TESIS PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE INGENIERO DE MINAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

“Aplicación del modelo estadístico Monte Carlo para predecir la rentabilidad de la flota de movimiento de tierras en el proyecto El Toro - Constructora

FRELMAR S.A.C.”

AUTOR: Br. Sairy Terry Taboada Custodio.

ASESOR: Mg. Filomeno Bilmer Gamarra Reyes.

TRUJILLO – PERÚ

2022

TESIS

PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL

DE INGENIERO DE MINAS

i HOJA DE REFERENCIA

JURADO EVALUADOR

PRESIDENTE

Mg. Prado Palomino Pedro Crisologo CIP: 58491

SECRETARIO

Mg. Rolando Martín Martínez Diaz CIP: 37891

VOCAL

Mg. Bilmer Filomeno Gamarra Reyes CIP: 22843

DEDICATORIA

A mis padres Teodulfo Taboada y Esther Custodio, por su motivación y apoyo durante el estudio de mi carrera profesional.

A mi hermano Daniel Taboada, por enseñarme a ser resiliente ante las diferentes adversidades que se presentan en la vida.

A Eliza Mendoza, por ser una fuente de apoyo constante durante los momentos difíciles.

iii AGRADECIMIENTO

A mi alma Mater Universidad Nacional de Trujillo por brindarme la oportunidad de formarme en sus aulas y permitirme cumplir mis metas y objetivos propuestos en mi vida.

A los docentes de la escuela profesional de Ingeniería de Minas de la UNT, por transmitir su valioso conocimiento, sabiduría y experiencia, y por ser pacientes en el proceso de mi formación profesional.

Al Ing. Bilmar Gamarra, por ser mi maestro, guía y fuente de consulta durante la elaboración del presente trabajo.

ÍNDICE

HOJA DE REFERENCIA JURADO EVALUADOR ... I DEDICATORIA ... II AGRADECIMIENTO ... III ÍNDICE ... IV ÍNDICE DE TABLAS... VIII ÍNDICE DE FIGURAS... IX RESUMEN... XIV ABSTRACT ... XV

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN ... 1

1.1. REALIDAD PROBLEMÁTICA ... 1

1.2. JUSTIFICACIÓN Y RELEVANCIA ... 3

1.2.1. Empresarial... 3

1.2.2. Técnica ... 3

1.2.3. Legal ... 4

1.2.4. Social... 4

1.3. MARCO TEÓRICO CONCEPTUAL ... 4

1.3.1. Antecedentes de la investigación ... 4

1.3.2. Marco teórico... 8

1.3.2.1. Método Monte Carlo ... 8

1.3.2.2. Modelo matemático ... 9

1.3.2.3. Simulación ... 9

1.3.3. Evaluación de rentabilidad ... 28

v

1.4. PROBLEMA ... 33

1.5. HIPÓTESIS ... 34

1.6. OBJETIVOS ... 34

1.6.1. Objetivo general... 34

1.6.2. Objetivos específicos ... 34

CAPÍTULO II MATERIALES Y MÉTODOS ... 35

2.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN... 35

2.2. POBLACIÓN Y MUESTRA ... 35

2.2.1. Población ... 35

2.2.2. Muestra ... 35

2.3. CRITERIOS DE INCLUSIÓN ... 35

2.3.1. Método de investigación ... 35

2.3.2. Diseño de investigación ... 35

2.4. UNIDAD DE ANÁLISIS ... 36

2.5. INSTRUMENTOS ... 36

2.6. CONTROL DE CALIDAD DE LOS DATOS ... 36

2.7. PROCEDIMIENTO ... 37

2.7.1. Formulación del problema ... 37

2.7.2. Recolección de datos... 40

2.7.3. Análisis de datos ... 42

2.7.4. Consideraciones para la elaboración del modelo ... 63

2.7.5. Diseño y construcción del modelo ... 64

3.6.1. Simulación de los costos generales y administrativos ... 67

2.7.6. Verificación del modelo ... 72

2.7.7. Validación del modelo ... 73

2.7.8. Simulación... 74

2.8. PROCESAMIENTO DE LOS DATOS ... 74

2.9. DEFINICIÓN DE VARIABLES ... 74

2.9.1. Variable independiente ... 74

2.9.2. Variable dependiente ... 74

2.9.3. Objeto de estudio ... 74

2.10. CONSIDERACIÓN DE ÉTICA Y DE RIGOR ... 75

CAPÍTULO III RESULTADOS ... 76

CAPÍTULO IV ANÁLISIS Y DISCUSIÓN ... 80

4.1. ANÁLISIS ... 80

4.2. DISCUSIÓN ... 80

CAPÍTULO V CONCLUSIONES... 83

CAPÍTULO VI RECOMENDACIONES ... 84

CAPÍTULO VII REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 85

CAPÍTULO VIII ANEXOS ... 90

ANEXOIMUESTRAS DE LOS INGRESOS Y COSTOS DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020- OCTUBRE 2021 ... 90

ANEXOIIFLUJO DE CAJA DEL VOLQUETE 1103 PERIODO MARZO-DICIEMBRE 2021. .... 91

ANEXOIIICÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN SAMPLING() ... 91

ANEXOIVCÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN HORAS_ALTERNATIVO() ... 91

ANEXOVCÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_ALIMENTACION() ... 92

vii

ANEXOVICÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_PRESTACIONES() ... 92

ANEXOVIICÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_EPPS() ... 92

ANEXOVIIICÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_CAPITAL() ... 93

ANEXOIXHORAS TRABAJADAS DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020- OCTUBRE 2021 ... 94

ANEXOXCOSTOS POR COMBUSTIBLE DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020- OCTUBRE 2021 ... 95

ANEXOXICOSTOS POR ALIMENTACIÓN DE LOS OPERADORES DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020- OCTUBRE 2021 ... 96

ANEXOXIIEXÁMENES MÉDICOS DE OPERADORES DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020-OCTUBRE 2021 ... 97

ANEXOXIIIIMPLEMENTOS DE SEGURIDAD DE OPERARIOS DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020- OCTUBRE 2021 ... 97

ANEXOXIVMATERIALES PARA EL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020- OCTUBRE 2021 ... 97

ANEXOXVFLOTA DE VOLQUETES DE LA CONSTRUCTORA FRELMARS.A.C. ... 97

ANEXOXVIDETALLES TÉCNICOS DEL VOLQUETE 1103... 97

ANEXOXVIIDETALLE TÉCNICO DEL VOLQUETE 1123 ... 97

ANEXOXVIIICARTA DE AUTORIZACIÓN DE PUBLICACIÓN DE TESIS ... 97

ANEXOXIXDECLARACIÓN JURADA DE TESIS ... 97

ÍNDICE DE TABLAS

TABLA 1 DATOS EMPÍRICOS SIN AGRUPAR ... 23 TABLA 2 CUADRO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS PARA FUNCIONES DE

PROBABILIDAD COMPUESTAS ... 24 TABLA 3 DÍAS EFECTIVOS VS DÍAS INOPERATIVOS DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020 - DICIEMBRE 2021 ... 38 TABLA 4 CAUSAS DE LOS DÍAS INOPERATIVOS DEL VOLQUETE 1103, PERIODO OCTUBRE 2020 – DICIEMBRE 2021 ... 38 TABLA 5 RESULTADOS DE LAS TRES PRIMERAS AUTOCORRELACIONES ... 42 TABLA 6 TABLA RESUMEN DE LOS 93 RESULTADOS DE SALIDAS PARA LAS

VARIABLES DEL MODELO ... 73 TABLA 7 MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE LOS POSIBLES VAN PERIODO 2022-2026 ... 77 TABLA 8 MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE LOS POSIBLES VAN DEL SEGUNDO

ESCENARIO PERIODO 2022-2026. ... 78

ix ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA 1 CURVA DE DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME ... 12 FIGURA 2 CURVA DE DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD TRIANGULAR... 13 FIGURA 3 CURVA DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

