo de endurecimiento. Se inicia con una carga desde el punto o1 hasta el punto p1. Para el rango de esfuerzos desde el punto o1 y menores a σ y(1) el comportamiento es elástico. Cuando el esfuerzo σ y(1) es alcanzado, el material comienza a fluir hasta el punto p2. Si el material es descargado, es decir, que el estado de esfuerzos regresa al punto o2, y posterior a ello se inicia una recarga, el esfuerzo al que fluirá el material será ahora σ y(2) , menor que σ y(1) , esto implíca que el dominio elástico Eσ ha cambiado, en este caso ha aumentado. Si el material ahora es cargado hasta el punto p3, el esfuerzo alcanzado en ese punto será σ y(3) = −σ y(2) . Si se sigue cargando hasta el punto p4, el material experimentará nuevamente un cambio en su dominio elástico, y al final del ciclo la trayectoria no cierra en un circuito, es decir, σ y(5) 6= −σ y(1) , y por lo tanto, Eσ (p2, p3) 6= Eσ (p4, p5). Considerando ahora el caso de endurecimiento cinemático, la Figura 2.6 muesta una trayectoria de esfuerzos definida por un ciclo de carga-descarga-recarga. A diferencia del comportamiento observado cuando se presenta endurecimiento isotrópico, cuando solo existe endurecimiento cinemático, el dominio elástico siempre se conserva, es decir, Eσ (p2, p3) = Eσ (p4, p5), pero en este caso, el centro de la región elástica se ha desplazado, esto es, k cin(p2,p3) 6= k cin(p4,p5) . Para mayor claridad sobre los dos tipos de endurecimiento mencionados se puede consultar[13],[19],[15]. Una combinación de estos dos tipos de endurecimiento es utilizada por investigadores en muchos modelos constitutivos, para capturar el comportamiento de materiales[3],[2],[18],[17],[8]. La combinación permite que la superficie de fluencia se traslade en el espacio de esfuerzos, y simultaneamente experimenta un aumento en su dominio elástico, ver Figura2.7.. 2.2.5.. Condiciones Kuhn-Tucker. Los modelos elastoplásticos obedecen las condiciones Kuhn-Tucker [13], [19] bajo cualquier estado de esfuerzos y/o deformación. Para explicar el significado de estas condiciones y el de los terminos que lo conforman, recurriremos a la segunda ley de la termodinámica y 28.

(30) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. b). a). Figura 2.5: Descripción del endurecimiento isotrópico. (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ). b) a) Figura 2.6: Descripción del endurecimiento cinemático. (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ). al caso tridimensional, y solo considerando como variable interna la deformación plástica εp . Escribiendo la Ecuación (2.47) para el caso tridimensional, la cantidad de energía disipada. 29.

(31) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. b) a) Figura 2.7: Descripción de endurecimiento isotrópico y cinemático combinados. (a) Curva esfuerzo-deformación. (b) región elastica (RE) y supeficie de fluencia (fy ). D ó trabajo plástico realizado es: ∂ Ψ̂(ε, εp ) ˙p D=− :ε ≥0 ∂εp. (2.55). razonando, la cantidad de energía es una potencia de esfuerzos disipada, es decir, D = σ : εp . De acuerdo a esto, el esfuerzo σ p puede ser obtenido como: −. ∂ Ψ̂(ε, εp ) =σ ∂εp. (2.56). de la segunda ley de la termodinámica, representada por la Ecuación (2.55) y la Ecuación (2.56), se puede llegar a la siguiente conclusión: El producto interno entre los terminos ∂ Ψ̂(ε, εp ) − y ε˙p debe ser mayor ó igual que cero para poder cumplir con el segundo principio ∂εp de la termodinánica. La pregunta es, como encontrar una ley de evolución para la variable interna εp . Una forma de obtener una ley de evolución para ε˙p es partiendo del hecho de que un material de naturaleza plástica fluye en la dirección que se le fuerza a fluir, se debe utilizar entonces una función del potencial plástico que sea función de los esfuerzos [32]. Las derivadas potencial plástico dan las direcciones en las que se da este flujo, pero no dan en forma absoluta la magnitud de ese flujo. Ahora, lo que si se sabe es que esta magnitud del incremento de las deformaciones plásticas es directamente dependiente de la cantidad de trabajo necesaria para producir tal incremento de deformaciones plásticas [32], y tambien que la regla de flujo propuesta sea consitente con la Ecuación (2.55). Ya que la anterior restricción. 30.

