FÍSICA MODERNA
FÍSICA MODERNA
2017 2017Conceptos Fase 3
Conceptos Fase 3
Microscopio de efecto túnel Microscopio de efecto túnel
Mecánica cuántica
Mecánica cuántica
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ass
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pa
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ulla
ass
a
a
n
niiv
ve
ell
microscópico.
Función de onda
:
Es una cantidad física. (Todo aquello que
puede medirse, de algún modo. Ejemplos:
distancia, tiempo, energía, presión, velocidad,
carga eléctrica, etc.)
Debe describir algo acerca de la localización
de la partícula en el universo espacio-tiempo.
Tiene interpretación probabilística y
es
proporcional a la probabilidad por unidad de
longitud de encontrar a la partícula en un punto
y en un instante dado.
El número imaginario
se define como:
1
o
1
En general un número complejo por ejemplo
se escribe de
la siguiente manera:
+
Donde
y
son números reales. Al número
se le llama
parte real de
y al número
se le llama parte imaginaria
de
.
El complejo conjugado del número
+
se denota
por
∗
y estará dado por:
Donde
*
y
* es el complejo conjugado de
la función de onda
La probabilidad de encontrar una partícula en una
región determinada en el intervalo
a ≤ ≤
es:
b
b
∗
Condición de normalización de la función de onda es:
−∞
∞
1
Función de onda
unidimensional
Una vez conocida la función de onda para una partícula, es posible
calcular la posición promedio a la que se espera hallarla después de
muchas mediciones:
−∞
∞
∗
Valor esperado para la posición x Valor esperado una función f(x)Ejemplo:
Considere una partícula cuya función de onda es:
−
¿Cuál es el valor de A, si se normaliza la función?
Solución:
Observe que como la función
no es sinusoidal, la particular no es una
partícula libre.
Ahora bien, primero apliquemos el concepto de normalización:
−∞
∞
1
Entonces:
Como
−
su complejo conjugado sería
∗
−
,
por lo tanto:
−∞
∞
∗ 1
−∞
∞
−
−
1
Desarrollando la multiplicación:
−∞
∞
−
−∞
∞
−
1
Función simétrica: una función es simétrica
respecto al eje y si la función es par, es decir si se cumple que:
Ya que el integrando es una función simétrica, podemos expresar el integrando como:
−∞
∞
−
2
∞
−
1
Y por lo tanto, haciendo uso del curso de cálculo integral, recordemos que:
∞
−
12
Aplicando dicho concepto a nuestra integral tenemos:
2
∞
−
2
Y finalmente despejando
tenemos:2
1
2
2 1
2 1
1
2
2
Ahora sacando raíz a ambos lados:
2
2
Entonces el valor A es:
La función de onda
−
quedaría de la siguiente manera:La partícula cuántica bajo condiciones de frontera
:
Una partícula en una caja.
Una partícula en un pozo de altura finita.
Efecto túnel a través de una barrera de energía potencial
UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA
Energía cuantizada:
La expresión anterior muestra que
la energía esta cuantizada.
La energía mínima corresponde al
estado fundamental
“quees el
estado de energía mínima para
cualquier sistema, para este caso
se presenta cuando n=1
”.
UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA
Ejemplo:
Calcule la energía para un electrón que se encuentra en una caja en su estado fundamental y cuya dimensión de la caja es de 0.5nm:
Solución:
Recordemos que la energía esta dada por:
ℎ
8
1,2,3,…
Pero como el electrón se encuentra en su estado fundamental
n=1
, por lo tanto:
=
,×
,×
,×
1
2,41×10
−
La energía para el electrón que se encuentra en el estado fundamental d t d j d h 0 5 d
241 10
−
1,5eV
PARTÍCULA EN POZO DE ALTURA FINITA
Existencia de las regiones I, II y III.
Energía potencial U es cero dentro de la región II. Ancho de la región es L.
La energía potencialU es finita en las regiones I y III. Existe probabilidad finita de encontrar la partícula
EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL
Existe probabilidad de penetrar la barrera o efecto túnel.
Existencia de las regiones I, II y III.
Energía potencial es constante y del altura U dentro de la región II.
Tamaño o ancho L.
La energía potencial es cero en las regiones I y III.
EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL
Coeficiente
de
reflexión
(R):
Probabilidad de que la partícula sea reflejada por la barrera.
+ 1
Coeficiente
de
transmisión
(T)
: Probabilidad de que la partícula penetre al otro lado de la barrera.EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL
+ 1
Donde 1+ sinh
ΙΙ
4 1
−
ΙΙ
2
ℏ
Caso
I:
U>E
Caso
II:
U<E
1+ sin
ΙIΙ
4 1
−
Donde
ΙΙΙ
2
ℏ
Ejemplo:
Calcule la probabilidad de que un protón cruce con éxito una barrera de potencial de 0,5eV y de ancho de 1nm, si el protón tiene una energía de 0,43eV.
v
Solución:
El problema nos da la siguiente información: Masa de protón:
1,672× 10
−
0,5
1
0,43
U>E
Donde 1+ sinh
ΙΙ
4 1
−
ΙΙ
2
ℏ
ΙΙ
2 1,672×10
−
47 35 1,6×10
1
−
2 1,672 × 10
−
0,5 0,43
1,6×10
−
1
1,055×10
−
ΙΙ
5,80 ×10
−
1+ sinh
ΙΙ
4 1
−
1 + sinh
5,80×10
−
1×10
−
4 0,43
0,5 1 0,43
0,5
−
7,93× 10
−
0
ΙΙ
2
ℏ
Entonces:
0
Lo que indica que aproximadamente ninguna partícula traspasó la barrera de potencial.
0% ≈ 0
%v
Ejemplo:
Calcule la probabilidad de que un electrón cruce con éxito una barrera de potencial de 0,47eV y de ancho de 0,60nm, si el electrón tiene una energía de 0,53eV.
Solución:
El problema nos da la siguiente información: Masa de electrón:
9,11× 10
−
0,47
0,6
0,53
Entonces calculamos el coeficiente de transmisión así: 1 + sin
ΙIΙ
4 1
−
Donde
ΙΙΙ
2
ℏ
E>U
ΙΙΙ
2 1,672×10
−
47 35 1,6×10
−
1
2 9,11 × 10
−
0,53 0,47
1,6 ×10
1
−
1,055×10
−
Entonces:
≈ 0,552
Lo que indica que aproximadamente 52 de 100 electrones traspasan la barrera de potencial.
≈ 55,2% 52%
1 + sin
ΙIΙ
4 1
−
1 +sin
1,25 × 10
4 ∗ 0,53
−
∗ 0,610
−
0,47 0,53
0,47 1
−
Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno
Este modelo propuesto por Bohr no permitió describir con total éxito el átomo de hidrógeno, aunque se obtuvieron interesantes resultados como los siguientes:
Energías permitidas del átomo de
Modelo de Bohr del átomo
de hidrógeno
Este modelo propuesto por Bohr no permitió describir con total éxito el átomo de hidrógeno, aunque se obtuvieron interesantes resultados como los siguientes:
Frecuencia de un fotón emitido por el hidrógeno.
Longitud de onda de un fotón emitido por el hidrógeno.
Modelo de Bohr del átomo
de hidrógeno
Un electrón en un átomo de hidrógeno hace una transición del nivel de energía n=3 al nivel de energía fundamental, ¿Cuál es longitud de onda y frecuencia del fotón emitido?
Datos:
3
1
Longitud de onda de un fotón emitido por el hidrógeno.
1
1,097 × 10
−
1
1
13
1
9,75 × 10
−
102,5
3×10
102,5nm 2,92 × 10
/
Gracias por su atención
NOTA: Las imágenes que se encuentran en la presentación, fueron tomadas del libro:
