Análisis de la fase en sistemas ópticos

Opticos

por

M.C. Brenda Villalobos Mendoza

Tesis sometida como requisito parcial

para obtener el grado de

DOCTOR EN CIENCIAS EN LA

ESPECIALIDAD DE ´

OPTICA

en el

Instituto Nacional de Astrof´ısica, ´

Optica y

Electr´onica

Enero 2015, Tonantzintla, Puebla

Supervisada por:

Dr. Alejandro Cornejo Rodr´ıguez, INAOE

c

INAOE 2015

El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir

Dedicatoria iv

Agradecimientos v

Lista de figuras vii

Lista de tablas xi

Resumen xii

Abstract xii

Capítulo 1

Introducción

1.1 Introducción 15

1.2 Técnicas para el desplazamiento de fase 17 1.3 Objetivo general 20 1.3.1 Objetivos particulares 20 1.4 Estructura de la tesis 21

Capítulo 2

Montaje y calibración de un interferómetro tipo Michelson

2.1 Introducción 24

2.2 Descripción del interferómetro de Michelson 24 2.3 Funcionamiento del interferómetro de Michelson 26 2.4 Calibración del interferómetro de Michelson 28 2.4.1 Comprobación de la igualdad del DCO en el interferómetro 33 2.5 Arreglo experimental con luz blanca del SLM CRL Opto XGA01P 34

2.6 Conclusiones 36

Capítulo 3

Caracterización

del

SLM

para compensar las

deformaciones de superficies ópticas

3.1 Introducción 39

3.2 Calibración del SLM CRL Opto XGA2P01 41 3.3 Algoritmo para el cálculo del desplazamiento de fase 45 3.4 Calibración del SLM Holoeye LC2012 53

3.5 Conclusiones 58

Capítulo 4

Algoritmo propuesto para medir las deformaciones

locales: mínimos cuadrados

4.1 Introducción 60

4.2 Teoría para la simulación de interferogramas 60 4.3 Algoritmo de Carré 63 4.4 Algoritmo de mínimos cuadrados 66

4.4.1 Superficies con defectos locales 69 4.5 Conclusiones 72

Capítulo 5

Sistema con escalones de tamaño determinado:

mediciones experimentales

5.1 Introducción 75

5.2 Superficie plana con escalones de diferente espesor 75

5.3 Compensación de escalones de película delgada utilizando el SLM Holoeye LC2012

83

5.4 Criterio de mínimos cuadrados para encontrar las rectas de mejor ajuste a los máximos de los patrones de interferencia

86

5.4.1 Rectas de mínimos cuadrados ajustadas a los interferogramas experimentales

89

5.5 Análisis del coeficiente de correlación y del RMSE para determinar el mejor ajuste del nivel de gris.

92

5.5.1 Cálculo del coeficiente de correlación como medida para determinar el mejor nivel de gris de ajuste

92

5.5.2 Cálculo del valor de RMSE como medida para determinar el mejor nivel de gris ajustado

97

5.6 Cálculo de espesores de escalones de película delgada 99 5.6.1 Desplazamiento de fase por zonas a la superficie bajo prueba:

técnica propuesta

100

5.6.2 Medición de la superficie bajo prueba: WYKO® ₁₀₁

5.7 Conclusiones 105

Capítulo 6

Conclusiones generales

6.1 Conclusiones generales 108 6.2 Difusión del trabajo de investigación 109 6.3 Trabajo a futuro 110

Bibliografía

111

Apéndice 1 120

Apéndice 2 121

A mis papás con todo mi

A mis papás

David Villalobos de la O y Magdalena Mendoza Montañez por su cariño y apoyo constantes.

A mis hermanos

Sergio y Alejandra por su apoyo, cariño y confianza.

A mis asesores

El Dr. Alejandro Cornejo Rodríguez y el Dr. Fermín Granados Agustín, por su asesoría, dirección y conocimientos compartidos.

A mis sinodales

El Dr. Agustín Santiago Alvarado, el Dr. Fermín Granados Agustín, el Dr. Manuel Campos García, al Dr. Rufino Díaz Uribe y a la Dra. Ma. Elizabeth Percino Zacarías, por sus valiosas sugerencias y acertados aportes para el desarrollo de este trabajo además de fungir como sinodales del mismo.

A Daniel Aguirre Aguirre

Por el apoyo y ánimo para seguir adelante.

Al Dr. Félix Aguilar y el Dr. Francisco Renero Por el apoyo brindado.

juntos.

A los técnicos

Pedro Técuatl, Magdalena Hernández, Armando de la Luz, Noé López, Claudia Carballo, Valentín López, Emilia Cruz, Mayra Salazar, Javier Arriaga, Miguel Arroyo y Don Omar, por todo el apoyo brindado.

Al INAOE

Por las facilidades prestadas durante mi estancia académica.

A CONACYT

Por la beca otorgada durante el período académico.

Figura 2.1 Arreglo experimental del interferómetro de Michelson con fuente de luz blanca.

25

Figura 2.2 Esquema conceptual del interferómetro de Michelson. 27

Figura 2.3 Arreglo experimental del interferómetro de Michelson,

fuente de luz láser He-Ne 532.8nm.

29

Figura 2.4 Anillos de interferencia en el interferómetro de Michelson. 30

Figura 2.5 Interferogramas experimentales del interferómetro de

Michelson. (a) Desplazamiento de la platina hacia el divisor de haz (b) Inclinación de

M

2

; (c) Desplazamiento de la platina alejándose del divisor de haz.

31

Figura 2.6 Posición de referencia para la igualación de CO del

interferómetro de Michelson.

32

Figura 2.7 Interferogramas experimentales de ajuste fino del

interferómetro de Michelson. (a) Desplazamiento de la platina hacia el divisor de haz; (b) Inclinación de

M

2

; (c) Desplazamiento de la platina alejándose del divisor de haz.

32

Figura 2.8 Franjas de interferencia con luz blanca en el interferómetro de Michelson.

33

Figura 2.9 Arreglo experimental con luz blanca del SLM CRL Opto

XGA01P.

35

Figura 2.10 Franjas de interferencia de luz blanca al introducir el SLM en el arreglo experimental.

35

Figura 2.11 Arreglo experimental con luz blanca del SLM Holoeye

LC2012.

36

Figura 3.3 Interferogramas experimentales y niveles de gris desplegados en el SLM CRL Opto XGA2P01.

43

Figura 3.4 Imágenes con referencia desplegadas en el SLM y patrones

de interferencia capturados.

44

Figura 3.5 Diagrama de bloques del algoritmo desarrollado. 46

Figura 3.6 Perfiles de intensidad de interferogramas experimentales.

(a) Perfil sin suavizar y (b) Perfil suavizado.

47

Figura 3.7 Máximos de los interferogramas experimentales utilizando

el SLM CRL Opto XGA2P01.

48

Figura. 3.8 Máximos encontrados antes de las correcciones realizadas

en el algoritmo.

49

Figura. 3.9 Posiciones para encontrar el desplazamiento producido por cada nivel de gris.

50

Figura 3.10 Desplazamiento de franjas vs nivel de gris en pixeles, para 7 máximos del patrón de interferencia, SLM CRL Opto XGA2P01.

51

Figura 3.11 Desplazamiento de fase vs nivel de gris para el SLM CRL

Opto XGA2P01, en pixeles.

51

Figura 3.12 Desplazamiento de fase vs nivel de gris. SLM CRL Opto

XGA2P01.

53

Figura 3.13 Arreglo experimental con el nuevo SLM Holoeye LC2012. 54

Figura 3.14 Interferogramas experimentales SLM Holoeye LC2012. 55

Figura 3.15 Máximos de los patrones de interferencia del SLM Holoeye

LC2012.

56

Figura 3.16 Desplazamiento de franjas vs nivel de gris para algunos

máximos del patrón de interferencia, SLM Holoeye LC2012.

57

/ 20. π

Figura 4.2 Mapas de fase y perfiles centrales para diferentes valores de desplazamiento de fase. (a) α π= / 4; (b) α π= / 5 y (c) α π= / 10.

