UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

“Identificación no paramétrica del comportamiento dinámico de un quadcopter F450 utilizando redes neuronales artificiales”

AUTOR: Br. Sifuentes Gonzales, Howard Edison ASESOR: Mg. Manzano Ramos, Edgar Andre

TRUJILLO – PERÚ

2022

TESIS

PARA OBTENER EL TITULO PROFESIONAL DE

INGENIERO MECATRÓNICO

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DEDICATORIA

Para mis padres, Howard y Raquel, mi hermana, Kris, y mis abuelos.

Mi sincero agradecimiento a ellos por su apoyo y la confianza que me brindaron durante mi formación profesional.

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ii AGRADECIMIENTOS

A Dios por brindarme salud, cuidar de mi familia y estar presente en mi vida con su guía en los momentos buenos y su protección en los momentos malos.

A mi asesor Edgar Andre Manzano Ramos por su invaluable tiempo, su incondicional apoyo y su constante asesoría para el desarrollo de este trabajo.

A los docentes de la Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecatrónica de la Universidad Nacional de Trujillo, por la todos los conocimientos que me han sido impartidos a lo largo de estos 5 años de vida universitaria.

A mis padres, mi total agradecimiento y honra por su esfuerzo diario para brindarme la valiosa oportunidad de estudiar, por su atención y cariño en mi formación como persona de bien. Sin ellos nada de esto sería posible.

A mis amigos de la Promoción VII de Ingeniería Mecatrónica UNT, cuya calidad humana me enseñó a apreciar y valorar una buena amistad, que en los momentos complicados de la vida universitaria me sirvió para seguir adelante.

A los docentes que participan como jurado de la presentación de este trabajo de investigación.

A todos mis amigos y familiares que de alguna manera con un consejo o conversación me animaron y me ayudaron a seguir en el camino de mi vida universitaria.

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RESUMEN

Howard Edison Sifuentes Gonzales; Edgar Andre Manzano Ramos. Identificación no paramétrica del comportamiento dinámico de un quadcopter F450 utilizando redes neuronales artificiales. Trujillo, 2022, 112. Tesis para optar el título de Ingeniero Mecatrónico, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Trujillo.

El presente trabajo de investigación se desarrolló con el objetivo de realizar una identificación no paramétrica de la dinámica no lineal de un quadcopter utilizando redes neuronales artificiales, dicha red neuronal representó un modelo no lineal de la aeronave.

El quadcopter utilizado estuvo basado en el frame comercial F450, propulsado con 4 motores brushless DC y controlado por la placa de desarrollo de hardware Arduino.

En la ejecución de este trabajo se realizaron sesiones experimentales sobre un test bench en un ambiente controlado para adquirir datos de los ángulos de actitud del quadcopter medidos a través de una IMU (Inertial Measurement Unit), y también datos de los ciclos de trabajo de las señales PWM de entrada a las 4 unidades de propulsión eléctrica de la aeronave. Se realizó una verificación de correspondencia no lineal entre los datos de entrada y salida del sistema dinámico. Con estos datos se entrenó un modelo neuronal previamente seleccionado que debía capturar el comportamiento dinámico del quadcopter F450.

Finalmente se validó el modelo neuronal entrenado mediante el análisis de la respuesta en el tiempo de los ángulos de actitud reales del quadcopter frente a los ángulos de actitud predichos por el modelo neuronal, también se obtuvieron valores cuantitativos como: el error medio cuadrático (MSE), la raíz del error medio cuadrático (RMSE), el porcentaje RMSE, el porcentaje de ajuste de la señal, y una validación estadística de correlación cruzada. Así también, se realizó una validación cruzada con un conjunto de datos ajenos a los utilizado para el entrenamiento del modelo neuronal.

PALABRAS CLAVE

Identificación no paramétrica; modelo no lineal; redes neuronales artificiales; quadcopter F450; error cuadrático medio; raíz de error medio cuadrático, porcentaje de ajuste, validación estadística.

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iv ABSTRACT

Howard Edison Sifuentes Gonzales; Edgar Andre Manzano Ramos. F450 Quadcopter Dynamic Behavior Nonparametric Identification Using Neural Networks. Trujillo, 2022, 112. Tesis para optar el título de Ingeniero Mecatrónico, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Trujillo.

The present research was developed with the goal of performing a nonparametric identification of the nonlinear dynamics of a quadcopter using neural networks. This neural network represented a nonlinear model of the aircraft. The quadcopter used was based on the commercial F450 frame, propelled by 4 brushless DC motors and controlled by an Arduino board.

Experimental tests were achieved with an in-door environment test bench in order to acquire attitude angles data from the quadcopter and PWM input signals duty cycle data from the 4 aircraft electrical propulsion units (EPU). A non-linearity verification was performed between the dynamic system input and output data. The neural network model was trained using this data to obtain the F450 quadcopter’s dynamic behavior.

Finally, the trained neural network model was validated by comparing the time response of the quadcopter real attitude angles and the predicted attitude angles by the neural network model. Validation values were also obtained, such as: the mean square error (MSE), root mean square error (RMSE), RMSE percent, signal fit percent, and a correlation statistical validation. In addition, a cross validation was developed using a different data set from the neural network training data.

KEYWORDS

Nonparametric identification, nonlinear model, neural networks, F450 quadcopter, mean square error, root mean square error, fit percent, statistical validation.

