TEMA 6: FUNCIONES 1. SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANO

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Tema 6 Matemáticas: FUNCIONES Página 1

TEMA 6: FUNCIONES

1. SISTEMAS DE REFERENCIA CARTESIANO

Un sistema de referencia cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares llamados ejes de coordenadas: el eje horizontal recibe el nombre de eje de abcisas o eje X, y el eje vertical se llama eje de ordenadas o eje Y. El punto de corte de ambos ejes es el origen de coordenadas (O)

Para dar la posición de un punto en el plano necesitamos una unidad de medida en cada eje y un par ordenado de números reales (x,y) denominadas coordenadas, siendo x el número que se lee en el eje de abcisas e y el del eje de ordenadas; este par de coordenadas siempre se dan en el mismo orden, por lo que (0,5) no es lo mismo que (5,0).

Los puntos que están en el eje Y tienen su abcisa 0 y los puntos que están en el eje X tienen su ordenada 0. Los puntos a la derecha del eje Y tienen su x positiva, y a la izquierda la x es

negativa. De igual forma, los puntos que se encuentren por encima del eje X tienen su y positiva, y por debajo negativa.

Muchos tipos de información se puede representar en unos ejes cartesianos, en cada una de ellas los ejes X e Y tienen un significado concreto.

EJEMPLO

La gráfica representa la temperatura de un enfermo tomada cada dos horas. Podemos ver los valores de la temperatura (eje Y) en función de las horas (eje X). Observando la gráfica se puede contestar a las siguientes preguntas:

¿Qué temperatura tenía a las 18:00? 38ºC

¿Cuál fue la temperatura máxima que tuvo en el día? 39ºC

¿A qué hora alcanzó la temperatura máxima? A las 14:00

¿Cuál fue la temperatura mínima que tuvo en el día? 37ºC

¿A qué hora alcanzó la temperatura mínima? A las 8:00 y a las 24:00

2. FUNCIONES

2.1. Concepto de función

En el ejemplo del apartado anterior, las dos variables que se relacionan son temperatura y hora, a cada hora hay una temperatura. A esta relación de dependencia es a lo que se llama función.

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Tema 6 Matemáticas: FUNCIONES Página 2 Una función es una relación entre dos magnitudes, donde a cada valor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor (imagen) de la variable dependiente (y). Generalmente, la relación entre ambas variables viene definida con una fórmula algebraica, con una gráfica o una tabla de valores.

Para indicar que la variable dependiente y es función de x, se usa la notación y = f(x). Es posible utilizar otras letras, pero x, y, f son las más frecuentes.

Las funciones sirven para describir fenómenos de tipos muy diversos o simplemente para expresar relaciones matemáticas.

EJEMPLOS

Dada la función f , definida por f(x) = x2_{– 9; calcula las imágenes de f(0) y f(-5)}

f(0) = 02_{– 9 = -9 (-9 es la imagen de 0 para la función f. Lo que es lo mismo cuando x = 0 y = -9}

f(-5) = (-5)2_{- 9 = 16 (16 es la imagen de -5 para la función f, o cuando x=0 y =16)}

Halla los valores de x que tienen imagen 0

f(x) = x2_{– 9, luego 0 = x}2_{– 9, resolviendo se obtiene x = -3 y x = 3}

entonces f (-3) = f (3) = 0

2.2. Gráficas de una función

Para conocer el comportamiento de una función se puede representar gráficamente en un sistema cartesiano. La gráfica de una función y=f(x) está formada por todos los puntos del plano cartesiano (x,y) que verifican dicha relación.

Cuando se construye una gráfica siempre hay que tener en cuenta que el eje de la X (abcisas) corresponde a la variable independiente y que el eje de oredenadas (el Y) corresponde a la variable dependiente.

EJEMPLOS

Señala en las siguientes relaciones cuáles son las variables independientes y cuáles las dependientes.

a) A mayor velocidad (x), mayor camino recorrido (y).

b) Se deja caer en el aire un objeto, la velocidad de caída (y) depende de la altura a la que se ha dejado caer.

c) El área de un cuadrado (y) está en función de la longitud del lado (x).

d) La cantidad de agua consumida en una vivienda (y) depende del número de personas que la habitan (x).

e) El tiempo que tarda en llegar un tren a su destino (y), depende de la velocidad que lleve (x).

2.3. Formas de definir una función

Una función se puede expresar mediante un enunciado de un texto, mediante una expresión algebraica, por una tabla de valores o por una gráfica. A partir de cualquiera de ellas se pueden obtener las demás.

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EJEMPLOS

Representa gráficamente el siguiente enunciado: “Una persona tarda 22 minutos en llegar a su trabajo que dista 575 metros. A los 4 minutos llega a casa de un compañero que dista de la suya 200 metros y le espera durante 3 minutos. En subir una cuesta de 225 metros tarda 12 minutos. Los últimos 150 metros son llanos y los recorren en 3 minutos.

Para hacer la gráfica es importante hacer una tabla de valores en los que se relaciones la x con la y X (tiempo en

segundos) 0 4 8 20 22 Y (distancia

en metros) 0 200 200 425 550 Ahora se representa los datos en un diagrama cartesiano.

3. ESTUDIO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

Las funciones vienen representadas por una gráfica que permite conocer diferentes propiedades como el dominio, recorrido, continuidad, crecimiento, etc.

3.1. Intervalos

Para poder describir las propiedades de una determinada función se hace uso de los intervalos. Estos representan el conjunto de todos los números comprendidos entre los dos extremos dados, que denominaremos extremos del intervalo. Los intervalos se escriben de distinta forma según se quiera incluir o no sus extremos en el conjunto de números. Así, se clasifican en tres grupos:

➢ Intervalos abiertos: son aquellos en los que los extremos no están incluidos en el conjunto. Se escriben (a , b) y representan todos los números mayores que a y menores que b.

➢ Intervalos cerrados: son aquellos en los que los extremos están incluidos en el conjunto de números. Se escriben [a , b] y representan todos los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

➢ Intervalos semiabiertos o semicerrados: son aquellos en los que un extremo está incluido y el otro no. El extremo incluido se indica con el corchete y el abierto con el paréntesis.

Para listar un conjunto de números se utilizan las llaves. Por ejemplo, {1, 3, 5}, representa un conjunto formado por los números 1, 3 y 5 exclusivamente.

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3.2. Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de valores que la variable independiente puede tomar, o valores en el que la función existe; se escribe como Dom f. El recorrido,

rango o conjunto imagen de una función es el conjunto de valores que toma la variable

dependiente; se escribe con diferentes notaciones Rgf o Im f.

En general, existen dos razones por las que un valor de x no pertenezca al dominio de una función:

1. La función no tiene sentido para esos valores. Por ejemplo, si tenemos una función que representa la temperatura de una persona durante el día, es evidente que x varía entre 0 y 24 horas.

2. La operación f(x) no puede hacerse. Por ejemplo, no es posible dividir entre 0 o calcular raíces cuadradas o de índice par de números negativos.

El dominio de cualquier función cuya expresión analítica se un polinomio es todo R = (-∞, +∞).

La función f(x) = 1/x (ver su gráfica en el margen derecho) tiene como dominio todo R menos el valor x=0, es decir ∞, 0) Ṷ (0, +∞). El recorrido de la función es (-∞, 0) Ṷ (0, +∞).

La función f(x) = √𝑥 tiene como dominio y recorrido [ 0, +∞) (ver

imagen en el margen izquierdo).

3.3. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Una función es creciente, cuando al aumentar el calor de la variable independiente (x), la variable dependiente (y) también aumenta, y viceversa.

Una función es decreciente, cuando al aumentar el valor de la variable independiente disminuye la dependiente, y viceversa.

Si al variar el valor de x, la variable y no cambia, se dice que la función es

constante.

Para estudiar el crecimiento de una función, debemos observar lo que hace la función a lo largo del eje de abcisas.

3.4. Máximos y mínimos

Una función presenta un máximo en un punto cuando pasa de ser creciente a decreciente. Presentará un mínimo cuando la función pasa de ser decreciente a creciente. Los máximos y los mínimos son puntos y no intervalos, como en el caso de los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

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EJEMPLOS

Estudia el dominio y el recorrido, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función y los puntos donde aparece un mínimo y un máximo:

Dominio (-∞, +∞) Recorrido (-1, +∞)

Crecimiento (-1, 0) y (1, +∞) Decrecimiento (-∞, -1) y (0, 1)

Máximo en el punto x = 0, coordenadas (0,0)

Mínimos en los puntos x = -1 y x = 1 coordenadas (-1,1) y (1, -1)

3.5. Continuidad y discontinuidad

Una función es continua si existe en todos los puntos de su dominio; en este caso se puede dibujar con un solo trazo. La función presenta discontinuidad cuando en los puntos de su dominio existe alguno en la que la función se interrumpe, bien porque no exista en ese punto o porque da un salto.

En la función de al lado se observa que para x = 2 y para x = 3 la función da un salto, por lo que se dice que es discontinua para x = 2 y 3.

3.6. Puntos de corte con los ejes

Tanto a la hora de dibujar una gráfica de una función, como de realizar su estudio es muy importante y útil conocer los puntos de intersección de la gráfica con los ejes coordenados.

Todos los puntos de corte con el eje X son puntos que se van a caracterizar porque la coordenada y es cero, por lo que sus coordenadas serán (x, 0). Para calcularlos

a partir de su expresión analítica basta con sustituir la y por el valor 0 y resolver para ver qué valores de x cumplen esta condición.

De igual forma, todos los puntos de corte con el eje Y son puntos que se

caracterizan porque la coordenada x es cero, serán del tipo (0, y), Para calcularlos a

partir de su expresión analítica basta con sustituir la x por el valor 0 y resolver para ver qué valores de y cumplen esa condición.

EJEMPLOS

Calcula las coordenadas de los puntos de corte con los ejes coordenados de la función y=x2_{- 5x + 4}

Para calcular los puntos de corte con el eje Y, sustituyo en la ecuación x por 0

y = 02_{– 5·0 + 4, por lo que y = 4, las coordenadas del punto de corte con el eje Y son (0,4)}

Para calcular los puntos de corte con el eje X, sustituyo en la ecuación y por 0

0 = x2_{- 5x + 4, resolviendo la ecuación de segundo grado obtengo dos soluciones x = 4 y x = 1, por lo}

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4. FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO

Una función polinómica son las funciones cuya expresión algebraica es un polinomio. Si el polinomio es de grado uno, su representación es una recta.

Según el polinomio tenga o no término independiente se clasifican en funciones lineales o afines.

4.1. Funciones lineales

Las funciones lineales son rectas que pasa por el origen de coordenadas y tiene por expresión y = mx (polinomio sin término independiente).

El coeficiente m es la pendiente de la recta y expresa la inclinación de dicha recta con respecto al eje X; cuanto mayor sea el valor de m, mayor será la pendiente, por lo tanto, la inclinación. Si m es positiva, la recta es creciente, y si m es negativa la recta será decreciente.

EJEMPLOS

Representa la función lineal f(x) = 2x

Para representar una función hay que construir una tabla de valores y representar los puntos. Para hacer la tabla doy valores arbitrarios a x y calculo los correspondientes valores de y.

Por ejemplo, doy los valores arbitrarios para x -2, -1, 0, 1, 2 y calculo las correspondientes imágenes f (-2) será y = 2(-2), luego y = -4, así sucesivamente calculo f(-1) = -2; f(0) = 0; f(1) = 2 y f (2) =4 y construyo la tabla de valores:

X -2 -1 0 1 2

Y o f(x) -4 -2 0 2 4

Representando los datos tenemos:

¿Pertenece el punto (5,10) a la recta anterior?

Sí, porque sustituyendo en la ecuación x por 5 obtengo y = 10, luego el punto (5,10) pertenece a la recta.

4.2. Obtención de la pendiente de una recta a partir de las

coordenadas de dos puntos

Una manera de calcular la pendiente de una recta a partir de su gráfica es dividiendo la variación de la variable y entre la variación de la variable x entre dos cualquiera de sus puntos.

De tal manera que dados dos puntos cuales quiera de una recta (x1, y1) y (x2, y2),

la pendiente de la recta será:

m =𝒚𝟐−𝒚𝟏

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EJEMPLO

Calcula la pendiente y escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, 0) y (4,-6)

Calculamos primero el valor de la pendiente m = (−6)−0

4−(−2), por lo que m = −6

6, luego m = -1

La ecuación de la recta será y = -x

ACTIVIDAD PROPUESTA

1. Representa y halla la expresión algebraica de la recta de cada apartado, sabiendo que pasan por el origen de coordenadas y por el punto que se indica:

a) A (3, 2) b) B (2, -3) c) C (2, -5)

¿A cuál de las rectas anteriores pertenecen cada uno de los siguientes puntos: P (10, -15), Q (21,14) y R (4, -10)?

4.3. Función afín

Una función se denomina afín cuando su ecuación es del tipo y = mx + n, siendo n distinto de 0. La representación gráfica de estas funciones son rectas que no pasan por el origen de coordenadas.

La recta posee una pendiente m tiene el mismo significado y se calcula igual que en las funciones lineales), y pasa por un punto P (0,n) punto en el que corta al eje de coordenadas Y. Al valor n se le denomina ordenada en el origen.

EJEMPLO

Representa la función y = 4x -2

Hacemos una tabla, de forma que al dar valores cualesquiera a x, obtenemos el valor de y. X 0 1 -1 2 -2 3 Y -2 2 -6 6 -10 10 Hacemos la representación.

EJEMPLO

El alquiler de una bicicleta cuesta 2€ de entrada más 0,5€ por cada hora. Escribe la expresión algebraica del coste en función del tiempo que se alquila la bicicleta y representa la función.

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Hacemos una tabla de valores entre tiempo en horas que tenemos la bicicleta (x) y coste (y)

x (h) 0 2 4 6

y (€) 2 3 4 6

La expresión algebraica es y = 0,5x + 2 Representamos

4.4. Rectas constantes

Hay rectas cuya pendiente es cero, por lo que la función toma la forma y = n, indicando que sea cual sea el valor de x la imagen y es siempre b. Este tipo de rectas, cuya gráfica es una recta horizontal que pasa por el punto (0,n), se llaman funciones

constantes.

Las rectas verticales, paralelas al eje Y no son funciones, ya que a un único valor de x le corresponden infinitos valores de y. Las ecuaciones de estas rectas verticales son de la forma x = k (el valor de la abcisa de todos los puntos de la recta es k).

ACTIVIDADES PROPUESTAS

2. Representa las siguientes funciones y determina si alguna de las rectas pasa por el punto P (50, -24) a) y = 3x + 4 b) y = 2x – 3 c) y = - 1

2 x + 1 d) y = 5 e) y = 0 f) y = -3

4.5. Distintas formas de dar la ecuación de una recta

La ecuación de una recta en la forma y = mx + n recibe el nombre de ecuación

explícita de la recta.

Otra forma de expresar la ecuación de una recta, de la que conocemos un punto de coordenadas (x0, y0) y su pendiente m es y – y0 = m (x – x0), que recibe el nombre de

ecuación punto-pendiente.

Cualquiera de las ecuaciones anteriores se puede transformar en una ecuación equivalente de la forma ax + by = c, que recibe el nombre de ecuación general de la recta.

EJEMPLO

Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-1, 5) y B(7, 3) y escribirla en las tres formas de expresar la ecuación de la misma.

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Tema 6 Matemáticas: FUNCIONES Página 9 m = 3−5 7−(−1) = −2 8 = −1 4

Ecuación punto pendiente: y – 5 = - 𝟏

𝟒 (x + 1)

quitamos paréntesis, despejamos y y = 5 - 𝟏

𝟒 x - 𝟏 𝟒 , simplificando Ecuación explícita y = - 𝟏 𝟒 x + 𝟏𝟗 𝟒

Quitamos denominadores y agrupamos 4y = -x + 19

Ecuación general x + 4y = 19

3. Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2,-5) y B(2,3) y escríbela en todas sus formas.

4. la bajada de bandera de un taxi es de 1,50€, cobrando 40 céntimos por km recorrido. Calcula el precio del viaje (y) en función del número (x) de km recorridos. Expresa la ecuación de la recta en todas sus formas.

4.6. Posición relativa entre rectas

Las posiciones relativas entre dos rectas, en el plano, se definen de la siguiente manera:

➢ Rectas secantes: tienen un único punto en común, sus pendientes son distintas. Al resolver el sistema de ecuaciones de ambas rectas se obtiene una única solución (compatible determinado).

➢ Rectas paralelas: no tienen ningún punto en común. Las pendientes son iguales y las ordenadas en el origen son distintas. Al resolver el sistema de ecuaciones de ambas rectas sale incompatible.

➢ Rectas coincidentes: tienen todos sus puntos comunes al ser la misma recta. Las pendientes y las ordenadas en el origen son iguales. Al resolver el sistema de ecuaciones de amabas rectas sale compatible indeterminado.

EJEMPLO

Indica si los siguientes pares de rectas son secantes, coincidentes o paralelas. A) x + 2y = 4 Al resolver sale una única solución x=2 y= 1, son secantes x + y = 3

B) x + 2y = 4 No hay solución, son paralelas x + 2y = 1

C) x + 2y = 4 Infinitas soluciones, son coincidentes. 2x + 4y = 8

5. FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO

Las funciones polinómicas de segundo grado, también llamadas funciones cuadráticas, son aquellas que tienen como expresión algebraica un polinomio de segundo

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Tema 6 Matemáticas: FUNCIONES Página 10 grado (y = ax2_{+ bx + c). La gráfica de una función polinómica de segundo grado es una}

curva llamada parábola.

En una parábola se distinguen una serie de elementos característicos como el eje

de simetría, este divide a la parábola en dos mitades idénticas y es paralela al eje de

ordenadas (eje Y), por lo que tendrá como ecuación x = k. Para determinar k se aplica la siguiente fórmula x = −𝒃

𝟐𝒂 , donde b y a son los coeficientes del polinomio de la parábola.

El vértice de la parábola es el punto donde la parábola pasa de creciente a decreciente (máximo) o viceversa (mínimo). El vértice se encuentra en el eje de simetría, por lo que la coordenada x del vértice es también x = −𝒃

𝟐𝒂 y la coordenada y se calcula

sustituyendo en la ecuación de la parábola el valor de x anteriormente calculado.

Una parábola puede tener las ramas hacia arriba (de decreciente a creciente, su vértice es con mínimo) o hacia abajo (de creciente a decreciente, su vértice es un máximo). Si el coeficiente a >0 las ramas van hacia arriba, si el coeficiente a<0 las ramas van para abajo.

Otros puntos importantes de la parábola son los cortes con los ejes coordenados. Los puntos de corte con el eje X se caracterizan porque su coordenada y es 0, sustituyendo en la ecuación de la parábola y por 0 y resolviendo la ecuación se obtienen las coordenadas x de dichos puntos de corte.

Los puntos de corte con el eje Y se caracterizan porque su coordenada x es 0, sustituyendo en la ecuación de la parábola x por 0 y resolviendo la ecuación se obtiene la coordenada y de dicho punto de corte.

Generalmente con estos valores es posible dibujar la parábola, en algún caso puede ser necesario determinar otros puntos, para ello se hará una tabla de valores dando valores a x que sean menores y mayores a los del eje de simetría.

EJEMPLO

Representa la parábola definida por la siguiente ecuación cuadrática y = -2x2_{+ 3}

Como el coeficiente a es negativo (es -2) sabemos que las ramas de la parábola van para abajo

Eje de simetría x = -b/2 a = 0/ 2(-2) = 0 recta eje x = 0 Vértice: coordenada x vértice es 0 (en el eje de simetría) coordenada y f(0) y = -2 02_{+ 3 = 3}

Coordenada vértice V (0,3)

Puntos de corte eje Y, sustituyo x por 0 y = 3 punto (0,3) Puntos de corte eje X, sustituyo y = 0 por lo que 0 =-2x2₊

3, resuelvo la ecuación de segundo grado y obtengo que x1

= 1´2 y x2 = -1´2, luego los puntos son (1´2, 0) y (-1´2, 0).

En este caso no es necesario, pero podría dar algún valor a x y calcular la correspondiente y, por ejemplo, si x=1, y es 1 punto (1,1), si x = 2 y es -5 punto (2, -5) y así sucesivamente.

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EJEMPLO

Representa la parábola definida por la siguiente función cuadrática y = x2_{– 2x – 8. Determina, además, recorrido,}

intervalos de crecimiento y decrecimiento y las coordenadas de máximo o del mínimo

Como el coeficiente a es positivo (es 1) sabemos que las ramas de la parábola van para arriba

Eje de simetría x = -b/2 a = -(-2)/ 2·1= 1 recta x = 1

Vértice: coordenada x vértice es 1 coordenada y f(1) y = 12

-2·1- 8 = -9

Coordenada vértice V (1,-9)

Puntos de corte eje Y, sustituyo x por 0 y = -8 punto (0,-8) Puntos de corte eje X, sustituyo y = 0 por lo que 0 = x2_{- 2x - 8,}

resuelvo la ecuación de segundo grado y obtengo que x1 = -2 y

x2 = 4, luego los puntos son (-2, 0) y (4, 0).

Represento los puntos y trazo la parábola. Recorrido [-9, +∞)

Crecimiento ( 1, +∞) y decrecimiento (-∞, 1) Coordenadas del mínimo (1, -9)

5. Dibuja la gráfica de las siguientes parábolas: a) y = 3 4 𝑥 2 _{b) y =}5 4 𝑥 2_{c) y =}1 2 𝑥 2 d) y = – 0,5 x2_{e) y = -1,25 x}2_{f) y = -0,75 x}2

6. Halla los elementos característicos y representa las siguientes parábolas

a) y = 2x2_{+ 4x – 6 b) y = 6x}2_{– 24x c) y = - 2x}2_{+ 4x - 2}

d) y = 2x2_{+ 5x – 12 e) y = 3x}2_{+ 6x - 9}

g) y = 7x2_{+ 21x – 28 h) y = 5x}2_{– 9x + 4 i) y = - 4x}2_{- 4x – 1}

7. Una pelota es lanzada al aire. Después de t segundos, se encuentra a h metros de altura. La altura h sigue la siguiente ecuación h = 25t – t2_:

a) ¿A qué altura se encontrará a los dos segundos? ¿Y a los 10 segundos? b) ¿En qué momento la pelota se volverá a encontrar en el suelo? c) ¿En qué momento se alcanzará la mayor altura? Calcula dicha altura

Utilizado para la construcción de esta unidad el material de MAREA VERDE, “Ámbito científico-tecnológico nivel II” de la editorial SAFEL y apuntes de Darío Nogueira González (CEPA Aluche curso 2017-18) principalmente

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DEL TEMA 6

1. Representa las rectas: a) y = 5x ; b) y = -5x ; c) y = (1/2) x; d) y = 2,3 x

2. Representa las siguientes funciones indicando si son crecientes o decrecientes: a) y = 1,5 x b) y = -0,5x

3. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 4) y (0, 0) y determina su expresión algebraica. ¿Es una función creciente o decreciente?

4. Representa las siguientes funciones lineales y determina los puntos de corte con los ejes:

a) y = 2x + 3 b) y = -x + 5 c) y = 3x – 2 d) y = -2x – 3

5. Representan las rectas que pasan por los puntos que se indican y escribe su expresión algebraica en forma punto-tendiente, explícita y general:

a) (5, 1) y (3, -2) b) (-3, 4) y (4, -1) c) (1, 4) y (0, 6) d) (-2, -4) y (-1, 0) 6. Un transportista cobra por cada trabajo 30 € fijos más 1,50 € por km recorrido. Construye una tabla donde se muestre el cobro del trabajo si recorre 100, 200, 300, 400 y 500 km. Escribe la expresión algebraica de la función que da el coste de un trasporte en función de los kilómetros recorridos y representa la función en unos ejes cartesianos. 7. Dibuja las siguientes parábolas: a) y = 5

2 x 2 _{; b) y = -}6 5 x 2_{; c) y =}1 2 x 2_{; d) y = -0,7x}2

8. Representa la gráfica de las funciones cuadráticas siguientes y determina el recorrido, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y las coordenadas del máximo o el mínimo:

a) y = x2 + 3x + 2 b) y = - x2 + 5x – 4 c) y = - 5x2 + 2x – 6 d) y = - x2 + x – 3 e) y = 3x2 + 2x + 5 f) y = - 2x2 + 4x – 1 g) y = (x – 2)2 + 4 h) y = 4 (x – 2)2 + 9

9. Se lanza un apelota hacia arriba; después de t segundos, se encuentra a h metros de altura. La expresión algebraica de la altura en función del tiempo es h = 40t – 5 t2. Representa la gráfica y responde:

a) ¿A qué altura se encuentra al cabo de 1 segundo?, ¿y de 2 segundos? b) ¿En qué momento la pelota volverá al suelo?

c) ¿Cuál es la altura máxima y en qué momento se alcanza?

10. El número de personas atacadas cada día por una enfermedad viene dado por la función f(x) = - x2 + 20x + 62, donde x representa el número de días desde que se descubrió la enfermedad. Representa la función únicamente en la zona de valores positivos para “x” y para f(x) y responde:

a) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad?

b) ¿Cuál es el número máximo de personas atacadas por la enfermedad en un día? c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?

11. Un aparcamiento de un supermercado tiene la siguiente tarifa de precios: la primera hora cuesta 0,85 € y cada hora siguiente 0,70 €. Indica la expresión algebraica de esta función. Suponiendo que el máximo tiempo de permanencia en el aparcamiento es de 10 horas, especifica el dominio de la función.

12. Escribe la función que asigna a cada número la diferencia entre su doble y el cuadrado de su cuarta parte. Calcula la imagen de 1 y de -1.

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Tema 6 Matemáticas: FUNCIONES Página 13 13. Dada la función que se representa en la gráfica determina: dominio y recorrido de la función; intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como donde es constante; coordenadas de los puntos donde se alcanza máximos y mínimos.

14. La rueda de una bicicleta mide 30 cm de radio:

a) ¿qué espacio recorre al dar tres vueltas?, ¿y 5? ¿y 4,5 vueltas? Haz una tabla b) Representa gráficamente los datos de la tabla.

c) Encuentra la fórmula correspondiente a esa función

15. Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto P (1, -3) y tiene de pendiente m = - 3.

16. Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto A (2, -1) y es paralela a la recta de ecuación y = 6x + 9

17. Calcula el valor de k para que los puntos A (0, 2), B (1,0) y C (k, 2) estén alineados. 18. Un vendedor de pólizas de seguros tiene un sueldo mensual que depende de dos conceptos: sueldo base (fijo) de 700 € y un incentivo (variable) de 30 € por póliza contratada.

a) Halla la función que da su sueldo mensual (y) en función del número de pólizas contratadas (x).

b) Utilizando la función indica cuanto cobrará si contrata 45 pólizas en un mes. c) ¿Cuántas pólizas debe contratar un mes para que sus ingresos sean de 1.150 €?

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SOLUCIONARIO ACTIVIDADES PROPUESTAS

DEL TEMA 6

1. a) y = 2 3 x 1. b) y = −3 2 x 1.c) y = −5 2 x

el punto P pertenece a recta b el punto R a la c y el Q a la A

2. 5.

La recta c pasa por P

3. y = 2x – 1; y – 3 = 2 (x – 2) ; 2x – y = 1 4. P = 1,50 + 0,4 x; en 8 km abonan 4,70 € 6.

(15)

6 .

7. a) A los dos segundos a 46 m y a los 10 segundos a 150 m 7. b) A los 0 y a los 25 segundos.

(16)

SOLUCIONARIO PROBLEMAS DEL TEMA 6

1.

2. a creciente, b decreciente

3. y = 4x creciente.

4.

(17)

5.

6. y = 1,5x + 30

(18)

(19)

9.a) 1 segundo a 35 m, 2 segundos a 60m 9.b) a los 8 segundos

9.c) 80 m a los 4 segundos

10.a) 10 días b) 162 personas c) en el día 23 11. y = 0,85 + 0,7x dominio [0, 10]

12. y = 2x - (𝑥

4) 2

; 31/16; -33/16

13. dominio [-6, 9] recorrido [-4, -2] Creciente (-6, -4) U (0, 1) U (7, 9)

Decreciente (-4, 0) U (2, 5) Constante (1, 2) U (5,6) Máximo (-4, 2) Mínimo (7, -4)

14.a) 565,2, 847,8 y 942 cm c) y = 60π x