65

Figura4.3 Mapas de fase de interferogramas sintéticos con

desplazamientos de fase de π / 20.

68

Figura 4.4 Gráficas de superficies sintéticas. (a) Superficie esférica con deformaciones locales y (b) Superficie libre.

70

Figura 4.5 Interferogramas sintéticos. (a) Superficie esférica y (b) Superficie “free form.”

71

Figura 4.6 Mapas de fase de superficies sintéticas simuladas. (a)

Superficie esférica y (b) Superficie “free form.”

72

Figura 5.1 Análisis de la superficie plana antes de depositar los

escalones de película delgada. P-V: 0.2308λ ; RMS: 0.0348λ.

76

Figura 5.2 Espejo con escalones de película delgada. 77

Figura 5.3 Interferómetro de Michelson con luz blanca para medir el

espesor de los escalones de película delgada depositados.

78

Figura 5.4 Interferograma experimental con luz blanca, para medir

desplazamiento de franja obscura y calcular el espesor de los escalones de película delgada.

79

Figura 5.5 Centroides de interferograma experimental para medir

espesor de escalones.

80

Figura 5.6 Traslape de interferograma experimental con centroides de

superficie con escalones.

81

Figura 5.7 Arreglo experimental para compensar escalones de espejo

bajo prueba.

83

escalones. (a) Escalón de λ 4 y borde, sin compensar; (b) Escalón de de λ 4 y borde, compensado; (c) Escalón de 3λ 4 y λ 2 sin compensar y (d) Escalón de 3λ 4 y λ 2 compensado.

Figura 5.10 Datos de ajuste con mínimos cuadrados. 87

Figura 5.11 Centroides de los interferogramas experimentales para

ajustar recta de mínimos cuadrados. (a) Imagen sin compensar y (b) Imagen compensada.

90

Figura 5.12 Traslape de centroides con interferogramas

experimentales. (a) Imagen sin compensar y (b) Imagen compensada.

90

Figura 5.13 Ajuste de rectas de mínimos cuadrados a escalón de 3λ 4

y borde. (a) Imagen sin compensar y (b) Imagen compensada.

91

Figura 5.14 Compensación de escalón de borde y λ 4. (a) Imagen sin compensar; (b) Imagen compensada con nivel de gris de 109.

94

Figura 5.15 Ajuste de rectas de mínimos cuadrados para escalón de

borde y λ 4. (a) Imagen sin compensar; (b) Imagen compensada con nivel de gris de 109.

95

Figura 5.16 Perfilómetro óptico WYKO® _{NT1100. 102}

Figura 5.17 Perfiles de escalones de superficie bajo prueba medidos

con WYKO®_{. (a) Escalón de borde y} λ _{4; (b) Escalón de} λ _{4 y} λ _{2 y}

(c) Escalón de λ 2 y 3λ 4.

104

Tabla 5.1 Espesores de escalones de película delgada medidos con luz blanca.

Tabla 5.2 Comparación entre espesores teóricos y espesores obtenidos

al medir con luz blanca.

82

Tabla 5.3 Valores del coeficiente de correlación r para escalón de borde y λ 4.

96

Tabla 5.4 Valores de RMSE para zona del borde y λ 4. 98

Tabla 5.5 Valores de RMSE para las diferentes zonas de la superficie bajo prueba.

99

Tabla 5.6 Espesores entre escalones de la superficie bajo prueba. 100

Tabla 5.7 Espesores de escalones de película delgada de la superficie bajo prueba medidos con el SLM.

101

Tabla 5.8 Especificaciones del perfilómetro óptico WYKO®_{. 102}

Tabla 5.9 Espesores de escalones de película delgada de la superficie bajo prueba medidos con WYKO®_.

104

Tabla 5.10 Errores absoluto y relativo de mediciones obtenidas con WYCO® _{vs medición obtenida con el SLM.}

105

(PSI, Phase Shifting Interferometry). El desplazamiento de fase que se observa en los patrones de interferencia capturados, se logra al desplegar diferentes niveles de gris en un modulador espacial de luz (SLM Spatial Light Modulator), el cual es colocado en uno de los brazos de un interferómetro de Michelson. Antes de utilizar la técnica de PSI fue necesario realizar la calibración del interferómetro, esto con el objetivo de comprobar que los desplazamientos de fase observados en los patrones de interferencia fueran producidos únicamente por los niveles de gris desplegados en el SLM y no debido a su espesor. Se muestra la caracterización realizada para obtener la curva de “Desplazamiento de fase vs nivel de gris” del SLM CRL Opto XGA2P01 y el SLM Holoeye LC2012. Para la caracterización de los moduladores, se propone un método que consiste en medir en los patrones de interferencia experimentales capturados, el desplazamiento de las franjas que se observa en la parte del interferograma en donde se ha variado el nivel de gris, con respecto a la parte del interferograma en donde ha permanecido fijo el nivel de gris en cero como referencia. Las imágenes desplegadas en el SLM fueron divididas en dos partes iguales, en la parte superior se varía el nivel de gris, mientras que la parte inferior permanece fija como referencia. De los resultados obtenidos, se observa que la técnica propuesta funciona correctamente para corregir defectos locales en la superficie bajo prueba, que produzcan desplazamientos de fase de π 2 , π y 3π 4.

phase shift that is observed in the recorded interference patterns is achieved by displaying in a Spatial Light Modulator (SLM) different gray levels. This SLM is placed in one arm of a Michelson interferometer. Before use the PSI technique was necessary to make the calibration of the Michelson interferometer with the aim to probe that the shifts observed in the interference patterns were produced by the gray levels displayed in the SLM and not for its thickness. It is shown the characterization done to obtain the curve “Phase Shift vs Gray Level” of both SLM used. To make this characterization we propose a technique that consists in measuring the shifts observed in the interference patterns that are produced by the different gray levels displayed in the SLM. The images displayed in the SLM were divided in two equal parts, the upper part was varying the different gray level from 0 to 255, and the lower part remained fixed with a gray level 0 as reference. The results shown that the local deformations of the optical surface under test can be retrieved.

Capítulo 1

1.1 Introducción

A lo largo de estos últimos años, la necesidad de sistemas ópticos cada vez más confiables, ha ido en aumento en diferentes áreas científicas y tecnológicas, (Astrofísica, Microscopía, Óptica de la visión, etc.). Esto representa un gran reto para el área de fabricación y pruebas, debido a que fabricar superficies con gran calidad (>λ 10), requiere de pruebas ópticas cada vez más precisas.

Debido a lo anterior, estos sistemas ópticos de gran precisión son generalmente probados usando técnicas interferometricas, [1-13] _{dado que es}

uno de los mejores caminos para alcanzar las precisiones deseadas en las mediciones que se desea realizar.

Para explotar todas las ventajas que estás técnicas interferométricas ofrecen, es imprescindible el uso de computadoras, por lo que en los últimos 30 años, la integración de computadoras cada vez más potentes, en cuanto a velocidad de procesamiento, capacidad de memoria, capacidad de almacenamiento, etc., a los sistemas de medición ha ido creciendo cada vez más, y en interferometría de desplazamiento de fase PSI (Phase Shifting Interferometry), [14] _{no ha sido la excepción.}

Mientras que el análisis de interferogramas estáticos, Fizeau, Ronchi, Newton, etc., también ha sido beneficiado por la tecnología computarizada, debido a que este tipo de análisis presenta el gran problema de envío de la información del patrón de franjas capturado hacia la computadora, sin perder la exactitud intrínseca contenida en el patrón de interferencia capturado. Entre los problemas más grandes que tiene la técnica de interferometría estática, es la localización de los centroides de las franjas de los patrones de interferencia; otro problema que existe es que la información se recolecta solo a lo largo de los centros de las franjas, y la mayoría de los métodos de análisis se realizan

sobre una cuadrícula por lo que se requiere de interpolación entre puntos, lo que introduce errores en los resultados. [14, 15] _{Este tipo de análisis, también}

tiene poco muestreo, lo que limita la resolución del método. Para incrementar la densidad de puntos medidos, se pueden adquirir interferogramas con un mayor número de franjas, introduciendo inclinación ya sea a la superficie bajo prueba o a la superficie de referencia, pero conforme se aumenta el número de franjas, se requiere una mayor densidad de pixeles del sistema de captura utilizado.