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INDICE

CAPITULO I: INTRODUCCION ... 1

1.1.SITUACIÓNPROBLEMÁTICA ... 1

1.1.1. Realidad problemática ... 1

1.1.2. Enunciado del problema ... 2

1.2.JUSTIFICACION ... 2

1.3.OBJETIVOS ... 3

1.3.1. Objetivo general ... 3

1.3.2. Objetivos específicos ... 3

1.4.HIPOTESIS ... 3

1.5.FUNDAMENTACIONTEORICA ... 4

1.5.1. Marco teórico ... 4

1.5.1.1. Quadcopter ... 4

1.5.1.2. Modelo Dinámico del Quadcopter ... 6

1.5.1.3. Identificación de Sistemas ... 9

1.5.1.4. Redes Neuronales ... 11

1.5.1.5. Redes Neuronales Estructura NARX ... 13

1.5.1.6. Filtro de Kalman ... 15

1.5.1.7. Verificación de no linealidad ... 16

1.5.1.8. Método de Validación del Modelo Identificado ... 17

1.5.2. Antecedentes ... 20

CAPITULO II: MATERIAL Y METODO ... 28

2.1.DISEÑODELAINVESTIGACION ... 28

2.1.1. Tipo de análisis de datos ... 28

2.1.2. Diseño de contrastación ... 28

2.2.UNIDADDEESTUDIO ... 28

2.2.1. Población ... 28

2.2.2. Muestra ... 28

2.3.VARIABLES ... 28

2.3.1. Definición de variables ... 28

2.3.2. Operacionalización de variables ... 29

2.4.TRATAMIENTODEDATOS ... 29

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vi

2.4.1. Técnicas e instrumentos de recolección de datos ... 29

2.4.2. Análisis de datos ... 30

2.5.PROCEDIMIENTOS ... 30

2.5.1. Recolección de información. ... 30

2.5.2. Implementar el prototipo de un quadcopter F450. ... 30

2.5.3. Adquirir los datos experimentales del quadcopter. ... 30

2.5.4. Acondicionar los datos adquiridos del quadcopter. ... 30

2.5.5. Seleccionar y entrenar el modelo neuronal... 31

2.5.6. Validar el modelo neuronal identificado. ... 31

2.6.CONSIDERACIONESETICAS ... 32

CAPITULO III: RESULTADOS ... 33

3.1.IMPLEMENTARELPROTOTIPODEUNQUADCOPTERF450 ... 33

3.1.1. Descripción del prototipo F450. ... 33

3.1.1.1. Fuselaje F450 ... 33

3.1.1.2. Controlador Electrónico de Velocidad (ESC) ... 34

3.1.1.3. Motores Brushless ... 34

3.1.1.4. Hélice ... 35

3.1.1.5. Batería LiPo ... 35

3.1.1.6. Arduino Uno ... 36

3.1.1.7. Módulo IMU - MPU9250 ... 36

3.1.2. Modelado del sistema de propulsión eléctrico del F450. ... 37

3.1.2.1. Caracterización EPU 1... 38

3.1.3. Implementación de Test Bench para el prototipo F450. ... 45

3.1.3.1. Consideraciones para la implementación ... 45

3.1.3.2. Implementación de Test Bench ... 46

3.2.ADQUIRIRLOSDATOSEXPERIMENTALESDELQUADCOPTERF450 ... 48

3.2.1. Adquisición de datos experimentales del F450. ... 48

3.2.1.1. Datos experimentales del ángulo de Roll ... 50

3.2.1.2. Datos experimentales del ángulo de Pitch. ... 55

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Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. vii 3.3.ACONDICIONARLOSDATOSADQUIRIDOSDELSENSORDEL

QUADCOPTER ... 59

3.3.1. Selección de conjunto de datos para la identificación. ... 59

3.3.1.1. Selección para el ángulo de Roll ... 59

3.3.1.2. Selección para el ángulo de Pitch ... 64

3.3.2. Acondicionamiento de datos de entrada. ... 68

3.3.2.1. Acondicionamiento de datos de entrada para ángulo de Roll. ... 69

3.3.2.2. Acondicionamiento de datos de entrada para ángulo de Pitch. ... 71

3.3.3. Acondicionamiento de datos de salida. ... 73

3.3.3.1. Acondicionamiento del dato de salida para el ángulo de Roll ... 73

3.3.3.2. Acondicionamiento del dato de salida para el ángulo de Pitch ... 76

3.3.4. Verificación de no linealidad entre los datos de entrada y salida ... 78

3.3.4.1. Verificación de no linealidad para ángulo de Roll ... 79

3.3.4.2. Verificación de no linealidad para ángulo de Pitch ... 83

3.4.SELECCIONARYENTRENARELMODELONEURONALCONDATOS EXPERIMENTALESACONDICINADOS ... 88

3.4.1. Selección de la arquitectura del modelo neuronal. ... 88

3.4.2. Entrenamiento del modelo neuronal seleccionado. ... 88

3.4.2.1. Entrenamiento del modelo para ángulo de Roll ... 89

3.4.2.2. Entrenamiento del modelo para el ángulo de Pitch ... 89

3.5.VALIDARMODELONEURONALIDENTIFICADO ... 91

3.5.1. Validación gráfica y cuantitativa ... 91

3.5.1.1. Validación para el ángulo de Roll ... 91

3.5.1.2. Validación para el ángulo de Pitch ... 91

3.5.2. Validación cruzada ... 93

3.5.2.1. Validación cruzada para el ángulo de Roll ... 93

3.5.2.2. Validación cruzada para el ángulo de Pitch... 93

CAPITULO IV: DISCUSION ... 95

4.1.SOBRELAADQUISICIÓNDEDATOSEXPERIMENTALES ... 95

4.2.SOBREELACONDICIONAMIENTODEDATOSADQUIRIDOS ... 96

4.3.SOBRELASELECCIÓNYENTRENAMIENTODEREDNEURONAL . 97 4.4.SOBRELAVALIDACIÓNDEMODELONEURONAL ... 98

CAPITULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ... 100

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viii

5.1.CONCLUSIONES ... 100

5.2.RECOMENDACIONES ... 101

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ... 103

ANEXOS ... 106

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Quadcopter. Fuente: (Ruipérez, 2015) ... 4

Figura 2. Configuraciones de un quadcopter respecto al frame (fuselaje).Fuente: Web oficial de Ardupilot. ... 4

Figura 3. Quadcopter en configuración X. Motores CW (azul) y motores CCW (rojo). Fuente: (Aboytes et al., 2016) ... 5

Figura 4. Ejes de los ángulos de rotación del quadcopter. Fuente:(Aboytes et al., 2016). ... 5

Figura 5. Sistema de coordenadas. La figura de la izquierda muestra el sistema de coordenadas de inercia y la figura de la derecha muestra el sistema de coordenadas fijas al cuerpo y la numeración del motor. Fuente: (Kim et al., 2017) ... 6

Figura 6. Dirección de rotación de los motores. Fuente: (Kim et al., 2017) ... 6

Figura 7. Diagrama NED del modelo dinámico del quadcopter. Fuente: (García Carrillo et al., 2013) ... 7

Figura 8. Diagrama de flujo del procedimiento de identificación. Fuente: (Ljung, 1987). ... 10

Figura 9. Arquitectura general de una red neuronal. Fuente: (Prasad et al., 2011). ... 11

Figura 10. Red neuronal dinámica, de entrada (u) y salida deseada (x). Fuente: (Saito, 2018) ... 12

Figura 11. Red neuronal dinámica a lo largo del tiempo. Fuente: (Saito, 2018)... 13

Figura 12. Estructura simple de una red neuronal. Fuente: (El Dakrory et al., 2017)... 13

Figura 13. Estructura NARX. Fuente: (El Dakrory et al., 2017) ... 14

Figura 14. Estructura NARX neuronal con salidas retrasadas como entradas adicionales. Fuente: (El Dakrory et al., 2017) ... 14

Figura 15. Diagrama de flujo de los procedimientos del desarrollo de la investigación. ... 31

Figura 16. Fuselaje F450. ... 33

Figura 17. Controlador Electrónico de Velocidad. ... 34

Figura 18. Motor Brushless A2212 1000Kv. ... 34

Figura 19. Hélices ATG 10x4.7 ... 35

Figura 20. Batería LiPo Turnigy 4.0 4000mAh 30-40C 3S. ... 35

Figura 21. Arduino UNO – SMD. ... 36

Figura 22. Módulo IMU MPU9250. ... 36

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x Figura 23. Esquemático de la unidad de propulsión electrónica (EPU). Fuente:(Piljek et

al., 2020) ... 37

Figura 24. Sistema de caracterización de empuje de EPU. ... 38

Figura 25. Experimentos para la caracterización EPU 1. ... 38

Figura 26. Datos para la caracterización de la EPU 1. ... 39

Figura 27. Resultados de la caracterización de la EPU 1. ... 40

Figura 32. Datos para caracterización de la EPU 3. ... 42

Figura 36. Resultados de caracterización de la EPU 4. ... 45

Figura 37. Implementación de Test Bench de un 1 eje. Fuente: (Govindarajan et al., 2013) ... 46

Figura 38. Ensamblaje CAD de test bench de 1 eje. ... 47

Figura 39. Test Bench de 1 eje ensamblado. ... 47

Figura 40. Arquitectura del sistema de adquisición de datos. ... 48

Figura 41. Equipos para la adquisición de datos. ... 48

Figura 42. Diagrama de bloques del sistema de control del quadcopter. ... 49

Figura 43. Diagrama de ubicación de las EPU en quadcopter. ... 49

Figura 44. Señales capturadas para el proceso de identificación. ... 50

Figura 45. Datos de entrada del Experimento 1 – Ángulo de Roll ... 51

Figura 46. Dato de salida del Experimento 1 - Ángulo de Roll. ... 51

Figura 47. Datos de entrada del Experimento 2 - Ángulo de Roll. ... 52

Figura 53. Datos de entrada del Experimento 1 - Ángulo de Pitch. ... 55

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Figura 54. Dato de salida del Experimento 1 - Ángulo de Pitch. ... 55

