algebra lineal unad 2016

30 

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Texto completo

(1)

1

2

1. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

Siendo (2,1) el punto de ubicación de la mosca y describiendo un triangulo rectángulo podemos definir.

2,1

0,0

(2)

Aplicando Pitágoras. 22+12= X2

2

¿

(

¿

2

¿

+1

2

)=

X

¿

¿

X= 2.236

(a) ¿qué tan lejos está de la esquina del cuarto? X= 2.236 =r

Para la coordenada polar vamos a encontrar el ángulo que se genera

(3)

Por trigonometría tenemos

X= rCos θ Y = rSEn θ teniendo el valor en X y el valor en Y

procedemos

X= rCos θ θ =

cos

−1

x

r

θ =

cos

−1

2.236

2

θ =

cos

−1

0.8944

θ = 26.56°

Tan θ =

Y

X

p= (2,1) = (X,Y)

Sabiendo que no conocemos el ángulo y necesitamos el ángulo para determinar la coordenada polar, procedemos a realizar la siguiente formula.

Tan θ =

Y

X

tan θ=

1

2

θ=tan

−1

1

2

(4)

N S E O 300m 30° N S E O 500m N S E O 300m N S E O P= (2,1) P= 2.236 26.56 = 2 i + 1j

(b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?

P= (2,1) P= 2.236 26.56 = (r, θ) = (2.236, 26.56°)

2. Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma algebraica y gráfica

(5)
(6)

Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur

POR MÉTODO ALGEBRAICO O COMPONENTE. Coordenadas Polares Coordenada Rectangular 300 30 NE A 258 i + 150j 500 60 SE B 250 i + 430j 300 0 S C 0 i + 300j Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy

R=

Rx

2

+

Ry

2

θ=tan

−1

Ry

Rx

ALEDROZA ALEXIS PEDROZA UNAD 2016 Hallar la

distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma algebraica y gráfica

(7)

A

60° 30° 300

C

B

300 500

(8)

300 30 X Y = 600 500 60 X Y = 600 APLICANDO A PITÁGORAS Ax = 259 Ay = 150 Bx = 250 By= 433(-)

ALEDROZA ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Ay = A sin 300 sin 30= 0.5

Ay= 300 (0.5) A y=150

Ax= A cos 30

cos30= 0.866

Ax=¿ 300(0.866) Ax= 259 By = A sin 60 sin 60 = 0.86 By= 500 (0.866) By= 430 (-) Bx=B cos 60 cos60= 0.5 Cx= 0 Cy=300 (-) 300

(9)

-583 509 -48.876 773.931 Rx = Ax + Bx + Cx Rx = 259 +250 +0 =509 Ry = Ay + By + Cy Ry = 150 – 433 -300 = -583

R=

Rx

2

+

Ry

2 =

(509)2+(−583)2 = 773.931

θ=tan

−1

Ry

Rx

=

tan

−1

−583

509

=

tan

−1

(−1)

= -48.876°

R=773.931

-48.876 -45

Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio en forma algebraica y gráfica

Distancia = 773.931m

(10)

583

509 Metodo grafico

ALEDROZA ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

B

C

A

orige

n

(11)

26°

5.26 B

5.94 C

225°

3. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del

desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

Coordenadas Polares Coordenada Rectangular

4.13 225 SO A - 2.92 i - 2.92j

(12)

4.13 225 - 2.92 - 2.92 600 5.26 0 N B 5.26 i + 0j 5.94 26 NE C 5.34 i + 2.60j

Halle (a) las componentes de cada desplazamiento

Para A tenemos A = 4.13 m AX = - 2.9199 AY = - 2.9199 θ = 225 Para B tenemos B= 5,26 m BX = 5,26 BY =0 θ =0 Para C tenemos C = 5,94 m Cx =5.34

ALEDROZA ALEXIS PEDROZA UNAD 2016

Ay = A sin 225 sin 225= -0.707

Ay= 4.13 (-0.707) A y= - 2.9199

Ax= A cos 225 cos 225= - 0.707

Ax=¿ 4.13 (-0.707) Ax= -2.9199 - 2.92 i - 2.92j Bx = 5.26 5.26 i + 0j Cy = A sin 26 sin 26 = 0.4383 Cy= 5,94 (0.4383) C y = 2.60

Cx=A cos 26 cos26= 0.8988

Cx=

¿

5,94(0.8988) Cx= 5.34

(13)

5,94 26 5,34 2,60 600 7.68 -2.38° - 0.32 600 Cy=2.60 θ =26

(b) las componentes del desplazamiento resultante

Rx = Ax + Bx + Cx Rx = -2.92 + 5.26 + 5.34 = 7.68 Ry = Ay + By + Cy Ry = -2.92 + 0 + 2.60 = -0.32 7.68 i - 0.32 j

R=

Rx

2

+

Ry

2 =

(7.68)2+(−0.32)2 = 7.68 m

θ=tan

−1

Ry

Rx

=

tan

−1

−0.32

7.68

=

tan

−1

(−0.04166)

= -2.38°

R=7.68

-2.38° (7.68, -2.38°)

(14)
(15)

(c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante - 2, 38° -0.32 7.68 7.68 Magnitud = 7.68 m Dirección = 2.38° sureste.

(16)
(17)
(18)

4. Dados los vectores:

u = -i + 2j -4k

w = 2i-3j+k

v= -4i+3j+2k

Calcular

a. u . w, w . v

(19)

b. u x v , u x w

c. (u x w ). V

d. Cos ( u, w)

5. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C.

La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert;

la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores;

y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert.

Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y

(20)

40 g 160 g 80 g 120 g 120 g 120 g 150 g 80 g 80 g 3X3 3X1 A B C 40*50 + 120*80 + 150*100 = 26600 160*50 + 120*80 + 80*100 = 25600 80*50 + 120*80 + 80*100 = 21600 M R CA

Obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Bandeja A

Bandeja B

Bandeja A

MATRICIAL MENTE

(21)

EN KILOGRAMOS EN GRAMOS M R CA

40

120 150

160 120

80

80

120

80

50

80

100

= MATRIX RESULTANTE

26600

25600

21600

1

1000

=

26.6

25.6

21.6

M = manchego R = roquefort CA = camembert

5.1 Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:

A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2

(22)

P M N A B C 3.6 + 0.8 +12 3.6 + 1.6 + 8 1.8 + 1.6 + 6 3 + 1 + 12 3 + 2 + 8 1.5 + 2 + 6 A B C P M N

euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg.

2 1 6

2 2 4

1 2 3

1.5 1.8

1

0.8

2

2

2 1 6

2 2 4

1 2 3

x

1.5 1.8

1

0.8

2

2

= =

16 16.4

13 13.2

9.5

9.4

d) Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C).

2 2 1

1 2 2

6 4 3

ALEDROZA ALEXIS PEDROZA UNAD 2016 P

F F

N M

(23)

c) por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula A -1= * AdjA

Inversa por Gauss Jordán

2 2 1

1 2 2

6 4 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

F1-1 = f1 – f2 F1 2 2 1 1 0 0 F2 -1 -2 -2 -0 -1 0 F1-1 1 0 -1 1 -1 0

1 0 −1

1 2

2

6 4

3

1 −1 0

0

1

0

0

0

1

F2-1 = f2 – f1 F2 1 2 2 0 1 0 -F1 -1 -0 1 -1 1 0 F2-1 0 2 3 -1 2 0

1 0 −1

0 2

3

6 4

3

1

−1 0

−1

2

0

0

0

1

F3-1 = f3 – 6f1 -6F1 -6 0 6 -6 6 0 F3 6 4 3 0 0 1 F3-1 0 4 9 -6 6 1

1 0 −1

0 2

3

0 4

9

1

−1 0

−1

2

0

−6

6

1

F2-1 =

1

2

f2

1

2

f2 0 1

3

2

−1

2

1 0 F2-1 0 1

3

2

−1

2

1 0

(24)

1 0 −1

0 1

3

2

0 4

9

1

−1 0

−1

2

1

0

−6

6

0

F3-1 = f 3−4 f 2 -4f2 0 -4 -6 2

−4

1 F3 0 4 9 -6 6 0 F3-1 0 0 3 -4 2 1

1 0 −1

0 1

3

2

0 0

3

1

−1 0

−1

2

1

0

−4

2

1

F3-1 =

1

3

f3

1

3

f3 0 0 1

3

4

3

2

1

3

F3-1 0 0 1

4

3

2

3

1

3

1 0 −1

0 1

3

2

0 0

1

1

−1 0

−1

2

1

0

4

3

2

3

1

3

F2-1 = f2 –

3

2

f3 F2 0 1

3

2

−1

2

1

0

−3

2

f3 0 0

−3

2

2

−1

−1

2

F2-1 0 1 0

3

2

0

−1

2

1 0 −1

0 1

0

0 0

1

1

−1

0

3

2

0

−1

2

4

3

2

3

1

3

F1-1 = f1 + f3

(25)

F1 1 0 -1 1 -1 0 f3 0 0 1

3

4

3

2

1

3

F1 -1 1 0 0

−1

3

−1

3

1

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

−1 3 −1 3 1 3 3 2 0 −1 2 −4 3 2 3 1 3

(

1 0 0

0 1 0

0 0 1

|

−1

3

−1

3

1

3

3

2

0

−1

2

−4

3

2

3

1

3

)

Por Gauss Jordan

A =

(

2 2 1

1 2 2

6 4 3

)

A-1=

−1

3

−1

3

1

3

3

2

0

−1

2

4

3

2

3

1

3

Comprobando A * A-1= I

(26)

2 2 1 1 2 2 6 4 3 −1 3 −1 3 1 3 3 2 0 −1 2 −4 3 2 3 1 3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a 11 a12 a 13

a 21 a22 a 23

a 31 a32 a 33

A11 =

2∗−1

3

+

2∗3

2

+

1∗−4

3

=

¿

−2

3

+

3+

−4

3

=1

A21 =

1∗−1

3

+

2∗3

2

+

2∗−4

3

=

¿

−1

3

+

3+

−8

3

=

0

A31 =

6∗−1

3

+

4∗3

2

+

3∗−4

3

=

0

A12 =

2∗−1

3

+

2∗0+

1∗2

3

=0

A22 =

1∗−1

3

+2∗0+

2∗2

3

=1

A 32 =

6∗−1

3

+

4∗0+

3∗2

3

=0

A13 =

2∗1

3

+

2∗−1

2

+

1∗1

3

=0

A32 =

1∗1

3

+

2∗−1

2

+

2∗1

3

=0

A33=

6∗1

3

+

4∗−1

2

+

3∗1

3

=1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a 11 a12 a 13

a 21 a22 a 23

a 31 a32 a 33

Se acaba de comprobar que multiplicando la matriz original por la inversa se obtiene la matriz identidad.

(27)

Inversa por determinantes. A =

(

2 2 1

1 2 2

6 4 3

)

A-1 = inversa

1

⃓ A⃓

= inverso determinante

(A*) t = matriz transpuesta de la adjunta A* = matriz adjunta 1. calculamos el determinante

a 11 a12 a 13

a 21 a22 a 23

a 31 a32 a 33

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

a 11 a12 a 13

a 21 a22 a 23

a 31 a32 a 33

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

A = (a11 (a22 *a33) + a12 (a23*a31) + a13 (a21*a32)) - a11 (a23*a32) – a12(a21*a33)

(28)

A =

(

2 2 1

1 2 2

6 4 3

)

2 2 1

1 2 2

6 4 3

2 2 1

1 2 2

6 4 3

(a11 (a22 *a33) + a12 (a23*a31) + a13 (a21*a32)) (2*2*3) + (2*2*6) + ( 1*1*4) = 12 +24 +4 = 40

2 2 1

1 2 2

6 4 3

2 2 1

1 2 2

6 4 3

- a11 (a23*a32) – a12 (a21*a33) – a13 (a22*a31) - (2 *2*4) - (2*1*3) – (1*2*6) = -16 – 6 – 12 = - 34 A = 40 -34 = 6 Inverso determinante

1

⃓ A ⃓ =

1

6

2. calculamos la matriz

adjunta.

El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A

A =

2 2 1

1 2 2

6 4 3

cofactores

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a11 =

|

2 2

4 3

|

= 2*3 – 2*4 = 6 -8 = -2

(29)

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a12=

|

1 2

6 3

|

=-(1*3 – 6*2) = -3+12= 9

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a13=

|

1 2

6 4

|

= 1*4 – 6*2 = 4-12 =-8

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a21=

|

2 1

4 3

|

= -(2*3 – 4*1 )= -6+4= -2

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a22=

|

2 1

6 3

|

= 2*3 – 1*6 = 6-6 = 0

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a23= -

|

2 2

6 4

|

= -(2*4 – 6*2)= -8+12 = 4

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a31=

|

2 1

2 2

|

= 2*2 – 2*1 = 4-2 = 2

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a32=

|

2 1

1 2

|

= -(2*2 – 1*1) = -4+1 = -3

2 2 1

1 2 2

6 4 3

a33=

|

2 2

1 2

|

= 2*2 – 2*1 = 4-2 = 2

a 11 a12 a 13

a 21 a22 a 23

a 31 a32 a 33

A11 =

|

a 22 a 23

a 32 a 33

|

A12 =

|

a 21 a 23

a 31 a 33

|

A13=

|

a 21 a 22

a 31 a 32

|

A21 =

|

a 12 a13

a 32 a 33

|

A22 =

|

a 31 a 33

a11 a13

|

A23 =

|

a 31 a 32

a11 a12

|

A31 =

|

a 12 a 13

a 22 a 23

|

A32 =

|

a 21 a 23

a11 a 13

|

A33 =

|

a 21 a 22

a11 a 12

|

Cofactores

(30)

A =

a 11 a12 a 13

a 21 a22 a 23

a 31 a32 a 33

Adj A =

a 11 a 21 a 31

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

A =

(

−2

9

−8

−2

0

4

2

−3

2

)

Adj A =

(

−2 −2

2

9

0

−3

−8

4

2

)

Matriz inversa por determinantes

1

⃓ A ⃓ =

1

6

A-1 =

1

6

(

−2 −2

2

9

0

−3

−8

4

2

)

A-1 =

(

−2

6

−2

6

2

6

9

6

0

6

−3

6

−8

6

4

6

2

6

)

A-1 =

(

−1

3

−1

2

1

3

3

2

0

−1

2

−4

3

2

3

1

3

)

Figure

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