En PSI, se capturan un conjunto de interferogramas desplazando la fase de referencia, por lo que la fase del frente de onda se encuentra codificada en los patrones de intensidad del interferograma capturado y puede ser recuperada con un cálculo punto-a-punto sobre el interferograma. [14, 15] _{Debido a esto, la}

necesidad de localizar los centros de las franjas del patrón de interferencia es eliminada.

La PSI no requiere de una configuración específica y la técnica puede ser aplicada para probar en una gran variedad de situaciones. [16-33]

Un ejemplo en donde la PSI es aplicada para la medición de lentes, se promedia un gran número de frentes de onda eliminando efectos de ruido y turbulencia. Estos frentes de onda son capturados en un detector con un arreglo de 32x32 diodos, y el desplazamiento de fase se logra a desplazando un espejo, el cual es colocado en un piezoeléctrico en el brazo de referencia de un interferómetro Twyman-Green. [17]

En otro ejemplo, la PSI es utilizada para medir superficies asféricas utilizando una combinación de holografía de dos longitudes de onda (TWH, por sus siglas en inglés) con PSI. [18] _{Esta técnica permite la medición de}

superficies asféricas calculando la fase del “holograma” final a partir de los

datos del interferograma primario en la computadora, obteniendo así una mayor sensibilidad en la prueba.

Otra técnica aplicando PSI para medir superficies rugosas, consiste en iluminar con luz coherente y con dos longitudes de onda diferentes la superficie rugosa que se desea medir. [19] _{La diferencia de fase entre los dos “speckles”}

producidos por la superficie rugosa, contendrán información acerca del perfil macroscópico de la superficie bajo prueba. El perfil de la superficie rugosa se determina de las diferencias de fase calculando la longitud de onda efectiva, siempre y cuando ésta sea mayor que las desviaciones del perfil rugoso de la superficie bajo prueba. [19]

En interferometría de desplazamiento de fase, el frente de onda de referencia es desplazado a lo largo de la dirección de propagación con respecto al frente de onda bajo prueba, variando así la diferencia de fase entre ellos, por lo que el frente de onda bajo prueba se puede recuperar midiendo los cambios de intensidad para varios desplazamientos de fase en el punto muestreado del frente de onda. [34]

La fase del frente de onda bajo prueba puede ser calculada directamente de los distintos patrones de franjas capturados, en donde se conoce el cambio de fase introducido entre los haces de referencia y de prueba. Comúnmente, se captura un cierto número de interferogramas con desplazamientos de fase conocidos, [14,15] _{se procesa la información obtenida y se calcula punto a punto}

la fase del frente de onda.

La medición directa de la fase utilizando esta técnica tiene muchas ventajas sobre la interferometría estática, en donde a diferencia de trabajar con solo una parte de la información del patrón de interferencia (centroides), en PSI se procesa toda la información capturada.

Otra de las ventajas que ofrece esta técnica, es una precisión con un factor de 10 a 100 veces mayor que la interferometría estática, [34]_{. Para realizar esta}

técnica, se coloca un desplazador de fase en el haz de referencia, y un detector en el plano de detección, de esta forma la información puede ser capturada rápidamente, reduciendo errores provocados por turbulencia o vibración.

1.2 Técnicas para el desplazamiento de fase

Existen varias formas para desplazar la fase del frente de onda en un interferómetro: desplazando un espejo, inclinando una placa de vidrio, desplazando una rejilla, rotando una placa o un analizador, utilizando un modulador acusto-óptico o electro-óptico, etc. [35-38]

Los desplazadores de fase tales como espejos movibles, rejillas, placas de vidrio, o componentes de polarización pueden producir desplazamientos de fase tanto continuos como discretos entre los haces de referencia y de prueba.

[14, 34] _{Todos estos métodos desplazan la frecuencia del haz de referencia en}

el interferómetro con respecto del haz de prueba, para introducir una diferencia de fase entre los haces.

_{El desplazamiento de fase se puede lograr si la frecuencia de uno de los}

haces se modifica durante el proceso. Esto se puede hacer de manera continua utilizando algunos dispositivos. Cuando la frecuencia puede modificarse de forma permanente, algunas personas se refieren a ese tipo de instrumentos como AC (Alternating Current) heterodinos, o interferómetros de desplazamiento de frecuencia; de lo contrario, el instrumento es considerado un interferómetro de desplazamiento de fase.

Una de las técnicas para desplazar el espejo del haz de referencia, es mediante un transductor electromagnético o piezoeléctrico. [34] _{El transductor}

desplaza el espejo, por lo que la fase es cambiada a un nuevo valor. Un transductor piezoeléctrico (PZT, Piezo Electric, Transducer), tiene un desplazamiento lineal de más de 1µm ( 2 ),≈ λ y se utilizan un rango de voltajes desde cero a algunos cientos de volts para producir los desplazamientos. [15, 34]

Otro método para desplazar la fase del frente de onda consiste en introducir una placa plano-paralela de vidrio en una de las trayectorias del haz de luz. La diferencia de fase( )α introducida por esta placa de vidrio, cuando es inclinada un ángulo θ con respecto del eje óptico, está dada por la ecuación

(

cos ´ cos

)

,

α =kt n θ − θ (1.1) en donde t es el espesor de la placa, n es el índice de refracción y

2 .

k = π λ [34] _{Los ángulos} θ _y θ_{´ son los ángulos entre la normal a la placa de}

vidrio y los rayos de luz afuera y dentro de la placa, respectivamente. Si se introduce una rotación en la placa, esta incrementa el ángulo θ y también incrementará la diferencia de camino óptico (DCO); por lo que si la placa se rota un ángulo pequeño (∆θ), el desplazamiento de fase ( )α quedará dado por

1 cos

1 .

cos ´

θ

α θ θ

θ

 

= _ − _ ∆

 

kt sen

n (1.2)

Otra técnica para la modulación de la fase consiste en desplazar continuamente una rejilla de difracción en un brazo del interferómetro, perpendicular al haz de luz. [39-41] _{La fase del haz de luz difractado es}

desplazada

n x 2π

del número de rendijas que pasan a través de un punto fijo, en donde

n

representa el orden de difracción. Por lo que, el desplazamiento en la frecuencia es igual a

n

veces el número de rendijas en la rejilla que pasan a través de un punto fijo por unidad de tiempo. [34] _{Si la}

rejilla de difracción se desplaza una distancia pequeña ( y),∆ entonces la fase cambia una cantidad ( )α dada por:

2 n y d π

α = ∆ (1.3)

en donde

d

es el período de la rejilla y n es el orden de difracción.

Otra de las técnicas utilizadas para producir desplazamiento de fase, es desplazar la frecuencia de la fuente de luz láser. [34] _{El desplazamiento puede}

hacerse de dos formas, una de las cuales consiste en utilizar un láser Zeeman con división de frecuencia, cuya ventaja radica en la separación del espectro principal en dos líneas separadas una frecuencia de aproximadamente 2.0MHz. [42] _{Este láser está diseñado para trabajar en ambientes rudos y}

operar fiablemente en ambientes industriales por 10,000 horas de trabajo o más. Otra de las ventajas de este láser se encuentra en que su razón de pérdida de señal a diferencia de la mayoría de los láseres, los cuales se encuentran en un 50%, este láser soporta más del 95%, esto aunado al margen de seguridad libre de ajustes eléctricos periódicos. La frecuencia del láser se divide en dos frecuencias de salida polarizadas ortogonalmente. La frecuencia de separación de las dos líneas espectrales es del orden de 2 a 5 MHz en un láser de He-Ne. En el interferómetro, las dos líneas espectrales recorren diferentes caminos y el plano de polarización de una de ellas se rota para producir la interferencia. [34]

Como se puede observar, la técnica de PSI resulta ser de gran ayuda para el análisis de superficies ópticas, y su configuración puede ser muy variada y en algunos casos, fácil de implementar. Debido a esto, es que se sigue mostrando un gran interés en su estudio, y en nuestro caso fue de interés para el desarrollo de este trabajo de tesis.