(32) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. ∂ Ψ̂(ε, εp ) ˙p (2.55) se debe cumplir, y sabiendo que − : ε corresponde a una proporción de la ∂εp cantidad de potencia de entrada al sistema, se puede incluir un factor escalar proporcional a la cantidad de trabajo utilizado para generar ese conjunto de deformaciones plásticas ε˙p . Este factor escalar es L y la ley de evolución para el flujo plástico toma la forma: ∂P (σ) ε˙p = L ∂σ. (2.57). donde P (σ) es el potencial de flujo plástico1 y L es un factor proporcional a la cantidad de trabajo plástico en ese conjunto particular de incremento de deformaciones plásticas. Si reemplazamos las Ecuaciones (2.57) y (2.56) en la Ecuación (2.55) se tiene que: D=σ:L. ∂P (σ) ≥0 ∂σ. (2.58). ∂P (σ) de acuerdo a la Ecuación (2.58), donde producto interno σ : debe ser mayor que ∂σ cero, se llega a la primera conclusión: El signo del factor proporcional L debe ser positivo en un proceso de carga elastoplástica, y cero cuando no exista carga elastoplástica(no existe disipación de energía). Esta condición se resume en la Ecuación (2.59). L ≥ 0,. (2.59). Ahora, la función de fluencia f nos permite identificar en que condición se encuentra el material, bajo un estado de esfuerzos dado. Es decir, si el material se encuentra bajo carga elástica ó elastoplástica. Carga elástica se presenta cuando f < 0, y carga elastoplástica cuando f = 0. Estas dos condiciones son las únicas condiciones posibles ó admisibles en un proceso de carga para este material [19]. por lo tanto la condición de la Ecuación (2.60) debe mantenerse bajo todo proceso de carga. f (σ, k) ≤ 0,. (2.60). de las dos condiciones anteriores se genera una tercera condición, y puede verse como sigue: en un proceso de carga elástica f < 0 y L = 0. Por otra parte, en un proceso de carga elastoplástica f = 0 y L > 0. Lo anterior conduce a la tercera condición, que se expresa en forma matemática mediante al Ecuación (2.61). L f (σ, k) = 0. (2.61). Adicional a las condiciones anteriores, se debe cumplir una condición conocida como condición de consistencia [19]. Esta se deriva de las anteriores condiciones, y es el resultado incluir el cambio de la función de fluencia f en un proceso de carga. Nuevamente, en un proceso de carga elástica, el cambio en f en el tiempo es f˙ 6= 0 y L = 0. En un proceso de carga elastoplástica, el cambio en f en el tiempo es f˙ = 0 y L > 0. Luego, esta condición adicional 1. En muchos modelos constitutivos se utiliza la funcíon de fluencia como función de potencial de flujo plástico, se dice entonces que la ley de evolución para, ε˙p , es asociada [32].. 31.

(33) CAPÍTULO 2. FORMULACIÓN CONSTITUTIVA. MIC 20112009. se expresa como: Lf˙(σ, k) = 0. 32. (2.62).

(34) Capítulo 3 Integración númerica de un modelo constitutivo elastoplástico 3.1.. Integración númerica. Un problema real de ingenieria geotecnica se puede simular utilizando una formulación constitutiva, que relaciona el cambio total de esfuerzos con la deformación, en conjunto con la teoría de elementos finitos. La formulación en forma detallada de esta teoría puede ser consultada en [30], por lo que en esta tesis solo se mencionarán los pasos que se deben seguir para construir un modelo de elementos finitos. Discretización del domínio El domínio de un problema de ingeniería geotecnica puede ser discretizado utilizando para ello un conjunto finitos de elementos. En la Figura 3.1 se presenta la discretización de un terraplén y su fundación, utilizando elementos finitos tipo cuadrilatero. A esta discretización se le llama con el nombre de malla de elementos finitos.. Figura 3.1: Malla de elementos finítos de un terraplén, despúes de Grammatikopoulou(2004). Aproximación de la variable primária 33.