Espacios normados Motivación

(1)

(2)

(3)

Espacios

normados

Motivación

(4)

Espacios

normados

Motivación

Cuantificar aproximaciones en soluciones aproximadas

T = cos Tx = x?? Ejemplo x₀ = 0 → cos 1 = x₂ → x₂ = 0.54 → cos x₀ = x₁ → x₁ = 1 → cos 0.54 = x₃ → x₃ = 0.858 → cos 0.858 = x₄ . . . → cos 0.739 = 0.739 ||x₁ − x|| = ? ||x₂ − x|| = ? ||x₃ − x|| = ?

(5)

Espacios

normados

Motivación

Cuantificar aproximaciones en soluciones aproximadas

T → operador complicado x → f(x)

(6)

Definiciones

-

Espacios normados

-

Norma

(7)

Espacios

normados

Espacio normado

Espacio vectorial con un dada norma

V

Recordar…

Existe una regala tal que para (e) a(bx)=(ax)b

(f) 1x=x

(g) (a+b)x=ax+bx (h) a(x+y)=ax+ay

a, b ∈ 𝒞

Existe una regla + tal que para (a) x+y = y+x

(b) x + (y+z) = (x+y) +z (c) 0+x=x

(d) (-x)+x=0

(8)

Espacios

normados

Espacio normado

V

Norma

Una norma sobre un espacio vectorial es una regla que, para cualquier

x ∈ V

, asigna un número real

V

||x||

, tal que

-

si , y

-

-||x|| > 0 x ≠ 0 ||0|| = 0

||ax|| = |a| ||x||

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

(9)

Espacios

normados

Espacio normado

V

Ejemplo 1 con

ℜ

n

||x|| =

_∑

n i=1

|x

_i

|

2 Ejemplo 2 con

ℜ

n

||x|| = max |x

_i

|

(10)

Espacios

normados

Espacio normado

V

Ejemplo 3 con

ℭ

n

|| f || =

(∫

b a

| f(t)|

2

_dt

)

1/2 Ejemplo 4 con

ℭ

n

|| f || = sup{| f(t)| : a ≤ t ≤ b}

Norma de cuadrado integrable Norma uniforme Norma en media

(11)

Espacios

normados

Desigualdad de Cauchy-Schwardz en

ℜ

n n ∑ i=1 z_i ¯w_i 2 ≤ ( n ∑ i=1 |z_i |2 ) ( n ∑ i=1 |w_i |2 )

(12)

Espacios

normados

Desigualdad de Cauchy-Schwardz en

ℜ

n n ∑ i=1 z_i ¯w_i 2 ≤ ( n ∑ i=1 |z_i |2 ) ( n ∑ i=1 |w_i |2 ) Desigualdad de Cauchy-Schwardz en

ℭ

n ∫ b a f(t)¯g(t) dt 2 ≤ (∫ b a | f(t)| 2 _dt ) (∫ b a |g(t)| 2 _dt )

(13)

Definiciones

-

Convergencias

(14)

Espacios

normados

Convergencia de una sucesión

Sea , con un espacio normado. Se dice que cuando , si cuando

X, x

₁

, x

₂

, ⋯ ∈ N

N

(15)

Espacios

normados

X, x

₁

, x

₂

, ⋯ ∈ N

N

x

_n

→ X

n → ∞ ||x

_n

− X|| → 0

n → ∞

Ejemplo: norma en media

_f

_con

n

(x) = e

−nx

f

n

∈ C[0,1]

f

_n

_{(x) → F(x) = {}

0 x ≠ 0

1 x = 0

|| f_n − F||2 _{= ∫} 1 0 | fn(x) − F(x)| 2 dx = ∫₀1 | f_n(x)|2 dx = e−2nx −2n 1 0 = 1 − e−2n n → 0 F ∉ C[0,1]

(16)

Espacios

normados

X, x

₁

, x

₂

, ⋯ ∈ N

N

x

_n

→ X

n → ∞ ||x

_n

− X|| → 0

n → ∞

Convergencia de una serie

Sea , con un espacio normado. Se dice que la serie

X, x

x

1₁

, x

+ x

2

, ⋯ ∈ N

₂

+ ⋯ → X

, si la sucesión

N

s

_n

→ X

, con

s

_n

=

_∑

n i=1

x

_i Notación X = _∑∞ n=1 x_n

(17)

Espacios

normados

Conjunto abierto

Un subconjunto de un espacio normado se dice abierto si para cada

x ∈ S

S

, existe un

δ > 0

tal que

y ∈ S

siempre que

||x − y|| < δ

S

x

(18)

Espacios

normados

x ∈ S

S

, existe un

δ > 0

tal que

y ∈ S

siempre que

||x − y|| < δ

S

2delta

(19)

Espacios

normados

x ∈ S

S

, existe un

δ > 0

tal que

y ∈ S

siempre que

||x − y|| < δ

Punto límite

Si es un sub conjunto de un espacio normado, se dice que es un punto límite (no necesariamente con ) si existe una

sucesión con , tal que , con

S

x

x ∈ S

(20)

Espacios

normados

Sobre la completación de un conjunto

Para cualquier conjunto en un espacio normado, la clausura de es la unión de con el conjunto de todos los puntos

límites de .

S

Notación clausura de :

S ¯S

Conjunto denso

Sean y subconjuntos de un espacio normado, con . Se dice que es denso en , si para cada y cada , existe un con .

S T

S ⊂ T

S

T

t ∈ T

ϵ > 0

(21)

Espacios

normados

Sobre la completación de un conjunto

Para cualquier conjunto en un espacio normado, la clausura de es la unión de con el conjunto de todos los puntos

límites de .

S

Notación clausura de :

S ¯S

Conjunto denso

Sean y subconjuntos de un espacio normado, con . Se dice que es denso en , si para cada y cada , existe un con .

S T

S ⊂ T

S

T

t ∈ T

ϵ > 0

s ∈ S

||s − t|| < ϵ

(22)

Definiciones

-

Convergencia, otra vez

(23)

Espacios

normados

Sucesión de Cauchy

Una sucesión de Cauchy de elementos de un espacio normado es una sucesión tal que para cualquier

(24)

Espacios

normados

existe

N > 0

tal que

||x

_n

− x

(x

n

)

_m

|| < δ

para todo

n, m > N

δ > 0

Ejemplo

g_n(x) = tanh(nx)

tanh mx − tanh nx = sinh(m − n)x

cosh mx cosh nx ≤ cosh mx cosh nxsinh mx ≤ sech nx

||g_m − g_n ||2 _{≤ ∫} 1

−1

sech2 nx dx = 2 tanh n

n → 0

(25)

Espacios

normados

existe

N > 0

tal que

||x

_n

− x

(x

n

)

_m

|| < δ

para todo

n, m > N

δ > 0

Espacio competo/incompleto

Un espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente, e incompleto si no.

Ejemplo

no es completo

[C, || . ||

_media

]

(26)

Espacios

normados

existe

N > 0

tal que

||x

_n

− x

(x

n

)

_m

|| < δ

para todo

n, m > N

δ > 0

Espacio competo/incompleto

Un espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es convergente, e incompleto si no.

Espacio de Banach

Un espacio normado completo es denominado un espacio de Banach.

(27)

Espacios

normados

Una sucesión de Cauchy de

elementos de un espacio normado es una sucesión tal que para cualquier existe tal que para todo

(x

_n

)

δ > 0

N > 0

||x

_n

− x

_m

|| < δ

n, m > N

Espacio competo

Un espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es

convergente, e incompleto si no.

Ejemplos

-

Los espacios normados y con la norma

(28)

Espacios

normados

Una sucesión de Cauchy de

elementos de un espacio normado es una sucesión tal que para cualquier existe tal que para todo

(x

_n

)

δ > 0

N > 0

||x

_n

− x

_m

|| < δ

n, m > N

Espacio competo

Un espacio normado es completo si cada sucesión de Cauchy es

convergente, e incompleto si no.

Ejemplos

-

Los espacios normados y con la norma

-

El espacio con la norma

ℛ

n

𝒞

n

_{(∑ |x}

_i

|

2

₎

1/2

(29)

Espacios

normados

Teorema sobre la completación de un espacio normado

Para cualquier espacio normado existe un espacio completo de modo que es un subespacio denso en . El espacio

se denomina completación de .

N

Ω

N

Ω

N

Ejemplo

La completación de con la norma en media define el espacio completo .

Luego en denso en

C[a, b]

Ω

(30)

Espacios

normados

N

Ω

N

Ω

N

Espacio

L

₂

El espacio denota la completación de con la norma en media o norma de la integral del cuadrado.

De este modo contiene todas las funciones que son el límite de funciones continuas

L

₂

[a, b]

C[a, b]

L

₂

[a, b]

(31)

Espacios

normados

N

Ω

N

Ω

N

Ejemplo Espacio

L

₂

El espacio denota la completación de con la norma en media o norma de la integral del cuadrado.

contiene todas las funciones que son el límite de funciones continuas

L

₂

[a, b]

C[a, b]

L

₂

[a, b]

(32)

Definiciones

-

Funciones de cuadrado integrable

-

Más sobre

-

Integral de Lebesgue

(33)

Espacios

normados

Función de cuadrado integrable

Cada función para la cual existe, es

denominada función de cuadrado integrable en .

f

_∫

b

a

| f(x)|

2

_dx

[a, b]

Sobre

L

₂

-

Cada función de cuadrado integrable pertenece a .

-

La función pertenecería a si se

pudiera integrar

-

La condición de espacio vectorial , con no se verifica

f

L

₂

D(x) = {

1 x ∈ 𝒬

_{0 x ∈ ℐ}

L

₂

(34)

Espacios

normados

Clases de equivalencia

Dos funciones y se dicen equivalentes si

, esto es, existe, es y son iguales en casi todo punto.

f g

∫

b a

| f(x) − g(x)|

2

_{dx = 0}

_{f g}

Sobre

L

₂

El espacio es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Donde el elemento cero del espacio es la clase de funciones

L

₂

[a, b]

∫

b

a | f(x)|

2 _{dx = 0}

El espacio denota la completación de con la norma en media o norma de la integral del cuadrado.L2[a, b] C[a, b]

(35)

Espacios

normados

Integral de Lebesgue

La integral de Lebesgue reemplaza la partición en la abscisa por una partición en la ordenada.

∫ b a f(x) dμ = limn→∞ n ∑ i=1 φ_i μ(E_i) μ(E_i) → μ(x_a, x_b) = x_b − x_a x ∈ ℛ → E₁, E₂, ⋯, E_k → μ(E) = _∑k i=1 E_i

(36)

Espacios

normados

Integral de Lebesgue

La integral de Lebesgue reemplaza la partición en la abscisa por una partición en la ordenada.

Recordemos… Integral de Riemann ∫ b a f(x)dx = limn→∞ n ∑ i=1 f(ξ_i)(x_i+1 − x_i) ∫ b a f(x) dμ = limn→∞ n ∑ i=1 φ_i μ(E_i)

(37)

Espacios

normados

Integral de Lebesgue ∫ b a f(x)dx = limn→∞ n ∑ i=1 f(ξ_i)(x_i+1 − x_i) Integral de Riemann ∫ b a f(x) dμ = limn→∞ n ∑ i=1 φ_i μ(E_i)

(38)

Espacios

normados

Integral de Lebesgue Propiedades

∫ b a f(x) dμ = limn→∞ n ∑ i=1 φ_i μ(E_i) D(x) = {1 x ∈ 𝒬_{0 x ∈ ℐ} ∫ b a D(x) dμ = 0

- Integral de funciones más generales, por ejemplo la función de Dirichlet

- Intercambio de límite con integral lim

k→∞ ∫ fk(x)dx = ∫ limk→∞ fk(x)dx = ∫f(x)dx

Donde converge puntualmente a y existe positiva , tal que fk | f_k(x)| ≤ g(x) f g

(39)

Espacios

normados

Integral de Lebesgue Propiedades

∫ b a f(x) dμ = limn→∞ n ∑ i=1 φ_i μ(E_i) D(x) = {1 x ∈ 𝒬_{0 x ∈ ℐ} ∫ b a D(x) dμ = 0

- Integral de funciones más generales, por ejemplo la función de Dirichlet

- Intercambio de límite con integral lim

k→∞ ∫ fk(x)dx = ∫ limk→∞ fk(x)dx = ∫f(x)dx

(40)