Razones y Proporciones II

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APRENDIZAJES ESPERADOS

• Aplicar las propiedades de razones y proporciones.

• Reconocer y distinguir entre una proporción directa

y una proporción inversa.

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Contenidos

1. Razones y Proporciones

1.1 Definiciones: razón y proporción

1.2 Teorema fundamental de la proporciones

1.3 Propiedades

1.4 Clasificación: Proporción Continua y Discontinua

1.5 Serie de Razones

1.6 Proporcionalidad directa

1.7 Proporcionalidad inversa

(4)

1. Razones y proporciones

•

Razón

: Es la comparación entre dos cantidades cualesquiera. Su notación es:

a

b

ó

_{a : b}

y se lee: “

a

es a

b

”

1.1 Definiciones

a

: antecedente,

b

: consecuente

(5)

Por lo tanto:

=

9,94…

179.450

18.051 Densidad Poblacional =

Km2 viven aproximadamente 10 personas.

Ejemplo:

La razón entre “población” y “superficie”, se conoce como

Densidad Poblacional.

Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de 179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051 km2.

(Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística).

(6)

•

Proporción:

Es la igualdad de dos razones:

b

a

d

=

c

ó

_{a : b = c : d}

y se lee: “

a

es a

b

como

c

es a

d

”

Además,

a

y

d

: extremos

c

y

b

: medios

Ejemplo:

4 3

(7)

1.2 Teorema fundamental de las proporciones

El producto de los medios es igual al producto de los extremos.

b

a

d

=

c



ad = bc



a : b = c : d

Ejemplo 1:

4 5

20 = 25

(8)

Ejemplo 2:

La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número de dulces que tiene su hermano es 2 : 3.

Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano?

Solución:

Si x es el número de dulces del hermano, entonces:

Dulces de Agustín

x

=

3

2 x

12

3 =

2 2x

=

36 x

=

18

(9)

1.3 Propiedades

Si

b

a

d

=

c

, entonces:

a) La proporción es la misma si se cambian de orden los extremos

b

d

a

=

c

b) La proporción es la misma si se cambian de orden los medios

c

a

d

=

b

c) La proporción es la misma si se invierten las dos razones

a

b

c

=

d

d) La proporción es la misma si se permutan las dos razones

d

c

(10)

e) Composición de proporciones:

=

c

c + d

a

a + b

ó

₌

d

c + d

b

a + b

f) Descomposición de proporciones:

a

a - b

c

=

c - d

ó

b

a - b

d

=

c - d

g) Composición y descomposición de proporciones:

a - b

a + b

(11)

1.4 Clasificación

• Proporción

discontinua:

Es aquella que tiene todos sus términos distintos, es decir:

b

a

d

=

c

es discontinua si a ≠ b ≠ c ≠ d

Ejemplo:

5

25

9 =

45

Cuarta Proporcional Geométrica (CPG)

Es un cuarto valor que junto a otros tres, forman una proporción. En el ejercicio anterior:

(12)

• Proporción continua:

Es aquella que tiene los extremos, o medios iguales.

b

a

d

=

b

Ejemplo:

b

a

=

c

ó

6

9

4 =

6

Tercera Proporcional Geométrica (TPG)

Es cada uno de los términos no repetidos de una proporción continua.

9 es TPG entre 4 y 6

(13)

Media Proporcional Geométrica (MPG)

Es el término que se repite en una proporción continua.

Ejemplo:

4

2

8 =

4

(14)

1.5 Serie de razones

Es la igualdad de 2 o más razones.

b

a

₌

d

c

₌

f

e

_{= ……… = k}

2

1 =

4

2 =

6

3 _{= ……… = 0,5}

=

8

4 =

10

5

ó

a : c: e: … = b : d: f : …

Ejemplo 1:

k: valor de la razón o constante de

proporcionalidad k  IR

(15)

Ejemplo 2:

a : b : c = 3 : 5 : 6 a + b + c = 42

Si , determinar a, b y c.

Solución:

Si a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces:

= 5

b ₌

6

c = k 3

a

Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k

Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42 14k = 42 k = 42

14 k = 3 Por lo tanto:

a = 9, b = 15 y c = 18

(16)

1.6 Proporcionalidad directa

Dos variables son directamente proporcionales, si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (disminuye), en la misma proporción.

y

es directamente proporcional a

x

si

x

y

_{= k,}

k: constante

Ejemplo:

La siguiente tabla representa la relación entre el número de fotocopias y su costo en pesos:

N° de fotocopias

(x) $ (y)

K = x y

1 20 20

2 40 20

3 60 20

(17)

Gráficamente:

(18)

1.7 Proporcionalidad inversa

Dos variables son inversamente proporcionales, si al

aumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa) en la misma proporción.

y

es inversamente proporcional a

x

si

_{y∙x= k,}

k: constante

Ejemplo:

Para construir una piscina en 20 días se requiere de 4 obreros. Entonces se puede inferir que para demorar 10 días se requieren 8 obreros, y para demorar 5 días se requieren 16 obreros, y así sucesivamente.

Si tabulamos: _{N° de obreros}

(x) Días (y) k = y∙x

4 20 80

8 10 80

16 5 80

(19)

Gráficamente:

(20)

1.8 Proporcionalidad compuesta

Es aquella en que intervienen más de dos variables inversamente proporcionales y/o directamente

proporcionales.

Ejemplo:

Si 5 pasteleros producen en 7 días 400 tortas, ¿cuántas tortas pueden producir 14 pasteleros en 9 días?

Solución:

Un método práctico es el siguiente:

1° Se ordenan los datos dejando la incógnita (tortas), en el centro:

N° pasteleros N° tortas Días

5 400 7

(21)

• N° de Pasteleros y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras más pasteleros mayor es la cantidad de pasteles

producidos.

• Días y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras más días, mayor es la cantidad de pasteles producidos.

2° Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, esto es:

N° pasteleros N° tortas _Días

5 400 7

14 x 9

Entonces: ₅

_∙

_x

_∙

_{7 = 14}

_∙

₄₀₀

_∙

₉ x = 14

∙

400

∙

9

5∙7 x = 1.440