GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 17
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo quecada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
EJEMPLOS
1. Los triángulos ABC y PQR de la figura 1, son escalenos. Si ABC PQR, entonces ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
A) AB PQ B) AC RQ C) BC QR D) ACBPRQ E) ABCPQR
2. En la figura 2, ABC PRQ, entonces la medida del ángulo PQR es
A) 5º B) 10º C) 20º D) 25º E) 40º
B C
P Q
fig. 1
A
R
fig. 2
A B
C
x + 15º
R
Q P 2x – 10º A
R
P Q
C
B AB PQ
AC PR CB RQ
A P B Q C R ABC PQR
C u r s o :
Matemática
3. Los triángulos ABC y FED de la figura 3, son escalenos. Si ABC FED, entonces ¿cuál es el valor de x?
A) 7 B) 9 C) 12 D) 15
E) Ninguna de las anteriores
4. Si en la figura 4, se cumple que MNO PQR, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) MN PR B) ON RP C) MON QPR D) NMO QPR E) NOM RPQ
5. Los triángulos MNP y ONS de la figura 5 son congruentes en ese orden y MS = 7, entonces la suma de todos los trazos de la figura es
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
6. Si los polígonos ABCD y EFGH de la figura 6 son congruentes en ese orden, ¿cuál de las siguientes alternativas esFALSA?
A) AB EF B) DABHEF C) DC GH D) ADC GFE
E) AD EH G
E F
B C D
A H
fig. 6
M N
O
Q P
R
fig. 4
fig. 5
M 4 N S
P O
5
fig. 3 D
F
E 12
x C
A B
9
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
EJEMPLOS
1. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de triángulos es (son) siempre congruentes?
I) II) III)
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III
2. Los triángulos escalenos de la figura 1, son congruentes por el criterio
A) ALA B) LAL C) LLL D) LLA> E) AAA
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres
lados respectivamente iguales.
LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando tiene
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.
c C B A c C’ B’ A’ C B A c b a c C’ B’ A’ b a C B
A c c
3. En la figura 2, AB AD y CAD CAB. ¿Qué criterio permite demostrar que el ABC ADC?
A) LLL B) LAL C) ALA D) LLA>
E) Falta información
4. Si en la figura 3, el FAR EAR, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) RA es bisectriz del FRE. II) FBA EBA
III) RAE es isósceles
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
5. En la figura 4, los triángulos QNP y NQM son isósceles y rectángulos en P y en M, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) MT + PQ = QM + QT II) PM QN
III) QPM =PMN
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III
E) I, II y III M
P
Q T N
fig. 4 fig. 3
F
A
B E
R D
C A
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o la
prolongación de éste.
H es el punto de intersección de las alturas, llamado ortocentro.
EJEMPLOS
1. En el triángulo ABC de la figura 1, H es el ortocentro. El ángulo ABC mide 35°, entonces el ángulo EHC mide
A) 125º B) 90º C) 55º D) 45º E) 35º
2. En el ABC de la figura 2, CD es altura. Si D, A y B son colineales, entonces la medida del ángulo BCA es
A) 20º B) 30º C) 40º D) 60º E) 70º
3. En la figura 3, el ABC es escaleno, CD es altura, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es siempreverdadera?
A) – = 30° B) + = + C) + < 90° D) – > 0° E) + > 90°
C
A B
H
F E
D
ha hc
hb
A B
C
hc
hb
ha
= H
A B
C
E F
D
H fig. 1
A B
C
hc
hb
ha
fig. 2
50º C
A B
D
20º
A D B
C
fig. 3
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
BISECTRIZ:Es el rayo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.
OBSERVACIÓN:El incentro equidista de los lados del triángulo ID IE IF
EJEMPLOS
1. En la figura 1, el ABC es escaleno, BD es bisectriz del ABC, entonces ¿cuál es la medida del ángulo?
A) 5º B) 10º C) 15º D) 20º E) 25º
2. Si en un triángulo rectángulo escaleno se traza la bisectriz del menor de los ángulos interiores, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones con respecto a algunos de los triángulos que se forman es (son) verdadera(s)?
I) Se forma un triángulo acutángulo II) Se forma un triángulo obtusángulo III) Se forma un triángulo rectángulo
A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II, III
F E
D
I = INCENTRO (punto de intersección de las bisectrices)
A B
C
I
80º 95º
A B
C
D
A D F
B C
G E
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.G es centro de gravedad(punto de intersección de estas)
CG= AG =BG =2
GD GE GF 1
EJEMPLOS
1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y 2 · CE = AB, entonces la medida del ángulo ACB es
A) 40º B) 45º C) 55º D) 90º E) 95º
2. En el triángulo ABC de la figura 2, F es centro de gravedad y CD : AE = 3 : 2. Si CD = 9 cm, entonces FE mide
A) 6 cm B) 4 cm C) 3 cm D) 2 cm E) 1 cm
ABC es rectángulo en C y CD es transversal de gravedad.
DC BD AD
A B
C
D
A B
C
E
fig. 1
95º
F E
A
fig. 2
B C
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
Simetral: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del
triángulo.
OBSERVACIÓN:El circuncentro equidista de los vértices del triángulo: AO OC OB
EJEMPLOS
1. En el ABC de la figura 1, EF es simetral del segmento AB. Si el ángulo ABC mide 35°, ¿cuánto mide el ángulo EFC?
A) 35º B) 45º C) 55º D) 90º E) 125º
2. El triángulo ABC de la figura 2 es rectángulo en C, DG y EF son simetrales de los segmentos AC y AB , respectivamente. Si EF = EB, entonces el ángulo FOD mide
A) 30º B) 40º C) 45º D) 50º E) 55º
A B
C
E
F fig. 1
O : CIRCUNCENTRO
(punto de intersección de las simetrales)
A B
C
O
C
D
fig. 2
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
MEDIANA:Es el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo.
OBSERVACIONES
FE // AB y AB = 2 · FE FD // BC y BC = 2 · FD DE // AC y AC = 2 · DE
EJEMPLOS
1. En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 30°, PQR = 40º y MN es mediana. ¿Cuánto mide el ángulo PMN?
A) 30° B) 35° C) 40° D) 65° E) 70°
2. En el triángulo ABC de la figura 2, los puntos M, N, O son punto medios de los lados respectivos. Entonces, + =
A) 30° B) 60° C) 70° D) 90° E) 150°
3. En la figura 3, la suma de los lados del ABC es 48 cm, si D, E y F son puntos medios, entonces la suma de los lados del DEF es
A) 16 B) 24 C) 29 D) 46
E) falta información.
ADFDBEFECEFD
A D B
F E
C
P Q
R
M N
fig. 1
30°
A B
C
N
O M
fig. 2
A B
C
D E F
CD = hc= tc= b= sc AC = BC AB BC ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO
En todo triángulo isósceles no equilátero coinciden los elementos secundarios
correspondientes al lado distinto.
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
EJEMPLOS
1. En la figura 1, ABC es isósceles de base AB. Si D es punto medio del trazo AB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempreverdadera(s)?
I) ACD BCD II) ADC BDC III) ADC 90º
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III
A D B
C
A B
C
fig. 1
D
A D B
F E
C
G
30° 30°
30° 30°
30°
2. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB. Si CDAB, entonces ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruente(s)?
I) ADE conBDE II) AEC conBEC III) ADC conBDC A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
3. El DBC de la figura 3, es isósceles de base DB. Si DE BE, entonces la medida del ángulo es
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 45º
4. El ABC de la figura 4, es isósceles de base BC . Si BD y CE son bisectrices de los ángulos basales, ¿cuál de las siguientes alternativas esFALSA?
A) CE BD
B) PBC es isósceles C) EBC DCB
D) E y D son puntos medios de AB y AC E) DC EB
5. En la figura 5, DB es perpendicular a AC y ADB CDB. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempreverdadera(s)?
I) ABD CBD II) ADB es escaleno.
III) B es punto medio de AC . A) Sólo I
B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
fig. 2
A D B
E C
A
B E
D
P
fig. 4 C
B A
C D
fig. 5
A D E B
C
fig. 3 20º
RESPUESTAS
DMCAMA17
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6
1 y 2 B E B D B D
3 y 4 D A B D E
5 E B B
6 C D
7 D D
8 E C
9 E E B