Por lo descrito anteriormente, en este trabajo de tesis se presenta el análisis realizado de la aplicación de interferometría de desplazamiento de fase, utilizando un modulador espacial de luz SLM (Spatial Light Modulator, por sus siglas en inglés). La técnica propuesta desplaza la fase de referencia a través de los diferentes niveles de gris que son desplegados en el modulador espacial de luz. Se decidió utilizar el SLM debido a que se puede modificar en tiempo real la fase de referencia para la prueba de sistemas ópticos. Además, gracias a la configuración pixelada del modulador, se comprobó que es posible desplazar la fase de referencia únicamente en la zona donde se localiza el defecto, a diferencia de las otras técnicas, en donde se desplaza la fase de referencia en el interferograma completo.

1.3 Objetivo General

El objetivo de este trabajo es aplicar PSI en zonas localizadas de un interferograma para obtener los defectos locales de un sistema óptico bajo prueba. El desplazamiento de fase se logra modificando los niveles de gris que son desplegados en un SLM únicamente en la zona en dónde se localiza el defecto de la superficie bajo prueba, y colocando el modulador en un brazo de un interferómetro tipo Michelson, el cual se utilizó debido a su fácil implementación, además de que se puede modificar para formar un Twyman-Green.

Se propone un método para la caracterización del SLM que consiste en medir el desplazamiento de franjas de los patrones de interferencia, el cual es producido por los distintos niveles de gris que son desplegados en el modulador.

1.3.1 Objetivos particulares

En base a este objetivo general se plantearon los siguientes objetivos particulares:

ψ Montaje experimental del interferómetro de Michelson. ψ Alineación y calibración del interferómetro con luz blanca

ψ Introducir el SLM y determinar el máximo corrimiento que introduce cada nivel de gris de 0-255.

ψ Aplicar el corrimiento de fase obtenido para el análisis de superficies ópticas.

ψ Comparar los resultados obtenidos con las mediciones obtenidas con el perfilómetro óptico WYKO®_.

1.4 Estructura de la tesis

A continuación se describe la manera en que se organizó el trabajo de tesis, en donde se hace una breve descripción del trabajo realizado en cada capítulo. En el Capítulo 1 se hace una introducción al trabajo de tesis, en donde se narra de manera breve los avances realizados en los últimos años en el área de PSI. Se describen las ventajas que esta técnica ofrece con respecto al análisis de interferogramas estáticos.

En el Capítulo 2 se describen los principios de funcionamiento del interferómetro de Michelson, el cual fue el instrumento de trabajo en la parte experimental. Se describe la metodología usada para realizar su calibración, y se muestran las imágenes de los arreglos experimentales utilizados.

En el Capítulo 3 se describen la metodología y procesos para realizar la caracterización del modulador espacial de luz, el cual se utilizó para producir interferometría de desplazamiento de fase en zonas localizadas de la superficie bajo prueba. Se muestran los resultados obtenidos de la caracterización de los dos moduladores utilizados en el trabajo experimental, tanto el SLM CRL Opto XGA2P01 como el SLM Holoeye LC2012 y se presentan también las imágenes de los arreglos experimentales empleados en cada caso.

En el Capítulo 4 se presenta el análisis de los algoritmos de Carré y de mínimos cuadrados para la obtención de la fase. Se describe la teoría utilizada para la simulación de los interferogramas que se emplearon para el análisis de estos algoritmos, así como los resultados obtenidos con cada método. En el Capítulo 5 se muestran los resultados experimentales al aplicar la técnica de interferometría de desplazamiento de fase, la cual se utilizó para obtener los defectos locales en las superficies bajo prueba. Además, se presentan las características de la superficie bajo prueba. Se muestra también la comparación de los resultados obtenidos con nuestra técnica y los resultados obtenidos en el perfilómetro óptico WYKO®_.

Finalmente en el Capítulo 6 se presentan las conclusiones generales del trabajo de tesis realizado, además de los trabajos presentados en los diferentes congresos nacionales e internacionales, los cuales fueron realizados a lo largo del desarrollo de esta tesis.

Capítulo 2

Montaje y calibración de un

2.1 Introducción

En este capítulo se describe la calibración realizada al interferómetro de Michelson, comenzando por una breve descripción del interferómetro así como las características de su funcionamiento. Se muestran los resultados obtenidos de dicha calibración, en donde se muestra el patrón de franjas de interferencia con luz blanca, que es utilizado como referencia para medir el espesor del modulador espacial de luz que se utiliza para realizar interferometría de desplazamiento de fase en este trabajo de tesis. La calibración del interferómetro de Michelson se realizó considerando el modulador espacial de luz CRL Opto XGA01P y el SLM Holoeye LC2012. Ambos moduladores se utilizaron en el desarrollo del trabajo experimental, por lo que se muestran los resultados obtenidos para cada uno de ellos.

Existen un gran número de interferómetros de división de amplitud, que utilizan configuraciones de espejos y divisores de haz. El más conocido es el interferómetro de Michelson. [43-46]

Desde que el interferómetro de Michelson fue inventado, ha sido utilizado para medir longitudes con mucha precisión. El mismo Michelson utilizó el interferómetro para realizar mediciones muy precisas de la longitud del metro patrón en términos de la longitud de onda del cadmio. [47-49]

2.2 Descripción del interferómetro de Michelson

En la Fig. 2.1 se muestra la configuración típica del interferómetro de Michelson, en donde un haz proveniente de una fuente de luz policromática, pasa a través de una pantalla difusora, se propaga a través del divisor de haz, y es dividido en dos ondas las cuales son reflejadas por M1 y M2 de nueva cuenta hacia el divisor, para ser recombinadas y finalmente formar un patrón

de franjas que puede ser capturado por un detector, para posteriormente poder ser analizado.

Figura 2.1 Arreglo experimental del interferómetro de Michelson con fuente de luz blanca.

Es importante tener en cuenta que un haz pasa tres veces a través del divisor de haz, mientras que el otro haz lo atraviesa sólo una vez. Para eliminar esta asimetría en el camino óptico, cuando se utiliza luz policromática, se puede introducir un compensador entre el divisor de haz yM2, paralelo al divisor. El compensador es un duplicado del divisor de haz, con la excepción de que el divisor puede tener una capa delgada de aluminio, la cual es para evitar reflexiones espurias. Si se utiliza luz policromática y se coloca el compensador entre el divisor de haz y M2, cualquier diferencia de camino óptico (DCO), se deberá a la DCO entre ambos espejos, y no a la DCO

producida por el haz que atraviesa tres veces el divisor. [50] _{Asimismo, debido}

a la dispersión del divisor de haz, el camino óptico (CO) es función de la longitud de ondaλ. En consecuencia, para realizar mediciones cuantitativas, se puede utilizar el interferómetro sin un compensador únicamente al utilizar una fuente de luz monocromática. [43-46] _{En la siguiente sección se describe a}

detalle el funcionamiento del interferómetro haciendo uso de un esquema más simple para una mejor comprensión.

2.3 Funcionamiento del interferómetro de Michelson

Hagamos referencia a la Fig. 2.2, en donde cada componente del interferómetro se representa con superficies matemáticas. [44] _{Un observador}

en la posición del detector verá simultáneamente ambos espejos

M

1

y

M

2

en la dirección de la fuente de iluminación ∑ a través del divisor de haz. Siguiendo la configuración del esquema de la Fig. 2.2 podemos dibujar todos los elementos del interferómetro como si estuvieran en línea recta. En donde

1´

M

corresponde a la imagen de

M

1

en el divisor de haz, y ∑ ha sido girada para estar en línea con O y

M

2

. Las posiciones en este esquema dependen de las distancias desde O (es decir,

M

1´

puede estar enfrente de, atrás, o coincidente con

M

2

o puede incluso pasar a través de él). Las superficies

∑

1

y

∑

2 son las imágenes de la fuente ∑ en los espejos

M

1

y

M

2

,

respectivamente.