Figura 55. Datos de entrada del Experimento 2 - Ángulo del Pitch. ... 56

Figura 61. Rango de amplitud máximo del dato de salida del Experimento 1 - Ángulo de Roll. ... 60

Figura 62. Espectro de frecuencias del dato de salida del Experimento 1 - Ángulo de Roll. ... 60

Figura 69. Rango de amplitud máximo del dato de salida del Experimento 1 - Ángulo de Pitch. ... 64

Figura 70. Espectro de frecuencias del dato de salida del Experimento 1 - Ángulo de Pitch. ... 65

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xii Figura 74. Espectro de frecuencias del dato de salida del Experimento 3 - Ángulo de

Pitch. ... 67

Figura 77. Señales de entrada escalonadas. ... 69

Figura 78. Datos de entrada del Experimento 1 Escalonados – Ángulo de Roll... 69

Figura 79. Datos de entrada del Experimento 1 Interpolados - Ángulo de Roll. ... 70

Figura 80. Datos de entrada del Experimento 3 Escalonados – Ángulo de Roll... 70

Figura 81. Datos de entrada del Experimento 3 Interpolados - Ángulo de Roll ... 71

Figura 82. Datos de entrada del Experimento 1 Escalonados – Ángulo de Pitch. ... 71

Figura 83. Datos de entrada del Experimento 1 Interpolados - Ángulo de Pitch. ... 72

Figura 84. Datos de entrada del Experimento 3 Escalonados – Ángulo de Pitch. ... 72

Figura 85. Datos de entrada del Experimento 3 Interpolados - Ángulo de Pitch. ... 73

Figura 86. Dato de salida del Experimento 1 sin filtro – Ángulo de Roll. ... 74

Figura 87. Dato de salida del Experimento 1 con filtro – Ángulo de Roll. ... 74

Figura 88. Dato de salida del Experimento 3 sin filtro – Ángulo de Roll. ... 75

Figura 89. Dato de salida del Experimento 3 con filtro – Ángulo de Roll. ... 75

Figura 90. Dato de salida del Experimento 1 sin filtro – Ángulo de Pitch. ... 76

Figura 91. Dato de salida del Experimento 1 con filtro – Ángulo de Pitch. ... 76

Figura 92. Dato de salida del Experimento 3 sin filtro – Ángulo de Pitch. ... 77

Figura 93. Dato de salida del Experimento 3 con filtro – Ángulo de Pitch. ... 77

Figura 94. Torque generado por las 4 entradas del Experimento 1 – Ángulo de Roll. . 79

Figura 95. Cociente RMS de las ondas completas presentes en la señal de salida del Experimento 1 - Ángulo de Roll. ... 80

Figura 96. Señal de correlación simple de la señal de salida del Experimento 1 - Ángulo de Roll. ... 81

Figura 97. Torque generado por las 4 entradas del Experimento 3 – Ángulo de Roll. . 81

Figura 98. Cociente RMS de las ondas completas presentes en la señal de salida del Experimento 3 - Ángulo de Roll. ... 82

Figura 99. Señal de correlación simple de la señal de salida del Experimento 3 - Ángulo de Roll. ... 83

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Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. xiii Figura 100. Torque generado por las 4 entradas del Experimento 1 – Ángulo de Pitch.

... 83 Figura 101. Cociente RMS de las ondas completas presentes en la señal de salida del Experimento 1 - Ángulo de Pitch. ... 84 Figura 102. Señal de correlación simple de la señal de salida del Experimento 1 - Ángulo de Pitch. ... 85 Figura 103. Torque generado por las 4 entradas del Experimento 3 – Ángulo de Pitch.

... 85 Figura 104. Cociente RMS de las ondas completas presentes en la señal de salida del Experimento 3 - Ángulo de Pitch. ... 86 Figura 105. Señal de correlación simple de la señal de salida del Experimento 3 - Ángulo de Pitch. ... 87 Figura 106. Arquitectura del modelo neuronal para el ángulo de roll... 89 Figura 107. Arquitectura del modelo neuronal NARX para el ángulo de pitch. ... 90 Figura 108. Aproximación del modelo NNARX con datos del Experimento 1 – Ángulo de Roll. ... 91 Figura 109. Aproximación del modelo NNARX con datos del Experimento 1 – Ángulo de Pitch. ... 92 Figura 110. Aproximación del modelo NNARX con datos del Experimento 3 – Ángulo de Roll. ... 93 Figura 111. Aproximación del modelo NNARX con datos del Experimento 3 – Ángulo de Pitch. ... 94

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xiv LISTAS DE TABLAS

Tabla 1. Tabla de variables dependientes. ... 29

Tabla 2. Tabla de variable independiente. ... 29

Tabla 3. Comparativa de porcentaje de ajuste para modelos neuronales. ... 99

Tabla 4. Comparativa de porcentaje RMSE para modelos neuronales. ... 99

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Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 1 CAPITULO I: INTRODUCCION

1.1. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1.1.1. Realidad problemática

A lo largo de los últimos 20 años, la atención hacia los UAV (Unmanned Aerial Vehicle) ha sido incrementada debido a su versatilidad en numerosas aplicaciones prácticas, las cuales incluyen actividades de exploración, recolección de datos, operaciones de búsqueda y rescate, comunicaciones, sensado remoto, entre muchas otras (Earl et al., 2004). Por ejemplo, la empresa Hydra Technologies, con sede en México, diseño y construyó el S4 Éhecatl UAV ante la necesidad de la vigilancia y monitoreo de terrenos peligrosos (Valencia, 2016). El Instituto Geofísico del Perú realizó un proyecto centrado en el monitoreo de volcanes, que como parte de sus actividades utilizó un UAV para volar sobre el volcán Ubinas en Moquegua a más de 6000 m.s.n.m. (Saito, 2018).

Uno de los tipos de UAV más conocidos es el quadcopter, el cual es elevado y propulsado por cuatro motores. La ubicación de estos, permite controlar la estabilidad y movilidad de esta aeronave a través de la variación de la velocidad de rotación de cada uno de los motores. Desde el punto de vista dinámico, el quadcopter es un sistema altamente no lineal, multivariable, fuertemente acoplado, subactuado (6 grados de libertad con 4 actuadores) (Zhang et al., 2014). Estas características lo convierten en un sistema muy complejo, y para garantizar su estabilidad de vuelo y robustez frente a perturbaciones, los quadcopters requieren el uso de controladores avanzados (Lanuza, 2012).

Un controlador avanzado es capaz de adaptarse a cambios en la dinámica y manejar los parámetros de incertidumbre del quadcopter para mantener la estabilidad de aeronave durante vuelo. El principal reto en el diseño de un controlador avanzado es identificar un modelo dinámico exacto de la aeronave, ya que el desempeño de este controlador depende de la exactitud del modelo identificado. Una forma de hallar este modelo es usando las leyes de Newton y los ángulos de Euler, pero toma mucho tiempo, requiere muchos cálculos matemáticos y puede ser inexacto. Otra opción es el método de identificación basado en datos experimentales de entradas y salidas medidas en el quadcopter durante el vuelo (Pairan et al., 2017).

El método de identificación basado en datos experimentales puede ser paramétrico, el cual suele estar dado por un número pequeño de parámetros; o no

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2 paramétrico, el cual no está restringido a un cierto número de parámetros asociados al sistema como, por ejemplo, las redes neuronales (Narváez et al., 2012).

Actualmente las redes neuronales están tomando protagonismo en el área de control e identificación de sistemas UAV. Su principal ventaja es tener la habilidad de procesar modelos de sistemas no lineales. Es así que los métodos identificación que usan redes neuronales son buena alternativa para el modelado dinámico de un quadcopter (Prasad et al., 2011).

Por lo tanto, en el proceso de diseño de un controlador avanzado para los quadcopters, se requiere de una importante etapa de identificación de sistemas con el fin de hallar un modelo dinámico que represente las no linealidades del sistema, el cuál servirá como modelo de prueba para los distintos controladores propuestos.

1.1.2. Enunciado del problema

Por lo expuesto líneas arriba se plantea el siguiente problema: ¿cómo obtener un modelo no paramétrico del comportamiento dinámico de un quadcopter F450 que represente las no linealidades del sistema?

1.2. JUSTIFICACION

Las ventajas de la aplicación de controladores avanzados a quadcopter es brindarles la capacidad de realizar operaciones de gran precisión donde la estabilidad de vuelo es crucial como filmaciones de alta definición, reconstrucción 3D de estructuras o la topografía de terrenos. Por lo tanto, los métodos de identificación que consideren las no linealidades de la dinámica de estas aeronaves se presentan como un campo de investigación importante dentro del proceso de diseño de controladores avanzados.

Dentro de las aplicaciones de los quadcopter también existen operaciones de alto riesgo como: inspección de líneas de alta tensión, inspección civil, mapeo de volcanes y otras más; que requieren de movimientos precisos y bien controlados debido a las fuertes perturbaciones presentes en ambientes impredecibles como son los relacionados a este tipo de trabajos. Por lo tanto, aparece una necesidad de implementar en estás aeronaves, controladores avanzados.

El uso de controladores avanzados para garantizar la estabilidad de vuelo de un quadcopter brinda garantías de un funcionamiento confiable. Esto asegura el cuidado de la integridad de la aeronave durante su operación, evitando accidentes a gran altura y pérdida total del equipo. Dentro del proceso de diseño de controladores avanzados, un

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Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 3 proceso de identificación de sistemas que consideren las no linealidades es vital para garantizar el desempeño de este controlador.

1.3. OBJETIVOS 1.3.1. Objetivo general

Esta tesis tiene el objetivo de identificar el modelo no paramétrico del comportamiento dinámico del quadcopter F450, con el propósito de representar las no linealidades del sistema utilizando redes neuronales.

1.3.2. Objetivos específicos

- Implementar el prototipo de un quadcopter F450.

- Adquirir los datos experimentales del quadcopter F450.

- Acondicionar los datos adquiridos de los sensores del quadcopter F450.

- Seleccionar y entrenar el modelo neuronal con datos de vuelo acondicionados.

- Validar el modelo neuronal identificado.

1.4. HIPOTESIS

Mediante el uso de las redes neuronales de estructura NARX se podrá identificar el modelo no paramétrico del comportamiento dinámico del quadcopter F450 que represente las no linealidades del sistema.

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4 1.5. FUNDAMENTACION TEORICA

1.5.1. Marco teórico 1.5.1.1. Quadcopter

Es una aeronave formada por 4 brazos, simétricamente ubicados respecto de su centro. Estos brazos sirven de soporte para 4 hélices, que se encuentran en el mismo plano horizontal y son impulsadas a través del giro de 4 motores eléctricos brushless que se encuentran en los extremos de los brazos que componen el quadcopter (Ruipérez, 2015).

En la Figura 1, se muestra un quadcopter F450.

Existen diferentes configuraciones de los quadcopter dependiendo de la forma del frame (fuselaje). Estas diferentes configuraciones pueden ver en la Figura 2.

El quadcopter es una aeronave con cuatro motores en un cuadrado. Debido a esta configuración, es capaz de mantener una altura de vuelo (hover), moverse hacia adelante (move forward), hacia los lados (sideward), hacia arriba (up), hacia abajo (down), y también girar alrededor de sus ejes de roll (alaveo), pitch (cabeceo), y yaw (guiñada) de manera independiente.

Figura 2. Configuraciones de un quadcopter respecto al frame (fuselaje).Fuente:

Web oficial de Ardupilot.

Figura 1. Quadcopter. Fuente: (Ruipérez, 2015)

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Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 5 Para mantener el momento angular del quadcopter en cero, dos de los cuatro motores deben girar en sentido antihorario (Counter Clockwise - CCW) mientras los otros dos motores giran en sentido horario (Clockwise - CW). Como se muestra en la Figura 2, los motores CW (azul) usan hélices normales o extractoras (puller propellers) y los

La aceleración del quadcopter viene dado por la suma de los empujes de cada motor (motor 1,2,3 y 4). Estas fuerzas le permiten al quadcopter volar. El movimiento en el eje pitch (cabeceo) se obtiene incrementando o reduciendo la velocidad de los motores posteriores (motores 2 y 4) y reduciendo o incrementando la velocidad de los motores frontales (motores 1 y 3) respectivamente. El movimiento en el eje roll (alaveo) se obtiene de forma similar usando lo motores laterales. Por último, el movimiento en el eje yaw (guiñada) se obtiene incrementando o reduciendo la velocidad de los motores CCW mientras se reduce o se incrementa la velocidad de los motores CW, respectivamente. La Figura 3 muestra los ejes correspondientes a los ángulos de rotación del quadcopter (Aboytes et al., 2016).

Figura 3. Quadcopter en configuración X. Motores CW (azul) y motores CCW (rojo). Fuente: (Aboytes et al., 2016)

Figura 4. Ejes de los ángulos de rotación del quadcopter. Fuente:(Aboytes et al., 2016).

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6 1.5.1.2. Modelo Dinámico del Quadcopter

Las ecuaciones de movimiento son fundamentales para el modelado dinámico. En (García Carrillo et al., 2013) se modela un quadcopter de configuración de vuelo “tipo X”, considerando dos motores frontales y dos motores posteriores. Las ecuaciones del modelo dinámico del quadcopter están basadas en la formulación de Newton-Euler, donde la dinámica no lineal es obtenida en las coordenadas inerciales North-East-Down (NED) y las coordenadas no inerciales fijas al cuerpo del quadcopter, ver Figura 5.

La formulación Newton-Euler se usa con las siguientes suposiciones (Köse et al., 2019):

- La estructura de fuselaje es rígida y simétrica, las hélices son rígidas.

- El empuje y el arrastre son proporcionales al cuadrado de la velocidad de giro de los motores (acoplado a las hélices).

- El efecto suelo es despreciado.

En el modelo del quadcopter “tipo X”, los motores 𝑀₁y 𝑀₂ rotan en sentido antihorario, mientras que los motores 𝑀₃ y 𝑀₄ rotan en sentido horario, respecto a la vista superior del quadcopter. Ver la Figura 6.

Figura 5. Sistema de coordenadas. La figura de la izquierda muestra el sistema de coordenadas de

inercia y la figura de la derecha muestra el sistema de coordenadas fijas al cuerpo y la numeración del motor. Fuente: (Kim et al., 2017)

Figura 6. Dirección de rotación de los motores. Fuente: (Kim et al., 2017)

(22)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 7 Si la velocidad de giro los motores se expresan como 𝑤_𝑖, dónde 𝑖 = 1, … , 4 correspondiente al número de motor, la fuerza de empuje generada por el conjunto motor hélice puede ser modelado como: 𝑇_𝑖 = 𝑐_𝑖. 𝑤_𝑖², donde 𝑐_𝑖 es una constante cuyo valor depende de las características del conjunto motor hélice. También el torque generado por cada conjunto motor hélice se puede asumir como: 𝜏_𝑖 = 𝑏_𝑖. 𝑤_𝑖², donde 𝑏_𝑖 es una constante cuyo valor depende de las características del conjunto motor hélice.

Sea {𝑁, 𝐸, 𝐷} representación del marco de referencia inercial y {𝑋, 𝑌, 𝑍}

representación del marco de referencia fijo al cuerpo del quadcopter, ver Figura 7. El vector de posición del centro de masa de la aeronave es denotado por 𝜉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)^𝑇 , representando las coordenadas de posición de la aeronave relativo a el marco inercial NED. El vector de orientación de la aeronave con respecto al marco inercial se expresa por 𝜂 = (𝜓, 𝜃, 𝜙)^𝑇, donde 𝜓, 𝜃 y 𝜙 son los ángulos de Euler de yaw, pitch y roll, respectivamente. La completa dinámica no lineal del quadcopter puede ser expresada como:

𝑚𝜉̈ = −𝑚𝑔D + R𝐹 (1.1)

𝐼𝛀̇ = −𝛀 × 𝐼𝛀 + 𝜏 (1.2)

Donde R es una matriz de rotación que asocia el marco inercial con el marco fijo al cuerpo del quadcopter, 𝐹 representa la fuerza total aplicada a la aeronave, 𝑚 es la masa total, 𝑔 representa la constante de gravitacional, 𝛀 representa la velocidad angular de la aeronave expresada en el marco referencial fijo al cuerpo, 𝐼 representa la matriz de inercia, y 𝜏 es el torque total.

Figura 7. Diagrama NED del modelo dinámico del quadcopter. Fuente: (García Carrillo et al., 2013)

(23)

8 Sea 𝑢 = ∑⁴_𝑖=1𝑇_𝑖 la fuerza aplicada a la aeronave, la cuál es generada por la sumatoria de los 4 conjuntos motor hélice. Suponiendo que esa fuerza solo tiene una componente en la dirección Z, la fuerza total puede ser escrita como: 𝐹 = (0, 0, −𝑢)^𝑇. La matriz de rotación R se define como:

R = [

cos 𝜃 cos 𝜓 sin 𝜙 sin 𝜃 cos 𝜓 − cos 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜙 sin 𝜃 cos 𝜓 + sin 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜃 sin 𝜓 sin 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜓 + cos 𝜙 cos 𝜓 cos 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜓 − sin 𝜙 cos 𝜓

− sin 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜃 cos 𝜙 cos 𝜃

] (1.3) Tomando en cuenta las suposiciones previas, se pueden obtener los torques generalizados como:

𝜏 = [ 𝜏_𝜓 𝜏_𝜃 𝜏_𝜙] = [

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑙 𝑐₁ −𝑙 𝑐₂

−𝑙 𝑐₁ 𝑙 𝑐₂

−𝑏₃ −𝑏₄ 𝑙 𝑐₃ −𝑙 𝑐₄ 𝑙 𝑐₃ −𝑙 𝑐₄ ]

[ 𝑤₁² 𝑤₂² 𝑤₃² 𝑤₄²]

(1.4)

Donde 𝑙 representa la distancia entre el centro de masa del quadcopter y el centro del motor.

Se define el vector auxiliar 𝜏̃ relativo a los torques generalizados 𝜏 y basado en la ecuación (1.2):

𝜏̃ = [ 𝜏̃_𝜓 𝜏̃_𝜃 𝜏̃_𝜙

] = 𝐼⁻¹𝑊⁻¹(−𝐼𝑊̇𝜂̇ − 𝑊𝜂̇ × 𝐼𝑊𝜂̇ + 𝜏) (1.5)

Donde Ω = 𝑊𝜂̇, y 𝑊es:

𝑊 = [

− sin 𝜃 0 1

cos 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜙 0 cos 𝜃 cos 𝜙 − sin 𝜙 0

] (1.6)

Usando las ecuaciones (1.1) y (1.5), el modelo dinámico del quadcopter puede ser representado por:

𝑚𝑥̈ = −𝑢(cos 𝜙 sin 𝜃 cos 𝜓 + sin 𝜙 sin 𝜓) (1.7) 𝑚𝑦̈ = −𝑢(cos 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜓 − sin 𝜙 cos 𝜓) (1.8)

𝑚𝑧̈ = −𝑢(cos 𝜙 cos 𝜃) + 𝑚𝑔 (1.9)

𝜓̈ = 𝜏̃_𝜓 (1.10)

𝜃̈ = 𝜏̃_𝜃 (1.11)

𝜙̈ = 𝜏̃_𝜙 (1.12)

(24)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 9 1.5.1.3. Identificación de Sistemas

La identificación de sistemas se encarga de construir modelos matemáticos de sistemas dinámicos basándose en datos observados del sistema (Ljung, 1987).

Procedimiento de Identificación

Según (Ljung, 1987) la construcción de un modelo a partir de datos del sistema involucra 3 conceptos básicos:

1. Data Adquirida: Los datos de entrada y salida del sistema son adquiridos durante un experimento específicamente diseñado para identificación, en el cual se determina que señales se medirán y en que instante del experimento se hará, adicional a la elección del tipo de señal de entrada al sistema

2. Conjunto de modelos: Es el conjunto de modelos del cuál se elegirá al más apropiado para representar el sistema a identificar. Los conocimientos previos y la el criterio de ingeniería nos permitirá elegir el modelo adecuado, algunas veces a través de modelado físico matemático. Los modelos cuyos parámetros son únicamente usados para ajustar el modelo a los datos reales y no representan las condiciones físicas del sistema, son llamados caja negra (BlackBox). Modelos con parámetros ajustables con interpretación física son llamados caja gris (GrayBox).

3. Reglas de validación de modelos: La evaluación de la calidad de un modelo está basada en como los modelos se comportan cuando tratan de reproducir la data adquirida.

Validación de los modelos

Son un conjunto de pruebas que involucran varios procedimientos de evaluación de la forma en la que el modelo se relaciona con los datos observados. Comportamientos deficientes de estos modelos harán que el modelo sea rechazado, mientras que buenos comportamiento harán crecer la confiabilidad del modelo. Un modelo jamás deberá ser aceptado como el que describe de forma total y verdadera al sistema. Lo mejor es considerarlos como descripciones suficientemente buenas en ciertos aspectos de interés (Ljung, 1987).

Diagrama de Flujo de la Identificación de Sistemas

El procedimiento de identificación de sistemas tiene un flujo lógico: primero adquirir la data, luego elegir el modelo, luego obtener el que mejor se ajuste al

(25)

10 comportamiento del sistema. Sin embargo, es muy probable que el modelo obtenido por primera vez no pase las pruebas de validación. Para solucionar esto, es necesario regresar a los pasos previos del procedimiento y revisarlos. Usualmente el modelo puede ser deficiente por las siguientes razones (Ljung, 1987):

• El fallo del procedimiento numérico para obtener el mejor modelo de acuerdo a nuestros criterios.

• Los criterios para el procedimiento numérico no fueron elegidos correctamente.

• El modelo propuesto no es el adecuado, y no continente ninguna aproximación lo suficiente buena del sistema.

• El conjunto de datos no fue suficiente informativos para guiar de forma correcta al procedimiento numérico en el objetivo de obtener un buen modelo.

La aplicación del proceso de identificación según (Ljung, 1987) consiste básicamente en resolver estos problemas mencionados, lo que lo convierte en un proceso iterativo tal y como lo muestra la Figura 8.

Figura 8. Diagrama de flujo del procedimiento de identificación. Fuente: (Ljung, 1987).

(26)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 11 Identificación No Paramétrica

Algunos modelos de identificación son llamados no paramétricos debido a que no emplean, de forma explícita, un vector de parámetros con interpretación física en la búsqueda del mejor modelo (Ljung, 1987). Dentro de los modelos no paramétricos se pueden mencionar, por ejemplo: modelo de espacio de estados, modelos de bloque estructurado, modelo de series de Volterra, modelo NARMAX, modelos aditivos generalizados, modelos Wavelet, redes neuronales (Billings, 2013).

Estos modelos no paramétricos de identificación parten de una descripción no paramétrica del sistema, tal como su respuesta temporal a una entrada determinada o su respuesta en frecuencia, y mediante el uso de algoritmos propios de cada modelo no paramétrico se analizan tanto la entrada al sistema como su respuesta con la finalidad de obtener los parámetros del modelo no paramétrico propuesto. Estos modelos no pretenden generalizarse sino ser una solución practica y particular para cada sistema dinámico dentro del campo de control de sistemas (Morilla et al., 2017).

1.5.1.4. Redes Neuronales

Una red neuronal artificial es un paradigma de procesamiento de información que es inspirado por la forma en la que los sistemas nerviosos biológicos, como el cerebro, procesan información. El elemento clave de las redes neuronales es la novedosa estructura que presentan para procesar información.

En palabras simples, una red neuronal está compuesta por un conjunto de nodos.

Como se muestra en la Figura 9, cada nodo está conectado a los otros a través de conexiones (Prasad et al., 2011).

Estos nodos o neuronas contienen una función de activación asociada y están agrupados en capas. Se inicia con una capa de entrada, la cual se conecta a las capas

Figura 9. Arquitectura general de una red neuronal. Fuente: (Prasad et al., 2011).

(27)

12 ocultas, dónde se procesa la información entrante, y estas a su vez se conectan con la capa de salida, dónde sale la información procesada. La función de activación de cada nodo puede ser sigmoidal, tangente sigmoidal, función de base radial, etc. (Haykin, 1999).

Usualmente las redes neuronales funcionan en dos etapas. La primera etapa es el entrenamiento, en el cual cada uno de los nodos y conexiones ajustan sus parámetros con la finalidad de aproximarse a la salida deseada. Esta etapa es conducida mediante un algoritmo de aprendizaje definido. La siguiente etapa es la de usar nueva información de entrada a la red con la finalidad de observar su funcionamiento.

Debido a que las redes neuronales aprenden mediante ejemplos (entrenamiento), estas son configuradas para una aplicación específica, no se puede generalizar su funcionamiento.

Las redes neuronales también toman importancia dentro del área de diseño de sistemas de control. Cualquier sistema cuya entrada no es proporcional a su salida es conocido como un sistema no lineal. Una de las grandes ventajas de las redes neuronales es tener la habilidad de procesar modelos de sistemas no lineales, esto las convierte en una opción muy apropiada para el proceso de identificación de este tipo de sistemas. El modelo neuronal perceptrón multicapa es usado para modelar sistemas no lineales.

Variando su número de capas ocultas (hidden layers) y cambiando la cantidad neuronas en cada capa podemos minimizar su error cuadrático medio (Prasad et al., 2011).

Redes neuronales dinámicas

Las redes neuronales dinámicas son aquellas que, al igual que un sistema dinámico, las salidas se vuelven entradas en el siguiente paso. En la Figura 10, se muestra de forma gráfica el flujo de información en una red neuronal dinámica (Saito, 2018).

Figura 10. Red neuronal dinámica, de entrada (u) y salida deseada (x). Fuente: (Saito, 2018)

(28)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 13 El proceso de entrenamiento de estás redes neuronales se realiza a lo largo del tiempo. Como se ve en la Figura 11, las variables de salida del primer paso de entrenamiento, ingresan en el paso posterior como variables de entrada junto con las nuevas variables de entrada. Esta secuencia de pasos se ejecuta la cantidad de veces necesaria con el objetivo de minimizar lo suficiente el error de entrenamiento para tener una predicción adecuada del sistema dinámico que se desea aproximar (Saito, 2018).

1.5.1.5. Redes Neuronales Estructura NARX

La estructura NARX neuronal es una modificación del modelo simple de una red neuronal artificial. En modelo simple de una red neuronal se muestra en la Figura 12 (El Dakrory et al., 2017).

Figura 11. Red neuronal dinámica a lo largo del tiempo. Fuente: (Saito, 2018)

Figura 12. Estructura simple de una red neuronal. Fuente: (El Dakrory et al., 2017)

(29)

14 La diferencia consiste en que las salidas de la red entrarán como entrada del sistema con un retraso en el tiempo, y de la misma manera hay retrasos en el tiempo para las entradas en sí. Esto aumenta el número de entradas al sistema que contienen las características del sistema que se necesita identificar. En la Figura 13, se muestra la estructura NARX.

Una estructura NARX neuronal que ayuda en la predicción de salidas futuras es aquella en la que se toman las salidas pasadas como entradas adicionales actuales del sistema, tal como lo muestra la Figura 14. Esta variación de la estructura NARX en las redes neuronales se entrena con varias técnicas de aprendizaje al igual que una red neuronal simple, esto debido a que aquellos retrasos en las salidas se consideran únicamente como entradas adicionales y los algoritmos de aprendizaje lo toman como tal.

Figura 13. Estructura NARX. Fuente: (El Dakrory et al., 2017)

Figura 14. Estructura NARX neuronal con salidas retrasadas como entradas adicionales. Fuente: (El Dakrory et al., 2017)

(30)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 15 1.5.1.6. Filtro de Kalman

Es un método optimo lineal de estimación de estados, el cual es conocido como una de las teorías de filtros Bayesianos más famosos. Un modelo dinámico es presentado por una ecuación de estados y una ecuación de observación, mediante las cuales se realiza una estimación confiable corregida por mediciones (Li et al., 2016).

La ecuación de estados es una representación lineal de 𝑤_𝑘,𝑢_𝑘−1 y 𝑥_𝑘−1, que se define como sigue:

𝑥_𝑘 = 𝐴 𝑥_𝑘−1+ 𝐵 𝑢_𝑘−1+ 𝑤_𝑘 (1.13)

La ecuación de observación es una representación lineal de 𝑥_𝑘 y 𝑣_𝑘, que se define como sigue:

𝑧_𝑘 = 𝐻 𝑥_𝑘+ 𝑣_𝑘 (1.14)

En las fórmulas (1.13) y (1.14), 𝑥_𝑘 es el vector de estados, 𝑧_𝑘 es el vector de observación, 𝐴 es la matriz de transición de estados, 𝐻 es la matriz de observación, 𝑤_𝑘 es el vector de ruido del sistema, 𝑢_𝑘−1 es el vector de control del sistema, 𝑣_𝑘 es el vector de ruido de observación.

Se asumen 𝑤_𝑘 y 𝑣_𝑘 para satisfacer un vector de ruido blanco Gaussiano de media cero, no correlacionado, simétrico y definido positivamente; 𝑘 es un subíndice; 𝑤_𝑘 y 𝑣_𝑘 satisfacen:

𝐸(𝑤) = 0, 𝑐𝑜𝑣(𝑤) = 𝐸(𝑤𝑤^𝑇) = 𝑄 (1.15)

𝐸(𝑣) = 0, 𝑐𝑜𝑣(𝑣) = 𝐸(𝑣𝑣^𝑇) = 𝑅, 𝐸(𝑤𝑣^𝑇) = 0 (1.16) 𝑥̂_𝑘⁻ ∈ 𝑅^𝑛 se define como la estimación previa de estado derivado de la ecuación de transición de estados en el momento 𝑘 − 1, 𝑥̂_𝑘 es definido como la estimación posterior de estado que combina las mediciones en el momento 𝑘. Las desviaciones se muestran en las ecuaciones (1.17) y (1.18):

𝑒_𝑘⁻ = 𝑥_𝑘− 𝑥̂_𝑘⁻ (1.17)

𝑒_𝑘 = 𝑥_𝑘− 𝑥̂_𝑘 (1.18)

Las ecuaciones de covarianza de las desviaciones de la estimación previa y posterior son definidas en (1.19) y (1.20):

𝑃_𝑘⁻ = 𝐸[𝑒_𝑘⁻𝑒_𝑘^−𝑇] (1.19)

𝑃_𝑘 = 𝐸[𝑒_𝑘𝑒_𝑘^𝑇] (1.20)

Para una ecuación de estimación de estado 𝑥̂_𝑘, que calcule la estimación del estado posterior con la finalidad de obtener las ecuaciones del filtro de Kalman, se requiere que la formula de 𝑥̂_𝑘 sea la combinación lineal de la estimación previa y la diferencia

(31)

16 ponderada entre las mediciones reales y los valores de las mediciones predichos. De la teoría del filtro de Kalman se derivan las siguientes ecuaciones de predicción y actualización.

Las ecuaciones de predicción se definen de la siguiente forma:

𝑥̂_𝑘⁻ = 𝐴𝑥̂_𝑘−1+ 𝐵𝑢_𝑘−1 (1.21)

𝑃_𝑘⁻ = 𝐴𝑃_𝑘−1𝐴^𝑇+ 𝑄 (1.22)

Las ecuaciones de actualización se definen de la siguiente forma:

𝐾_𝑘= 𝑃_𝑘⁻𝐻^𝑇(𝐻𝑃_𝑘⁻𝐻^𝑇+ 𝑅)⁻¹ (1.23) 𝑥̂_𝑘 = 𝑥̂_𝑘⁻+ 𝐾_𝑘(𝑧_𝑘− 𝐻𝑥̂_𝑘⁻) (1.24)

𝑃_𝑘 = (𝐼 − 𝐾_𝑘𝐻)𝑃_𝑘⁻ (1.25)

Donde 𝐾_𝑘, 𝑥̂_𝑘, 𝑃_𝑘, 𝐼 son la matriz de ganancias de Kalman, el valor optimo del filtro, la matriz de desviación del filtro, la matriz unitaria respectivamente.

1.5.1.7. Verificación de no linealidad

La detección de la no linealidad consiste en la determinación de si el sistema que se investigará es lineal o no lineal, sin ajustar previamente ningún modelo al conjunto de datos de entrada y salida. Una propuesta de solución para esto implica una función de correlación simple de orden superior de las señales de salida relevantes del sistema, siempre que en la entrada al sistema se satisfaga ciertas condiciones (Billings, 2013).

En el proceso experimental o de simulación, la entrada al sistema se elige para que sea una señal de la forma 𝑢(𝑘) = 𝑢^′(𝑘) + 𝑏, donde 𝑢^′(𝑘) es un proceso de media cero y 𝑏 es un desplazamiento de valor distinto de cero. Sea 𝑦(𝑘) la respuesta del sistema a la entrada 𝑢(𝑘) y 𝑦^′(𝑘) = 𝑦(𝑘) − 𝑦̅ es la respuesta media de nivel eliminado donde 𝑦̅

es la media (promedio) de la respuesta desplazada 𝑦(𝑘).

Se muestra que:

{

𝜙_𝑦′𝑦^′2(𝜏) = 0, (𝜏 = 0,1, … ) ⟺ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝜙_𝑦′𝑦^′2(𝜏) ≠ 0, (𝜏 = 0,1, … ) ⟺ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 (1.26) Donde la función de correlación cruzada 𝜙_𝑥𝑦(𝜏) entre dos señales 𝑥 y 𝑦 se define como:

(32)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 17 𝜙_𝑥𝑦(𝜏) =

1

𝑁∑^𝑁−𝜏_𝑘=1[𝑥(𝑘) − 𝑥̅][𝑦(𝑘 + 𝜏) − 𝑦̅]

√1𝑁∑^𝑁_𝑘=1[𝑥(𝑘) − 𝑥̅]²√1

𝑁∑^𝑁_𝑘=1[𝑦(𝑘) − 𝑦̅]²

= ∑^𝑁−𝜏_𝑘=1[𝑥(𝑘) − 𝑥̅][𝑦(𝑘 + 𝜏) − 𝑦̅]

√∑^𝑁_𝑘=1[𝑥(𝑘) − 𝑥̅]²√∑^𝑁_𝑘=1[𝑦(𝑘) − 𝑦̅]²

(1.27)

Las funciones de correlación normalizadas, como la de la ecuación (1.27), son usadas en conjunto con intervalos de confianza al 95% mostrados de forma gráfica, donde para un total de datos 𝑁, los límites de confianza al 95% son aproximadamente

± 1.96 √𝑁⁄ . Debido a que la función de correlación normalizada definida en (1.27) siempre toma valores entre ±1, junto a las bandas de confianza permite una sencilla interpretación de los resultados, lo cual es independiente de la amplitud de la señal.

Nótese que ± 1.96 √𝑁⁄ es aproximadamente el 95% de las bandas de confianza. En la práctica, las verdaderas bandas de confianza están alejadas del origen y cuando se usan las bandas de confianza aproximadas se suele evaluar excursiones significantes fuera de las bandas para los primeros retrasos, típicamente 5 retrasos.

1.5.1.8. Método de Validación del Modelo Identificado

La validación de modelos identificados consiste en evaluar si se ha obtenido una representación lo más aproximada posible al comportamiento dinámico del sistema.

Algunos de los criterios de evaluación pueden variar de acuerdo al tipo de estudio que se le quiera aplicar al modelo identificado, sin embargo, lo más utilizados son:

1.5.1.8.1. Representación gráfica

Consiste en la evaluación grafica-visual del comportamiento de los datos predichos por el modelo identificado frente a los datos reales tomados del sistema.

1.5.1.8.2. Error Cuadrático Medio (MSE)

Por sus siglas en inglés Mean Square Error, consiste en hallar el error cuadrático entre cada uno de los datos predichos frente al dato real correspondiente, y de todos estos valores de errores sacar un promedio general del error cuadrático.

𝑀𝑆𝐸 = 1

𝑁 ∑ 𝑒^𝑇(𝑡)𝑒(𝑡)

𝑁

𝑡=1

(1.28) Donde 𝑒(𝑡), 𝑁 son la señal de error cuya norma se minimiza para la estimación y el número de muestras de datos, respectivamente.

(33)

18 1.5.1.8.3. Porcentaje de Ajuste

Este porcentaje consiste en el error cuadrático medio normalizado (NRMSE) expresado en forma de porcentaje. Sigue la siguiente formula (Pereyra, 2018).

𝐹𝑖𝑡𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡 = 100 (1 − ‖𝑦_{𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑}− 𝑦_{𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙}‖

‖𝑦_{𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑}− 𝑦̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅‖_{𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑} ) (1.29) Donde 𝑦_{𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑}, 𝑦̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 𝑦_{𝑚𝑒𝑎𝑠𝑢𝑟𝑒𝑑} _{𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙}, ‖. ‖ son los datos de salida del sistema medidos, el promedio de los datos de salida medidos, los datos de salida del modelo predichos y la norma 2D de un vector, respectivamente. El resultado de 𝐹𝑖𝑡𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡 varía entre -Inf, mal ajuste, y 100, ajuste perfecto. Si su valor es igual a cero, significa que una línea recta igual a la media de los datos es tiene mejor ajuste que el modelo propuesto.

1.5.1.8.4. Pruebas de correlación considerando la salida para modelos no lineales MIMO Existen pruebas de correlación para validación de modelos lineales que pueden fallar al validar modelos no lineales, para evitar ello se proponen nuevas pruebas de correlación que se presentan como extensiones de orden superior de las pruebas de correlación lineales que se basan únicamente en los datos de entrada y residuales, tomando en cuenta la información en los datos de salida del sistema. Las nuevas pruebas globales, que verifican las correlaciones entre todos los vectores de entrada, salida y residuales del modelo, se pueden definir como (Billings et al., 1995):

{𝜙_𝜉𝜂(𝜏) = 𝐸[𝜉(𝑡)𝜂(𝑡 + 𝜏)]

𝜙_𝜗𝜂(𝜏) = 𝐸[𝜗(𝑡)𝜂(𝑡 + 𝜏)] (1.30)

Donde 𝜉(𝑡), 𝜂(𝑡) y 𝜗(𝑡) son presentados como:

{

𝜉(𝑡) = 𝜀₁²(𝑡) + ⋯ + 𝜀_𝑞²(𝑡) 𝜂(𝑡) = 𝑦₁(𝑡)𝜀₁(𝑡) + ⋯ + 𝑦_𝑞(𝑡)𝜀_𝑞(𝑡)

𝜗(𝑡) = 𝑢₁²(𝑡) + ⋯ + 𝑢_𝑟²(𝑡)

(1.31)

Donde 𝑞 es el número de salidas del modelo y 𝑟 es el número de entradas del modelo no lineal.

En la práctica, las funciones de la ecuación (1.30) son remplazadas por funciones de correlación normalizadas, calculadas sobre una longitud de datos finita y asumiendo ergodicidad, y se define como:

𝜙_𝜉𝜂(𝜏) = ∑^𝑁_𝑡=1𝜉^𝑜(𝑡)𝜂^𝑜(𝑡 + 𝜏)

√∑^𝑁_𝑡=1(𝜉^𝑜(𝑡))²√∑^𝑁_𝑡=1(𝜂^𝑜(𝑡))² 𝜙_𝜗𝜂(𝜏) = ∑^𝑁_𝑡=1𝜗^𝑜(𝑡)𝜂^𝑜(𝑡 + 𝜏)

√∑^𝑁_𝑡=1(𝜗^𝑜(𝑡))²√∑^𝑁_𝑡=1(𝜂^𝑜(𝑡))²

(1.32)

(34)

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. 19 Donde:

𝜉^𝑜(𝑡) = 𝜀₁²^𝑜(𝑡)

√1𝑁∑^𝑁_𝑡=1(𝜀₁²^𝑜(𝑡))²

+ ⋯ + 𝜀_𝑞²^𝑜(𝑡)

√1𝑁∑^𝑁_𝑡=1(𝜀_𝑞²^𝑜(𝑡))²

𝜂^𝑜(𝑡) = (𝑦₁(𝑡)𝜀₁(𝑡))^𝑜

√1𝑁∑^𝑁_𝑡=1(𝜀₁²^𝑜(𝑡))²

+ ⋯ + (𝑦_𝑞(𝑡)𝜀_𝑞(𝑡))^𝑜

√1𝑁∑^𝑁_𝑡=1(𝜀_𝑞²^𝑜(𝑡))² 𝜗^𝑜(𝑡) = 𝑢₁²^𝑜(𝑡)

√1𝑁∑^𝑁_𝑡=1(𝑢₁²^𝑜(𝑡))²

+ ⋯ + 𝑢_𝑟²^𝑜(𝑡)

√1𝑁∑^𝑁_𝑡=1(𝑢_𝑟²^𝑜(𝑡))²

(1.33)

Y también:

𝜀_𝑖²^𝑜(𝑡) = 𝜀_𝑖²(𝑡) − 𝜀̅̅̅ ; 𝜀_𝑖² ̅̅̅ =_𝑖² 1

𝑁∑ 𝜀_𝑖²(𝑡)

𝑁

𝑡=1

(𝑦_𝑖(𝑡)𝜀_𝑖(𝑡))^𝑜 = 𝑦_𝑖(𝑡)𝜀_𝑖(𝑡) − 𝑦̅̅̅̅̅ ; 𝑦_𝑖𝜀_𝑖 ̅̅̅̅̅ =_𝑖𝜀_𝑖 1

𝑁∑ 𝑦_𝑖(𝑡)𝜀_𝑖(𝑡)

𝑁

𝑡=1

𝑢_𝑗²^𝑜(𝑡) = 𝑢_𝑗²(𝑡) − 𝑢̅̅̅ ; 𝑢_𝑗² ̅̅̅ =_𝑗² 1

𝑁∑ 𝑢_𝑗²(𝑡)

𝑁

𝑡=1

𝑖 = 1 … 𝑞 ; 𝑗 = 1 … 𝑟

(1.34)

De forma ideal, si el sistema del modelo MIMO es válido, las correlaciones normalizadas basadas en (1.30), darán:

{𝜙_𝜉𝜂(𝜏) = 𝑘𝛿(𝜏), ∀𝜏

𝜙_𝜗𝜂(𝜏) = 0, ∀𝜏 (1.35)

Donde:

𝑘 = √∑^𝑁_𝑡=1(𝜉^𝑜(𝑡))²

∑^𝑁_𝑡=1(𝜂^𝑜(𝑡))²

(1.36)

En esta propuesta de validación se debe notar que se ha introducido los datos de salida para mejorar el desempeño de la discriminación, comparado con pruebas tradicionales que han sido basado únicamente en los datos de entrada y los residuos.

Debido a que los datos de salida pueden incluir secuencias de entrada, salida y ruido pasadas o retrasadas, se espera que el uso de salidas en la validación del modelo sea beneficioso y esto ha sido demostrado por el análisis en (Billings et al., 1994).

Para datos de longitud 𝑁, las bandas de confianza al 95% son aproximadamente

± 1.96 √𝑁⁄ . Si ambas condiciones estadísticas en (1.35) están dentro de las bandas de

(35)

20 confianza, el modelo puede ser aceptado. De lo contrario, se debe considerar una revisión adicional del del modelo.

1.5.1.8.6. Validación cruzada

Consiste en aplicar criterios de validación, en particular el porcentaje de ajuste, a una simulación del modelo identificado con datos totalmente diferente a los utilizados para obtener dicho modelo durante el proceso de identificación. Se realiza un experimento adicional para capturar datos distintos y usarlo únicamente en este paso de validación.

1.5.2. Antecedentes

Se realizó una revisión de investigaciones previas relacionadas al tema de esta investigación, obteniendo información relevante para el desarrollo de este trabajo.

Pairan en (Pairan et al., 2017) presenta un método de identificación de sistemas basado en una red neuronal de función de base radial (RBF) y la estructura de entradas NARX (No lineales Exógenas Autorregresivas). Se eligió la arquitectura RBF con una capa oculta para aprender la relación no lineal del sistema dinámico. La red neuronal RBF se entrenó de dos modos: el primero con el algoritmo recursivo Constant Trace (CT). y el segundo también con el algoritmo CT, pero adicionando el algoritmo Minimal Resource Allocating Network (MRAN). El algoritmo MRAN calcula la salida de la red RBF con 3 criterios de error, los cuales son usados para evaluar si una nueva neurona debe ser añadida a la capa oculta. El XuGong v2 Profoldable fabricado por ImmersionRC Ltd. fue elegido como el quadcopter a identificar en este proyecto. Equipado con 4 motores brushless AIR2213 KV920 (rpm/V), con hélices de plástico autoajustables T9545 y con 4 controladores electrónicos de velocidad AIR20A (ESC). El controlador de vuelo utilizado fue DJI NAZA v2. El sistema de adquisición abordo consiste en un VN- 100 Unidad de Medida Inercial (IMU) y un myRIO 1900 National Instruments (NI). El VN-100 IMU consiste en acelerómetros en los 3 ejes, giroscopios en los 3 ejes, magnetómetros en los 3 ejes, un sensor barométrico y un procesador de 32-bit. Durante el experimento todas las entradas de control y los estados medidos son grabados con una frecuencia de muestreo de 50 Hz y los ruidos son filtrados con un filtro pasa bajos con una frecuencia de corte de 10 Hz. El sistema de adquisición de datos fue desarrollado para guardar como entrada los comandos del control remoto asociados a los ángulos de roll, pitch y yaw, y como salida de la actitud medida del quadcopter durante el vuelo que son los ángulos de Euler (roll, pitch, y yaw) y las velocidades angulares (roll rate, pitch rate, yaw rate). En la evaluación del desempeño del modelo propuesto, la red RBF entrenada