7_Parametros de Stokes.pdf

polarizaci´

on de Stokes.

Semestre 2015–II.

H´

ector Cruz Ram´ırez

_{y Jorge Arturo Monroy Ruz}

Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM

1

_{[email protected],}

_{[email protected]}

23 de marzo de 2015

´

_Indice

1. Objetivos 1

2. Teor´ıa 1

3. Experimento 3

4. Pormenores de la pr´actica 5

1.

Objetivos

Los objetivos de la pr´actica son los siguientes:

1. Determinar eleje de polarizaci´on de un polarizador lineal.

2. Determinar eleje r´apido o el eje lento de una placa retardadoraλ/4 3. Medir los par´ametros de polarizaci´on de Stokes para un l´aser y de un haz

l´aser linealmente polarizado mediante el´angulo de Brewster.

2.

Teor´ıa

El estado de polarizaci´on de la luz puede ser representado por lospar´ ame-tros de polarizaci´on de Stokes, mediante un vector de Stokes S [1, 2, 3], dado por

S=

   

S0

S1

S2

S4

  

. (1)

Edo. Polarizaci´on S Edo. Polarizaci´on S

no polarizada I0

    1 0 0 0   

 lineal (horizontal) I0

    1 1 0 0    

lineal (vertical) I0

    1 −1 0 0   

 lineal (+45◦) I0

    1 0 1 0    

lineal (−45◦) I0

    1 0 −1 0   

 circular (derecha) I0

    1 0 0 1    

circular (izquierda) I0

    1 0 0 −1    

Cuadro 1: Vectores de Stokes para algunos estados de polarizaci´on de la luz

El alumno deber´a reportar una expresi´on en t´erminos del campo el´ectrico de estos par´ametros. La luz con algunos estados de polarizaci´on importantes en t´erminos de los vectores de Stokes S se muestra en la Tabla (1) [1].

Para determinar como cambia el estado de polarizaci´on de la luz por la interacci´on con un elemento ´optico (EO), debemos considerar que un elemento ´

optico puede ser representado por una matrizM de 4×4 de tal forma que siS

es el vector de Stokes a la entrada del EO yS′ es el vector de Stokes a la salida del mismo, tenemos[1]

S′ =M S. (2)

La generalizaci´on es inmediata. Si la luz pasa por un primer EO (M1) y

luego por un segundo EO (M2) y as´ı sucesivamente hasta unN-´esimo EO (MN),

tenemos

S′=MN· · ·M2M1S. (3)

En esta pr´actica utilizaremos dos elementos ´opticos: un polarizador lineal y una placa retardadora deλ/4. La matriz asociada a un polarizador lineal esta dada por [1] (normalizada)

Mp(α) =

1 2    

1 cos(2α) sin(2α) 0 cos(2α) cos2_{(2α) sin(2α) cos(2α) 0}

sin(2α) sin(2α) cos(2α) sin2(2α) 0

0 0 0 0

  

donde α es el ´angulo que hace el eje x con el eje del polarizador. La matriz asociada con una placa retardadora deλ/2 oλ/4[1]

MR(ψ, θ) =    

1 0 0 0

0 cos2(2θ) + cos(ψ) sin2(2θ) (1−cos(ψ)) sin(2θ) cos(2θ) sin(ψ) sin(2θ) 0 (1−cos(ψ)) sin(2θ) cos(2θ) sin2(2θ) + cos(ψ) cos2_{(2θ) −sin(ψ) cos(2θ)}

0 sin(ψ) sin(2θ) sin(ψ) cos(2θ) cos(ψ)

   ,

(5) dondeθes el ´angulo que hace el eje xcon el eje r´apido de la placa retardadora y tenemosψ=πparaλ/2 y ψ=π/2 paraλ/4.

3.

Experimento

El experimento se realizar´a en tres partes.

1. Para determinar el eje de polarizaci´on de un polarizador se debe usar un haz linealmente polarizado. El haz linealmente polarizado se obtendr´a me-diante la reflexi´on de un haz que incide con un ´angulo de incidencia igual al ´angulo de Brewster. En esta configuraci´on tendremos un haz con

po-larizaci´on lineal y vertical,SV =I0

   

1

−1 0 0

  

, entonces el vector de Stokes

despu´es del polarizador ser´a

SV′ (α) =Mp(α)SV

= I0 2

   

sin2(α)

−sin2(α) 0 0

  

, (6)

donde claramente el primer elemento deS_V′ (α) es la ley de Malus. 2. Para determinar alg´un eje (r´apido o lento) de la placa deλ/4

consider-amos un haz no polarizado, SN P. Despu´es colocamos dos polarizadores

cruzados (el ´angulo entres sus ejes de polarizaci´on es deπ/2). Finalmente, insertamos una placa retardadora deλ/4, en esta configuraci´on tenemos

S′(θ) =Mp(0)MR(π/2, θ)Mp(π/2)SN P

=1 4

   

1−cos2_(2θ)

1−cos2_(2θ)

0 0

  

, (7)

donde hemos normalizado. La gr´afica deS0 variando θ se muestra en la

0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Θ

_H

_rad

_L

S

0

Figura 1: Placa de λ/2 entre dos polarizadores cruzados.

3. Para medir los par´ametros de polarizaci´on de Stokes se implementa la configuraci´on mostrada en la Figura (2)[5]. La mesa ´optica es paralela al planox−z y el ejez es paralelo al eje ´optico del sistema. Para medir los par´ametros de Stokes de una fuente F se colocan una placa retardadora de

ψ=λ/4, R, y un polarizador, P. El eje r´apido (f) y el eje lento (s) de R son conocidos sus direcciones; al igual que la direcci´on del eje de polarizaci´on (c) de P. Si considera que el ´angulo del eje r´apido de R con respecto al eje

xes θ = 0, entonces en esta configuraci´on si la luz que entra al sistema R-P tiene un vector de Stokes

F

R

P y

x y

x

z

q

a

D c

f s

S=

   

S0

S1

S2

S4

  

, (8)

entonces a la salida tendremos

S′(α, ψ) =Mp(α)M(ψ,0)S, (9)

de donde se obtiene (y mide el detector D)

S₀′ =I(α, ψ) =1

2[S0+S1cos(2α) +S2cos(ψ) sin(2α)−S3sin(2α) sin(ψ)]. (10) De la ecuaci´on anterior se deduce

S0=I(π/2,0) +I(π/2,0)

S1=I(π/2,0)−I(π/2,0)

S2= 2I(π/4,0)−S0

S3=S0−2I(π/4, π/2).

(11)

La medici´on de los tres primeros par´ametros se realizan sin R. La medici´on del cuarto par´ametro se realiza insertando R para lo cual se debe tomar encuenta la amplitud de atenuaci´on, p; entonces, se debe considerar

S0=I(π/2,0) +I(π/2,0)

S1=I(π/2,0)−I(π/2,0)

S2= 2I(π/4,0)−S0

S3=S0−

2

p2I(π/4, π/2).

(12)

4.

Pormenores de la pr´

actica

La pr´actica es de dos sesiones de laboratorio. La fecha de realizaci´on y de entrega se publicar´an en la p´agina web[4].

Referencias

[1] Edward Collett, “Polarized Light;” Marcel Dekker, Inc., 1992.

[2] E. Hecht y A. Zajac, “ ´Optica 2da ed;” Addsion-Wesley Iberoamericana, 1986.

[4] https://sites.google.com/a/ciencias.unam.mx/laboptica2015-2.