Figura 2.2 Esquema conceptual del interferómetro de Michelson

Como se observa en la Fig. 2.2, el DCO para los dos rayos que se muestran en el esquema es 2 cos ,d θ que representa una diferencia de fase de k d2 cos .θ

Existe una fase adicional que surge del hecho que la onda que atraviesa el brazo OM1 es reflejada internamente en el divisor de haz, mientras que la onda OM2 se refleja externamente en O. Si el divisor de haz es una placa de vidrio sin capa, el desplazamiento de fase relativo que resulta de las dos reflexiones será π radianes, y existirá interferencia destructiva cuando

0

2 cos

d

θ

=

m

λ

,

m

=

1, 2,...

n

(2.1) Si esta condición se cumple para el puntoS , entonces se cumplirá de igual manera para cada punto en∑que se encuentre en el círculo de radio O S´ , en donde O´ se encuentra localizado en el eje del detector. Cuando

M

2

y

M

1´

son paralelas, las franjas de una fuente cuasi-monocromática son circulares y localizadas en infinito. Cuando la separación entre

M

2

y

M

1´

es de unas

cuantas longitudes de onda, se pueden observar franjas con luz blanca. Estas franjas con luz blanca son utilizadas para reconocer la franja de referencia en un patrón monocromático. [43, 44, 48]

El interferómetro de Michelson puede ser utilizado para realizar mediciones de distancia extremadamente precisas. Conforme el espejo movible se desplaza λ0/ 2, cada franja se moverá a la posición ocupada por la franja

adyacente. [47, 48] _{Utilizando un arreglo microscópico, sólo se necesita contar el}

número de franjas N , que se movieron pasando el punto de referencia para determinar la distancia recorrida por el espejo ∆d, es decir, [43-46]

0

(

/ 2).

d

N

λ

∆ =

(2.2)

Conociendo ahora el funcionamiento y características del interferómetro, el siguiente paso fue realizar la calibración del interferómetro. En la siguiente sección se describe paso a paso el procedimiento llevado a cabo para dicha calibración.

2.4 Calibración del interferómetro de Michelson

Como se mencionó en la Sección 2.3, para utilizar el interferómetro de Michelson como instrumento de medición es necesario calibrarlo, para esto se utiliza una fuente de luz blanca. Con esto se asegura que las mediciones de distancia que se realicen correspondan únicamente a los desplazamientos efectuados sobre el espejo movible y no al CO que depende de la longitud de onda.

Para realizar la igualación de caminos ópticos en el interferómetro, se utilizaron como fuentes de iluminación un láser He-Ne de 632.8nm; una lámpara de fibra de luz blanca; un filtro espacial con objetivo-microagujero de

40x−10µm; un cubo divisor de haz 50/50; dos espejos planos

λ

4 y como detector una cámara CMOS PixeLink PL-B776 con una resolución de 3.1MP

(Mega Pixeles), 2048x1536 píxeles, un área activa de 6.55x4.99mm y una velocidad de captura de 12 fps. Es necesario introducir inclinaciones en los

espejos por lo que cada uno se colocó sobre monturas con inclinación en las direcciones x y y. Además de lo anterior, también es necesario realizar desplazamientos de uno de los espejos manteniendo al otro fijo, por esta razón, uno de los espejos se colocó sobre una platina desplazable, Fig. 2.3. Antes de realizar la calibración del interferómetro con la fuente de luz blanca, el primer paso es realizar una alineación previa utilizando como fuente de luz un láser He-Ne, Fig. 2.3.

Figura 2.3 Arreglo experimental del interferómetro de Michelson, fuente de luz láser He-Ne 532.8nm

Para lograr que ambos espejos en el interferómetro tengan el mismo CO,

hay que colocar a

M

1

y

M

2

a la misma distancia de separación con respecto del divisor de haz, la primera aproximación se hizo midiendo con un vernier

ambas distancias; el patrón de interferencia obtenido con el arreglo experimental de la Fig. 2.3, es una serie de anillos que se debe reducir al menor número de anillos posible, Fig. 2.4; esto se logró inclinando y desplazando

M

2

para colocar los anillos en el centro.

Figura 2.4 Anillos de interferencia en el interferómetro de Michelson.

Con el objetivo de lograr una mayor precisión en la posición en donde

M

1

y

M

2

tienen el mismo CO con respecto del divisor de haz, es necesario reducir el rango en el cual se observan anillos de interferencia al desplazar la platina de

M

2

; para esto, lo que se hace después de localizar la posición donde se observan los anillos de la Fig. 2.4, es necesario inclinar y desplazar nuevamente al espejo

M

2

hasta obtener los patrones que se muestran en la Fig. 2.5.

Figura 2.5 Interferogramas experimentales al utilizar un interferómetro tipo Michelson. (a) Desplazamiento de la platina hacia el divisor de haz (b) Inclinación de

M

2

; (c) Desplazamiento de la platina alejándose del

divisor de haz.

Una vez que se encuentran las posiciones dónde se observan los interferogramas de la Fig. 2.5(a) y 2.5(c), se obtiene el punto medio de ellas, y se coloca a

M

2

en esa posición, Fig. 2.6. En esta posición se inclina nuevamente

M

2

y se desplaza hasta observar que las franjas se comienzan a curvar, primero en un sentido y luego al otro, Fig. 2.7. El punto medio entre las posiciones donde se observa el patrón de franjas de la Fig. 2.7(a) y 2.7(c) se encuentra, fijando la platina en esa posición. Con este ajuste fino se garantiza que la distancia de separación entre ambos espejos es prácticamente la misma, por lo que el DCO entre ambos espejos es casi cero.

Figura 2.6 Posición de referencia para la igualación de CO del interferómetro de Michelson.

Este proceso de reducción del intervalo de distancias de ambos espejos referidos al divisor de haz, se puede repetir cuantas veces se desee, esto para lograr una mejor aproximación al punto en el cual ambos espejos tienen el mismo CO. Una vez terminado este procedimiento, lo que se hace es cambiar la fuente de iluminación del láser He-Ne por la lámpara de fibra de luz blanca y buscar las franjas de interferencia producidas con esta fuente de luz. En la siguiente sección se explica con mayor detalle este proceso.

Figura 2.7 Interferogramas experimentales de ajuste fino del interferómetro de Michelson. (a) Desplazamiento de la platina hacia el divisor de haz; (b) Inclinación de

M

2

; (c) Desplazamiento de la platina alejándose del divisor

de haz.

2.4.1 Comprobación de la igualdad del DCO en el interferómetro

Al realizar los pasos descritos en la sección anterior, hace que la tarea de localizar las franjas de interferencia con luz blanca sea más fácil, y con esto agilizar el proceso de calibración. Cuando se encuentra el punto medio de las posiciones en donde se observan las franjas de la Fig. 2.7 (a) y 2.7 (c), se fija a

M

2

en esa posición y se cambia la fuente de iluminación del láser He-Ne por la lámpara de fibra de luz blanca, Fig. 2.1. Alrededor de esta posición se realizan desplazamientos y/o ajustes finos a

M

2

hasta encontrar el patrón de interferencia con luz blanca, Fig. 2.8.

Figura 2.8 Franjas de interferencia con luz blanca en el interferómetro de Michelson.

Cuando

M

1

y

M

2

se encuentran los suficientemente cerca, pero inclinados entre sí como para formar una cuña de un ángulo pequeño

<<

θ

, se pueden observar franjas localizadas en o cerca de la cuña formada. Si la separación entre

M

1

y

M

2

es lo suficientemente pequeña

≈

.5

λ

, estas franjas son franjas de igual espesor, por lo que son equidistantes, rectas y paralelas al vértice de la cuña. Conforme la separación entre ambos espejos aumenta, el ángulo de incidencia correspondiente a cada punto del campo de visión deja de ser insignificante y la visibilidad de las franjas decrece además de que, las franjas se hacen curvadas y convexas hacia el lado del vértice de la cuña. [43]

Dado que el CO depende de la longitud de onda

λ

,y la calibración se realiza con una lámpara de luz blanca, cada color de la lámpara de luz blanca generará un patrón de franjas propio. Note que dada la DCO, la longitud de coherencia de la fuente debe de ser mayor para poder observar franjas. [43, 44]

2.5 Arreglo experimental con luz blanca del SLM CRL Opto XGA01P

Una vez que se encuentra el patrón de franjas de la Fig. 2.8, el SLM CRL Opto XGA01P, el cual es utilizado para producir desplazamientos de fase, se introduce en el arreglo experimental entre el divisor de haz y el espejo M1, Fig.

2.9. Al introducir el SLM, éste modifica el CO que había sido igualado, por lo que es necesario compensar dicho CO desplazando a

M

2

hasta obtener nuevamente el patrón de interferencia con luz blanca, Fig. 2.10.

Figura 2.9 Arreglo experimental con luz blanca del SLM CRL Opto XGA01P.

Figura 2.10 Franjas de interferencia de luz blanca al introducir el SLM en el arreglo experimental.

Para calcular el espesor del SLM CRL Opto XGA01P, se apuntan la posición inicial del tornillo micrométrico de la platina desplazable, Fig. 2.9, en la cual se encuentran las franjas de interferencia con luz blanca antes de colocar el SLM CRL Opto XGA01P, esta posición inicial fue de

29.580;

y se apunta también la posición final del tornillo micrométrico al colocar el SLM, desplazando la platina hasta encontrar nuevamente el patrón de franjas con luz blanca, esta posición fue de

32.440.

Al realizar la diferencia de estas dos posiciones, se encuentra el espesor del SLM CRL Opto XGA01P que fue de 2.860mm. En la Fig. 2.11 se muestra el arreglo experimental con luz blanca para el modulador Holoeye LC2012. Para calcular el espesor del SLM Holoeye LC2012 se realiza el mismo procedimiento anterior, se apunta la posición inicial del tornillo micrométrico en la cual se observan las franjas de interferencia con luz blanca antes de colocar el SLM Holoeye LC2012, en este caso la posición inicial fue de

30.240;

se apunta también la posición final en la cual se recupera nuevamente el patrón de franjas de interferencia después de colocar el SLM Holoeye LC2012, esta posición final fue

31.295.

Al restar estas dos posiciones da como resultado el espesor del SLM Holoeye LC2012 que fue de

1.055

mm

.

Figura 2.11 Arreglo experimental con luz blanca del SLM Holoeye LC2012.

2.6 Conclusiones

En este capítulo se realizó una descripción detallada de las características y funcionamiento del interferómetro de Michelson, esto con el objetivo de realizar una calibración del mismo y poder utilizar dicho interferómetro como referencia en la caracterización del modulador espacial de luz que se utiliza como elemento para realizar desplazamientos de fase en zonas localizadas de un interferograma. De la calibración realizada se encontró que el espesor del

SLM CRL Opto XGA01P fue de 2.86mm y para el SLM Holoeye LC2012 fue de 1.055mm. Con este dato, se compensó el CO introducido por el SLMy se obtuvo nuevamente el patrón de franjas de la Fig. 2.8, con lo que se comprobó la igualdad de CO en el interferómetro, por lo que ahora es posible realizar la calibración del SLM utilizado para determinar el desplazamiento de fase que introduce cada nivel de gris desplegado en el modulador. En el siguiente capítulo se describe dicho procedimiento.

Capítulo 3

Caracterización del SLM para

compensar las deformaciones de

3.1 Introducción

Los moduladores espaciales de luz que utilizan cristales líquidos son cada vez más comunes y más ampliamente utilizados para modular ya sea la amplitud o la fase de la luz, [51] _{como ejemplo de modulación de amplitud, se encuentran}

el uso de estos SLM para la realización de la Prueba de Ronchi, en donde en lugar de utilizar una rejilla de Ronchi de manera clásica (plasmada en una placa fotográfica), se utilizan este tipo de moduladores para desplegar diferentes tipos de rejillas para la prueba de superficies ópticas. [52] _Como

ejemplos de modulación de la fase, han sido ampliamente adoptados en el campo del control de haces, sistemas de láseres pulsados, [53, 54] _{en óptica}

adaptiva, [55] _etc.

Además, los SLM son utilizados en un amplio rango de aplicaciones entre las que se encuentran láseres de altas energías; [56] _{control de enfocamiento;} [57] _{en holografía digital para la reconstrucción de hologramas digitales;} [58]

lentes refractivas [59-61] _{y en Astronomía e imagen retinal como dispositivos de}

corrección del frente de onda [62-64]_.

En nuestro caso, fue de interés realizar la caracterización del modulador espacial de luz CRL Opto XGAP01 y el SLM Holoeye LC 2012, debido a que el objetivo principal del trabajo desarrollado es el uso de esos moduladores como herramienta principal para producir desplazamientos de fase para el análisis de superficies ópticas, debido a esto, es que fue necesario realizar su caracterización.

Las técnicas utilizadas para medir la fase que introducen estos moduladores son muy variadas y entre ellas destacan los métodos de extracción de fase, donde utilizan la matriz de correlación de intensidades para determinar la fase introducida por el modulador. [53] _{Cabe destacar que la mayoría de las técnicas}

se basan en las técnicas de medición de interferogramas, [34] _{que son de gran}

ayuda para la realización de la calibración de estos moduladores.

Entre las técnicas reportadas en la literatura, que realizan la caracterización de estos moduladores espaciales de luz, se muestra el uso de polarizadores para medir la fase que es introducida por cada nivel de gris; [65] _{otras técnicas}

muestran el uso del “spread-spectrum” para la recuperación de la fase; [66]

algunas otras utilizan holografía; [67] _{rejillas de Ronchi;} [68] _{el interferómetro de}

Young, [69] _etc.

En este capítulo se describe el procedimiento llevado a cabo para obtener la curva de “desplazamiento de fase vs nivel de gris” del SLM CRL Opto XGA01P y el SLM Holoeye LC2012. La técnica utilizada para obtener dicha curva consistió en medir los desplazamientos de fase observados en los patrones de interferencia, en donde el desplazamiento de fase es producido por los distintos niveles de gris que son desplegados en el modulador. Las imágenes desplegadas en el SLM se dividieron en dos partes iguales, en la parte superior de la imagen se varían los niveles de gris de 0 a 255 y la parte inferior de la imagen permaneció fija con un nivel de gris 0 como referencia. Estos dos moduladores se adquirieron en el transcurso del trabajo de tesis y se tuvieron que incluir en el arreglo experimental, por lo que se tuvo que obtener la curva de desplazamiento de fase de cada uno de ellos.

El desplazamiento de fase que producen los distintos niveles de gris se midió utilizando el interferómetro de Michelson y colocando el modulador en uno de sus brazos. En las secciones siguientes se muestran los interferogramas experimentales capturados así como el arreglo experimental propuesto. Por último se muestran los desplazamientos de fase obtenidos, en dónde se encontró que al aplicar la técnica propuesta de desplazar la fase únicamente en la parte superior del interferograma experimental capturado, manteniendo como referencia la parte inferior en cero como referencia, que el

SLM CRL Opto modelo XGA2P01 produce un desplazamiento máximo de fase de ≈π, mientras que en el modulador LC2012 se pueden alcanzar desplazamientos de fase de hasta ≈1.5 .π

3.2 Calibración del SLM CRL Opto XGA2P01

Una vez realizada la igualación de caminos ópticos en el interferómetro de Michelson, descrita en el Capítulo 2, lo que se hizo fue introducir en el arreglo experimental el modulador CRL Opto modelo XGA2P01, Fig. 3.1, y se compensó el CO introducido, desplazando la platina de M2.

El SLM CRL Opto modelo XGA2P01 es un dispositivo de transmisión, tiene una resolución de 1024x768 píxeles; tamaño de píxel de 26x26µm; área activa de píxel de 23x16µm; separación de píxel de 3x10µm y un área total activa de 26.6x20mm. El primer detector utilizado fue una cámara CCD

Hamamatsu C2400 de 483x483 píxeles; tamaño de píxel de 8.4x9.8µm; área activa de píxel de 6.3x4.7µm y una velocidad de obturación de 30 fps.

Con el arreglo experimental de la Fig. 3.1, el siguiente paso fue comprobar que distintos niveles de gris producen desplazamientos de fase en el frente de onda bajo prueba, el cual se verá reflejado en un corrimiento de las franjas del patrón de interferencia; para esto, se realizó una primera prueba al SLM en donde se desplegaron en el modulador diferentes imágenes con distintos niveles de gris.

Para realizar esta prueba se realizó un algoritmo que genera una imagen del tamaño de la resolución del SLM, es decir, de 1024 columnas por 768 renglones; esta matriz se encuentra dividida en dos partes de igual espesor, a las cuales se les asignan los niveles de gris de 0 y 255. Con esta prueba, lo que se observó fue que efectivamente al desplegar diferentes niveles de gris

en el SLM se produce un corrimiento en las franjas del patrón de interferencia capturado, Fig. 3.2.

Figura 3.1 Arreglo experimental utilizado para la caracterización del SLM CRL Opto XGA2P01.

Figura 3.2 Probando el SLM CRL Opto XGA2P01.

Con este resultado, el siguiente paso fue generar las 256 imágenes correspondientes a cada nivel de gris de 0 a 255; desplegar cada una de éstas imágenes en el SLM, capturar su interferograma y determinar el desplazamiento de fase introducido por cada nivel de gris. En la Fig. 3.3 se muestran algunos ejemplos de los interferogramas capturados, correspondientes a cada nivel de gris. Es importante notar en esta imagen, que el deslazamiento del patrón de franjas ocurre de izquierda a derecha.

Figura 3.3 Interferogramas experimentales y niveles de gris desplegados

en el SLM CRL Opto XGA2P01.

Se hizo un análisis cualitativo para determinar el corrimiento de las franjas en estos primeros resultados. Para realizar este análisis, se colocó de forma manual un marcador sobre los patrones de interferencia, Fig. 3.3. De este análisis cualitativo, se encontró que el corrimiento observado en los patrones de interferencia de ≈π. Sin embargo, al pasar imagen por imagen en el monitor, se observó un desplazamiento mayor a π, además de que al pasar estos patrones de interferencia en el monitor, también se notaron brincos entre cada imagen lo que hacía parecer un desplazamiento mayor al encontrado. Por estas razones, se decidió colocar una referencia en la imagen a desplegar en el modulador, Fig. 3.4.

Figura 3.4 Imágenes con referencia desplegadas en el SLM y patrones de

interferencia capturados.

Como se observa en la Fig. 3.4, las imágenes desplegadas en el SLM fueron divididas en dos partes iguales; la parte superior de la imagen varían los niveles de gris de 0 a 255, mientras que la parte inferior de la imagen permanece fija en 0 como referencia. Al desplegar esta referencia en las imágenes, se garantiza que el desplazamiento que se mide entre la imagen donde varía el nivel de gris con respecto a la parte donde se mantuvo fijo será absoluta, ya que cualquier brinco o turbulencia que afecte al patrón de interferencia donde se ha variado el nivel de gris, afectará de la misma forma a la referencia, esto dado que se despliegan al mismo tiempo.

Después de colocar esta referencia en las imágenes, se procedió a la captura de los 256 interferogramas correspondientes a cada nivel de gris. En la Fig. 3.4 se muestran algunos ejemplos de los interferogramas capturados. Como se puede notar, la parte superior del patrón de interferencia corresponde a la parte donde se ha variado el nivel de gris de 0 a 255, mientras que la parte inferior corresponde a la parte en donde se mantuvo fijo en 0 como referencia. Para realizar el análisis cuantitativo de estos interferogramas se desarrolló un algoritmo que calcula el desplazamiento de franjas que se observa en los patrones de interferencia. En la siguiente sección se describe a detalle su funcionamiento.

3.3 Algoritmo para el cálculo del desplazamiento de fase

Para realizar el análisis de los interferogramas experimentales obtenidos en la sección anterior, se desarrolló un algoritmo en el entorno de Matlab® _{el cual}

consta de cuatro ciclos, Fig. 3.5. A continuación se describe de manera detallada su funcionamiento.

Figura 3.5 Diagrama de bloques del algoritmo desarrollado.

El primer bloque del diagrama muestra el ciclo más sencillo de todos, ya que solo se realiza la lectura de los 256 interferogramas experimentales capturados, mediante un ciclo “for”, utilizando la función “read”.

En el segundo ciclo se realiza un suavizado a cada interferograma experimental leído, aplicando un filtro “promedio” en una vecindad del tamaño deseado. [34] _{Lo que hace este ciclo es tomar el tamaño de la imagen de}

entrada y realizar un promedio de pixeles en la vecindad indicada. El resultado de este ciclo es una imagen del mismo tamaño que la imagen de entrada, por lo que al aplicar el filtro “promedio,” se obtiene como resultado una imagen suavizada, es decir, una imagen con menor ruido que la imagen de entrada. En la Fig.3.6 se muestra el ejemplo de un perfil de las imágenes obtenidas en este ciclo.

Figura 3.6 Perfiles de intensidad de interferogramas experimentales. (a) Perfil sin suavizar y (b) Perfil suavizado.

El tercer ciclo es el más importante de todos, ya que es el ciclo en donde se encuentran los valores y posiciones de cada máximo de los patrones de interferencia capturados. Para realizar este proceso lo que se hace es encontrar los máximos locales de la imagen suavizada, esto se realiza comparando cada pixel con sus vecinos cercanos, según el número de pixeles que se desee comparar. Si un pixel de la imagen es mayor en la cercanía que se está comparando, entonces se toma como el máximo local y se guardan

tanto su valor como su posición. Este proceso se repite hasta completar con todos los pixeles de todos los renglones de la imagen de entrada. Con esto, lo que se obtiene es una matriz que contendrá tanto el valor y posición de los máximos locales encontrados. En la Fig. 3.7 se muestran algunos ejemplos de este resultado, en donde se despliega la matriz obtenida en este ciclo en forma de imagen.

Figura 3.7 Máximos de los interferogramas experimentales utilizando el SLM CRL Opto XGA2P01.

Es importante mencionar que los centroides de los patrones de interferencia de la Fig. 3.7, son el resultado final después de corregir en varias ocasiones el algoritmo, ya que antes de las correcciones realizadas se obtenían imágenes como las que se muestran en la Fig. 3.8.

Figura. 3.8 Máximos encontrados antes de las correcciones realizadas en el

algoritmo.

Las correcciones realizadas en el algoritmo fueron: cambiar en el ciclo de suavizado el número de pixeles a promediar ya que se promediaban 5 pixeles, y se aumentó al doble con 10 pixeles; en el tercer ciclo del algoritmo, para encontrar máximos y posiciones, se cambió el valor de número de máximos a encontrar colocando el número de franjas en el interferograma experimental; el rango de distancia entre máximos y el valor de la altura límite de cada máximo a encontrar. Como se puede observar en la Fig. 3.7, estos cambios realizados en el algoritmo ayudan en gran manera a localizar con mayor precisión los valores y posiciones de los máximos en el patrón de interferencia,

a diferencia de la Fig. 3.8, en donde se observa que antes de realizar estos cambios, existían errores en la localización de estas posiciones.

Al terminar el tercer ciclo del algoritmo, bloque 3 de la Fig. 3.5, comienza el último ciclo del algoritmo desarrollado. En este ciclo se realiza el cálculo de los desplazamientos de franjas de los interferogramas experimentales. Como se mencionó anteriormente, el desplazamiento de fase se realiza solamente en la mitad superior de la imagen, esto debido a que en pruebas que se realizaron, al aplicar el desplazamiento de fase en la imagen completa y observar el desplazamiento de las franjas en el patrón de interferencia, daba la impresión de tener un desplazamiento mayor al introducido por el nivel de gris correspondiente, esto producido por efectos de ruido en el laboratorio. Para evitar este problema, y cuantificar de forma precisa el desplazamiento introducido por cada nivel de gris, es que se decidió colocar una referencia en las imágenes. Con esto se garantiza que tanto la parte del interferograma que ha sido desplazado, como la parte que ha permanecido fija como referencia, se verán afectados de la misma forma por el ruido presente en el laboratorio. Para realizar el cálculo de los desplazamientos observados en los patrones de interferencia con referencia, se toman dos renglones de la matriz obtenida; el primer renglón corresponde a la parte del interferograma en donde se ha modificado el nivel de gris, mientras que el segundo renglón corresponde a la parte del interferograma donde se ha mantenido fijo como referencia, Fig. 3.9.

Figura. 3.9 Posiciones para encontrar el desplazamiento producido por cada nivel de gris.

El valor de desplazamiento para cada nivel de gris se obtiene al realizar la diferencia entre la posición del máximo superior menos el valor de la posición del máximo inferior. Esta diferencia se realiza para todos los máximos localizados sobre las dos líneas marcadas en el patrón de interferencia. En la Fig. 3.10 se muestran solo algunas de estas diferencias debido a que al colocar todas las franjas del patrón de interferencia, la gráfica se satura y no se distinguen las curvas mostradas.

Figura 3.10 Desplazamiento de franjas vs nivel de gris en pixeles, para 7 máximos del patrón de interferencia, SLM CRL Opto XGA2P01.

Finalmente, se realiza un promedio de todas estas diferencias en posiciones, dando como resultado el valor de desplazamiento promedio para cada nivel de gris desplegado en el modulador en pixeles, Fig. 3.11, El error asociado a los desplazamientos de fase calculados en pixeles, fue de

±

1

pixel.

Figura 3.11 Desplazamiento de fase vs nivel de gris para el SLM CRL

Opto XGA2P01, en pixeles.

Para calcular la curva de la Fig. 3.11 en valores de fase, hay que recordar la ecuación para el CO en el interferómetro de Michelson,

0

2 cos

d

θ

=

m

λ

,

m

=

1, 2,...

(3.1) por lo que se obtendrán valores máximos de interferencia cuando se tengan múltiplos enteros de 2 .π [43] _{De esta relación se observa que la separación}

entre valores máximos de intensidad corresponde a un DCO entre M1 y M2

de λ/ 2. El período en pixeles se calcula al realizar un promedio del valor de máximo a máximo en el patrón de interferencia en pixeles; para el SLM CRL Opto XGA2P01 fue de 43 y para el SLM Holoeye LC2012 fue de 36 píxeles. Finalmente, se obtiene el desplazamiento de fase en radianes introducido por cada nivel de gris desplegado en el modulador para el SLM CRL Opto XGA2P01, Fig. 3.12.

Como se puede observar en la gráfica de la Fig. 3.12, el rango dinámico de trabajo para el SLM CRL Opto XGA2P01, en el cual se pueden obtener los mejores resultados es entre los niveles 170 a 200, con una incertidumbre en los desplazamientos de fase de

±

0.204

rad

.

En donde el valor del error cuadrático medio RMSE de la recta de ajuste por mínimos cuadrados fue de RMSE=0.0804. Los desplazamientos de fase producidos por los niveles de gris de 0 a 169 son muy pequeños por lo que no se observa un cambio significante en diferencia de fase entre estos valores, además de que no se comportan de buena manera. De los niveles de gris de 201 a 255, los desplazamientos de fase también son pequeños y tampoco se observa una diferencia de fase notoria entre ellos.

Figura 3.12 Desplazamiento de fase vs nivel de gris. SLM CRL Opto XGA2P01 y ajuste lineal de los niveles de gris de 170 a 200.

En la siguiente sección se muestran los resultados obtenidos con el segundo modulador y nuevo detector adquiridos; de acuerdo al fabricante del SLM Holoeye LC2012 indica que con este SLM se pueden obtener desplazamientos de fase de hasta ≈2π para una longitud de onda de 532nm.

3.4 Calibración del SLM Holoeye LC2012

Debido a las nuevas adquisiciones hechas durante el desarrollo del trabajo experimental, se tuvieron que cambiar en el arreglo experimental varios elementos, entre ellos y de los más importantes se encuentran el modulador Holoeye LC2012, el cual es un dispositivo de transmisión que tiene una

resolución de 1024x768 pixeles y un área activa de 36.9 x 27.6mm. Dadas las

características del nuevo SLM se tuvo que cambiar la fuente de luz utilizada por un diodo laser de longitud de onda λ=532nm . Otro de los cambios realizados fue la adquisición de un nuevo detector, el cual es una cámara PixeLINK con tecnología CMOS con una resolución de 2048x1536 de 3.1MP (Mega Pixeles), un área activa de 6.55x4.99mm y una velocidad de captura de 12 fps.

Para no perder la configuración del arreglo experimental utilizado anteriormente, se optó por agregar un brazo adicional al interferómetro montado. En la Fig. 3.13 se muestra el arreglo experimental con estos nuevos elementos. Como se puede observar en el arreglo experimental ya no se encuentran el SLM CRL Opto XGA2P01 ni el detector Hamamatsu, ya que fueron sustituidos por el nuevo modulador Holoeye LC2012 y el detector CMOS Pixelink. Se observa también que fue agregado un espejo plano que es utilizado para desviar el haz hacia el interferómetro. Se colocó también un polarizador en el brazo contrario al SLM, esto para compensar las intensidades en ambos brazos del interferómetro, y poder así aumentar la visibilidad de las franjas. El filtro espacial y micro-agujero se mantuvieron iguales, así como también la lente colimadora.

Figura 3.13 Arreglo experimental con el nuevo SLM Holoeye LC2012.

Para realizar la caracterización del nuevo modulador se siguieron los mismos pasos que en la Sección 3.3 y Sección 3.4; en la Fig. 3.14 se muestran algunos ejemplos de los interferogramas experimentales capturados con el detector CMOS Pixelink y el SLM Holoeye LC2012. Como se describió en las secciones anteriores, el desplazamiento de fase se logra desplegando en el modulador los distintos niveles de gris de 0 a 255 y colocando una referencia en la parte inferior de las imágenes desplegadas en el SLM.

Figura 3.14 Interferogramas experimentales SLM Holoeye LC2012.

Como se puede observar, hubo una gran mejora en la calidad de las imágenes capturadas utilizando los nuevos elementos adquiridos. El contraste en los patrones de interferencia de la Fig. 3.14, obtenidos con el arreglo experimental de la Fig. 3.13, es mucho mayor al contraste de las imágenes

adquiridas con el arreglo experimental anterior, Fig. 3.1. En la Fig. 3.15 se muestran los centroides de las franjas al analizar los patrones de interferencia de la Fig. 3.14 con el algoritmo desarrollado, bloque 3 de la Fig. 3.5.

Figura 3.15 Máximos de los patrones de interferencia del SLM Holoeye

LC2012.

En la Fig. 3.16 se muestran las diferencias en posiciones encontradas para algunos máximos de los patrones de interferencia, en pixeles. El error asociado al cálculo de los desplazamientos de fase en pixeles fue de

Figura 3.16 Desplazamiento de franjas vs nivel de gris para algunos máximos del patrón de interferencia, SLM Holoeye LC2012.

En la Fig. 3.17 se muestra la gráfica de desplazamientos de fase obtenida con el algoritmo desarrollado, bloque 4 de la Fig. 3.5. También se muestra el ajuste lineal realizado sobre el rango de 50 a 190 en nivel de gris, en donde el valor del error cuadrático medio RMSE de la recta de ajuste con mínimos cuadrados fue de RMSE=0.0929. Con una incertidumbre en los valores de desplazamiento de fase de

±

0.168

rad

.

Figura 3.17 Desplazamientos de fase vs nivel de gris y ajuste lineal de los valores de gris de 50 a 190 del SLM Holoeye LC2012.

Como se puede observar en la gráfica anterior, Fig. 3.17, el mejor rango dinámico de trabajo del SLM Holoeye LC2012 se encuentra entre los niveles de gris de 50 a 190, el cual es mayor al del SLM CRL Opto XGA2P01, (170 a 200). Note también que el SLM presenta un comportamiento más suave, por lo que se puede aproximar un comportamiento lineal en el rango antes mencionado (50 a 190). El valor de desplazamiento máximo fue de 4.76rad

1.5 .π

≈