VELOCIDAD
Los automóviles no siempre pueden viajar con rapidez constante por largos espacios de tiempo. Para ir de un punto A a otro punto B quizá sea necesario ir más despacio o más rápido debido a las condiciones del camino. Por ello, a veces es útil hablar de velocidad instantánea.
A primera vista puede parecer imposible definir la velocidad de la partícula en un solo instante, es decir, en un tiempo específico. En un instante determinado la partícula está en un solo punto. Si está en un solo punto, ¿cómo puede estar moviéndose? Por otra parte, si no se está moviendo, ¿cómo puede tener velocidad?
Esto constituye una antigua paradoja que puede resolverse cuando nos damos cuenta que para observar el movimiento y así definirlo, debemos observar la posición del objeto en más de un instante.
Entonces resulta posible definir la velocidad en un instante mediante un proceso de paso al límite.
Analicemos la siguiente figura. Cuando consideramos sucesivamente intervalos de tiempo más cortos a partir de ti, la velocidad media para cada intervalo se aproxima más a la pendiente de la tangente en ti. La pendiente de esta tangente se define como la velocidad instantánea en ti.
La gráfica representa a x en función de
t. Obsérvese la secuencia de intervalos de tiempo sucesivamente más pequeños t1, t2, t3 La velocidad media de cada intervalo es la pendiente de la línea recta para dicho intervalo. A medida que los intervalos se hacen más pequeños, estas pendientes se aproximan a la pendiente de la tangente a la curva en el punto ti.
Tang
ente
en
el p
unto
P
t1
Δx1
t2
Δx2
t3
Δx3
ti
P
t
La pendiente de esta línea se define como la velocidad instantánea en el tiempo ti.
La velocidad instantánea es el límite de la relación cuando t se aproxima al valor cero.
pendiente de la línea tangente a la curva x función de t
Este límite se denomina derivada de x
respecto a t. La notación usual para la derivada es :
Ésta pendiente puede ser positiva, negativa o nula; por consiguiente, en un movimiento unidimensional la velocidad instantánea puede ser
positiva (x creciente) o negativa (x
decreciente) o nula (no hay movimiento). Su módulo lo denominamos módulo de la velocidad
instantánea.
EJEMPLO Caída de una piedra desde un acantilado
La posición de una piedra que a partir del reposo se deja caer desde un acantilado viene dada por x = 5t2 m, en
donde x se mide en metros y hacia abajo desde la posición inicial cuando
t= 0 s y se expresa en segundos. Hallar la velocidad en un instante t
cualquiera.
Planteamiento del problema.
Podemos calcular la velocidad de un instante determinado t calculando la derivada directamente a partir de su definición.
En la figura siguiente se muestra la curva correspondiente que nos da x en función de t. Las líneas tangentes están dibujadas en los tiempos t1, t2 y
t3. Las pendientes de estas líneas tangentes crecen uniformemente, indicando que la velocidad instantánea crece uniformemente con el tiempo.
t
x
1 2 3 4 5 6 7 8 400
350 300 250 200 150 100
50 t1
t2
Por definición la velocidad instantánea es:
Podemos calcular el desplazamiento
x a partir de la función posición x(t):
x(t) = 5t2
En un tiempo posterior t + t, la posición x(t + t) viene dada por:
x(t + t) = 5(t + t)2
= 5[t2 + 2tt + (t)2]
= 5t2 +10tt + 5(t)2
El desplazamiento para este intervalo de tiempo será:
x = x(t + t) – x(t)
= [5t2 + 10tt + 5(t)2] – 5t2
Dividir x por t para determinar la velocidad media en este intervalo de tiempo:
A medida que consideramos intervalos de tiempo cada vez más cortos, t se aproxima a cero y el segundo termino,
5t, tiende a cero, en cambio, el primer
Observación. Si hubiéramos hecho
t=0 en los pasos 4 y 5, el
desplazamiento hubiera sido x = 0, en cuyo caso la relación quedaría indefinida. En su lugar, hemos dejado
t como una variable hasta el paso
final, cuando el límite ∆t→0 está bien definido.
Para determinar las derivadas rápidamente se utilizan reglas basadas en estos pasos al límite.
Una regla particularmente útil es. Si x
= Ctn, entonces = Cntn-1 en donde C y
n son constantes. Utilizando esta regla en el ejemplo anterior, resulta: x= 5t2
y v = = 10t, de acuerdo con los resultados anteriores.
ACTIVIDAD 2:
En equipo de 5 integrantes resuelve los siguientes ejercicios y comenten los resultados en forma grupal.
1. Un autobús viaja en una carretera recta y plana con una rapidez media de 80 , ¿Qué distancia recorre en 30 minutos?
2. La velocidad media de un avión es de 50 m/s al pasar por los 400 m de la pista, ¿En qué tiempo llega a los 600 m?
3. Si una partícula se encuentra en x=36 m y 5s después en x = 16 m, ¿Cuál es su velocidad media?
4. Una partícula se mueve a lo largo del eje X con una velocidad media de 18 m/s en t=0, luego en t=3s su posición es 84 m, ¿En qué posición se encontraba en t=0?
5. Un automóvil se encuentra en el kilómetro 50 de una carretera recta y plana, si su velocidad media es de 133.33 km/h, ¿En qué posición se encuentra 20 minutos después?
6. Observa la siguiente gráfica x vs t.
a)Describe los cambios de posición y velocidad que va teniendo el móvil en este movimiento. b) Describe los cambios de velocidad que va
teniendo el móvil en este