WEIBULL... 14 FIGURA 4 CURVA DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BETA15 FIGURA 5 CURVA DE DENSIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ... 16 FIGURA 6 ETAPAS PARA EL DESARROLLO DE UNA SIMULACIÓN... 20 FIGURA 7 PROCEDIMIENTO PARA EL DESARROLLO DEL PROYECTO ... 37 FIGURA 8 CAUSAS DE DÍAS INOPERATIVOS DEL VOLQUETE 1103, PERIODO

OCTUBRE 2020-DICIEMBRE 2021... 39 FIGURA 9 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LAS HORAS EFECTIVAS DIARIAS. ... 43 FIGURA 10 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LAS HORAS EFECTIVAS OBTENIDO DEL INPUT ANALYZER ... 44 FIGURA 11 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LAS HORAS EFECTIVAS. ... 45 FIGURA 12 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LAS HORAS EFECTIVAS DIARIAS ALTERNATIVAS ... 46

FIGURA 13 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LAS HORAS EFECTIVAS ALTERNATIVAS, OBTENIDO DEL INPUT ANALYZER ... 47 FIGURA 14 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LAS HORAS EFECTIVAS DIARIAS ALTERNATIVO. ... 47 FIGURA 15 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS POR

COMBUSTIBLE($/H). ... 48 FIGURA 16 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS

COSTOS POR COMBUSTIBLE($/H) ... 49 FIGURA 17 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LOS COSTOS POR COMBUSTIBLE($/H). ... 50 FIGURA 18 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS POR

MATERIALES EN($/DÍA) ... 51 FIGURA 19 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS

COSTOS POR MATERIALES($/DÍA) ... 51 FIGURA 20 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LOS GASTOS EN MATERIALES($/DÍA) ... 51 FIGURA 21 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS POR

MANTENIMIENTO($/DÍA). ... 53 FIGURA 22 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS

COSTOS POR MANTENIMIENTO ($/DÍA) ... 53 FIGURA 23 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LOS COSTOS POR MANTENIMIENTO($/DÍA) ... 54

xi FIGURA 24 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS POR

ALIMENTACIÓN($/H). ... 54 FIGURA 25 REPORTE DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADA PARA LOS GASTOS POR ALIMENTACIÓN($/H) ... 55 FIGURA 26 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD LOS COSTOS POR

PRESTACIONES($/DÍA). ... 56 FIGURA 27 REPORTE DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADA PARA LOS GASTOS POR PLANILLAS($/H)... 56 FIGURA 28 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS POR

COVID($/DÍA). ... 57 FIGURA 29 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS

GASTOS POR COVID($/DÍA) ... 57 FIGURA 30 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA LOS COSTOS POR COVID($/DÍA) ... 58 FIGURA 31 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LAS GASTOS EN EPPS($/DÍA) ... 58 FIGURA 32 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE 𝑐ℎ𝑖2 PARA LOS COSTOS EN EPPS ($/DÍA) ... 59 FIGURA 33 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS EN

SEGUROS($/DÍA). ... 60 FIGURA 34 REPORTE DE LAS PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LOS

COSTOS EN SEGUROS($/DÍA) ... 60

FIGURA 35 REPORTE DE LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

PARA LOS COSTOS EN SEGUROS($/DÍA)... 61

FIGURA 36 HISTOGRAMA Y CURVA DE DENSIDAD DE LOS COSTOS DE CAPITAL ($/DÍA) ... 62

FIGURA 37 REPORTE DE LAS PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADA PARA EL COSTO DE CAPITAL ($/DÍA ) ... 62

FIGURA 38 DIAGRAMA DE FLUJO DE LA LÓGICA DEL MODELO ... 64

FIGURA 39 CÓDIGO FUENTE PARA LOS INGRESOS BRUTOS ($/DÍA) ... 65

FIGURA 40 CÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN HORAS_ALTERNATIVO() ... 66

FIGURA 41 CÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_OPERACIONALES() ... 66

FIGURA 42 CÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_GENERALES_Y_ADMINISTRATIVOS ... 67

FIGURA 43 CÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN COSTOS_DE_CAPITAL() ... 68

FIGURA 44 CÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN TRABAJO() ... 69

FIGURA 45 CÓDIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN TRABAJO(), PARTE II. ... 70

FIGURA 46 CODIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN VANS() ... 71

FIGURA 47 CODIGO FUENTE DE LA FUNCIÓN MONTECARLO() ... 71

FIGURA 48 CODIGO FUENTE DE PARA LA IMPRESIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN ... 72

FIGURA 49 VERIFICACION DEL MODELO ... 73

FIGURA 50 POSIBLES VAN PARA EL PERIODO 2022 -2026 DE LA FLOTA DE ACARREO DE CONSTRUCTORA FRELMAR S.A.C. ... 76

xiii FIGURA 51 MEDIDAS ESTADÍSTICAS DE LOS POSIBLES VAN DEL SEGUNDO

ESCENARIO PERIODO 2022-2026. ... 78

RESUMEN

El objetivo general del presente trabajo fue predecir la rentabilidad de la flota de movimiento de tierras de la empresa constructora FRELMAR S.A.C. Haciendo uso de un estudio del tipo aplicativo cuantitativo, experimental, longitudinal, correlacional, comparativo; la muestra fue de 93 datos de los ingresos y costos del volquete 1103 utilizado en el sistema de acarreo, periodo octubre 2020 a diciembre del 2021, como técnica de recolección de datos se usó la observación, siendo el principal instrumento el cuaderno de campo y las valorizaciones como fuente primaria. Las simulaciones se hicieron para dos volquetes en dos escenarios, en el primer escenario considerándose las distribuciones de probabilidad obtenidas de los datos históricos se tuvo un VAN de -$9,476.58 ± 156 con un 31.34% de probabilidad de que la flota sea rentable, en el segundo escenario las variantes de las horas efectivas diarias se generaron con la función de distribución triangular codificada por el autor. Como resultado, la rentabilidad adquirió un VAN de $32,564.66±187.4 con un 93.09% de probabilidad de ser rentable, concluyéndose que la rentabilidad de la flota de movimiento de tierras en la Constructora FRELMAR S.A.C para el periodo 2022 a 2026, con un 50% de probabilidad de tener un VA N de -$9,476.58 ± 156 al 95% de confianza frente a con un 31.34% de probabilidad de ser rentable.

Para el segundo escenario se observó que la flota de movimiento de tierras sólo es rentable si los días inoperativos (en fallas mecánicas y mantenimiento preventivo) son menores o iguales al 13% durante el periodo de servicio.

Palabras claves: Modelo estadístico Monte Carlo, simulación, rentabilidad, flota de movimiento de tierras.

xv ABSTRACT

The general objective of this work was to predict the profitability of the earthmoving fleet of the construction company FRELMAR S.A.C. Making use of a study of the quantitative, experimental, longitudinal, correlational, comparative application type; The sample consisted of 93 data on the income and costs of the 1103 dump truck used in the haulage system, from October 2020 to December 2021. Observation was used as the data collection technique, the main instrument being the field notebook and the valuations as primary source. The simulations were made for two dump trucks in two scenarios, in the first scenario, considering the probability distributions obtained from the historical data, there was a NPV of -$9,476.58 ± 156 with a 31.34% probability that the fleet is profitable, in the second scenario the variants of the daily effective hours were generated with the triangular distribution function coded by the author. As a result, the profitability acquired a NPV of $32,564.66 ± 187.4 with a 93.09% probability of being profitable, concluding that the profitability of the earthmoving fleet at Constructora FRELMAR S.A.C for the period 2022 to 2026, with 50% of probability of having a NPV of -$9,476.58 ± 156 at 95% confidence compared to a 31.34% probability of being profitable. For the second scenario, it was observed that the earthmoving fleet is only profitable if the inoperative days (in mechanical failures and preventive maintenance) are less than or equal to 13% during the service period.

