Conceptos Teóricos Fase 5

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(1)

FÍSICA MODERNA

FÍSICA MODERNA

2017 2017

Conceptos Fase 3

Conceptos Fase 3

(2)

Microscopio de efecto túnel Microscopio de efecto túnel

Mecánica cuántica

Mecánica cuántica

SSe

e

u

uttiilliizza

a

p

pa

arra

a

e

exxp

plliic

ca

arr

e

ell

c

co

om

mp

po

orrtta

am

miie

en

ntto

o

d

de

e

lla

ass

p

pa

arrttííc

cu

ulla

ass

a

a

n

niiv

ve

ell

microscópico.

(3)

Función de onda

:

Es una cantidad física. (Todo aquello que

puede medirse, de algún modo. Ejemplos:

distancia, tiempo, energía, presión, velocidad,

carga eléctrica, etc.)

Debe describir algo acerca de la localización

de la partícula en el universo espacio-tiempo.

Tiene interpretación probabilística y

 

es

proporcional a la probabilidad por unidad de

longitud de encontrar a la partícula en un punto

y en un instante dado.

(4)

El número imaginario

se define como:

 1

o

  1

En general un número complejo por ejemplo

se escribe de

la siguiente manera:

   +

Donde

 

y

 

son números reales. Al número

 

se le llama

parte real de

 

y al número

 

se le llama parte imaginaria

de

.

El complejo conjugado del número

   + 

se denota

por

y estará dado por:

(5)

Donde

 

 

*

y

* es el complejo conjugado de

la función de onda

La probabilidad de encontrar una partícula en una

región determinada en el intervalo

 a ≤  ≤ 

es:



 

b

 

  

b

∗ 

Condición de normalización de la función de onda es:

−∞

 

  1

Función de onda

unidimensional

(6)

Una vez conocida la función de onda para una partícula, es posible

calcular la posición promedio a la que se espera hallarla después de

muchas mediciones:

  

−∞

 

Valor esperado para la posición x Valor esperado una función f(x)

(7)

Ejemplo:

Considere una partícula cuya función de onda es:

   

−

¿Cuál es el valor de A, si se normaliza la función?

Solución:

Observe que como la función

 

no es sinusoidal, la particular no es una

partícula libre.

Ahora bien, primero apliquemos el concepto de normalización:

−∞

 

  1

(8)

Entonces:

Como

   

−

su complejo conjugado sería

   

−

,

por lo tanto:

−∞

∗   1

−∞

 

−

 

−

  1

Desarrollando la multiplicación:

−∞

 

−

  

−∞

−

  1

Función simétrica: una función es simétrica

respecto al eje y si la función es par, es decir si se cumple que:

(9)

Ya que el integrando es una función simétrica, podemos expresar el integrando como:

 

−∞

−

  2

 

−

  1

Y por lo tanto, haciendo uso del curso de cálculo integral, recordemos que:

−

  12 

Aplicando dicho concepto a nuestra integral tenemos:

 2

−

  2

 

(10)

Y finalmente despejando

 

tenemos:

2

1

2

2  1

 

2  1

 

 1

2

 2

Ahora sacando raíz a ambos lados:

(11)

  

 

 2

 

2

 

Entonces el valor A es:

La función de onda

   

−

quedaría de la siguiente manera:

(12)

La partícula cuántica bajo condiciones de frontera

:

Una partícula en una caja.

Una partícula en un pozo de altura finita.

Efecto túnel a través de una barrera de energía potencial

(13)
(14)

UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA

Energía cuantizada:

La expresión anterior muestra que

la energía esta cuantizada.

La energía mínima corresponde al

estado fundamental

  “que

es el

estado de energía mínima para

cualquier sistema, para este caso

se presenta cuando n=1

.

(15)

UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA

Ejemplo:

Calcule la energía para un electrón que se encuentra en una caja en su estado fundamental y cuya dimensión de la caja es de 0.5nm:

Solución:

Recordemos que la energía esta dada por:

 ℎ

8

   1,2,3,…

Pero como el electrón se encuentra en su estado fundamental

n=1

, por lo tanto:

=

 ,×

 

,×



 ,×





 



 

1

  2,41×10

−

 

La energía para el electrón que se encuentra en el estado fundamental d t d j d h 0 5 d

   241 10

−

  1,5eV

(16)

PARTÍCULA EN POZO DE ALTURA FINITA

 Existencia de las regiones I, II y III.

 Energía potencial U es cero dentro de la región II.  Ancho de la región es L.

 La energía potencialU es finita en las regiones I y III.  Existe probabilidad finita de encontrar la partícula

(17)

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL

 Existe probabilidad de penetrar la barrera o efecto túnel.

 Existencia de las regiones I, II y III.

 Energía potencial es constante y del altura U dentro de la región II.

 Tamaño o ancho L.

 La energía potencial es cero en las regiones I y III.

(18)

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL

Coeficiente

de

reflexión

(R):

Probabilidad de que la partícula sea reflejada por la barrera.

 +  1

Coeficiente

de

transmisión

(T)

: Probabilidad de que la partícula penetre al otro lado de la barrera.

(19)

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL

 +   1

Donde

  1+ sinh

 

ΙΙ

4 1

−

ΙΙ

 2   

Caso

I:

U>E

Caso

II:

U<E

  1+ sin

 

ΙIΙ

4 1

−

Donde

ΙΙΙ

 2   

(20)

Ejemplo:

Calcule la probabilidad de que un protón cruce con éxito una barrera de potencial de 0,5eV y de ancho de 1nm, si el protón tiene una energía de 0,43eV.

v

(21)

Solución:

El problema nos da la siguiente información: Masa de protón:

  1,672× 10

−



  0,5

  1

  0,43

U>E

Donde

  1+ sinh

 

ΙΙ

4 1

−

ΙΙ

 2   

ΙΙ

 2 1,672×10

−

 47  35   1,6×10

1

−

 

2 1,672 × 10

−

 0,5 0,43

  1,6×10

−

 

1

1,055×10

−

 

ΙΙ

  5,80 ×10



−

  1+ sinh

 

ΙΙ

4 1 

−

 1 + sinh

 5,80×10



−

  1×10

−

4 0,43

0,5 1 0,43

0,5

−

  7,93× 10

−

 0

ΙΙ

 2   

(22)

Entonces:

  0

Lo que indica que aproximadamente ninguna partícula traspasó la barrera de potencial.

  0% ≈ 0

%

v

(23)

Ejemplo:

Calcule la probabilidad de que un electrón cruce con éxito una barrera de potencial de 0,47eV y de ancho de 0,60nm, si el electrón tiene una energía de 0,53eV.

(24)

Solución:

El problema nos da la siguiente información: Masa de electrón:

  9,11× 10

−



  0,47

  0,6

  0,53

Entonces calculamos el coeficiente de transmisión así:

  1 + sin

 

ΙIΙ

4 1

−

Donde

ΙΙΙ

 2   

E>U

ΙΙΙ

 2 1,672×10

−

 47  35   1,6×10

−

 

1

2 9,11 × 10

−

 0,53 0,47

1,6 ×10

1

−

 

1,055×10

−

 

(25)

Entonces:

 ≈ 0,552

Lo que indica que aproximadamente 52 de 100 electrones traspasan la barrera de potencial.

 ≈ 55,2%  52%

  1 + sin

 

ΙIΙ

4 1

−

 1 +sin

 1,25 × 10

4 ∗ 0,53

−

 ∗ 0,610

−

0,47 0,53

0,47  1

−

(26)

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno

Este modelo propuesto por Bohr no permitió describir con total éxito el átomo de hidrógeno, aunque se obtuvieron interesantes resultados como los siguientes:

Energías permitidas del átomo de

(27)

Modelo de Bohr del átomo

de hidrógeno

Este modelo propuesto por Bohr no permitió describir con total éxito el átomo de hidrógeno, aunque se obtuvieron interesantes resultados como los siguientes:

Frecuencia de un fotón emitido por el hidrógeno.

Longitud de onda de un fotón emitido por el hidrógeno.

(28)

Modelo de Bohr del átomo

de hidrógeno

Un electrón en un átomo de hidrógeno hace una transición del nivel de energía n=3 al nivel de energía fundamental, ¿Cuál es longitud de onda y frecuencia del fotón emitido?

Datos:

3

 1

Longitud de onda de un fotón emitido por el hidrógeno.

1

  1,097 × 10

−

1

1

 13

1

  9,75 × 10

−

  102,5

   

  3×10

102,5nm  2,92 × 10

/





(29)

Gracias por su atención

NOTA: Las imágenes que se encuentran en la presentación, fueron tomadas del libro:

Física para Ciencias e Ingeniería,

Serway, Vol 2.

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