Notación científica
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C
ONCEPT
1
Notación científica
Objetivos de aprendizaje
• Escribir números en notación científica. • Evaluar expresiones en notación científica.
• Evaluar expresiones en notación científica usando una calculadora para hacer gráficas.
Introducción a las potencias de 10
Consideré el número seiscientos cuarenta y tres mil doscientos noventa y siete. Este se escribe como 643, 297 y cada posición de los dígitos tiene un “valor” asignado a este. Habrás visto con anticipación una tabla como la siguiente.
centenas de millar decenas de millar unidades de millar centenas decenas unidades
6 4 3 2 9 7
Se ha visto que cuando se escribe un exponente sobre un número esto significa que se tienen que multiplicar cierto número de factores del número juntos. También se ha visto que un exponente cero siempre da uno y un exponente negativo genera respuestas fraccionarias. Observé con atención la tabla de arriba. ¿Ha notado que todas las cabeceras de las columnas son potencias de 10? Aquí se muestra la lista.
100, 000 = 105 10, 000 = 104 1, 000 = 103 100 = 102 10 = 101
Hasta la columna de las “unidades” es justamente una potencia de diez. Unidad significa 1 y 1 = 100.
Si se divide 643, 297 por 100, 000 se obtiene 6.43297. Si se multiplica este resultado por 100, 000 se regresa al número original. Pero hemos visto que 100, 000 es lo mismo que 105, así que si multiplicamos 6.43297 por 105 deberíamos también obtener nuestro número original. En otras palabras
6.43297 × 105= 643, 297
Así hemos encontrado una nueva forma de escribir números. ¿Qué piensas que pasaría cuando continuamos las potencias de diez? Pasada la columna de las unidades hasta cero llegamos a los decimales, aquí el exponente se vuelve negativo.
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Escritura de números mayores que uno en notación científica
Los números en notación científica siempre son escritos en la siguiente forma. a× 10b
Donde 1 ≤ a < 10 y b, el exponente, es un entero. Esta notación es especialmente útil para números que son muy pequeños o muy grandes. Cuando se usa notación científica para escribir números, el exponente del 10 determina la posición del punto decimal.
Observé los siguientes ejemplos.
1.07 × 104= 10, 700 1.07 × 103= 1, 070 1.07 × 102= 107 1.07 × 101= 10.7 1.07 × 100= 1.07 1.07 × 10−1= 0.107 1.07 × 10−2= 0.0107 1.07 × 10−3= 0.00107 1.07 × 10−4= 0.000107
Observé el primer término de la lista y examine la posición del punto decimal en ambas expresiones.
Así el exponente en el diez actúa para remover el punto decimal hacia la derecha. Un exponente 4 lo mueve 4 lugares y un exponente 3 lo moverá 3 lugares.
Ejemplo 1
Escribir los siguientes números en notacion cientifica. (a) 63
(b) 9, 654 (c) 653, 937, 000 (d) 1, 000, 000, 006 (a) 63 = 6.3 × 10 = 6.3 × 101 (b) 9, 654 = 9.654 × 1, 000 = 9.654 × 103 (c) 653, 937, 000 = 6.53937000 × 100, 000, 000 = 6.53937 × 108 (d) 1, 000, 000, 006 = 1.000000006 × 1, 000, 000, 000 = 1.000000006 × 109 Ejemplo 2
El sol está aproximadamente a 93 millones de millas de la Tierra. Escribir está distancia en notación científica. Esta vez escribiremos en número de forma completa (con un punto decimal) y contaremos las cifras decimales. Solución
93, 000, 000.0 | {z }
7 cifras decimales
= 9.3 × 107millas
Una nota sobre cifras significativas
A menudo se combina notación científica con números aproximados. Si se observa el ejemplo 2, la distancia que se proporciona ha sido aproximada. Es poco común que la distancia sea exactamente de 93 millones de millas. Volviendo a observar los números en el ejemplo 1, si aproximamos las dos ultimas respuestas a 2 cifras significativas (2 c.s.), se tiene:
1(c) 6.5 × 108 1(d) 1.0 × 109
Nota que el cero después del punto decimal se ha dejado en el ejemplo 1(d) para indicar que el resultado ha sido aproximado. Es importante saber cuándo se puede aproximar y cuándo no se puede aproximar.
Escritura de números menores que uno en notación científica
Hemos visto cómo podemos usar notación científica para expresar números grandes, pero también es igualmente bueno expresar números extremadamente pequeños. Consideré el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
El tiempo que toma un rayo de luz en cruzar un campo de juego es0.0000004 segundos. Expresar este tiempo en notación científica.
Como antes, procederemos de manera similar.
0.0000004 = 4 × 0.0000001 = 4 × 1 10, 000, 000 = 4 × 1 107 = 4 × 10 −7 Así. . .
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Así como un exponente positivo sobre el diez mueve el punto decimal tantos lugares hacia la derecha, un exponente negativo mueve el punto decimal tantos lugares hacia la izquierda.
Ejemplo 4
Expresar los siguientes números en notación científica. (a) 0.003
(b) 0.000056 (c) 0.00005007 (d) 0.00000000000954
Usemos el método de contar cuántos espacios moveremos el punto decimal hasta que este se encuentre después del primer dígito diferente de cero. Esto nos dará el valor de nuestro exponente negativo.
(a) 0.003 | {z } 3 lugares decimales = 3 × 10−3 (b) 0.000056 | {z } 5 lugares decimales = 5.6 × 10−5 (c) 0.00005007 | {z } 5 lugares decimales = 5.007 × 10−5 (d) 0.00000000000954 | {z } 12 lugares decimales = 9.54 × 10−12
Evaluación de expresiones en notación científica
Cuando nos enfrentamos con productos y cocientes que involucran notación científica, necesitamos recordar las reglas de los exponentes que se estudiaron con anterioridad. Es relativamente fácil trabajar con problemas que involucran notación científica si se recuerda cómo manipular todas las potencias de 10 juntas. Los siguientes ejemplos ilustran esto.
Ejemplo 5
Evaluar las siguientes expresiones y escribir la respuestas en notación científica. (a) (3.2 × 106) · (8.7 × 1011)
(b) (5.2 × 10−4) · (3.8 × 10−19) (c) (1.7 × 106) · (2.7 × 10−11)
La llave para evaluar expresiones que involucran notación científica es mantener las potencias de 10 juntas y operarlas separadamente. Recuérdese que cuando se usa notación científica, el número principal debe estar entre 1 y 10. Necesitamos mover el punto decimal un espacio a la izquierda. Observé como esto agrega un 1 al exponente del 10.
(a) 4
(3.2 × 106) · (8.7 × 1011) = 3.2 × 8.7 | {z } 27.84 × 106× 1011 | {z } 1017 (3.2 × 106) · (8.7 × 1011) = 2.784 × 101× 1017 Solución (3.2 × 106) · (8.7 × 1011) = 2.784 × 1018 (b) (5.2 × 10−4) · (3.8 × 10−19) = 5.2 × 3.8 | {z } 19.76 × 10−4× 10−19 | {z } 10−23 = 1.976 × 101× 10−23 Solución (5.2 × 10−4) · (3.8 × 10−19) = 1.976 × 10−22 (c) (1.7 × 106) · (2.7 × 10−11) = 1.7 × 2.7 | {z } 4.59 × 106× 10−11 | {z } 10−5 Solución (1.7 × 106) · (2.7 × 10−11) = 4.59 × 10−5 Ejemplo 6
Evaluar las siguientes expresiones. Aproximar a 3 cifras significativas y escribir la respuesta en notación científica. (a) (3.2 × 106) ÷ (8.7 × 1011)
(b) (5.2 × 10−4) ÷ (3.8 × 10−19) (c) (1.7 × 106) ÷ (2.7 × 10−11)
Será más fácil si convertimos a fracciones y entonces separamos las potencias de 10. (a)
(3.2 × 106) ÷ (8.7 × 1011) = 3.2 × 10
6
8.7 × 1011 Siguiente, separamos las potencias de 10.
=3.2 8.7×
106
1011 Evaluamos cada fracción (aproximar a 3 s.f.):
= 0.368 × 10(6 − 11) Recordar cómo se escribe en notación cientÃfica! = 3.68 × 10−1× 10−5
Solución
(3.2 × 106) ÷ (8.7 × 1011) = 3.86 × 10−6(aproximado a 3 cifras significativas)
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(5.2 × 10−4) ÷ (3.8 × 1019) = 5.2 × 10
−4
3.8 × 10−19 Separar las potencias de 10.
=5.2 3.8×
10−4
10−19 Evaluar cada fracción (aproximar a 3 c.s.).
= 1.37 × 10((−4) − (−19)) = 1.37 × 1015
Solución
(5.2 × 10−4) ÷ (3.8 × 10−19) = 1.37 × 1015(aproximado a 3 cifras significativas)
(c)
(1.7 × 106) ÷ (2.7 × 10−11) = 1.7 × 10
6
2.7 × 10−11 Siguiente, separamos las potencias de 10.
=1.7 2.7×
106
10−11 Evaluamos cada fracción(aproximamos a 3 c.s.).
= 0.630 × 10(6−(−11)) Recordemos cómo escribir en notación cientÃfica! = 6.30 × 10−1× 1017
Solución
(1.7 × 106) ÷ (2.7 × 10−11) = 6.30 × 1016(aproximado a 3 cifras significativas)
Nota que el cero final se ha dejado para indicar que el resultado ha sido aproximado.
Evaluación de expresiones en notación científica usando una calculadora para
construir gráficas
Todas las calculadoras científicas y calculadoras para construir gráficas tienen la función para trabajar con notación científica. Es extremadamente útil aprender cómo usar esta función.
Para insertar un número en notación científica su la tecla [EE]. La cual es [2nd] [,] en algunos modelos de calcu-ladoras TI.
Por ejemplo para ingresar 2.6 × 105introducir 2.6 [EE] 5.
Cuando se presiona la tecla [ENTER] la calculadora muestra 2.6E5 si esta ha sido configurada para la modalidad científica o muestra 260000 si esta ha sido configurada para la modalidad normal.
(Para cambiar de modalidad presioné la tecla ’Mode’) Ejemplo 7
Evaluar(1.7 × 106) ÷ (2.7 × 10−11) usando una calculadora para construir gráficas. [ENTER] 1.7 EE 6 ÷ 2.7 EE -11 y presioné [ENTER]
La calculadora muestra 6.296296296E16 si está en la modalidad normal o científica. Este es el caso, ya que el número es bastante grande y no cabe dentro de la pantalla en el modo normal.
Solución
(1.7 × 106) ÷ (2.7 × 10−11) = 6.¯3 × 1016 Ejemplo 8
Evaluar(2.3 × 106) × (4.9 × 10−10) usando una calculadora para construir gráficas.
[ENTER] 2.3 EE 6 × 4.9 EE -10 y presioné [ENTER]
La calculadora muestra .001127 en modalidad normal o 1.127E-3 modalidad científica. Solución
(2.3 × 106) × (4.9 × 10−10) = 1.127 × 10−3
Ejemplo 9
Evaluar(4.5 × 1014)3usando una calculadora para construir gráficas.
[ENTER] (4.5EE14)3y presionar [ENTER].
La calculadora muestra 9.1125E43 Solución
(4.5 × 1014)3= 9.1125 × 1043
Solución de problemas del mundo real usando notación científica
www.ck12.org La masa de un átomo de litio es aproximadamente un uno por ciento de una millonésima de una billonésima de una billonésima de un kilogramo. Expresé la masa en notación científica.
Sabemos que por ciento significa dividir por 100, así que nuestro cálculo para la masa (en kg) es
1 100× 1 1, 000, 000× 1 1, 000, 000, 000× 1 1, 000, 000, 000= 10 −2× 10−6× 10−9× 10−9× 10−9
A continuación, usamos la regla del producto de potencias que se estudió al inicio de este capítulo.
10−2× 10−6× 10−9× 10−9= 10((−2)+(−6)+(−9)+(−9))= 10−26kg. Solución
La masa de un átomo de litio es aproximadamente 1 × 10−26kg. Ejemplo 11
Se pueden colocar alrededor de 3 millones de bacterias E coli en la cabeza de un alfiler. Si el tamaño de la cabeza del alfiler es1.2 × 10−5 m2, calculé el área que ocuparía una bacteria E. coli. Expresé la respuesta en notación científica.
Como nuestra respuesta debe estar expresada en notación científica convertiremos primeramente 3 millones a ese formato:
3, 000, 000 = 3 × 106
Seguidamente, necesitamos una expresión que involucre nuestra incógnita. El área ocupada por una bacteria. Llamemos a esta variable A.
3 × 106· A = 1.2 × 10−5 ya que 3 millones de ellas llenan la cabeza del alfiler. Despejando A:
A= 1
3 × 106· 1.2 × 10
−5 ordenando los términos se obtiene
A=1.2 3 ·
1 106× 10
−5 luego usando la definiciónde exponente negativo
A=1.2 3 × 10
−6× 10−5 evaluando los exponentescombinados usando la regla del producto.
A= 0.4 × 10−11 Sin embargo, no podemos dejar la respuesta de esta forma.
Solución
El área de una bacteria es A = 4.0 × 10−12m2
Nota que se ha movido el punto decimal una posición hacia la derecha, lo cual resta 1 del exponente de 10. 8
Ejercicios de repaso
1. Escribir el valor numérico de las siguientes expresiones. a. 3.102 × 102
b. 7.4 × 104 c. 1.75 × 10−3 d. 2.9 × 10−5 e. 9.99 × 10−9
2. Escribir los siguientes números en notación científica. a. 120,000
b. 1,765,244 c. 12 d. 0.00281 e. 0.000000027
3. La Luna es aproximadamente una esfera de radio r = 1.08 × 103 millas. Usé la fórmula de la superficie Área = 4πr2para determinar el área de la superficie de la Luna en millas cuadradas. Exprese la respuesta en notación científica, aproximar a 2 cifras significativas.
4. La carga de un electrón es aproximadamente 1.60 × 10−19 coulombs. Un faradio es igual a la carga total de 6.02 × 1023electrones. ¿Cuál es, en coulombs, la carga de un faradio?
5. Próxima Centauri la siguiente estrella más cercana a nuestro Sol esta a aproximadamente 2.5 × 1013millas de distancia. Si la luz desde Próxima Centauri se toma 3.7 × 104horas para alcanzarnos, calculé la velocidad de la luz en millas por hora. Exprese la respuesta en notación científica, aproximando a 2 cifras significativas.
Respuestas a los ejercicios de repaso
1. 1. 310.2 2. 74.000 3. 0.00175 4. 0.000029 5. 0.00000000999 1. 1.2 × 105 2. 1.765224 × 1010 3. 1.2 × 101 4. 2.81 × 10−3 5. 2.7 × 10−8 2. 1.5 × 107millas2 3. 96, 320 o 9.632 × 104 4. 6.8 × 108millas por hora
