Una nota sobre los polinomios de Bernoulli, Euler y Genocchi de orden negativo

(1)

Una nota sobre los polinomios de Bernoulli, Euler y

Genocchi de orden negativo

A note on negative order Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials

William RAM´IREZ1

1_{EDICBAS, Universidad de la Costa CUC, Barranquilla-Colombia} e-mail: [email protected]

Julio ROMERO P.2

2_{Gecit, Universidad del Atl´antico, Barranquilla-Colombia} e-mail: [email protected]

Alejandro URIELES G.3

3

Sistema Din´amico y EDO, Universidad del Atl´antico, Barranquilla-Colombia e-mail: [email protected]

Recibido:18/05/2015 - Aceptado:25/05/2015

Resumen

Seanun entero no negativo y seaBn(−α),En(−α)yG(n−α)los polinomios de orden negativo de Bernoulli, Euler y Genocchi. En el presente paper estudiamos algunas propiedades de estos polinomios y demostramos algunas propiedades de los polinomios de Genocchi.

Palabras claves:polinomios de Genocchi, n úmeros de Genocchi, f órmula de sumaci ón, polinomios de Bernou-lli, Euler y Genocchi de orden negativo.

Abstract

Letn be a integer non-negative and let beBn(−α),En(−α) andG(n−α) the negative order Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials. In the present paper we study Some properties of these polynomials and prove some properties Genocchi polynomials.

Keywords:Genocchi polynomials, Genocchi number, summation formula, negative order Bernolli Euler and Genocchi.

1. Introducci ´on

Paran∈_Nlos polinomios de GenocchiGn(x)[1,5] son definidos por medio de la siguiente funci ´on generatriz

2z ez_{+ 1}e zx₌ ∞ X n=0 Gn(x)zn n! , donde|z|< π. (1)

(2)

Estos polinomios se pueden expresar de forma expl´ıcita (ver [5]) por. Gn(x) = n X k=0 _n k Gkxn−k, n∈N0. (2)

Los polinomios de Genocchi son de fundamental importancia en el cálculo de las diferencias finitas y tienen va-riadas aplicaciones en otros campos como la Estad´ıstica, Teor´ıa Combinatoria, Teor´ıa de N úmeros, Geometr´ıa Diferencial, Topolog´ıa Algebraica y Análisis Numérico. Por ello, han sido ampliamente estudiados como se registra en [1,2,3,4,6]. Cuandox= 0aparecen los n úmeros de Genocchi

2z ez_{+ 1} = ∞ X n=0 Gnzn n! , |z|< π. (3) De aqu´ı sigueGo= 0,G1= 1yG2n+1= 0,n≥0.

Muchas extensiones para estos polinomios y otros con estrutura similar, han sido estudiadas [4,6], en particular en [3] se considera la familia de polinomios de Genocchi generalizados de ordenα,G(α)n (x)dondeα ∈ N,

definidos por la siguiente funci ´on generatriz ₂_z ez_{+ 1} α ezx= ∞ X n=0 G(α)n (x)zn n! , donde |z|< π. (4) De donde,G(α)n (x) = 0 paran < α, y G (0) n (x) = xn. Si α = 1tenemosG (1) n (x) = Gn(x). Los n ´umeros de Genocchi de ordenαsonG(α)n =G(α)n (0).

En el presente trabajo se realiza un estudio de los polinomios de BernoulliBn(−α)(x),EulerE (−α)

n (x)y Genocchi G(n−α)(x)de orden negativo tomando como base [3,5,6]. En la secci ón 2 damos algunas observaciones y resul-tados conocidos de los polinomios generalizados de Bernoulli, Euler y Genocchi que serán utilizados durante el trabajo. Finalmente en la secci ón 3 estudiamos la demostraci ón de algunas propiedades de los polinomios generalizados de Genocchi de orden negativoG(n−α)(x).

2. Preliminares

En todo este trabajo, denotamos porN,N0,R,R+yCel conjunto de los naturales, enteros no negativos, reales,

reales positivos y el conjunto de los n ´umeros complejos.

OBSERVACION´ 2.1. Paraj, k, l, m, n∈_N0, las siguientes propiedades para la suma se cumplen.

∞ X n=0 an ! _∞ X n=0 bn ! = ∞ X n=0 n X k=0 an−kbk ! , (5) n X j=0 An−jBj = n X j=0 AjBn−j, (6) n X j=0 n−j X k=0 ajk = n X k=0 n−k X j=0 ajk. (7)

(3)

Los n úmeros de BernoulliBny los n úmeros de EulerEnestán definidos como los coeficientes de las siguientes funciones generatrices. z ez₋₁ = ∞ X n=0 Bnzn n! , |z|<2π. (8) sech(z) = 2e z e2z_{+ 1} = ∞ X n=0 Enzn n! , |z|<1/2π. (9)

Los n úmeros de GenocchiG2nestán relacionados con los n úmeros de BernoulliB2ny con los n úmeros de Euler E2n−1(0)respectivamente por.

G2n= 2(1−22n)B2n, G2n= 2nE2n−1(0). (10) Los n ´umeros de BernoulliBn, EulerEny los n ´umeros de GenocchiGnconn≤10son.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66

En 1 0 −1 0 5 0 −61 0 1385 0 −50521

Gn 0 1 −1 0 1 0 −3 0 17 0 −155

Los polinomios de BernoulliBn(x), de EulerEn(x)y de GenocchiGn(x)conn≤5son.

n 0 1 2 3 4 5 Bn(x) 1 x−1₂ x2−x+1₆ x3−3₂x2+x₂ x4−2x3+x2−₃₀1 x5−5₄x4+5₃x3−x₆ En(x) 1 x−1 2 x 2₋_x _x3₋3 2x 2₊1 6 x 4₋₂_x3₊2 3x x 5₋5 2x 4₊5 3x 2₋1 2 Gn(x) 0 1 2x−1 3x2−3x 4x3−6x2+ 1 5x4−10x3+ 5x

Para un par´ametroα ∈ _N[6], los polinomios de Bernoulli generalizadosBn(α)(x)y los polinomios de Euler generalizadosEn(α)(x)de ordenαson definidos por las siguientes funciones generatrices.

z ez₋₁ α ezx = ∞ P n=0 B(α) n (x)zn n! |z|<2π, (11) ₂ ez_{+ 1} α ezx = ∞ P n=0 E(α) n (x)z n n! |z|< π. (12)

OBSERVACION´ 2.2. (i) Para α = 1los polinomios cl´asicos de BernoulliBn(x)y los polinomios cl´asicos de Euler

En(x)son dados por

B(1)n (x) =Bn(x) y En(1)(x) =En(x), n∈N0.

(ii) Dado los par´ametrosα, β∈_N, los polinomios generalizados de Bernoulli cumplen la siguiente relaci´on [2].

B_n(α+β)(x+y) = n X k=0 _n k B_k(α)(x)B_n(β)₋_k(y), n∈_N0. (13)

(4)

Gα_n(x+y) = n X k=0 2 k+ 1 _n k E_k+1(α−1)(y)−G(α)_k+1(y)Bn−k(y), n∈N0. (14)

Paraα= 2la gr´afica de los polinomios de Bernoulli generalizadosB(2)n (x)y los de Euler generalizadosEn(2)(x) conn≤4se ilustran a continuaci ´on

Polinomios Generalizados de Bernoulli _{Polinomios Generalizados de Euler}

3. Polinomios generalizados de Bernoulli, Euler y Genocchi de orden

ne-gativo

Dado un par´ametroα ∈ N[3], los polinomios de Bernoulli generalizados de orden negativoB(n−α)(x)y los polinomios de Euler generalizados de orden negativo E(n−α)(x)est´an definidos por la siguientes funciones generatrices _ez₋₁ z α ezx = ∞ P n=0 B_n(−α)(x)zn n! |z|<2π, (15) _ez_{+ 1} 2 α ezx = ∞ P n=0 E(−α) n (x)zn n! |z|< π. (16)

Los polinomios de BernoulliBn(−α)(x), de EulerEn(−α(x)conn≤4son

n 0 1 2 3 4 Bn(−α)(x) 1 x+α₂ x2+αx+α(3α+1)₁₂ x3−3₂αx2+α(3α+1)₄ x+α 2_(α+1) 8 x 4_{+ 2}_αx3₊α(3α+1) 2 x 2₊α2_(α+1) 2 x+C0 En(−α)(x) 1 x+1₂α x2+αx+α(α+1)₄ x3+3₂αx2+3α(α+1)₄ x+α 2_(α+3) 8 x 4_{+ 2}_αx3₊3α(α+1) 2 x 2₊α2(α+3) 2 x+C1 Donde, C0 = α(15α 3_{+ 30}_α2_{+ 5}_α₋₂₎ 240 , C1= α(α+ 1)(α2_{+ 5}_α₋₂₎ 16 .

(5)

generalizados de orden negativoE(n−2)(x)conn≤4se ilustran a continuaci ´on.

Bernoulli generalizados de orden negativo Euler generalizados de orden negativo

DEFINICION´ 3.1. Paran ∈ N0,α > 0, los polinomios de Genocchi de orden negativo−αdeG (−α)

n (x)son definidos

mediante la siguiente funci´on generatriz.

_ez_{+ 1} 2z α ezx= ∞ X n=−α G(n−α)(x)zn |n|! |z|<2π, α∈N, (17)

de dondeG(n−α)(x)no est´a definido cuandon <−α. De algunos c´alculos en (17) obtenemos

G(₋−_nα)(x) = | −α|!, G(₋−_n+1α) (x) = | −α+ 1|! x2+1 2α , G(₋−_n+2α) (x) = | −α+ 2|! x2+αx+α(α+ 1 2 , G(₋−_n+3α) (x) = | −α+ 3|! x3+3α 2 x 2₊3α(α+ 1) 4 x+ α2₍_α_{+ 3} 8 .

Paraα = 2la gr´afica de los polinomios de Genocchi generalizados de orden negativoGn(−2)(x)conn≤4se ilustran a continuaci ´on

(6)

OBSERVACION´ 3.1. (i) Los n ´umeros de GenocchiG(n−1), n∈N0forman la sucesi´on 1 2 1,1 2, 1 3, 1 4, 1 5, . . . . (ii) Notamos que A(_n−1) = l´ım n→∞ G(_n−₋1)₁ G(n−1) = l´ım n→∞ n+ 1 n = 1.

(iii) Los polinomiosG(n−α)(x),est´an relacionados con los polinomiosE(n−α)(x)por

G(_n−α)(x) = |n|! (n+α)!E

(−α)

n (x). (18)

4. Algunas Propiedades de los polinomios

G

(n−α)

(

x

)

Los polinomiosG(n−α)(x)satisfacen la siguiente f ´ormula de sumaci ´on.

TEOREMA1. Paraα∈_N,n∈_N0, la siguiente relaci´on para los polinomios generalizados de Genocchi de orden negativo G(n−α)(x)se cumple. G(_n−α)(x+y) = n X j=−α _|_n_|_! (n−j)!|j|! G(_j−α)(x)yn−j. (19)

Demostraci´on. De (17) y un uso adecuado de (5) y (7) tenemos,

∞ X n=−α G(_n−α)(x+y) t n |n|! = (1 +et) 2t (α) e(x+y)t = (1 +et) 2t (α) etxety = ∞ X n=−α G(n−α)(x) tn n! ∞ X n=0 yn_tn n! = ∞ X n=−α n X j=−α |n|! (n−j)!|j|!G (−α) j (x)y n−j tn |n|!.

Comparando los coeficientes de _|tnn|! sigue (19).

TEOREMA2. Paraα∈N,n∈N0, la siguiente relaci´on para los polinomios generalizados de Genocchi de orden negativo G(n−α)(x)se cumple.

(7)

Demostraci´on. De (17) tenemos, ∞ X n=−α G(_n−α)(−α−x) t n |n|! = _{(1 +}_et₎ 2t (α) e(−α−x)t = _{(1 +}_et₎ 2t (α) e−αte−tx = _{(1 +}_et₎ 2et_t (α) e−αte−tx = (−1)α _{(1 +}_e−_t₎ 2(−t) (α) e−tx = (−1)α ∞ X n=−α (−1)nG(_n−α)(x)t n |n|! = (−1)n+α ∞ X n=−α G(_n−α)(x) t n |n|!.

Comparando los coeficientes de tn

|n|! sigue (20).

OBSERVACION´ 4.1. (i) Dadoα= 1,n ∈_N, los polinomios de Genocchi generalizados de orden negativoG(n−1)(x)

cumplen la siguiente relaci´on.

(n+ 1)G(n−1)(x) =n(x+ 1)G (−1) n−1(x)− 1 2G (0) n (x). (21)

(ii) Paraα= 1,n∈N, los polinomios de Genocchi generalizados de orden negativoG(n−1)(x)est´an relacionados con

los polinomios de Bernoulli generalizados de orden negativoB(n−1)(x)por.

G_n(−1)(1 +x)−G_n(−1)(x) = 2nB_n(−1)(x

2). (22)

Referencias

[1] Abramowitz, M, Stegun, I:Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. McGraw-Hill, USA. (1960).

[2] Chen, S, Cai, Y, Luo, Q:.A_{n extension of generalized Apostol-Euler polynomials”}_._2013:61_{, Chen et al. Advances}

in Difference Equations (2013).

[3] Horadam, A. F.:”Negative order Genocchi polynomials”. Universsity of new England, Armidale, Australia (2003).

[4] Kurt, B:.A_{further generalization of the Bernoulli polynomials and on the 2D-Bernoulli polynomials}_B2

n(x, y)”. Appl. Math. 233, 3005-3017 (2010).

[5] S´andor J., Crstici B.:”Handbook of Number Theory II”, Kluwer Boston U.S.A. (2004).

[6] Srivastava, HM, Todorov, PG:.A_{n Explicit Formula for the Generalized Bernoulli Polynomials”}_{, J. Mat. Anl. Appl.}

(8)

Para citar este articulo: William RAM´IREZ et al, 2015,”Una nota sobre los polinomios de Bernoulli, Euler y Genocchi de orden negativo”.

Disponible en Revistas y publicaciones de la Universidad del Atl´antico en: http://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA.