Tema 3. Transformaciones geométricas

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL

Tema 3: Transformaciones Geom´

etricas

J. Ribelles

SIE020: S´ıntesis de Imagen y Animaci´on Institute of New Imaging Technologies, Universitat Jaume I

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL

Contenido

1 Introducción 2 Transformaciones básicas Traslación Escalado Rotación 3 Concatenación de Transformaciones

4 Matriz de Transformaci´on de la Normal

5 Giro alrededor de un Eje arbitrario

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Introducci´on

Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL

Introducci´

on

¿Por qu´e las necesitamos?

En la etapa de modelado los objetos se definen bajo un sistema de coordenadas propio.

A la hora de crear una escena, estos objetos se incorporan bajo un nuevo sistema de coordenadas conocido como sistema de

coordenadas del mundo.

Este cambio de sistema de coordenadas es necesario y se realiza

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Introducci´on

Transformaciones b´asicas

Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL Traslación Escalado Rotación

Transformaciones b´

asicas

Traslaci´on

Consiste en desplazar el punto p= (px,py,pz) mediante un vector

t = (tx,ty,tz) de manera que el nuevo puntoq= (qx,qy,qz):

qx =px+tx, qy =py+ty, qz =pz+tz (1)

La representaci´on matricial con coordenadas homog´eneas:

T(t) =T(tx,ty,tz) =     0 0 0 tx 0 0 0 ty 0 0 0 tz 0 0 0 1     (2)

Utilizando esta representaci´on, el nuevo punto se obtiene as´ı:

˜

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Introducci´on

Concatenaci´on de Transformaciones Matriz de Transformaci´on de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL

Traslaci´on

Escalado

Rotaci´on

Escalado

Consiste en multiplicar el puntop= (px,py,pz) con los factores de

escalasx,sy ysz de tal manera que el nuevo puntoq= (qx,qy,qz):

qx =px·sx, qy =py ·sy, qz =pz·sz (4)

S(s) =S(sx,sy,sz) =     sx 0 0 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 0 0 1     (5)

˜

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Introducci´on

Traslaci´on Escalado

Rotaci´on

Gira un punto un ´anguloφalrededor de un eje.

Rx(φ) = 0 B @ 1 0 0 0 0 cosφ −sinφ 0 0 sinφ cosφ 0 0 0 0 1 1 C A (7) Ry(φ) = 0 B @ cosφ 0 sinφ 0 0 1 0 0 −sinφ 0 cosφ 0 0 0 0 1 1 C A (8) Rz(φ) = 0 B @ cosφ −sinφ 0 0 sinφ cosφ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 C A (9)

˜

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Introducci´on

Traslaci´on Escalado

Rotaci´on

Ejercicio

Determina las transformaciones que situan al cono que se muestra en la

figura (a) (radio de la base y altura uno) en la posici´on que se muestra

en la figura (b) (radio de la base uno y altura tres).

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Introducci´on Transformaciones b´asicas

Concatenaci´on de Transformaciones

Matriz de Transformaci´on de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL

Concatenaci´

on de Transformaciones

Descripci´on

Las transformaciones geom´etricas en su forma matricial con

coordenadas homog´eneas se pueden concatenar.

Una sola matriz puede representar a toda una secuencia de matrices

de transformaci´on.

Es muy importante operar la secuencia de transformaciones en el orden correcto ya que el producto de matrices no posee la propiedad conmutativa.

Dibuja en el papel como quedar´ıa una esfera de radio unidad centrada en el origen dadas las dos siguientes matrices de

transformaci´onT(5,0,0) yS(5,5,5) si las matrices se multiplican de las dos formas posibles, es decir,M=T·S yM=S·T.

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones

Matriz de Transformaci´on de la Normal

Giro alrededor de un Eje arbitrario Transformaciones en OpenGL

Matriz de Transformaci´

on de la Normal

Descripci´on

La matriz de transformaci´on no siempre es v´alida para los vectores

normales a la superficie.

Lo habitual es que la matriz de transformaci´on de la normalN sea la

traspuesta de la inversa de la matriz de transformaci´on.

Sin embargo, la matriz inversa no siempre existe por lo que se recomienda que la matrizNsea la traspuesta de la matriz adjunta. Como la normal es un vector y la traslaci´on no le afecta, y el escalado y la rotaci´on son transformaciones afines, solo hay que calcular la adjunta de los 3x3 componentes superior izquierda.

Las longitudes de las normales no se preservan si hay una

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal

Giro alrededor de un Eje arbitrario

Transformaciones en OpenGL

Giro alrededor de un Eje arbitrario

Descripci´on

Seand yφel vector unitario del eje de giro y el ´angulo de giro.

Hay que calcular una base ortogonal que contenga a d.

La idea es hacer un cambio de base entre la base que forman los ejes de coordenadas y la nueva base.

X Y Z d e f Y Z d e f R

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal

Giro alrededor de un Eje arbitrario

Transformaciones en OpenGL C´alculo de la matriz R

La matriz que representa al cambio de base es esta:

R=   dx dy dz ex ey ez fx fy fz   (11)

e es un vector unitario normal ad.

f es el producto vectorial de los otros dos vectoresf =d×e

El vector ese puede obtener de la siguiente manera:

Partiendo del vectord haz cero su componente de menor magnitud. Intercambia los otros dos componentes y niega uno de ellos. Normal´ızalo.

Teniendo en cuenta queR es ortogonal, la matriz de rotaci´on final:

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario

Transformaciones en OpenGL

La librer´ıa GLM

Proporciona funciones tanto para la construcci´on de las matrices de

transformaci´on como para operar con ellas:

mat4 translate (floattx, floatty, floattz) mat4 scale (floatsx, float sy, float sz) mat4 rotate (floatα, floatx, float y, floatz)

// P a r a o b t e n e r l a m a t r i z de t r a n s f o r m a c i o n d e l m o d e l o mat4 T , S , M; T = t r a n s l a t e ( 1 0 . 0 f , 0 . 0 f , 0 . 0 f ) ; S = s c a l e ( 2 . 0 f , 2 . 0 f , 2 . 0 f ) ; M = T∗S ; // P a r a o b t e n e r l a m a t r i z n o r m a l N mat3N (mat3( t r a n s p o s e ( i n v e r s e (M) ) ) ) ;

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Introducción Transformaciones básicas Concatenación de Transformaciones Matriz de Transformación de la Normal Giro alrededor de un Eje arbitrario

¿D´onde calcular las matrices?

La construcci´on de ambas matrices, la matriz de transformaci´on del

modelo y la matriz de transformaci´on de la normal, es conveniente que

tenga lugar en la aplicaci´on y que ambas se suministren al procesador de

v´ertices.

Listado 1: Shader para transformar la posici´on y la normal de cada v´ertice

u n i f o r m mat4M; // m a t r i z de t r a n s f o r m a c i o n d e l m o d e l o u n i f o r m mat3N ; // m a t r i z de t r a n s f o r m a c i o n de l a n o r m a l i n v e c 3 p o s i c i o n , v N o r m a l ; o u t v e c 3 n o r m a l ; v o i d main ( ) { n o r m a l = n o r m a l i z e (N∗v N o r m a l ) ; g l P o s i t i o n = M∗v e c 4( p o s i c i o n , 1 . 0 ) ; }