Keywords: Monte Carlo statistical model, simulation, profitability, earthmoving fleet.

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

La Constructora FRELMAR S.A.C., está localizada en la ciudad de Huamachuco, provincia de Sánchez Carrión departamento La Libertad, posee una flota constituida por dos volquetes que trabajan en turnos diurnos y nocturnos en la empresa Summa Gold Corporation en movimiento de tierras.

La preocupación por la rentabilidad de la flota de acarreo surge debido a que el VAN del volquete 1103 del periodo marzo 2021 - diciembre 2021 fue de -6 187.27$ generando pérdidas económicas para la contrata, en virtud de lo dicho se planteó el uso del modelo estadístico Monte Carlo para predecir la rentabilidad de la flota de movimiento de tierras, para el periodo 2022 a 2026, usando el complemento Input Analyzer versión 16.10.00 para la elección de las distribuciones de probabilidad, la simulación se hizo mediante la plataforma informática interactiva Jupyter Notebook versión 6.4.11 ejecutando el código en el lenguaje de programación Python versión 3.9.12, se simuló dos escenarios uno actual y el otro alterno, para finalmente tomar la decisión de incrementar los volquetes o de invertir en otros proyectos más rentables.

1.1.Realidad problemática

Se observa en nuestra realidad que hoy en día los proyectos mineros son planeados y construidos en un entorno físico y económico incierto, según Martinez Tipe (2010), en su tesis

“Strategic Project Evaluation for Open Pit Mining Ventures Using Real Options And Allied Econometric Techniques” refiere que:

La evaluación de un proyecto en minería a cielo abierto es un proceso complejo, la razón es que no sólo involucra incertidumbre económica sino también incertidumbres técnicas.

2 La principal consecuencia de no incluir la incertidumbre en la evaluación de un proyecto a cielo abierto es que induce a error en la toma de decisiones lo cual conlleva futuras pérdidas económicas. (p. 22)

Teniendo en cuenta este análisis situacional, es que las empresas deben considerar las distintas fuentes de incertidumbre para hacer una evaluación objetiva de los proyectos. Ante esto se desarrollaron técnicas alternativas como el flujo de caja descontado (DCF), pero estos, solo dan resultados como el flujo del dinero en un entorno estático basado en indicadores clave de proyectos esperados, ignorando que la realidad está en continuo cambio y movimiento que conlleva fenómenos inesperados.

Así mismo según los investigadores Al-Chalabi et al.(2015), en su artículo científico titulado

“Monte Carlo Reliability Simulation of Underground Mining Drilling Rig” dicen que:

Uno de los factores más importantes que afectan la extracción de minerales es la parada no programada de las máquinas utilizadas en la extracción de mineral. La globalización económica está aumentando la competencia entre las empresas mineras, empujándolas a lograr tasas de producción más altas mediante el aumento de la automatización y la mecanización, el uso de equipos nuevos y más eficaces. Esto obliga a las empresas a comprar bienes de capital más fiables con mayor capacidad de rendimiento; naturalmente, estos son más caros. Al mismo tiempo, el equipo utilizado en las industrias mineras subterráneas está sujeto a depreciación a lo largo de su vida útil; esto aumenta los costos de operación y mantenimiento y reduce las tasas de producción, causando un efecto económico negativo a medida que el equipo envejece. (p. 2)

Es así que en la Compañía Minera Summa Gold Corporation, se observa que existen paradas no programadas de las flotas de movimiento de tierras de la empresa constructora FRELMAR S.A.C, por razones como fallas mecánicas, ausencia de operador, paros, mantenimiento preventivo entre otros, lo que causa que los días inoperativos sean un 38.95% de los días de servicios del periodo octubre 2020-diciembre 2021, otro factor de gran impacto es el inexistente seguimiento del mantenimiento y reparación. A esto se suma las largas colas en el taller, y la dificultad de conseguir los repuestos para reparar los volquetes, como resultado el tiempo de las reparaciones y mantenimiento se alarga desde un día a una semana, afectando directamente en la disponibilidad mecánica, y al ingreso bruto que son los días efectivos de los volquetes.

1.2.Justificación y relevancia 1.2.1. Empresarial

La importancia empresarial del presente estudio radica en la capacidad de poder predecir los ingresos y costos de una flota de movimiento de tierras y así analizar la rentabilidad de su inversión, mediante la simulación analítica con el método Monte Carlo se obtienen resultados confiables para tomar decisiones acertadas que incrementen la rentabilidad de la inversión.

1.2.2. Técnica

Si los ingresos generados por la flota de movimiento de tierras son menores que los costos, esto se traduce en pérdidas, el modelo Monte Carlo produce un análisis de rentabilidad basado en los datos históricos del proceso, esto ayuda al inversionista a tomar mejores decisiones para buscar mejores escenarios de inversión.

4 1.2.3. Legal

Existen situaciones en que los costos superan a los ingresos por inactividad operativa, esto supone problemas legales debido a que el inversionista adquirido la flota a crédito, esto implica que las entidades financieras le imponen penalidades legales por incumplimiento de pago de cuotas.

1.2.4. Social

Si la rentabilidad de la flota es menor a la esperada, se tendrá que terminar el contrato, por lo tanto, se liquidará a los conductores y mecánicos que tuvieron la oportunidad de incrementar su poder adquisitivo gracias al trabajo de la flota.

1.3.Marco teórico conceptual

1.3.1. Antecedentes de la investigación

En los últimos años surgieron investigaciones realizadas por estudiosos sobre la aplicación del método estadístico Monte Carlo para solucionar diferentes problemas presentes en ingeniería, a continuación, se presentan como antecedentes para el presente trabajo de investigación:

Lemelin (2009), en su tesis para optar el grado de Filósofo de la Ciencia (Ph.D.) en la UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC, cuyo título fue: Mine project evaluation: a real options approach with least-squares Monte Carlo simulations [Evaluación de proyectos mineros: un enfoque de opciones reales con simulaciones de Monte Carlo de mínimos cuadrados], tuvo como objetivo: “to develop ROA for valuing mining properties based on LSM that takes into account the uncertainties associated with many state variables simultaneously” [desarrollar ROA para la valoración de propiedades mineras en base a LSM que tiene en cuenta las incertidumbres asociadas con muchas variables de estado simultáneamente],obteniendo como resultados : “For zones 2A and 2D where the price to cost ratio is relatively low, there is a large difference between the value estimated by ROA and that of the NPV, especially for zone 2A. In contrast, with higher price to

cost ratios at zones 2CAN and 2ANW, the value estimated by ROA is very close to that of the NPV method”. [Para las zonas 2A y 2D donde la relación precio / costo es relativamente baja, existe una gran diferencia entre el valor estimado por ROA y el del VAN, especialmente para la zona 2A. En contraste, con relaciones precio / costo más altas en las zonas 2CAN y 2ANW, el valor estimado por ROA es muy cercano al del VPN] y concluye que: “The LSM method applied in this paper can provide a practical valuation tool that can enhance the application of ROA at the corporate level of mining companies. The method can deal easily with multiple sources of uncertainty and with the complexity of mining investments.” [El método LSM aplicado en este documento puede proporcionar una herramienta de valoración práctica que puede mejorar la aplicación del ROA a nivel corporativo de las empresas mineras. El método puede lidiar fácilmente con múltiples fuentes de incertidumbre y con la complejidad de las inversiones mineras].

Mientras tanto Gravet Gaytán (2003), en su tesis para optar el grado de Magister en Ciencias de la Ingeniería en la Pontificia Universidad Católica de Chile, titulada: “Evaluación de opciones reales mediante simulación: el método de los Mínimos Cuadrados” ,tuvo como objetivo

“aportar una aplicación innovadora del algoritmo LSM, la cual permita transformar a este trabajo en un referente para futuras investigaciones que utilicen esta metodología”, obteniendo como resultado: “una tasación de los proyectos y la generación de sus políticas óptimas de operación.

Las soluciones encontradas fueron cotejadas con aquéllas generadas a través de otras metodologías más tradicionales, lo cual ratificó la validez de esta aplicación. Dado que las opciones reales presentan una estructura más compleja que la mayoría de los derivados financieros, la adecuada evaluación de este tipo de instrumentos constituye una prueba fundamental para este algoritmo”, y concluye que “el algoritmo LSM es capaz de valorizar adecuadamente el modelo planteado por

6 Cortázar y Schwartz (1998), ya que se adapta con mucha facilidad a problemas que dependen de más de una dimensión.”

Por otro lado Pardo Delgado (2007), en su tesis para optar el título de Ingeniero Industrial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, titulada: “Análisis del riesgo de inversiones y valuación de instrumentos derivados mediante el uso de simulación Monte Carlo”, cuyos objetivos fueron : “brindar una medida del riesgo de un portafolio de acciones, a través del método de Simulación Monte Carlo (SMC) y además, aplicar esta técnica para la valuación de instrumentos derivados, cuyos precios pueden ser muy difíciles de obtener de manera analítica”, obteniendo como resultados: “todos los precios finales de la acciones que conforman los portafolios, fueron mayores a los esperados y las volatilidades también fueron superiores en los tres portafolios, por lo que podemos deducir que los resultados obtenidos van a ser mejores que los esperados, alcanzándose rentabilidades superiores a las pronosticadas en todos los casos.”, y concluyó que:

“El uso de fórmulas analíticas permite obtener los precios de las opciones de manera muy rápida y simple. Sin embargo, la deducción de estas fórmulas necesita de una profunda base matemática y no en todos los casos se va a contar con la fórmula requerida. Por lo tanto, el método de SMC es una buena alternativa para valuar opciones y otros instrumentos derivados, en especial cuando éstos son muy complejos y la valuación de los mismos de manera analítica que se vuelve tremendamente complicada.”

Así mismo Meza (2011), en su tesis para optar el titulo de Ingeniero de Minas de la Pontificia Universidad Católica del Perú, titulada: “Desarrollo de un modelo para la aplicación de simulación a un sistema de carguío y acarreo de desmonte en una operación minera a tajo abierto”, tuvo como objetivo desarrollar y dar a conocer un modelo que sirva como guía, el cual detalle los pasos a seguir para la aplicación de las técnicas de la simulación de sistemas discretos a un sistema

de carguío y acarreo en una operación minera a tajo abierto, la investigación fue de enfoque cuantitativo, y la muestra fueron los datos de los tiempos de ciclo de carguío de un cargador frontal, excavadora, dos volquetes de 15 y 20𝑚³, y como conclusiones finales que la asignación correcta del número de equipos de acarreo para un determinado equipo de carguío ayuda mantener en un nivel óptimo la relación $/Tn. Además de reducir los tiempos improductivos de los equipos con lo que se aumenta el porcentaje de utilización de los equipos de carguío, así como el escenario elegido incrementa la producción en 1659.90 toneladas diarias de desmonte acarreado. Esto significa un incremento de 597 564 toneladas anuales.

Por su parte Cam Chiang (2014), en su tesis para optar el titulo de Ingeniero Industrial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, denominada: “Mejora de la operación de estiba y desestiba en aeronaves comerciales de una empresa que brinda servicios aeroportuarios”, tuvo como objetivo determinar la cantidad de recursos para cumplir eficientemente con los tiempos de operación requeridos por los clientes, usando la metodología con enfoque cuantitativo, como resultados aplicando la metodología de simulación de eventos discretos se logra cumplir con los objetivos de los tiempos de operación, reduciéndolos en un 26%; asimismo, la cantidad de mano de obra disminuye un 33%, lo cual permite a la empresa atender un 50% más de aviones. Cabe resaltar que, para lograr estos resultados, implica una inversión de 29,790 dólares; sin embargo, se obtiene un margen beneficio costo de 2.73, concluyendo que es factible la propuesta real.

Finalmente Díaz & Romero (2020), en su tesis para optar el título de Ingeniero de Minas de la Pontificia Universidad Católica del Perú, titulada: “Aplicación del modelo estadístico de Monte Carlo en la predicción del precio de los metales y valor de mineral para evaluación de rentabilidad del proyecto minero Sofía D – U.E.A. María Teresa ejecutando el método Sub Level

8 herramienta Monte Carlo, aplicada al precio de los metales, y su posterior evaluación de rentabilidad en base al proyecto minero Sofía D – U.E.A. María Teresa”. Cuyos resultados fueron

“análisis de los indicadores de rentabilidad, que determinó un VAN de 99,902,835 USD con un TIR de 25.4 % que demuestran la viabilidad del proyecto y sus posibles ingresos durante su tiempo de operación. Adicionalmente, se simuló escenarios futuros para el caso de 2,500 TPD, donde se obtuvo un VAN de 153, 508,993 USD con un TIR de 21.9 %, que en comparación con los indicadores de 1,600 TPD resulta una más rentable y se recomienda como una alternativa factible de operación”. Llegó a la conclusión “queda demostrado que el método de Monte Carlo y su posterior análisis estadístico puede trabajar en sinergia en la evaluación de rentabilidad de un proyecto; no solo por su practicidad del método, sino también porque permite explorar escenarios futuros y en consecuencia elegir la mejor opción para una operación en particular”.

1.3.2. Marco teórico

1.3.2.1.Método Monte Carlo

Para Kalos & Whitlock (2008), El termino Monte Carlo se refiere a un conjunto de métodos matemáticos que se empezaron a usar a partir de 1940, para el desarrollo de armas nucleares en Los Álamos, favorecidos por la aparición de los ordenadores digitales modernos. El método consiste en resolver un problema mediante la invención de juegos de azar cuyo comportamiento simula algún fenómeno real gobernado por una distribución de probabilidad (Ejemplo un proceso físico) o sirve para realizar un cálculo (Ejemplo evaluar una integral).

Después de modelar el sistema este se ejecuta muchas veces, generándose variantes aleatorias en cada variable de entrada; los cálculos se ejecutan en el modelo y se obtienen resultados aleatorios en cada variable de salida (Thomopoulos, 2013, p. 19).

1.3.2.2.Modelo matemático

Un modelo es definido como una representación de un sistema con el propósito de estudiarlo.

Según M. Law (2015), “El modelo representa un sistema en términos de lógica y relaciones cuantitativas que luego se manipulan y cambian para ver cómo reacciona el modelo y, por lo tanto, cómo reaccionaría el sistema, si el modelo matemático es válido.” (p. 24)

Por lo tanto, el modelo es una representación del funcionamiento de un sistema del mundo real a través de un conjunto de supuestos sobre la operación del mismo. Estos supuestos deben ser representados como relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos que interactúan en el sistema, lo cual permite que el modelo pueda ser manipulado para contemplar situaciones alternativas.

1.3.2.3.Simulación

Para M. Law (2015), La simulación significa calcular la respuesta del modelo utilizando datos de entrada y condiciones iniciales. Las muestras de tiempo de la respuesta del modelo coinciden con las muestras de tiempo de los datos de entrada utilizados para la simulación.(p. 24) En esta etapa, el modelo se ejecutará muchas veces como en un muestreo aleatorio. Para cada muestra, se generan números aleatorios en cada variable de entrada; las computaciones se ejecutan a través del modelo produciendo resultados aleatorios en cada variable de salida.

1.3.2.4.Conceptos estadísticos para la simulación

1.3.2.4.1. Medidas de dispersión y de tendencia central

Para Ken (2009), “son medidas que se usan para describir la propagación o la dispersión de un conjunto de datos respecto a la media muestral” (p.47). En esta investigación se consideraron

10 Media muestral

Es el cociente entre la suma de los datos y la cantidad de estos, se denotada por 𝑥̅, es:

𝑥̅ = ∑𝑥_𝑖 𝑛

𝑛

𝑖=1

= 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃+ ⋯ 𝑥_𝑛 𝑛

Varianza muestral

Es la suma de las desviaciones al cuadrado respecto a la media de un conjunto de valores, se utiliza en toda la estadística y se denota por 𝑠², viene dada por:

𝑠² = ∑(𝑥_𝑖−𝑥̅) ² 𝑛 − 1

𝑛

𝑖=1

Desviación estándar muestral

Para Ken (2009), la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica de la población, al igual que la varianza, utiliza la suma de las desviaciones al cuadrado sobre la media. Es decir, se calcula promediando estas desviaciones al cuadrado y sacando la raíz cuadrada de esa media. Una característica de la desviación estándar que la distingue de la varianza es que la desviación estándar se expresa en las mismas unidades que los datos brutos, mientras que la varianza se expresa en esas unidades al cuadrado.

Aunque la desviación típica y la varianza están estrechamente relacionadas y pueden calcularse entre sí, es importante diferenciarlas, ya que ambas se utilizan ampliamente en estadística.

Se denota como:

𝑠 = √𝑠²

1.3.2.4.2. Variable aleatoria

Según Walpole, et al (2016), afirman que “una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento en el espacio muestral (conjunto de todos los posibles resultados de un experimento estadístico)”. (p.101)

1.3.2.4.3. Distribución de probabilidad

El conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑓 (𝑥)) es una función de probabilidad, función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado posible X:

𝑓(𝑥) ≥ 0

∑ 𝑓(𝑥) = 1

𝑥

𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑓(𝑥)

La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X con la distribución de probabilidad f (x) es:

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑡)

𝑡≤𝑟

𝑝𝑎𝑟𝑎 −^∞< 𝑥 < +^∞

Uniforme continua

Esta distribución tiene una función de densidad que es "plana" y, por tanto, la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado, digamos [A, B]. La función de densidad de la variable aleatoria continua uniforme X en el intervalo [A, B] es:

𝑓(𝑥; 𝐴, 𝐵) = { 1

𝐵 − 𝐴, 𝐴 ≤ 𝑋 ≤ 𝐵, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 La media y la varianza de la distribución uniforme son:

12 𝜇 =𝐴 + 𝐵

2 𝑦 𝜎² = (𝐵 − 𝐴)² 12

La variable aleatoria X de la distribución uniforme continua (0,1) tiene un rango de cero a uno. La media es 𝜇 =¹

2 y la desviación estándar es 𝜎 = ¹

√12. (Walpole et al., 2016, p. 191).

Figura 1

Curva de densidad de una distribución de probabilidad uniforme

Nota. Adaptado de Probability & Statistics for Engineers & Scientist (p. 192), por Walpole et al., 2016, Pearson.

Triangular

Para Banks & Nicol (2014), la función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria triangular es la siguiente:

𝑓(𝑥) {

2(𝑥 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 2(𝑐 − 𝑥)

(𝑐 − 𝑏)(𝑐 − 𝑎), 𝑏 < 𝑥 ≤ 𝑐 0

Donde 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐. La moda se produce en x = b, en la siguiente figura se muestra una curva de densidad triangular:

Figura 2

Curva de densidad de una distribución de probabilidad triangular

Nota. Adaptado de Discrete Event System (p. 207), por Banks & Nicol, 2014, Pearson.

Los parámetros (𝑎, 𝑏, 𝑐) pueden relacionarse con otras medidas, como la media y la moda, de la siguiente manera(Banks & Nicol, 2014, p. 206):

𝑀𝑜𝑑𝑎 = 𝑏 = 3𝐸(𝑋) − (𝑎 + 𝑐)

𝑬(𝒙) =𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟑 Weibull

Según Banks & Nicol (2014), la función de densidad probabilística para la distribución Weibull es la siguiente:

𝑓(𝑥) = {𝛼𝛽𝑥^𝛼−1𝑒^{−𝛽𝑥𝛼}, 𝑥 > 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜.

La respectiva función de probabilidad acumulada es la siguiente:

Altura

14 𝐹(𝑋) = 1 − 𝑒^{−𝛽𝑥𝛼}

La media 𝜇_𝑥= ^Γ(1+

1 𝛼) 𝛽

1 𝛼

y la varianza 𝜎_𝑥² = ^Γ(1+

2

α)−[Γ(1+_𝛼¹)]² 𝛽

2 𝛼

La curva de densidad para la distribución Weibull es la siguiente:

Figura 3

Curva de densidad de la distribución de probabilidad Weibull

Nota. Adaptado de Discrete Event System (p. 205), por Banks & Nicol, 2014, Pearson.

Beta

Una variable se distribuye como beta con parámetros 𝛽₁ > 0 y 𝛽₂> 0,la función de densidad de probabilidad esta dado por:

𝑓(𝑥) = {

𝑥^𝛽1−1(1 − 𝑥)^𝛽2−1 𝐵(𝛽₁𝛽₂) 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

La distribución beta es muy flexible y tiene un rango finito de 0 a 1, como se muestra en la Figura 4. En la práctica, a menudo necesitamos una distribución beta definida en un rango diferente, digamos (a, b), con a < b, en lugar que (0, 1). Esto se logra fácilmente definiendo una nueva variable aleatoria “Y” (Banks & Nicol, 2014).

𝑌 = 𝑎 + (𝑏 − 𝑎)𝑋

La media y la varianza de Y están dadas por:

𝑎 + (𝑏 − 𝑎) ( 𝛽₁ 𝛽₁+ 𝛽₂)

(𝑏 − 𝑎)²∗ 𝛽₁𝛽₂

(𝛽₁+ 𝛽₂)²(𝛽₁+ 𝛽₂+ 1) Figura 4

Curva de densidad de la distribución de probabilidad Beta

Nota. Adaptado de Discrete Event System (p. 211), por Banks & Nicol, 2014, Pearson.

Normal

Llamada curva normal, la densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y varianza 𝜎², es:

𝑛(𝑥; 𝜇, 𝜎) = 1

√2𝜋𝜎𝑒^{−2𝜎12(𝑥−𝜇)2}

La media y la varianza de 𝑛(𝑥; 𝜇, 𝜎) son 𝜇 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑚𝑜𝑑𝑎 y 𝜎² , respectivamente. Por lo tanto, la desviación es 𝜎. (Walpole et al., 2016, p. 195)

16 Figura 5 Curva de densidad de una distribución de probabilidad Normal

Nota. Adaptado de Probability & Statistics for Engineers & Scientist (p. 193), por Walpole et al., , & Ye, 2016, Pearson.

1.3.2.4.4. Intervalo de confianza

Son métodos matemáticos usados para la estimación de parámetros de una población con un porcentaje de exactitud, al ser estimados siempre se tiene un error denominado nivel de significancia y se denota con 𝛼, por lo tanto, el nivel de confianza para que el valor real del parámetro se encuentre en el intervalo será de 1 − 𝛼, los valores más frecuentes son de 95%, 98%, y 99%.

En la construcción de un intervalo con un 95% de los datos de una distribución normal estándar están entre ±1.96 veces desviaciones estándares (denotada por “z”) de la media:

𝑃(−1.96 < 𝑧 < 1.96) = 0.95 Intervalo de confianza para la media poblacional 𝝁

Para calcular el intervalo de confianza 𝜇 la desviación estándar poblacional 𝜎² es reemplazada por la desviación estándar muestral, entonces utilizando los “n” resultados de salida, 𝑥₁, . . ., 𝑥_𝑛, el error estándar de la media, se obtiene mediante:

𝑠_𝑥̅= 𝑠

√𝑛

Así que ahora, x es una estimación de la verdadera media 𝜇, y s es una estimación de la verdadera desviación estándar,𝜎. Obsérvese que los verdaderos valores de los parámetros (𝜎, 𝜇) son desconocidos.

El intervalo de confianza 1 − 𝛼 de 𝜇 se convierte en:

𝐿 ≤ 𝜇 ≤ 𝑈

Cuando “n” aumenta, se aplica el Teorema Central del Límite, y la forma de la distribución de la media de la muestra se aproxima a una distribución normal. Por lo tanto, la variable normal estándar, z, sustituye a la variable del “t” de Student, y los límites de confianza se convierten en:

𝑈 = 𝑥̅ + 𝑧_𝛼/2𝑠_𝑥̅

𝐿 = 𝑥̅ − 𝑧_𝛼/2𝑠_𝑥̅

donde 𝑧_𝛼/2 N(0,1), es el valor de z de N(0,1)que da 𝑃(𝑧 > 𝑧_𝛼/2) = 𝛼/2 .

Por lo tanto, al ser una variable X con distribución 𝑁(𝜇, 𝜎²), entonces con una probabilidad del 95% se cumple:

𝑋̅ −1.96𝜎

√𝑛 < 𝜇 < 𝑋̅ +1.96𝜎

√𝑛 1.3.2.4.5. Pruebas de hipótesis

Son métodos para probar la validez de una hipótesis sobre las características o parámetros adquiridos de una población a partir de una muestra. (Meza, 2012, p.39).

18 Hipótesis estadísticas

Es toda conjetura sobre la forma, tipo, parámetros o valores de la distribución de una población.

Hipótesis compuesta y simple

La hipótesis simple define el valor de los parámetros y la forma de una distribución. Por otro lado, se dice que es una hipótesis compuesta.

Hipótesis alternativa y nula

La hipótesis nula se representa por H⁰ se considera como verdadera y cuya validez será sometida a comprobación experimental. Caso contrario se rechaza por medio de datos experimentales y se acepta la hipótesis alternativa H¹ que sería el contrario de H⁰.

Para un parámetro 𝜃 desconocido se supone el 𝜃₀ de una población con distribución conocida por lo tanto se tiene las siguientes posibles combinaciones de hipótesis:

• 𝐻₀: 𝜃 = 𝜃₀ 𝑦 𝐻₁: 𝜃 ≠ 𝜃₁

• 𝐻₀: 𝜃 ≤ 𝜃₀ 𝑦 𝐻₁: 𝜃 > 𝜃₁

• 𝐻₀: 𝜃 ≥ 𝜃₀ 𝑦 𝐻₁: 𝜃 < 𝜃₁

Prueba de una hipótesis estadística

El procedimiento para aceptar o rechazar la hipótesis 𝐻₀ se denomina prueba de hipótesis, la justificación de la validez de dicha conjetura será en base a los resultados de una muestra aleatoria, si los datos muestrales no evidencian pruebas suficientes para refutar la 𝐻₀ entonces se acepta, de lo contrario la 𝐻₁ se aceptará como valida.

Pruebas de bondad de ajuste

Pruebas que sirven para confirmar si una distribución teórica se ajusta a la distribución real, en estas pruebas se emplean las siguientes hipótesis con un nivel de significancia de 5%:

𝐻₀: 𝐿𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑠𝑒 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠.

𝐻₁ ∶ 𝐿𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎.

Las pruebas utilizadas para validar las distribuciones teóricas en este trabajo fueron:

• Prueba Kolmogorov Smirnov (KS).

• Prueba Chi Cuadrado (𝐶ℎ𝑖²).

1.3.2.4.6. Prueba Kolmogorov Smirnov (KS)

Para ejecutar la Prueba Kolgomorov Smirnov, se calcula el valor absoluto de las diferencias entre las frecuencias acumuladas observadas y las teóricas en cada clase. Luego el valor máximo entre las diferencias (𝐷_𝑚𝑎𝑥) se compara con el valor crítico de tabla KS. Se puede aplicar para todo tamaño de muestras y solo a distribuciones de probabilidad continuas.

Prueba Chi Cuadrado (𝒄𝒉𝒊^𝟐)

Esta prueba comprueba que no hay diferencia entre la distribución de frecuencias teórica y la distribución observada, en otras palabras, determina la cercanía entre frecuencias teóricas y observadas obteniéndose un estadístico que se compara con los valores de la tabla 𝐶ℎ𝑖² , para esta prueba el tamaño de la muestra debe ser mayor a 30 observaciones y es válida para cualquier tipo de distribución.

20 1.3.2.5.Etapas para el desarrollo de un modelo de simulación

Según Simón Marmolejo et al.,(2014), el desarrollo del modelo comprende las siguientes etapas:

Nota: tomado de Etapas de un modelo de simulación y la modelación con FlexSim, por Simón et al.,(2014).

1.3.2.5.1. Formulación del problema

En esta etapa es necesaria la comprensión del sistema a modelar, utilizando técnicas de recolección de datos como entrevistas, observación, etc., obteniendo como resultado los elementos del sistema, variables, y sus relaciones matemáticas, así como establecer sus restricciones y alcances, que servirán como directriz para definir objetivos del proyecto de simulación.

Figura 6

Etapas para el desarrollo de una simulación

1.3.2.5.2. Colocación de objetivos y el plan del proyecto global

Dependiendo de lo que se busca con la simulación se establecen los objetivos, que orientaran a la selección de los datos, así como el nivel del detalle del modelo, por ejemplo, los objetivos pueden ser determinar la rentabilidad de cierto proyecto.

1.3.2.5.3. Conceptualización del modelo

En esta etapa se hace la abstracción del sistema a modelar, estableciendo las métricas, así como el nivel de complejidad que este tendrá, por lo que es recomendable empezar con un modelo simple, para luego transformar en uno más complejo restringiendo el nivel de detalle a los objetivos del modelador. Por ejemplo, para la estimación de la rentabilidad de un proyecto será necesario determinar los ingresos y costos.

1.3.2.5.4. Recolección y procesamiento de datos

Los datos que serán recolectados están definidos por los objetivos que se persiguen en la simulación, en algunos casos se obtendrán directamente midiendo las características de interés del sistema, en otros casos será necesario estimarlos teniendo como argumentos las conjeturas de los especialistas.

1.3.2.5.5. Construcción del modelo

En esta etapa se plasma el modelo matemático en el lenguaje de programación elegido, teniendo en cuenta el nivel de detalle requerido así como las variables aleatorias de entrada y las de salida, es recomendable desglosar el modelo en módulos más simples para evitar errores en la simulación, de haber un error será más fácil identificar el módulo y línea de código que lo produce, a medida que el proceso de elaboración del modelo avanza, se debe medir los resultados de salida de cada módulo, para contrastarlos con los valores observados y medir el grado de similitud, caso contrario, se tendrá que recodificar el módulo que produce el error, las fuentes típicas pueden ser:

22 las distribuciones de probabilidad, las relaciones lógicas, etc. Existen situaciones en donde será necesaria la creación de distribuciones empíricas, la base teórica para tal fin se expone a continuación:

Generación de variantes aleatorias

Para Thomopoulos(2013), cuando un valor de la variable se elige aleatoriamente según la distribución de probabilidad, se denomina variante aleatoria (p.15), existen diversos métodos para la generación de variantes, pero para los fines de la presente tesis se hace uso del método de la transformación inversa y el de composición de los datos no agrupados.

Método de la transformación inversa

Las formas más comunes de generar una variante aleatoria para una variable aleatoria son mediante el método de la transformación inversa. El método se aplica a variables continuas y discretas.

Variables continuas

X es una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad f(x) para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, la función de distribución acumulativa (fdc) de X es 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 donde 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1. Dado que 𝑢 ∼ 𝑈(0,1) y F(x) oscilan entre 0 y 1, se genera una variante aleatoria de u y, a continuación, F(x) se hace igual a u, a partir de la cual se encuentra el valor asociado de x.

La rutina siguiente describe el procedimiento:

1. Generar una variante aleatoria uniforme estándar u U(0,1).

2. Establecer F(x) = u.

3. Encontrar el valor de x que corresponde a F(x) = u, es decir, 𝑥 = 𝐹⁻¹(𝑢).

4. Devuelve x.

La función 𝐹⁻¹(𝑢) se llama función inversa de 𝐹(𝑥) = 𝑢. (Thomopoulos, 2013, p. 16)

Datos empíricos no agrupados

A veces, en la modelización de la simulación, los datos de una variable no se utilizan para buscar la densidad continua teórica, sino que se aplica directamente para definir la distribución.

La densidad resultante se denomina distribución empírica. Supongamos que los datos son denotados como (𝑥₁, 𝑥₂… 𝑥_𝑛) y, ordenados de menor a mayor, se convierten en 𝑥₍₁₎ ≤ 𝑥₍₂₎ ≤ 𝑥₍₃₎ ≤ ⋯ 𝑥_(𝑛). Los datos se ordenan en forma de tabla como se indica en la Tabla 1, junto con la función de distribución acumulativa asociada, 𝐹_𝑥𝑖.

Tabla 1

Datos empíricos sin agrupar

𝒊 𝒙(𝒊)

𝑭_𝒙(𝒊) = 𝒊 − 𝟏 𝒏 − 𝟏

1 x(1) 0

2 x(2) 1

𝑛 − 1

…

n x(n) 1

Nota. Adaptado de Essentials of Monte Carlo Simulation (p. 41), por Nick T.

Thomopoulos, 2013, Springer.

Para generar una x aleatoria, se utiliza el método de composición de la siguiente manera:

1. Generar dos variantes aleatorias uniformes, u ~ U(0,1), 𝑢₁ y 𝑢₂. 2. Si 𝐹_𝑥𝑖 ≤ 𝑢₁ ≤ 𝐹_𝑥(𝑖+1) establecer 𝑥 = 𝑥_𝑖+𝑢₂[𝑥_1+𝑖 − 𝑥_𝑖]

3. Devuelva x. (Thomopoulos, 2013)

24 Composición

A veces la variable aleatoria está compuesta por una serie de densidades de probabilidad donde cada densidad se produce con una probabilidad. Esto ocurre cuando hay k densidades, fi(x), donde la probabilidad de que se seleccione la densidad i es pi, y la suma de todas las pi es uno. En esencia, x es una variable aleatoria con densidad de probabilidad como se indica a continuación:

𝑓(𝑥) = 𝑝₁𝑓₁(𝑥) + ⋯ + 𝑝_𝑘𝑓_𝑘(𝑥) Y ∑^𝑘_𝑖=1𝑝𝑖 = 1

Obsérvese que cada una de las k densidades, fi(x), tiene una única función de distribución acumulativa única, Fi(x), y una función inversa única correspondiente, Fi 1(u).

La composición puede describirse como sigue.

Tabla 2

Cuadro de frecuencias acumuladas para funciones de probabilidad compuestas

Nota. Adaptado de Essentials of Monte Carlo Simulation (p. 38), por Nick T.

Thomopoulos, 2013, Springer.

El término Gi es la función de distribución acumulativa de los pi's, y cuando i= k, 𝐺_𝑘 = 1.

Microsoft EXCEL LTSC Professional Plus 2021

Microsoft Excel es una hoja de cálculo desarrollada por Microsoft para Windows, macOS, Android e iOS. Cuenta con capacidades de cálculo o computación, herramientas de gráficos, tablas

dinámicas y un lenguaje de programación de macros llamado Visual Basic para Aplicaciones.

(Microsoft, 2022)

Input Analyzer 16.10.00

Es una herramienta que es parte del software Arena y sirve para ajustar los datos existentes a una distribución y ofrecer los resultados de las pruebas de bondad de ajuste; además, ofrece el estimado de los parámetros para las distribuciones y otras posibles. Dentro de las distribuciones hay continuas que son beta, erlang, gamma, lognormal, uniforme, normal, weibull, triangular y exponencial. También el software emplea distribuciones empíricas, discretas y continuas, donde en la primera devuelve probabilidades para datos no agrupados; mientras que en la segunda se usan las probabilidades y los valores para devolver una cantidad real. En muchos casos se utiliza esta última cuando no existe distribución que se ajuste bien a los datos de entrada. (Cam Chiang, 2014, p. 23)

Jupyter Notebook 6.4.11

Es una aplicación web de código abierto que permite a los científicos de datos crear y compartir documentos que integran código en vivo, ecuaciones, resultados computacionales, visualizaciones y otros recursos multimedia, junto con texto explicativo en un solo documento.

Jupyter Notebook se usa para todo tipo de tareas de ciencia de datos, incluidas la limpieza y transformación de datos, la simulación numérica, el análisis exploratorio de datos, la visualización de datos, el modelado estadístico, el aprendizaje automático, el aprendizaje profundo y mucho más.

(ODSC - Open Data Science, 2020).

Python 3.9.12

Python es un lenguaje de programación de código abierto que se usa para el desarrollo de

26 es un lenguaje de propósito general, el lenguaje base no incluye muchas de las estructuras de datos y funciones necesarias para el análisis de datos. Sin embargo, tiene una amplia selección de paquetes de complementos que le dan una gran flexibilidad y una sólida biblioteca de complementos orientados a datos que lo convierten en uno de los lenguajes más populares para la ciencia de datos (Sweigart, 2020, p. 32).

Módulos de Python

Un módulo es un programa de Python que contiene un grupo relacionado de funciones que pueden ser incrustados en otros programas (Sweigart, 2020, p. 89). Por ejemplo, el módulo de math tiene funciones relacionadas con las funciones matemáticas. Mientras que el módulo random tiene funciones relacionadas con números aleatorios, entre otros módulos. Para la elaboración del presente trabajo se importaron los módulos Numpy y seaborn que se exponen a continuación.

Modulo Numpy 1.23

NumPy es el paquete fundamental para la computación científica en Python. Es una biblioteca de Python que proporciona un objeto de matriz multidimensional, varios objetos derivados (como matrices y matrices enmascaradas) y una variedad de rutinas para operaciones rápidas en matrices, que incluyen manipulación matemática, lógica, de formas, clasificación, selección, transformadas discretas de Fourier, álgebra lineal básica, operaciones estadísticas básicas, simulación aleatoria y mucho más (Numpy, 2022).

Modulo Seaborn

Seaborn es una biblioteca de visualización de datos de Python basada en matplotlib.

Proporciona una interfaz de alto nivel para dibujar gráficos estadísticos atractivos e informativos.

(Waskom, 2021)

1.3.2.5.6. Verificación del modelo

En esta etapa se verifica que el modelo conceptual sea plasmado exactamente en el modelo codificado, verificando las distribuciones de probabilidad de las variables de entrada, las expresiones matemáticas y la lógica que les relaciona.

1.3.2.5.7. Validación del modelo

Paso de suma importancia, donde los valores producidos de los distintos módulos se comparan con los valores observados para verificar su similitud, si los resultados están dentro de un intervalo de confianza apropiado, el modelo se considera válido.

1.3.2.5.8. Diseño de experimentos

En esta etapa se define las variables de control para realizar la experimentación se manipulan los valores de estas variables y se delimitará las veces que será necesario replicar el modelo para observar los escenarios posibles.

1.3.2.5.9. Producción de corridas de simulación y análisis

En esta etapa se ejecutarán los experimentos definidos previamente, se replicará el modelo las veces que sean necesarias y se recolectará los datos de salida para proceder con el análisis estadístico.

1.3.2.5.10. Corridas adicionales

Las réplicas adicionales se ejecutarán especialmente por dos razones, la primera es para analizar más escenarios y la otra para incrementar al grado de precisión que se requieren de los datos de salida.

28 1.3.2.5.11. Puesta en marcha del modelo

Terminada la simulación, se procede a la recolección de datos de salida para el análisis estadístico pertinente, al ser estos datos generados por distribución de probabilidad, estos tendrán validez en determinado rango de precisión llamado intervalo de confianza.

1.3.3. Evaluación de rentabilidad

1.3.3.1.Riesgo e incertidumbre en los proyectos de inversión Para Larson & Gray (2014) entiende a la incertidumbre como:

“El riesgo es un evento o condición incierta que, si ocurre, tiene un efecto positivo o negativo en los objetivos del proyecto. Un riesgo tiene una causa y, si ocurre, una consecuencia. Por ejemplo, una causa puede ser un virus de la gripe o un cambio en los requisitos del alcance. El evento es que los miembros del equipo se enferman de gripe o el producto tiene que ser rediseñado. Si ocurre cualquiera de estos eventos inciertos, afectará el costo, el cronograma y la calidad del proyecto” (p. 224)

Mientras tanto Perminova (2011), expone que:

“La incertidumbre en relación con los proyectos es la falta de conocimiento y/o comprensión del individuo de los elementos relevantes del proyecto, su entorno y su interrelación, por lo que no se puede llegar a ninguna conclusión sobre si y/o cómo cualquiera de ellos puede impactar el éxito del proyecto.” (p. 198)

En el caso de los proyectos mineros tenemos una coyuntura eminentemente incierta así lo corroboran Vassilios & Zachary (2007) cuanto afirman que:

la incertidumbre en un proyecto minero se puede clasificar en condiciones internas (endógenas) y externas (exógenas). Las condiciones internas son las que se rigen por el

yacimiento geológico y el método minero en sí, tales como grado, condiciones del terreno, mano de obra, gestión, cronograma, equipamiento e infraestructura. La incertidumbre operativa está directamente relacionada con las condiciones internas del proyecto. Las condiciones externas están determinadas por consideraciones externas, como los precios de mercado, las condiciones ambientales, el riesgo político, las políticas gubernamentales, las cuestiones de las partes interesadas, así como las relaciones comunitarias e industriales.

Según el tipo de análisis que se realice y las características particulares de un proyecto minero, ciertas condiciones pueden percibirse como internas en lugar de externas, o viceversa. La incertidumbre puede generar riesgos y oportunidades en las operaciones mineras. (p. 5)

Como se puede observar la incertidumbre y el riesgo son variables de naturaleza aleatoria presentes en un proyecto, debido a esto el planeamiento y ejecución de un proyecto minero es un procedimiento complejo en donde, si estas dos variables no se toman en cuenta las decisiones tomadas pueden conllevar a pérdidas del capital invertido.

1.3.3.2.Riesgo

Según el Project Management Institute (2017), lo define como: “condición o evento incierto que, si se produce, tiene un efecto positivo o negativo sobre uno o varios objetivos del proyecto” (p. 122).

1.3.3.3.Rentabilidad de un proyecto minero Para Tulsian (2014), lo define como:

“La rentabilidad puede definirse como la capacidad de una determinada inversión para obtener un rendimiento de su uso. Una definición más precisa de la rentabilidad es la de

30 o que se va a obtener, y la inversión realizada o que se va a realizar para poder obtenerla”

(p.19)

En base a la definición se puede entender que la rentabilidad está estrechamente relacionada a los beneficios, tal como lo dicen los autores Hustrulid & M. Kuchta (2013), sustentando que:

el concepto clave es: “extracción que genera ganancias". Para los ingenieros, las ganancias se pueden expresar en forma de ecuación simple como:

Beneficios = Ingresos – Costos.

Por lo tanto, para seguir siendo rentable a largo plazo, el ingeniero de minas debe examinar y evaluar continuamente formas más inteligentes y mejores específicas del sitio para reducir los costos en la operación. (p.22)

1.3.3.3.1. Ingresos Flota de acarreo

Conjunto de equipos que transportan materiales específicos (Mineral, desmonte, etc.) de un frente de carguío a un punto de descarga. (Hustrulid & M. Kuchta, 2013, p. 921)

Los ingresos estuvieron constituidos por las horas efectivas trabajadas por el volquete 1103 y 1123, y se calcularon con la ecuación adaptada de Hustrulid & M. Kuchta(2013) como sigue:

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 ∗ 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

1.3.3.3.2. Tipos de costos

Para Hustrulid & M. Kuchta(2013), Hay varios tipos de costes en los que se incurre en una operación minera, para fines de esta tesis se consideran los siguientes costes:

Costes operacionales

Son los costes de perforación, voladura, etc. por tonelada. Por ejemplo, los costos de combustible.

Costes de capital

Es la inversión necesaria para la mina y la planta de molienda, por ejemplo, las cuotas mensuales que se pagan por volquete.

Costes generales y administrativos

El coste podría incluir uno o varios de los siguientes elementos:

- Supervisión de la mina;

- Prestaciones a los empleados;

- Prima por horas extras;

- Gastos de la oficina de la mina;

- Gastos de la oficina central;

- Inspección de minas;

- Bombeo;

- Perforación de desarrollo;

- Impuestos sobre la nómina;

- Impuestos estatales y locales;

- Seguros;

32 - Ensayos;

- Depreciación de la planta minera. (Hustrulid & M. Kuchta, Open Pit Mine Plannig &

Design, 2013, p. 100)

1.3.3.3.3. Flujo de caja (FC)

Se refiere a la entrada o salida neta de dinero que se produce durante un periodo de tiempo específico. El cálculo elemental del flujo de caja es:

Ingresos brutos

- Gastos de explotación - Depreciación

= Ingresos fiscales - Impuestos

= Beneficio + depreciación - Costes de capital

=Flujo de caja (Hustrulid & M. Kuchta, Open Pit Mine Plannig & Design, 2013, p. 52) Depreciación

La depreciación usada en esta investigación fue la lineal, planteada por Hustrulid, Kuchta,

& Marting(2013), y es la siguiente expresion:

𝐷𝑒𝑝 =𝐼𝑛𝑣 𝑌

Donde:

Dep=Depreciación Y= años.

Al ser maquinaria usada para movimiento de tierras, el porcentaje de depreciación anual que se utiliza es el 20 % establecido por SUNAT (SUNAT, 2006).

1.3.3.4.Indicadores de rentabilidad

Los criterios para medir la rentabilidad de un proyecto de inversión se clasifican en métricas de rentabilidad en términos absolutos (unidades monetarias), y en métricas relativas, es decir en proporción o porcentaje sobre la inversión inicial, para fines de la presente investigación el indicador de rentabilidad fue el VAN.

1.3.3.4.1. Valor actual neto (VAN)

Consiste en traer los valores futuros al presente con una tasa de descuento. De esta forma, todos los flujos podrán ser cobrados el mismo año.

−𝟏𝟎𝟎 + 𝟓𝟎

𝟏 + 𝒌+ 𝟓𝟎

(𝟏 + 𝒌)^𝟐+ 𝟓𝟎

(𝟏 + 𝒌)^𝟑= 𝑽𝑨𝑵

𝑽𝑨𝑵 = 𝑪𝑭_𝟎+ 𝑪𝑭_𝟎

𝟏 + 𝑲+ 𝑪𝑭_𝟏

(𝟏 + 𝑲)^𝟐+ ⋯ 𝑪𝑭_𝒏

(𝟏 + 𝑲)^𝒏 = 𝑪𝑭_𝟎+ ∑ 𝑪𝑭_𝑖 (𝟏 + 𝒌)^𝒊

𝒏

𝒊=𝟏

1.4.Problema

Después de observar y analizar la realidad, el problema quedó planteado de la siguiente manera: