Tutorial MT-b3. Matemática Tutorial Nivel Básico. Potencia y Raíces

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Tutorial Nivel Básico

Potencia y Raíces

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at

e

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át

i

c

a

123 4567 890123456789₀

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Potencias y raíces

Marco teórico:

Potencias

1. Deﬁnición:

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número

que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama

exponente.

Ejemplo: en la potencia35_{, la}_base_es₃_{y el}_exponente_es_5.

De forma más matemática decimos que una potencia es toda expresión tal que:

a · a · a · ... · a = an_{⇒ a}n_;_{en donde a}_es_base_{, n}_es_{exponente y}_an_es_{la enésima potencia}

n veces

2. Signo de una potencia

El signo de una potencia de base negativa y exponente par depende del uso o no de paréntesis,

si se utiliza paréntesis en la base, la potencia será de signo positivo, mientras que al no utilizar

paréntesis la potencia será de signo negativo.

Ejemplos: (-9)2_{= -9 · -9 = 81} _-92_{= -9 · 9 = -81}

Sin embargo si la base es negativa y el exponente es impar el resultado será siempre negativo, utilicemos o no paréntesis

Ejemplos: (-2)3_{= -2 · -2 · -2 = -8} _-23_{= -2 · 2 · 2 = -8}

3. Propiedades

Considere que a, b, m, n son números reales distintos de cero

1) an_{· a}m_{= a}n+m _ejemplo:₈2_{· 8}3_{= 8}2+3_{= 8}5

2) an_{÷ a}m_{= a}n - m _ejemplo:₁₂7_{÷ 12}3_{= 12}7 - 3_{= 12}4

3) (an₎m₌₍_am₎n_{= a}n · m _ejemplo:₍₇2₎3_{= (7}3₎2_{= 7}2 · 3_{= 7}6

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5) (a ÷ b)n_{= a}n_{÷ b}n _ejemplo:_{(5 ÷ 2)}6_{= 5}6_{÷ 2}6 6) a-n₌ 1 an ejemplo: 2-8 = ₂18 7)

(

a b

)

-n =

(

b a

)

n ejemplo:

(

7 5

)

-3 =

(

5 7

)

3 8) a0₌₁ _ejemplo:₂₃0_{= 1}

Raíces

4. Deﬁnición:

En la deﬁnición de potencias recordamos que 82_{= 64}_{. Esta igualdad también puede expresarse}

como:

√64 = 8

expresión que debe leerse: 8 es igual a la raíz cuadrada de 64.

De igual forma, deﬁnimos la raíz n-sima de un número a al número b tal que bn_{= a}

Y lo escribimos como:

b = √na_con

n ≠ 0

El número a se llama radicando y el número n, índice.

Además se debe precisar que no todos los números poseen raíces. Las raíz cuadrada de -5 por

ejemplo no existe dentro de los reales, pues el cuadrado de cualquier número, sea positivo o negativo, siempre es positivo. Por idéntica razón no existe la raíz cuadrada de ningún número negativo ni la raíz de índice par de ningún número negativo.

Ejemplo: √-25 IR √3-8₌_-2 _IR

Para una deﬁnición más completa debemos considerar un radicando con un exponente distinto de uno, de donde se obtiene que:

b = n√am_⇔ b = amn _conn_{≠ 0}

√nam = amn

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5. Propiedades

Considere que a, b, k, m, n son números reales distintos de cero

1) n m _{a =}n m⋅ _a ejemplo: 3 4₇ ₌3 4⋅ ₇ ₌12₇ 2) n _a_⋅n _b₌n _{a b}_⋅ _ejemplo:5 _{3 8}_⋅5 ₌5_{3 8}_{⋅ =}5₂₄ 3) n a÷n b=n a b÷ ejemplo: 7₁₂_÷7₂₌7_{12 2}_{÷ =}7₆ 4) n a bn⋅ m = ⋅a bn m ejemplo: 4_{3 7}4_⋅ 5 _{= ⋅}_{3 7}4 5 5) n am =n k⋅ am k⋅ ejemplo: 3 ₈5 ₌3 2⋅ ₈5 2⋅ ₌6₈10 6) n am =n k÷ am k÷ ejemplo: 9 ₂27 ₌9 3÷ ₂27 3÷ ₌3 ₂9 7) n _an ₌_a _ejemplo:3 ₈3 ₌₈ 8) n am n a m =   ejemplo: 5 ₂7 ₌

( )

5 ₂ 7 6. Racionalización

Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones

equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso es a lo que se

llama racionalización de raíces de los denominadores. Por ejemplo, si queremos racionalizar la

fracción 7

2, multiplicaremos numerador y denominador por 2 obteniendo:

7 2 2 2 7 2 2 7 2 2 2 ⋅ =

( )

=

De forma que obtenemos la expresión 7 2

2 que es equivalente a

7

2 con la ventaja que la

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Ejercicios

1. Resuelva a) 03 b) 30 c) ₈2 3 1 2 1 3

( )

            = d) 1 2 3     = −

2. Descomponga las siguientes raíces cuadradas a su menor radicando entero en cada caso:

a) ₈

b) ₇₅

c) ₁₆₂

d) ₃₀₀

3. La expresión un tercio elevado a menos tres quintos, equivale a:

4. La expresión dos quintos elevado a menos dos séptimos, equivale a:

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6. ₃5 ₌ A) 35 B) 81 C) 4310 D) ₃10 E) 315 7. 23 4 = A) ₈ B) 6 ₄ C) 12₈ D) 12₂3 E) 3 ₄ 8. ₈2₊₈2₊₈2₊₈2 A) 88 B) 322 C) 328 D) 82 E) 28

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9. 327 = I. 3 II. 27 1 3_III.6₃6 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 10. 7 7 = A) 7 B) 7 7 C) 14 7 D) 7 7 2 E) 7 11. 2 3 2 3 3 2     ⋅     = − A) 32 243 B) ₋3 2 C) 1 D) 2 3 E) 3 2

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12. -62_{· 3 =} A) -108 B) 108 C) -182 D) -36 E) 36

13. La expresión (512_{+ 5}11₎_{es divisible por:}

I. 3 II. 5 III. 7 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 14. 1 5 0 2 4 2     ⋅

( )

⋅ = − , A) 1 B) 2 C) 5 D) 10 E) 100 15. 1 7⋅416 144        = A) 1 B) 2 C) 4 D) 7 E) 28

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Respuestas

Preg. Alternativa 1 a) 0, b) 1, c)8, d) 8 2 a) 2√2, b) 5√3, c) 9√2, d) 10√3 3 5₂₇ 4 25 4 7    5 2√2 6 C 7 E 8 E 9 E 10 A 11 E 12 A 13 D 14 D 15 A

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1. a) 03₌ _{Por la deﬁnición de potencia, la base cero debemos multiplicarla}

por sí misma tres veces(el valor del exponente), resultando: 0 · 0 · 0 = 0

b) 30₌ _{Recuerda que por propiedad de potencias todo número real}

distinto de cero es igual a uno

30_{= 1} c) ₈2 3 1 2 1 3

( )

          

 = Aplicando la propiedad de potencias, para resolver una potencia _{elevada a otra debemos multiplicar los respectivos exponentes} entre sí, resultando 82 3 12 1 3 ⋅ ⋅ ⋅

= , multiplicando los exponentes obtenemos:

8 8 8 6 6 ₌ 1₌ d) 1 2 3     = −

Aplicando propiedades de potencia, para resolver una fracción

elevada a un exponente negativo, invertimos la fracción y cambiamos el signo del exponente

1 2 2 1 2 3 3 3     =     = −

, luego aplicando la deﬁnición de potencia multiplicamos la base por sí misma tres veces (El valor del exponente).

2 · 2 · 2 = 8

2. Recordando la propiedad de raíces: n _a_⋅n _b₌n _{a b}_⋅ , resulta

a) ₈= descomponiendo

4 2⋅ = separando raíces de igual índice

4 2⋅ = luego, resolviendo la raíz exacta

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b) ₇₅ = descomponiendo

5 3 5 3⋅ =

c) ₁₆₂ = descomponiendo

9 2 9 2⋅ =

d) ₃₀₀ = descomponiendo

10 3 10 3⋅ =

3. Si un tercio es igual a 1

3 y menos tres quintos es igual a −

3

5 ,luego la expresión en forma

de potencia resulta 1 3 3 5     = −

, aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente negativo, resulta 1 3 3 1 3 3 5 3 5 3₅     =     = −

, luego utilizando la propiedad que nos dice que las potencias de exponente fraccionario pueden trasformarse en raíces, obtenemos:

3 3 27

3

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4. Si dos quintos es igual a 2

5 y menos dos séptimos es igual a −

2

7 ,luego la expresión en

forma de potencia resulta 2 5 2 7     =

− _{, aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente}

negativo, resulta: 2 5 5 2 2 7 2 7     =     =

− , luego utilizando la propiedad que nos dice que las potencias

de exponente fraccionario pueden trasformarse en raíces, obtenemos: 5 2 5 2 25 4 2 7 2 7 7     =     =    

5. Expresándolo en forma matemática obtenemos, 16

2 =

, dividiendo el interior de la raíz

8= , luego descomponiendo

4 2⋅ = , luego utilizando la siguiente propiedad: n a⋅n b=n a b⋅ , resulta,

ﬁnalmente

4 2⋅ = resolviendo la raíz exacta

2 2 2 2⋅ =

6. Alternativa correcta letra C)

Recordando que el índice de una raíz cuadrada es 2 y la propiedad: n am ₌n k⋅ am k⋅

