Federico Weinschelbaum Universidad de San Andres
En ciertas circunstancias, podríamos únicamente tener a nuestra disposición datos de consumo del tipo agregados.
Cuando podemos tratar la demanda agregada bajo la misma teoría de las demandas individuales.
Cuando decimos que las demandas agregadas puedan ser tratadas como demandas individuales. Vamos a ver dos cosas
DadoI consumidores cuya demanda esxi(p,wi),en el agregado se
cumple: ∑ixi(p,wi) =x(p,w1,w2....wI).Cuando la demanda
agregada puede ser expresada como función de los precios y la riqueza agregada
∑ixi(p,wi) =x(p,∑iwi)
Demanda agregada en función de la riqueza agregada
Vamos a denotar la demanda agregada como:
∑ixi(p,wi) x(p,w1,w2, ...,wI)
Demanda agregada depende de los precios y la riqueza de cada uno de los consumidores.
Objetivo es ver cuando podemos expresar la demanda agregada en función de los precios y la riqueza agregada
∑ixi(p,wi) =x(p,∑iwi)
Entonces demanda agregada debe ser independiente de la distribución del ingreso.
En otros términos, pedimos que:
Demanda agregada en función de la riqueza agregada II
Dada una distribucion de riqueza inicial (w1,w2, ...,wI)y un cambio
diferencial de la riqueza (dw1,dw2, ...,dwI)que cumpla∑idwi =0.
Si demanda agregada puede ser escrita como función de la riqueza agregada, debemos tener que:
∑i
∂xli(p,wi)
∂wi
dwi =08l8p8wi
Esto sea verdadero para cualquier distribución de la riqueza, debemos tener que esa igualdad se cumple si y solo si:
∂xli(p,wi)
∂wi
= ∂xlj(p,wj) ∂wj 8
i,j,l,wi,wj
Demanda agregada en función de la riqueza agregada II
9 condición necesaria y su…ciente. Los consumidores admiten
preferencias tal que la función de utilidad indirecta posea la forma de Gorman
vi(p,wi) =ai(p) +b(p)wi8i 2I
Si vi cumple Gorman (8i))la demanda agregada depende la riqueza
agregada
Identidad de Roy, arribamos a que:
xil(p,wi) =
∂vi(p,wi)/∂pl
Demanda agregada en función de la riqueza agregada III
Dado que se cumple Gorman
)xil(p,wi) =
∂ai(p)
∂pl +
∂b(p) ∂pl wi
b(p)
) ∂x
l
i (p,wi)
∂wi
= ∂b(p)/∂pl
b(p)
Demanda agregada en función de la riqueza agregada IV
Demanda agregada depende la riqueza agregada) vi cumple Gorman
Solo daremos una intuición
Supongamos dos consumidores cuyas demandas son x1(p,w1)y
x2(p,w2),respectivamente.
Vector de demandas agregadas está de…nido por:
x(p,w1+w2) x1(p,w1) +x2(p,w2)
A su vez, la demanda del bienj-ésimo se encuentra dada por:
xJ(p,w1+w2) x1J(p,w1) +x2J(p,w2)8p,w1,w2
Derivando esta expresión respecto a w1 :
) ∂x
J(p,w
1+w2)
∂w
∂w
∂w1
∂x1J(p,w1)
∂w1 +
∂x2J(p,w2)
∂w2
∂w2
∂w1
Notemos que ∂w
∂w1 =1 pues w w1+w2.Además,
∂w2
∂w1 =0 ya que
Demanda agregada en función de la riqueza agregada IV
Luego:
∂xJ(p,w1+w2) ∂w
∂x1J(p,w1) ∂w1 8
p,w1,w2
Similarmente derivando respecto a w2 :
∂xJ(p,w1+w2)
∂w
∂x2J(p,w2)
∂w2 8p,w1,w2
Entonces
∂xJ(p,w1+w2) ∂w =
∂x1J(p,w1) ∂w1 =
∂x2J(p,w2)
Demanda agregada en función de la riqueza agregada V
Derivando nuevamente respecto a w1 obtenemos que:
∂2xJ(p,w1+w2) ∂w2
∂w
∂w1
= ∂
2xJ
1 (p,w1)
∂w12 =
∂2x2J(p,w2)
∂w2∂w1
Pero notemos nuevamente que ∂w
∂w1 =1 y además
∂2x2J(p,w2)
∂w2∂w1 =0. Entonces
∂2xJ(p,w1+w2)
∂w2 =
∂2x1J(p,w1)
∂w12 =
∂2x2J(p,w2)
∂w2∂w1 =0
Como consecuencia, arribamos a la conclusión de que la demanda de todos los bienes son una función lineal del ingreso:
Casos particulares de preferencias con utilidad indirecta de Gorman
% racionales;funciones de utilidad indirecta del tipo de Gorman
9 casos particulares donde sí se cumple que la demanda agregada
depende de la riqueza agregada
% cuasilineales
Se deriva quev(p,w) =ai(p) +wpl donde les el bien cuasilineal,
único función del ingreso Notar queb(p) = p1
l,por lo que no depende dei
Todos los consumidores deben poseer el mismo bien cuasilineal pues, de otro modo,b(p)sería distinta
Nótese%no tienen que ser necesariamente iguales
% homotéticas
Se deriva quev(p,w) =vi(p)w
Soluciones alternativas
Vimos condiciones para que la demanda agregada pueda ser escrita en función de los precios e ingreso agregado para cualquier distribución de la riqueza. Tal vez es pedir mucho.
Si restringimos posibles distribuciones de ingreso podemos obtener el mismo resultado.
Si riquezas individuales son una regla de distribución tal que depende del vector de precios y el nivel de riqueza agregado. Es decir
wi =wi(p,w)
suponemos∑iwi(p,w) =w 8(p,w)
wi 08i,p,w
Soluciones alternativas II
La demanda agregada como función del vector de precios e ingreso agregado ya que
x(p,w1,w2, ...,wI) ∑ixi(p,wi)
)x(p,w1,w2, ...,wI) =∑ixi(p,wi(p,w))
Propiedades de la Demanda Agregada
Propiedades de las demandas individuales que se transmiten a la demanda agregada.
Continuidad: demandas individuales continuas, la agregada tambien lo es (continuidad se preserva bajo la suma)
Homogeneidad de grado cero: dadoxi(αp,αwi) =xi(p,wi).
wi es homogénea de grado uno tal que
wi(αp,αw) =αwi(p,w).Distribución real del ingreso no cambia.
x(αp,αw) =∑ixi(αp,wi(αp,αw)),lo cual es lo mismo que
x(αp,αw) =∑ixi(αp,αwi(p,w))por la homogeneidad de grado uno
dewi.
Entonces, por la homogeneidad de grado cero de las demandas
individuales ocurre quexi(αp,αwi(p,w)) =xi(p,wi(p,w))y, por
tanto,x(αp,αw) =∑ixi(p,wi(p,w)) =x(p,w)
Ley de Walras: asumimos quep xi(p,wi) =wi.Pero entonces,
p x(p,w) =p ∑ixi(p,wi(p,w)) =∑iwi dado que ∑iwi =w,
Propiedades de la Demanda Agregada II
WARP: si las demandas individuales cumplen WARP no
necesariamente vale el WARP en el agregado.
Ejemplo de no validez del WARP
Supongamos dos bienes y dos individuos donde la riqueza posee la siguiente regla de distribucion:w1=w2= w2.Dos vectores de precios:
Propiedades de la Demanda Agregada III / 2 / 1 w p
( , / 2)
1 x p w
/ 2 1 w
p (', / 2)
2 x p w
( )
2 , / 2 x p w ( )
1 / 2x p w, / 2 / 2 2 w p / 2 / 2 w p
(', / 2)
1 x p w
( )
1 / 2x p w', / 2
1
2p x(p0,w)
w
2 ^
1
2p0 x(p,w)
w
2
Similarmentep x(p0,w) w ^ p0 x(p,w) w
Propiedades de la Demanda Agregada III
Como puede ser?
Demandas individuales cumplen WARP y la demanda agregada no Sabemos que WARP vale sí y solo sí se da la ley de demanda para precios compensados (esto vale para cualquier demanda)
Así, sabemos que para el individuoi-ésimo todo cambio de una
situación inicial (p,wi)a otra (p0,wi0) = (p0,p0 xi(p,wi)),cumple
que:
p0 p xi p0,wi0 xi(p,wi) 0
p0 p [xi() xi()]<0 cuando xi(p,w)6=xi p0,w0
sumando las demandas individuales, se cumple que:
p0 p
"
∑
i
xi p0,wi0
∑
ixi(p,wi)
# 0
Propiedades de la Demanda Agregada IV
Esta proposición sigue siendo verdadera.
Porque no vale. Asumimos que wi0 =p0 xi(p,wi)
Pero solo sabemos quew0 =p0 x(p,w).
yw0 =p0 x(p,wi); wi0 =p0 xi(p,wi)8i
Cambio compensado en el agregado no implica que sea compensado para cada individuo.
Si para alguno no es compensada puede ser >0, la suma puede dar
>0.
Propiedades de la Demanda Agregada V
No hay regla de distribución que sirva siempre.Partiendo de distintos puntos tenemos que llegar al mismo.
Dados(p,w),(p0,w0)yw1(p,w)yw2(p,w)
Si p00(x1(p,w1) +x2(p,w2)) =p00(x1(p0,w10) +x2(p0,w20))
w1(p00,w00)yw2(p00,w00) deberia ser independiente de cual es el
origen
Condiciones para el WARP en el agregado
Que supuestos que podemos agregar de tal forma que el WARP valga en el agregado?
Ley de la demanda no compensada a nivel individual
Si las demandas individuales cumplen con la ley no compensada de la demanda y la regla de distribución es tal que wi = αiw.Entonces a
nivel agregado también se cumple y, como corolario, la demanda agregada cumple el WARP.
xi(p,wi)satisface la ley de la demanda no compensada si:
p0 p xi p0,wi xi(p,wi) 0
Ley de la demanda no compensada
Dados(p,w)y(p0,w)tal que x(p,w)6=x(p0,w). 9 al menos un i tal quexi(p,αiw)6=xi(p0,αiw)
Entonces
p0 p xi p0,αiw xi(p,αiw) <0!para i
p0 p x i p0,α iw x i(p,α iw) 0!para el resto
Sumando, obtenemos que:
p0 p
"
∑
j
xj p0,αjw
∑
jxj (p,αjw)
#
<0
Ley de la demanda no compensada
Demanda no compensada a nivel individual) demanda no
compensada agregada
Resta demostrar: ley de demanda no compensada) WARP.
Ley de la demanda no compensada II
Dados(p,w)y(p0,w0) demanda que cumple ley de la demanda no compensada.
Si x(p,w)6=x(p0,w0)vamos a mostrar que p x(p0,w0) w ) p0 x(p,w)>w0
p00 ww0p0.
H0 )x(p0,w0) =x(αp0,αw0).
Sea α= ww0
Entoncesx(p0,w0) =x ww0p0,ww0w0 )x(p0,w0) =x(p00,w).
x(p00,w) =x(p0,w0)6=x(p,w)
Ley de demanda no compensada)
Ley de la demanda no compensada III
Similarmente
p00 x p00,w x(p,w) p x p00,w x(p,w) < 0
p00 x p00,w p00 x(p,w) p x p00,w +p x(p,w) < 0
Por Walras sabemos que p x(p,w) =w.
Dado x(p00,w) =x(p0,w0).p x(p0,w0) w ) p x(p00,w) w
Entonces
p00 x p00,w p00 x(p,w) p x p00,w +p x(p,w)
| {z }
0
<0
)p00 x(p00,w) p00 x(p,w)<0 Walras p00 x(p00,w) =w.
p00 x(p,w)>w
w
w0p0 x(p,w)>w
p0 x(p,w)>w0
Ley de la demanda no compensada III
Que tan restrictivo es?
No sale de% racionales
% homotéticas se cumple
Efecto ingreso juega en la misma dirección que el efecto sustitución.