35 = , dado la propiedad con k = 2, resulta:

2 2⋅ 35 2⋅ = , luego multiplicando índice y exponente, resulta:

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7. Alternativa correcta letra E)

23 4 = dado que 4 2= ,

2 23 ₌ aplicando la propiedad de raíces a bn =n a bn⋅ , resulta:

2 23

3 _{⋅ =} aplicando la propiedad de raíces n m a =n m⋅ a y que el índice de

una raíz cuadrada es 2, luego

2 23 2 3⋅ _⋅

= multiplicando los índices

2 23

6 _{⋅ =} _{multiplicando las potencias de igual base (basta con conservar la}

base y sumar los exponentes) 24

6

simpliﬁcando índice y exponente por 2, resulta:

22 4

3 ₌3

8. Alternativa correcta letra E)

82_{+ 8}2_{+ 8}2_{+ 8}2 ₌ _{Dado que nos enfrentamos a}₄_{expresiones iguales, es válido}

expresarlas como una multiplicación, luego

4 · 82 _{, observar que}₄_y₈_{pueden expresarse como potencias de base}₂

22_{· (2}3₎2₌ _{, luego multiplicando los exponente de “la potencia de una}

potencia”

22_{· 2}6 _{,multiplicando las potencias de igual base (basta con conservar la}

base y sumar los exponentes) 22+6_{= 2}8

9. Alternativa correcta letra E) 27

3 ₌

, observemos que 27 = 33_,luego

33

3 ₌

, utilizando la propiedad n an =a

33

3 ₌₃ _{, con lo cual I es verdadero}

, además por idénticas razones III es verdadero dado que:

36

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, si la raíz 327_{la expresamos como potencia}₌

27 27

1

3 ₌3 , nos da que II es verdadero

10. Alternativa correcta letra A) 7

7 = , si racionalizamos por 7, obtenemos:

7 7 7 7 ⋅ = , luego multiplicando 7 7 7 2

( )

= , simpliﬁcando el denominador 7 7 7 = , simpliﬁcando 7 7 7 = 7

11. Alternativa correcta letra E) 2 3 2 3 3 2     ⋅     = −

aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente

negativo, resulta: 3 2 2 3 3 2     ⋅   

 = desarrollando las potencias resulta:

3 2 2 3 3 3 2 2

⋅ = , dividiendo las potencias de igual base (basta con conservar la base

y restar los exponentes)

33 - 2_{· 2}2 - 3 _{, restando los exponentes ,resulta:}

3 · 2-1 _{aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente}

negativo, resulta: 3

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12. Alternativa correcta letra A)

-62_{· 3 =} _{, por prioridad de operatoria resolvemos primero la potencia,}

observar que

-62_{= -6 · 6 = -36}

-36 · 3 = ,multiplicando

-108

13. Alternativa correcta letra D) I. 3 II. 5 III. 7

(512_{+ 5}11_{) =} _{, observar que}₅12_{= 5}11_{· 5}_,luego

(511_{· 5 + 5}11_{) =} _{, dado que la expresión}₅11_{se repite podemos factorizar por dicha}

expresión 511_{(5 + 1) =}

, luego sumando el paréntesis

511_{· 6}

Si recordamos que uno de los factores de la multiplicación es múltiplo de un número el producto completo lo es, entonces

Dado que 6 es divisible por 3 entonces la expresión completa lo es.

Dado que 511_{es divisible por}₅_{entonces la expresión completa lo es.}

Por lo tanto, la expresión es divisible por los ítem I y II

14. Alternativa correcta letra D) 1 5 0 2 4 2     ⋅

( )

⋅ = −

, aplicando la propiedad de potencias fraccionarias de exponente

negativo ,resulta: 5 1 0 2 4 2   

 ⋅

( )

, ⋅ = desarrollando la potencia y recordando que

1 5 0 2 4 2     ⋅

( )

⋅ = − , 2, entonces

25 · (0,2) · 2 , luego transformando el decimal 0,2 a fracción 25 2 10 2 ⋅ ⋅ = multiplicando 25 2 2 10⋅ ⋅ = multiplicando el numerador

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100 10 = dividiendo obtenemos: 100 10 = 10

15. Alternativa correcta letra A) 1 7 16 14 4 4 ⋅    ⋅     Desarrollando 16 2

4 ₌ _{dado que}_{2 · 2 · 2 · 2 = 16}_{, luego}

1 7 2 14 4 ⋅    ⋅    = simpliﬁcando 14

4por dos obtenemos:

2 7 7 2    ⋅     multiplicando obtenemos: 14 14=1