Generalización de Modelos de Richardson-Gaudin a álgebras de rango dos y su aplicación en física nuclear

de Ri hardson-Gaudin a álgebras

de rango mayor que uno

Beatriz Errea Subero

Junio 2009

Instituto de Estru tura de la Materia

Consejo Superior de Investiga iones Científi as

Ri hardson-Gaudin a álgebras de

rango mayor que uno

Memoria presentada para la obten ión del

Título de Do tor

Junio 2009

Beatriz Errea Subero

Dire tor:

Jorge Dukelsky Ber ovi h

Programa de do torado de físi a teóri a

Departamento de Físi a Teóri a

Universidad Autónoma de Madrid

Instituto de Estru tura de la Materia

Consejo Superior de Investiga iones Científi as

of legs. He spends the rest of his life in futile attempts to solve the problem with an

arbitrary number of legs

Sabiduría popular.

Del libro'Physi ists keep going'

Estatesis eseltrabajode uatroaños de estudio,búsqueda de ideas,solu iones,

uentas y programas. Todo esto no hubiera sido posible sin mi dire tor de tesis,

guía y olaboradorJorge Dukelsky. A éllequiero agrade ersus expli a iones, re o-

menda iones,ayuda y fru tíferasdis usiones, ademásdelex elente tratopersonaly

su preo upa ión pormi arrera ientí a. Y sus omidasde grupo.

Además, este trabajo es fruto de la olabora ión on otras personas, a las que

agradez o su trabajo y onsejos, y ofre erme la posibilidad de olaborar on ellos

(Stuart Pittel, Vesselin Guerguiev,Gerardo Ortiz, Carlos Esebbag, Woj ie h Satu-

la). De ellas, megustaríadedi aruna espe ialmen iónaSevdalinaDimitrova,Piet

VanIsa ker, BillyDussely Ni uSandules u,aquieneshevisitado ymehantratado

on gran hospitalidad. Por lamisma razón,aunque su olabora ión noformeparte

deestetrabajodetesis,quieroagrade erleaMar osSara enosutratoenmiestan ia

enArgentina,dondeademásdepreo uparseporquemipasoporallífueraagradable

y fru tífero, me ofre ió su valiosa ayuda en un momento en el que se presentaron

problemas. Y espe ialmente a Sergio Lerma, on quien trabajé en las primeras

etapas, y que hizo de profe parti ular on mu ha pa ien ia, introdu iéndome en

el omplejo mundo de las álgebras de Gaudin y los modelos exa tamente solubles,

desenmarañando las al prin ipio ompli adísimas fórmulas y on eptos. También

quiero mostrar miagrade imientoa Alfredo Poves, que fue a quien metrajo hasta

aquí ya través de quien meempe é ainteresarpor eltemade tesis en sus lases de

físi a nu lear.

Para ha er una tesis, además de los on eptos espe í os que se utilizan día a

día, es ne esariotener laros algunos on eptos, estar aldíade iertos temas,ha er

papeles buro ráti os uandoestás y uandono, y tener bibliografíay un ordenador

que fun ione. Y todo esto lo he onseguido, además de por mi dire tor, gra ias a

lagentedel departamento,ala quedoy gra iasporsus libros,dis usiones, papers y

ayuda informáti a.

Pero de mipaso porel CSIC duranteestos años, además de ono imientosa a-

jamón, dis usiones y otilleos. Gra ias aPedro, Eduardo, Jorge, Stefan y Rafa por

sus interesantes onversa iones yporla pa ien iaquetienenalahorade la omida.

Y a Rafa, además, por ompartir sutetera. A los más jóvenes y amigospor llenar

el día a día on hismorreos, interminables dis usiones, des ansos, elebra iones y

viajes: AArmandoporaportar onversa iónentodomomento,aCarolinapor'ilus-

trarnos onsusabiduría',invitarnosasu asitay porsus arepas;aÓs arporloque

di ey loqueno-di e,queha eeldíaadíamás alegre;yaRaúlporsus tartasy por

amenizarlosdías. Tambiénaloseventualesyalosquehanpasadoporaquíy ahora

están en la distan ia (Complu, CIEMAT o Italia) pero que han dejado huella y se

siguen dejando ver o apare en en pantalla: Javi, Jeni, Eva y sobre todo, Raquel,

que me ha animado, ayudado, y que pese a la lejanía ha sido una de las personas

más er anas en estos años.

Pero este trabajo omenzó mu ho antes de venir al CSIC, en el momento en el

quede idíestudiarfísi as. Enprimerlugar,yyaquesinonoestaríaaquí,porloque

aprendí,engeneral onmu hamotiva ión,loqueobviamentenohubierasidoposible

sinvarios de mis profesores y misamigos de la arrera. Estos últimos, además,me

hi ieronpasar unos años inolvidables,estuvieron en lobueno y en lono tan bueno,

en lo frívolo y en lo más personal, y varios de ellos siguen estándolo, regalándome

buenos momentosy aguantando mis quejas: Las nenas, losgrumetes, los Chusmis,

Labandadel Patio, Mar,Jesús,Elena, Antonioyalgunosotros. Men iónespe ial a

María,quedesdeenton eshasidouno demismásimportantesapoyosantes in luso

de pedírselo. Y amisex- ompañeros de piso (Javi, Josemiy Lu), queen estos años

de tesis han he ho más llevadera larutina on ri as enas y largas sobremesas.

Pero mi vida, afortunadamente para mi salud mental, no se restringe a físi os.

Hay otras personas, algunas de las más er anas. Ellas me han intentado pegar

esa ordura que a los físi os nos falta, re uperar esa normalidad en el omporta-

miento y en las rela iones humanas. Me han devuelto la onanza en alguna de

mishabilidades enmomentosde bajón. Además, porsupuesto, de ompartir viajes,

salidas, regalos, enas, teatros, harlas, sentimientos y sobre todo amistad. Son,

espe ialmente, Leyre, Anay Ángela. También quiero agrade er el apoyo ala gente

de E ologistas en A ión, espe ialmente a Charo, de quien además he aprendido

mu homu ho,han despertadoinquietudesen míymantienenabiertaunaventanita

de esperanza en este mundode lo os.

Y por supuesto, quiero agrade érselo mi madre, mi padre y mi hermano; por

in ul arme el gusto por la ien ia y el saber, y sobre todo por estar siempre ahí,

pararegalarmebuenosmomentos,para uidarme,apoyarmeyayudarmeen latoma

de de isiones.

Gra ias atodas y todos

Agrade imientos i

Índi e general iii

1 Introdu ión 1

1.1 Modelos exa tamente solubles . . . 1

1.2 Modelos integrables . . . 2

1.3 Cara terísti as de losmodelos de Ri hardson-Gaudin . . . 2

1.4 Desarrollo históri ode los modelos de RG . . . 3

1.5 Modelos de RG para álgebrasde rangomayorque uno . . . 4

1.6 Organiza iónde esta memoriade tesis . . . 5

2 Solu ión exa ta de los modelos de RG 9 2.1 Solu iónexa ta de modelos de RG para álgebrasde rango uno . . . . 9

2.1.1 Solu iónde Ri hardson para el modelo BCS . . . 9

2.1.2 Integralesde movimiento para un sistemade espines intera - tuantes . . . 12

2.1.3 Integralesde movimientopara elmodelo BCS . . . 14

2.2 Modelos de RG de álgebras de rango mayor que uno. . . 16

2.2.1 Álgebras de Gaudin . . . 16

2.2.2 Integralesde movimientopara el aso ra ional . . . 17

2.2.3 Generaliza iónde la solu iónaotras familiasde integrales de movimiento . . . 20

3 Modelo de RG aso iado al álgebra SU(3) 23 3.1 Álgebra de SU(3) . . . 23

3.1.1 Operadores e integrales de movimiento . . . 23

3.1.2 Representa iones irredu iblesy autovalores . . . 25

3.1.3 Integrabilidaddelmodelo ra ional. . . 26

3.2 Generaliza ióndelmodelo de JCa átomos de tres niveles . . . 27

3.2.1 Modelo de Jaynes-Cummings . . . 27

3.2.4 Integrales de movimiento . . . 30

3.2.5 Hamiltoniano . . . 32

3.3 Resumen . . . 33

4 Simetría SO(3,2): Modelo nu lear IBM2 35 4.1 El Modelo Nu learde Bosones Intera tuantes: IBM2 . . . 35

4.2 Número uánti o

F

^{-espín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37}

4.3 Operadores y Hamiltoniano . . . 38

4.4 Álgebra SO(3,2). Representa ión de los generadoresy estru tura del grupo . . . 40

4.5 Integralesde movimientoy Hamiltoniano . . . 41

4.5.1 Hamiltonianoen formade pairing . . . 43

4.5.2 Hamiltonianoen formade intera ión multipolar . . . 43

4.6 Límite de onserva ión de

F

^{-espín. Transi iónSU(5)-O(6) . . . . . . 44}

4.6.1 Modelo on bosones s, d . . . 45

4.6.2 Modelo on bosones s, dy g . . . 47

4.7 Resumen . . . 50

5 Simetría SO(5): El modelo de pairing isove torial 51 5.1 Solu ión exa ta almodelo de pairingisove torial . . . 53

5.1.1 Representa ión de losgeneradores delálgebra SO(5). . . 53

5.1.2 Integrales de movimientoy hamiltoniano . . . 54

5.1.3 Fun iónde onda . . . 56

5.1.4 Comportamientode losparámetros espe trales . . . 57

5.1.5 Númerosde o upa ión . . . 59

5.2 Aproxima ión BCSpn . . . 63

5.2.1 Solu iónde BCSpn para nú leos on

N = Z

^{. . . . . . . . . . 64}

5.3 Aproxima ión BCS proye tado . . . 66

5.3.1 Fun iónde onda de pares protón-neutrón . . . 66

5.3.2 Fun iónde onda de pares protón-protón y neutrón-neutrón . . 68

5.3.3 Energíadel estadofundamental . . . 69

5.3.4 Probabilidadesde o upa ión . . . 72

5.4 Resumen . . . 74

6 Simetría SO(8): El modelo de pairing isoes alar-isove torial 77 6.1 Competen iaentre laintera ión de pairingisoes alare isove torial . 78 6.2 Posible forma iónde orrela ionesde uartetos. . . 78

6.3 Solu ión exa ta delmodelo de pairingisoes alar-isove torial . . . 79

6.3.1 Representa ión de losgeneradores delálgebra SO(8). . . 79

6.5 Considera iones espe tros ópi as . . . 86

6.5.1 Momentode iner ia . . . 87

6.5.2 Diferen ia de masas-T . . . 88

6.5.3 Energía de Wigner . . . 89

6.6 Aproxima ión BCSpn . . . 91

6.6.1 Solu iónBCSpn para átomos on

N = Z

^{. . . . . . . . . . . . 92}

6.7 Diferen ia de masaspar-impar . . . 93

6.8 Fermiones de espín 3/2 . . . 96

6.9 Resumen . . . 97

7 Simetría SO(6): Superuidez en sistemas fermióni os de tres olo- res 99 7.1 Introdu ión . . . 99

7.2 Solu iónexa ta . . . 102

7.2.1 Representa ión de los generadoresdel álgebraSO(6). . . 102

7.2.2 Integralesde movimientoy hamiltoniano . . . 103

7.3 Diagrama de fases. . . 106

7.4 Naturalezade lasfases superuídas . . . 108

7.5 Números de o upa ión y densidad radial . . . 109

7.5.1 Expresiones para losnúmeros de o upa ión . . . 110

7.5.2 Números de o upa ión para lasdos fases superuídas . . . 112

7.6 Resumen . . . 115

8 Con lusiones 117 8.1 Álgebra SU(3): Modelo de Jaynes-Cummings para átomos de tres niveles . . . 117

8.2 Álgebra SO(3,2): El modelo nu lear IBM2 . . . 118

8.3 Álgebras SO(5)y SO(8): El pairingnu lear . . . 118

8.4 Álgebra SU(4): Pairing en fermiones de tres olores . . . 120

8.5 Álgebra SO(8): Pairingen fermionesde espín 3/2 . . . 121

8.6 Perspe tivasde futuro . . . 122

A Álgebras de Lie 123 A.1 Subálgebra de Cartan y raí es . . . 123

A.2 Representa ionesirredu ibles . . . 125

A.3 Clasi a ión de lasálgebras de Lie . . . 126

B.2 El métodoHartree-Fo k-Bogoliubov . . . 129

B.2.1 Formalismogeneral . . . 129

B.2.2 Apli a ióna intera ión de pairing . . . 132

Bibliografía 135

C Cláusula del buen uso 141

Introdu ión

1.1 Modelos exa tamente solubles

El problema de mu hos uerpos uánti o apare e en numerosas áreas de la físi a

uánti a omo la físi a nu lear, la físi a atómi a y mole ular o de la materia on-

densada. En estas áreas, dado que la diagonaliza ión para un número grande de

uerposes omputa ionalmenteina esible, sehan realizadograndes esfuerzospara

desarrollar tratamientos aproximados. Para abordar el problema, mu has ve es se

utilizanmétodos auto onsistentes (Hartree-Fo k) opoten ialesmedios fenomenoló-

gi os. Estos métodos son satisfa torios para mu hos sistemas, pero existen otros

en losque hay grandes orrela iones responsables de iertos fenómenos y que nose

pueden expli ar on teoríasde ampo medio.

En general las dimensiones del espa io de estados re e exponen ialmente on

el número de uerpos, loque ha e inviablesudiagonaliza iónexa ta. Sin embargo,

existen algunosmodelosen losque,debidoaalgunasimetría,suproblemaespe tral

puede redu irse a un problema algebrai o y en ontrar todo el espe tro de energías

y autofun iones de forma explí ita. Se di e que estos modelos son exa tamente

solubles. Estos modelos tienen varias ventajas: En primer lugar, pueden hallarse

antidades físi as de formaexa ta, ono er la forma explí ita de las autofun iones

y estudiar iertaspropiedadesde universalidad. Ensegundo lugar,pueden servir de

ayuda para rear o testear métodos aproximados para modelos que no sean exa -

tamente solubles en general pero se reduz an a uno exa tamente soluble en algún

límite. Además pueden usarse omo punto de partida para la rea ión de modelos

uasi-exa tamentesolubles,esde ir,modelosenlosquesepuedeen ontrar deforma

exa ta parte del espe tro.

1.2 Modelos integrables

Así omo para la me áni a lási a la integrabilidad está perfe tamente denida,

este on epto es todavía polémi o en la me áni a uánti a. Aquí se utilizará la

deni ióndeW.-M.ZhangyD.H.Feng[1℄. Segúnestosautores,unsistema uánti o

es integrable si existen tantas integrales de movimiento independientes (es de ir,

operadoresque onmutanentre sí) omo gradosdelibertaddelsistema. Se deneel

númerodegradosdelibertad omoelnúmerodenúmeros uánti osquesene esitan

para denirtotalmente elespa io de estados

H

^.

Para un sistema ara terizado por un álgebra de Lie

L

^{, los números uánti os}

se determinan de la siguiente manera: Se toma una adena de des omposi ión del

álgebra. En adasubgrupodelades omposi iónexistenunaseriede operadoresque

onmutan ontodosloselementosdelálgebra(denominados asimires). El onjunto

detodosellosformaun onjunto ompletodeoperadoresque onmutan,yelnúmero

de ellos es independiente de la adena de des omposi ión que se haya elegido. Los

autovaloresde estos operadores son losnúmeros uánti osdelsistema,de los uales

algunospueden ser totalmentedegeneradosyotros no. Losquenoestántotalmente

degeneradosdeterminan ompletamentelabasedelespa iodeestados, porloqueel

número de ellos es el número de grados de libertad. En on reto, si

H

^{no ontiene}

representa iones irredu ibles degeneradas, el número de grados de libertad

M

^es

M = (d − r)/2

^{, on}

d

^{dimensión deldelálgebra y}

r

^{el rango(verApéndi e A).}

Cualquier ombina iónlinealde integralesde movimiento onmuta también on

ellas, y por tanto es también integral de movimiento. Así, se pueden onstruir

hamiltonianosfísi osque determinen ladinámi ade sistemasintegrables.

1.3 Cara terísti as de los modelos de Ri hardson-

Gaudin

Los modelos de Ri hardson-Gaudin (RG) son un tipo de modelos exa tamente so-

lubles y ompletamente integrables. Basándose en varias opias de un álgebra de

Lie se es ribe un onjunto de operadores independientes que onmutan entre sí, y

se diagonalizan on un ansatz tipo Bethe, obteniendo una fun ión de onda y auto-

valores que dependen de una serie de parámetros que deben satisfa er un onjunto

de e ua iones a opladas no lineales. Mediante fun ionesarbitrarias de estos opera-

dores pueden obtenerse hamiltonianosexa tamente solubles de sistemas físi os que

además ontienen un gran número de parámetros libres, permitiendo ajustarlo a

intera iones realistas.

Los modelos de RG son modelos en los que apare e la intera ión de pairing.

Esta intera ión surge en el la des rip ión mi ros ópi a de la super ondu tividad

[2℄, una de las grandes revela iones de la físi a donde por primera vez las orrela-

iones a nivel uánti o de la materiase maniestan a es ala ma ros ópi a. A nivel

mi ros ópi o este fenómeno se modelizóen un formalismo de segunda uantiza ión

omo intera ión entre pares de ele trones on momentos y espines opuestos. Esta

intera ión de pairing( on distintas representa iones) hasido más tarde apli adaa

distintasáreas de lafísi a, omo en físi anu lear o físi aatómi a ymole ular.

1.4 Desarrollo históri o de los modelos de RG

Desde eldes ubrimientodelfenómenodelasuper ondu tividad sehandesarrollado

mu has teorías a nivel fenomenológi o y fundamental. En 1956 L. N. Cooper [2℄

propuso el ono ido hamiltoniano de pairing redu ido, en el que la intera ión se

produ e entre pares formados por dos ele trones on momentosy espines opuestos.

Demostró que dos ele trones sometidos a una fuerza de atra ión, por pequeña

que sea, forman un estado ligado, que se ono e omo el par de Cooper. Un año

más tarde, él, junto on J. Bardeen y J. R. S hrieer [3℄, proponen una solu ión

de ampo medio (BCS) que tuvo mu ho éxito en la des rip ión de propiedades de

metalessuper ondu toresdebajatemperaturaya oplodébil,aunqueno onservael

númerode partí ulas. En1958,A.Bohr,B.R.MottelsonyD.Pines[4℄sugierenque

el mismo modelo podíaexpli ar los gaps de energía observados en nú leos par-par.

En 1963 Ri hardson en uentra lasolu ión exa ta [5, 6℄ delmodelo BCS, pero pasa

desaper ibidaa losojos de la omunidad ientí a hasta que a nalesde ladé ada

de los90seempezaraatrabajar on granossuper ondu tores ultrapequeños, enlos

que la solu iónBCS no es su ientemente pre isa. Su solu ión parte de un ansatz

tipo Bethe para la fun ión de onda, que depende de una serie de parámetros que

deben satisfa erun onjunto de e ua iones a opladas nolineales.

Independientemente, en 1976 Gaudin diagonaliza el modelo de un sistema de

magnetos intera tuantes, obteniendo tres familiasde integrales de movimiento (ra-

ional, trigonométri ae hiperbóli a) [8℄. Para la familia ra ional el ansatz para la

fun ióndeondaesigualalutilizadoporRi hardsonparasusolu iónalmodeloBCS.

Esta fun iónde ondadependede unosparámetrosquedeben satisfa erun onjunto

de e ua iones a opladas,quepara lafamiliara ionaleran lasmismas obtenidaspor

Ri hardson salvo por un término onstante. De las integrales de movimiento de la

familiara ionalpuedeobtenerse elhamiltonianoBCS onniveles departí ulainde-

pendientedegenerados. Sin embargoGaudin,aun ha iendo referen iaalasimilitud

delasolu ióndeRi hardson,nopuedeestable erlarela iónentre ambosproblemas.

Dado que los modelos de Gaudin son integrables se ha estudiado su rela ión

on lae ua ión de Yang-Baxter. Yaen 1983 M. Gaudin [9℄ observa que su modelo

era un aso parti ular de la solu ión a la e ua ión de Yang-Baxter lási a para el

álgebrade LieSU(2), yquepuede generalizarsea ualquierálgebrade Lie ompleja

semisimple. En1989,Jur o[10℄,partiendodellímite lási odelae ua ióndeYang-

Baxterdelmodelode vérti esinhomogéneo on ondi ionesde ontorno periódi as,

diagonalizalasintegralesdemovimientode Gaudinpara ualquierálgebrasimpleen

los asosra ionalytrigonométri o. Másadelante,en1994,B.Feiginy olaboradores

[11℄ pruebanque lasintegralesde movimientode Gaudin(generalizadasa ualquier

álgebradeLiesemisimple

L

^{)están ontenidasenunsubálgebrade}

L

^{. Estostrabajos}

motivaríanaquemástardeJ.VonDeftyR.Poghossian[12℄estudiasenelmodelode

vérti esinhomogéneo on ondi ionesde ontorno'tor idas'en ellímitesemi lási o,

obteniendo que las e ua iones de Bethe se redu en a las de Ri hardson en el aso

XXX.

Porotraparteen1997Cambiaggio,RivasySara eno[13℄en uentranunnúmero

L

^{de integrales de movimiento para un sistema de}

L

^{opias del álgebra de Lie}

SU(2), de las quederivanel hamiltonianoBCS paraniveles de energía de partí ula

independiente no degenerados. La forma es lamisma que laobtenidas por Gaudin

paralafamiliara ionalsalvoporun términolineal,ylase ua iones lasmismasque

lasobtenidas porRi hardson. De esta manerasedemuestraque elhamiltonianode

pairing on niveles de energía nodegenerados es ompletamenteintegrable.

En el 2001 J. Dukelsky, C. Esebbag y P. S hu k [14℄, basándose en el trabajo

de Gaudin, presentan las tres familias de integrales de movimiento in luyendo el

término lineal que no tuvo en uenta este para la simetría SU(2). Desde enton es

se han desarrollado varios modelos de RG en distintas áreas de la físi a, omo el

modelo nu lear de bosones intera tuantes IBM [15℄, modelos para ondensados de

Bose-Einstein [16℄ o modelos de Jaynes-Cummings apli ados a mez las de átomos

on dímerosmole ulares [17℄.

1.5 Modelos de RG para álgebras de rango mayor

que uno

Los primeros modelos de RG se desarrollaron a partir de álgebras de Lie de rango

uno SU(2) o SU(1,1). Estos modelos pueden generalizarse a álgebras de Lie semi-

simplesderango mayor. Taly omosehadi hoen elapartado anterior,M.Gaudin

yJ.Jur o habíangeneralizadolasintegralesde movimientode Gaudin(que no on-

tienen un término lineal) a ualquier álgebra semisimple. En 1994 Ushveridse [18℄,

en ontró

L

^{integrales de movimiento de tipo ra ional para un sistema de}

L

^opias

de un álgebra de Lie de rango arbitrario, así omo sus autovalores y la fun ión de

onda. Estas integralesin luían un términolineal queno ontenían lasintegralesde

Gaudin. Los autovaloresy autofun ionesdependen de una serie de parámetros que

deben satisfa er un onjunto de e ua iones a opladas no lineales, que por razones

históri asdenominarée ua ionesde RG.Independientemente, enelmar ode teoría

de ampos M. Asorey, F. Fal eto y G. Sierra [19℄ obtuvieron las mismas integrales

de movimientoy autovalores quelas obtenidas por Ushveridse.

Estas generaliza ióna otras álgebras ha dado lugar al desarrollode nuevos mo-

delos de RG, in ode los uales se expondránen este trabajo de tesis.

En la siguiente tabla se muestran uatro de las familias de álgebras de Lie se-

misimples de rango más pequeño y algunos modelos físi os aso iados. El álgebra

SO(4)

^{(en ursiva) no es un álgebra simple, por lo que puede es ribirse omo una}

suma dire ta de álgebras simples. Si dentro de un rango apare en dos álgebras, la

que está debajo esun álgebra no ompa ta on lasmismas raí es (ver apéndi e A)

que el álgebra ompa ta de la misma asilla. Es el aso de las álgebras SO(3,2) y

SU(1,1). Físi amente la realiza ión de sus operadores es la misma que lade SO(5)

y SU(2) respe tivamente, pero para partí ulas bosóni as en vez de fermióni as. En

esta memoriadetesis do toralsepresentanmodelosaso iadosalasálgebrasseñala-

das en negrita. En todos ellosseexponenun onjuntode operadores que onmutan

entre sí y onuna ombina iónde ellos seobtieneun hamiltonianofísi o on varios

parámetros libres. Dada la omplejidad de las intera iones que tienen lugar en

los sistemas que se tratan, los resultados no son apa es de reprodu ir resultados

experimentales, pero sí sirven de ayuda para la des rip ión del omportamiento a

nivel ualitativoo para omprobar ál ulos aproximados.

r

^{SU(r+1) SO(2r+1) Sp(2r) SO(2r)}

1 SU(2) Pairing SO(3)

∼

^{SU(2) Sp(2)}

∼

^{SU(2) SO(2)}

∼

^U(1)

SU(1,1)

2 SU(3) J-C3 SO(5) P. Isove torial Sp(4)

∼

^{SO(5) SO(4)=}

SO(3,2) IBM2 SU(2)

⊕

^SU(2)

3 SU(4) SO(7)

⊂

^{SO(8) FDSM Sp(6) FDSM SO(6)}

∼

^SU(4)

P. 3 olores

4 SU(5) SO(9) Sp(8) SO(8) P. I-I

P. espín 3/2

Tabla1.1: ÁlgebrasdeLiederango

1 ≤ r ≤ 4

^{ymodelosaso iados. J-C3: Modelode}

Jaynes-Cummingspara átomosdetres niveles, P. I-I:pairingisoes alar-isove torial,

FDSM: modelo fermióni ode simetría dinámi a[20℄

1.6 Organiza ión de esta memoria de tesis

El objetivo prin ipal de esta tesis es el desarrollo y estudio de modelos de RG de

álgebrasde rangomayorqueuno. En on reto, sepresentan lossiguientes modelos:

El modelode Jaynes-Cummingspara átomosde tres niveles ( apítulo3),elmodelo

de bosonesintera tuantes IBM2( apítulo4),elmodelode pairingisove torial( apí-

tulo 5),elmodelode pairingisoes alar-isove torial( apítulo6)elmodelodepairing

entrefermionesde espín3/2( apítulo6)yelmodelode pairingde fermionesdetres

olores( apítulo 7). Laestru tura de lamemoriaes la siguiente:

•

^{Capítulo 2: En este apítulo en primer lugar se re opilan de la literatura}

fórmulasqueseutilizaránalolargodetodalamemoria: Lasintegralesdemo-

vimientode lafamiliara ional uadráti asen losgeneradorespara un álgebra

de Lie semisimple arbitraria, sus autovalores y autove tores y las e ua iones

de quedeben umplirlosparámetros que apare en en ellas: lase ua iones de

Ri hardson-Gaudin. En segundo lugar se obtienen otras dos familiasde inte-

grales de movimiento: la trigonométri a y la hiperbóli a. Un resumen sobre

los on eptosalgebrai osqueseutilizanylanota iónseexponeenelapéndi e

A.

Comopuntodepartidasereprodu eladeriva iónde lasolu ióndeRi hardson

almodelode pairingredu ido, y sepresentan lastresfamiliasde integralesde

movimientoobtenidas por Gaudin para un sistema de espinesintera tuantes.

In luyendo un término lineal ala familiara ionalde las integralesde Gaudin

se obtiene el hamiltoniano de pairing redu ido on niveles de partí ula inde-

pendiente no degenerados [13℄. Para generalizar los resultados a álgebras de

rangomayorsedenenlasálgebrasdeGaudin,yseexponeladeriva ióndelas

integrales de movimiento, así omo los autovalores y autofun iones realizada

porUshveridse.

Alnal del apítuloseutiliza elmismométodopara obtener otrasfamiliasde

integralesde movimientopara álgebrasde rangomayorque uno.

•

^{Capítulo 3: En este apítulo se presentan las integrales de movimiento y}

autovalores para el álgebra de rango dos SU(3). Así omo para las álgebras

SU(2) y SU(1,1) las integrales de movimiento uadráti as en los generadores

(una por opia delálgebra) garantizan laintegrabilidaddelsistema; lossiste-

mas onsimetríasdeálgebrasde rangomayorqueunotienenmásdeun grado

de libertad por opia, por lo que un solo onjunto de operadores uadráti os

que onmutan entre sí no garantiza la integrabilidad. Con esta motiva ión se

hanhalladomásintegralesde movimientoutilizando asimiresde ordenmayor

quedos, tantas omo gradosde libertad,asegurando así laintegrabilidad.

Conunarepresenta ióndelosgeneradoresdelálgebraentérminosdeoperado-

resde rea iónydestru iónde ele tronesenórbitasdeátomosdetres niveles

yrealizandounmapeobosóni odeunadelas opiasdelálgebra,seobtieneun

hamiltonianodeintera iónradia ión-materia(modelodeJaynes-Cummings).

•

^{Capítulo 4: En este apítulo, a partir de una} representa ión bosóni a de generadores del álgebra de rango dos SO(3,2) se presenta un hamiltoniano

de RG del modelo nu lear de bosones intera tuantes IBM2 en la transi ión

de nú leos vibra ionales(simetríaSU(5))a

γ

-inestables(simetríaO(6)). Para unadeterminadaele ióndeunparámetrolibre(quenoafe taalasolubilidad)

se puede obtener un modelo que onserva el

F

^{-espín y añadir un término de}

Majoranaqueapare een laliteraturayquepromo ionaenenergíalosestados

de simetría mez lada on respe to a los de simetría máxima. En este límite

se estudia el espe tro de energías. En algunos nú leos de la región

Z ∼ 50

apare enalgunosestados ole tivosquenoseexpli an onelmodeloIBM2 on

bosones

s

^y

d

^{. Para} reprodu irlos se introdujo un bosón extra de momento angular

l = 4

^(bosón

g

^{). Con este bosón la} diagonaliza ión por métodos numéri os es ina esible, por lo que el modelo de RG es el úni o método de

obtenerlasolu iónexa ta. Sehaestudiado ómoafe taalespe trolain lusión

de este bosón.

•

^{Capítulo 5: Eneste apítulosepresenta elmodelonu learde pairingisove -}

torial a partir del álgebra de rango dos SO(5). Además de las integrales de

movimiento y autovalores se presenta la fun ión de onda explí ita, así omo

losnúmeros de o upa ión. Dadoque tanto lafun iónde onda omolas anti-

dades físi asdependende lasvariablesqueapare en en lase ua iones de RG,

seestudiasu omportamientoen fun iónde larupturadesimetríade isoespín

en un sistema pequeño y de la intera ión para el nú leo

64

Ge on un ore de

40

Ca, ina esible pordiagonaliza iónnuméri a.

Adíade hoytodavíanosehaestable idodeforma lara ómoeslanaturaleza

de lospares nu león-nu leónni ómopuede inuiren iertos fenómenos. Casi

todos los ál ulos que estudian la ompeten ia entre pares isoes alares e iso-

ve torialessondetipoHartree-Fo k-Bogoliubov(HFB)oBCSproye tado. En

este apítulose omparalasolu iónexa ta onBCS protón-neutrón(BCSpn)

y on dos fun iones varia ionales BCS proye tado en número para sistemas

pequeños. La formula ión general delmétodo HFB se expone en el apéndi e

B.

•

^{Capítulo 6: En este apítulo, partiendo de una} representa ión de los gene- radores del álgebra de rango uatro SO(8) se desarrolla un modelo nu lear

de intera iónde pairingisoes alar-isove torial. Con élseobtieneinforma ión

sobrelanaturalezadelpairingysobre ómoinuyen ambos anales(isoes alar

e isove torial) en iertas antidades físi as. Así mismo, se bus an trazas de

orrela iones de uartetos.

En primer lugar se analizan los parámetros espe trales para re ono er qué

tipode ondensados seforman y laposibleforma iónde uartetos. Ensegun-

do lugar se estudian una serie de magnitudes ma ros ópi as en términos del

modelo de iso- ranking: la energía de simetría, el iso-momento de iner ia, la

diferen ia de masas y la energía de Wigner. Los ál ulos se realizan para el

modelo de pairing isoes alar, isove torial e isoes alar-isove torial, de manera

quese puedeestable er qué inuen ia tiene en estas magnitudes ada tipode

intera ión.

Como se hahe ho en el apítuloanterior, se obtiene la solu ión BCSpn, y se

omparala diferen iade energías par-imparalo largo de la línea

N = Z

^on

losresultados exa tos. Esta antidad es una posible medidade la orrela ión

de uartetos.

Porúltimo, se expone de manera esquemáti a otra representa ión de lasime-

tríaSO(8) en términos de operadores de rea ión y destru ión fermiones de

espín 3/2 y se es ribe un hamiltonianode pairingen onda

S

^y

D

^.

•

^{Capítulo 7:} Re ientemente se han desarrollado mu has té ni as experimen- tales de ontroly medi iónpre isade sistemas de gases ultrafríos. Su estudio

permite lamodeliza ión de otros sistemas fermioni osfuertemente orrela io-

nados ina esibles experimentalmente. Dos de los temas que más aten ión

estánsus itandoson lossistemasde pairingen lasquelassuper iesdeFermi

de las dos espe ies no oin idey el pairingentre átomos de tres espe ies. En

este apítulo,partiendode lasimetríaSU(4)sepresentaun modelode pairing

de tres oloresquees exa tamentesolublepara ualquiervalorde la polariza-

ión. (Esde ir,permitedesplazarlasesferasdeFermi). Apartirdelasolu ión

exa ta se onstruye eldiagramade fases en fun ión de lapolariza ión y lain-

tera ión, así omo los números de o upa ión, que dan informa ión sobre la

naturalezadel ondensado ylasfases quepueden apare er. Así mismo,seob-

tienenlos perles de densidad a lolargo de la trampa,quepueden observarse

experimentalmentey distinguir ada una de las fases propuestas.

Solu ión exa ta de los modelos de

Ri hardson-Gaudin

2.1 Solu ión exa ta de modelos de Ri hardson-Gaudin

para álgebras de rango uno

2.1.1 Solu ión de Ri hardson para el modelo BCS

Comosehamen ionadoen laintrodu ión,en ladé adade los60Ri hardson [5,6℄

en ontró lasolu ión exa ta al hamiltonianode pairing redu ido (BCS):

H BCS = X

i

ǫ i a ^† _i a i − g 2

X

ij

a ^† _i a _¯i ^† a j a ¯ j

^(2.1)

a ^† _i

^,(

a _i

^{)sonoperadoresde rea ión}(destru ión)de fermionesen elestado

i

^,que

en el aso de un sólido super ondu tor puede aso iarse a un ele trón en la órbita

n

^{on momento k y espín}

σ

^.

¯i

^{es la órbita inversa temporal, que en el aso de los}

super ondu tores sería

{n −

^k

, −σ}

^{. Además,en ontrólasolu iónparael aso enel}

que losoperadores

a ^† _i

⁽

a i

^{) son operadores de rea ión} (destru ión) de bosones [7℄.

Aquí se mostrará la solu ión de forma ompa ta para fermiones y bosones. Se

denen losoperadores

K _i ^† = 1

2 a ^† _i a _¯i ^† = (K _i ⁻ ) ^† K _i ⁰ = 1

2 N i ± 1

4 Ω i

^(2.2)

donde

N _i

^{eseloperadornúmero}

N _i = a ^† _i a _i

^y

Ω _i

^esladegenera ióndelestado

i

^{. El}

signo de arriba orrespondeal aso bosóni oy elde abajo alfermióni o, onven ión

que seguiréde ahora en adelante.

Estos tres operadores obede en las rela iones de onmuta ión del álgebra de

SU(2) parafermiones y SU(1,1) para bosones:

[K _i ⁰ , K _j ^† ] = δ ij K _i ^† [K _i ^† , K _j ⁻ ] = ∓δ ^ij K _i ⁰

^(2.3)

En términosde estos operadores elhamiltoniano (2.1) sees ribe:

H = X

i

2ǫ i



K _i ⁰ ∓ 1 4 Ω i



− 2g X

ij

K _i ^† K _j ⁻

^(2.4)

Para diagonalizar el hamiltoniano propuso un ansatz para la fun ión de onda

tipo Bethe. Para un sistema de

M

^{pares y}

ν

^{partí ulas} desapareadas en

L

^órbitas

tiene laformade estado produ to:

|Φ >=

Y M α=1

B _α ^† |ν > B _α ^† = X L

i

K _l ^† 2ǫ i − e α

(2.5)

Para que esta fun ión de onda sea autofun ión del hamiltoniano

H BCS |Φ >=

E |Φ >

^{, los parámetros}

e α (α = 1...M)

^{deben satisfa er un onjunto de e ua iones}

a opladas nolineales, lase ua iones de Ri hardson:

1 ∓ 4g X L

i

d i

2ǫ i − e ^α ± 4g X M β(6=α)

1

e α − e ^β = 0

^(2.6)

donde

d i = ν i /2 ± Ω ⁱ /4

^.

Los autovaloresdel hamiltonianoen fun ión de estos parámetros son:

E = X L

i

ǫ i ν i + X M

α

e α

^(2.7)

por lo que se puede interpretar que los parámetros

e α

^{son las energías de los}

pares.

•

^{Deriva iónde (2.6, 2.7):}

Apli ando el hamiltoniano (2.1) a la fun ión de onda (2.5) se obtienen dos

términos:

H |Φ >=

Y M α

B _α ^† H |ν >

| {z }

(1)

+

"

H, Y M

α

B _α ^†

#

|ν >

| {z }

(2)

El primero de ellos no es más que la suma de las energías de las partí ulas

desapareadas:

(1) = X

i

ǫ i ν i |Φ >

El segundo puede dividirse en dos sumandos:

(2) = X M

α



 Y M γ(6=α)

B _γ ^†



 [H, B _α ^† ] |ν >

| {z }

(2A)

+ 1 2

X M α,β(α6=β)



 Y M γ(6=α,β)

B _γ ^†





h [H, B _α ^† ], B _β ^† i

|ν >

| {z }

(2B)

Utilizando

[H, B _α ^† ] = X L

i

1 2ǫ i − e α

2ǫ α K _i ^† ± g X

j

K _j ^† (Ω i − 2N ⁱ )

!

y

h

[H, B _α ^† ], B _β ^† i

= ∓2g X L

ij

1 2ǫ i − e α

1 2ǫ i − e β

K _i ^† K _j ^†

se tiene

(2A) = X M

α

e α |Φ > + X M

α



 Y M γ(6=α)

B _γ ^†



 |ν > + X L

i

A ^† _i 1 ∓ 4g X L

j

d j

2ǫ j − e α

!

|ν >

(2B) = ±4g X M

α



 Y M γ(6=α)

B _γ ^†



 X L

j

A ^† _j

! _M X

β(6=α)

1

e α − e ^β |ν >

Sumando ambos términosse obtiene:

H |Φ >=

X L l

ǫ l ν l + X M

α

e α

!

|Φ >

+ X M

α



 Y M γ(6=α)

B _γ ^†



 X L

j

K _j ^†

! 

1 ∓ 4g X L

i

d i

2ǫ i − e α ± 4g X

β(6=α)

1 e α − e β



 |ν >

para que

|Φ >

^{sea autoestado del}hamiltonianoel segundo términodebe anu- larse,de donde seobtienen lase ua iones de Ri hardson. Elprimero,propor-

ionala

|Φ >

^{, dala energía.}

2.1.2 Integrales de movimiento para un sistema de espines

intera tuantes

Amediados de los70 Gaudin[8℄en ontrótres familiasde integralesde movimiento

paraun modelode espines intera tuantes. Para un sistema de

N

^{espines, denelos}

N

^operadores

H j = X N

i

X

k

W _ji ^k σ _j ^k σ ^k _i

^(2.8)

donde

σ _j ^k

^{es la matriz de Pauli de omponente}

k

⁽

k = x, y, z

^{) para el espín}

j

^.

W ji

^{son fun iones de dos parámetros omplejos}

W (η j , η i )

^{que umplen la ondi ión}

de antisimetría

W _ij ^k = −W ji ^k

^{. Para que estos operadores sean} invariantes uánti os, esde ir,

[H i , H j ] = 0

^{, setiene que umplirla rela ión:}

W _ij ^x W _jl ^z + W _jl ^y W _li ^x + W _li ^z W _ij ^y = 0

^(2.9)

Gaudin en uentra lasolu ión aestas e ua iones. Para elmodelo XXZ, es de ir,

W _ij ^x = W _ij ^y

^{, obtienetres familiasde} solu iones:

1. Familiara ional:

X ij = Z ij = 1 η i − η j

(2.10)

2. Familiatrigonométri a:

X ij = 1

sen(η i − η ^j ) Z ij = cot(η i − η j )

^(2.11)

3. Familiahiperbóli a:

X ij = 1

senh(η i − η ^j ) Z ij = coth(η i − η j )

^(2.12)

donde

X ij ≡ W ij ^x

^y

Z ij ≡ W ij ^z

^y

η i

^{son parámetros libres.}

Así mismo, resuelve el problema de diagonaliza ión de las integrales. Para un

sistema de

N

^{espines on omponente}

z

^{de espín total}

S ^z = N/2 − M

^{propone un}

ansatz tipoBethe para lafun ión de onda:

|Φ >=

Y M α

S _α ⁻ |F >

^(2.13)

donde

|F >

^{es el estado} ferromagnéti o de espín máximo.

S _α ⁻

^{son operadores}

que dependende un parámetro

e α

^{denidos de laforma:}

S _α ⁻ = X

i

u i (e α )σ _i ⁻

^(2.14)

donde

σ _i ⁻

^{es el operadorde Pauli}

σ _i ⁻ = σ ^x _i − iσ ^y i

^{, que disminuye la omponente}

z

^{de espín.}

Para que esta fun ión de onda sea autofun ión de los operadores (2.8) las fun-

iones

u i (e α )

^{tienen quetenerla siguienteforma,para lasdistintasfamiliasde inte-}

grales:

1. Familiara ional:

u i (e α ) = 1 2η i − e α

(2.15)

2. Familiatrigonométri a:

u i = 1

sen(e α − η i )

^(2.16)

3. Familiahiperbóli a:

u i = 1

senh(e α − η ⁱ )

^(2.17)

y losparámetros

e α

^{deben satisfa er las}e ua iones:

X N i

1 2η i − e α

+ 2 X M β(6=α)

1 e α − e β

= 0

^(2.18)

para lafamiliara ional,

X N i

cotg(e α − η i ) − 2 X

β(6=α)

cotg(e α − e β ) = 0

^(2.19)

para lafamiliatrigonométri ay

X N i

cotgh(e α − η i ) − 2 X

β(6=α)

cotgh(e α − e β ) = 0

^(2.20)

para la familiahiperbóli a.

Los autovaloresde lasintegrales(2.8)

H j |Φ >= h j |Φ >

^son:

h j = X N i(6=j)

1

2η j − 2η ⁱ − 2 X M

α

1

2η j − e ^α

^(2.21)

h j = X N

i

cotg(η j − η i ) − 2 X M

β

cotg(e α − e β )

^(2.22)

h j = X N

i

cotgh(η j − η ⁱ ) − 2 X M

β

cotgh(e α − e ^β )

^(2.23)

para lasfamilia ra ional,trigonométri aehiperbóli a respe tivamente.

Gaudin sedio uenta de las similitudesentre sus resultados obtenidos y lasolu-

iónde Ri hardson (nótesequepara el asora ionallafun iónde onda eslamisma

y lase ua iones sólodieren en un término). Sin embargo nofue apazde estable-

er una rela iónentre ambosproblemas. A posteriori se havisto que larela ión es

sen illa: Deniendo los operadores de Paulien términos de operadores de rea ión

y destru iónde fermionestaly omolo hizoRi hardson, ytomandouna ombina-

ión lineal de las integrales de movimiento delmodelo ra ionalse puede obtener el

hamiltoniano BCS on niveles de energía de partí ula independiente degenerados.

Esta degenera ión puede romperse añadiendo a las integrales un término lineal en

σ ^z

^{,que esel} responsabledeltermino de diferen ia queapare e entre lase ua iones de Ri hardson y lasde Gaudin.

En1983obtuvolamismasolu iónatravésdeladeni ióndeunálgebra(álgebra

de Gaudin) [9℄ uyos generadores dependen de un parámetro omplejo. Este on-

epto se utilizaráen lasiguientese ión, por lo que suexpli a ión detalladaqueda

para más adelante.

2.1.3 Integrales de movimiento para el modelo BCS

Fueyaanalesde los90 uandoambostrabajosfueron rela ionados. En[13℄ M.C.

Cambiaggio,A. M.F. Rivasy M.Sara eno en ontraron,para un sistemade

N

^par-

tí ulasen

L

^{nivelesde energía,}

L

^{integralesdemovimiento}

R i

^ysus orrespondientes autovalores

r i

^:

R i = K _i ⁰ − g X L j(6=i)

K _i · K j

ǫ i − ǫ j

(2.24)

r _i = d _i



1 − 2g X

j(6=i)

d j

ǫ i − ǫ j − 4g X

α

1 2ǫ i − e α





^(2.25)

donde

K _i ⁰

^,

K _i ⁺

^y

K _i ⁻

^{sonlosoperadores de SU}

_i

^{(2)denidos en (}

2.2

^{)en términos}

de los operadores de rea ión y destru ión de fermiones y

K · K

^{es el produ to}

es alar en SU(2)

K · K = K ⁰ K ⁰ + K ⁺ K ⁻ + K ⁻ K ⁺

^.

ǫ l

^y

g

^{son parámetroslibres, y}

e _α α = 1, ...N/2 − ν

^{son parámetros que deben umplir las mismas e ua iones que}

obtuvo Ri hardson (2.6) para el aso fermióni o.

Mediante una ombina ión lineal de estas integrales de movimiento obtuvieron

el hamiltonianode pairingredu ido (2.1)

H BCS = X L

i

2ǫ i R i + g X L

i

R i

! 2

− g X L

i

K i · K ⁱ

^(2.26)

Porser unafun iónde operadores que onmutan,también onmuta onelresto,

y todas las

R i

^{son integrales de} movimiento. Con la misma ombina ión lineal de los autovaloresse obtienela Energía

H |Φ >= E|Φ >

^,

E = P

i ǫ i ν i + P

α e α

ElálgebraSU(2)tienedimensióntresyrangodos,porloqueelnúmerodegrados

de libertad es uno (por opia del álgebra). Dado que el sistema tiene

L

^{grados de}

libertad,estas integrales demuestran suintegrabilidad.

Como puede observarse, las integrales de movimiento son las mismas que las

obtenidas por Gaudin(2.8) en el aso ra ionalsalvo eltérminolineal en

K ⁰

^{, quees}

elresponsabledelarupturadedegenera iónenlosnivelesdepartí ulaindependiente

y del término adi ional que apare e en las e ua iones de Ri hardson (2.6) y no en

las de Gudin (2.18).

Laforma de lasintegralesde movimientoes independiente de la representa ión

de los generadores del álgebra SU

i

^{(2). Por ello, tomando distintas} representa io- nes o distintas ombina iones de las integrales de movimiento, pueden obtenerse

otros hamiltonianos de interés en físi a y permiten el estudio de fenómenos omo

la transi ión de fase BCS-CBE (Condensado de Bose-Einstein). Además,en [14℄ J.

Dukelsky, C. Esebbag y P. S hu k generalizan el trabajo de Gaudin in luyendo el

término lineal en las integrales de movimiento de las tres familias, lo que da lugar

a la onstru iónde diversos modelosexa tamentesolubles omoelmodelo nu lear

de bosones intera tuantes IBM [15℄ o el modelo de intera ión átomo-molé ula de

Jaynes-Cummings[21℄.

2.2 Solu ión exa ta de modelos de Ri hardson-Gaudin

para álgebras de rango mayor que uno

Los modelos itados hasta ahora están basados distintas representa iones de las

álgebras de rango uno

SU(2)

^y

SU(1, 1)

^{. En 1994 Ushveridse [18℄, ha iendo uso}

de las álgebras de Gaudin, generaliza estos modelos a álgebras de rango mayor;

en ontrando,paraunsistemade

L

^{opiasdeunálgebradeLiesemisimple}arbitrario,

L

^{integralesdemovimiento}fun ionalmenteindependientes, así omosus autovalores yautove tores. LasintegralesdemovimientosonsimilaresalasdeGaudin[9℄, pero

ontienenun términolineal en los generadoresdel subálgebrade Cartan.

Más tardeM. Asorey, F. Fal etoy G.Sierra [19℄ llegaronalmismo resultado de

lasintegrales de movimientoy sus autovalores desdeun pro edimientodistinto.

Enestetrabajodetesisdo toralsehangeneralizadolosresultadosdeUshveridse

para las familiasde integrales de movimientotrigonométri a e hiperbóli a para un

sistemade opias de un álgebra de Lie de rango arbitrario.

En esta se ión se denirán las álgebrasde Gaudin y se expondrá el trabajo de

Ushveridse, así omo lageneraliza ión aotras familiasde solu iones.

Combiene desta ar que para un sistema de

L

^{opias de un álgebra de rango}

mayor que uno, el número de grados de libertad es mayor que

L

^{, por lo que las}

L

integralesobtenidas no aseguran la integrabilidaddelsistema.

Lanota iónqueutilizaréparatodoslos on eptosalgebrai osserá lamismaque

en el apéndi eA.

2.2.1 Álgebras de Gaudin

SedeneunálgebradeGaudin

G( L)

^{aso iadaaunálgebradeLie}

L

^{omounálgebra}

de dimensión innita uyos generadores

S ^a (λ)

^{dependen de un parámetro omplejo}

λ

^{y umplen las rela iones de} onmuta ión:

[S ^a (λ), S ^b (µ)] = C _c ^ab {X b (λ − µ)S ^c − X a ^∗ (λ − µ)S ^c (µ) }

^(2.27)

donde

C _c ^ab

^{son las onstantes de estru tura del álgebra de Lie}

L

^y

X a (λ)

^son

fun iones meromór as omplejas aso iadas al generador del álgebra de Lie

S ^a

^.

Hay una sumaen índi esrepetidos.

Tomando,para todo

a

^,

X a (λ) = 1/λ

^{( aso ra ional),lasrela iones de onmuta-}

ión sees riben

[S ^a (λ), S ^b (µ)] = C _c ^ab S ^c (λ) − S ^c (µ)

λ − µ

^(2.28)

De di has rela iones se puede demostrar quelos operadores K

(λ)

^denidos:

K

(λ) ≡ g ^ab S ^a (λ)S ^b (λ)

^(2.29)

onmutan entre ellos:

[

^K

(λ),

^K

(µ)] = 0

^(2.30)

para todo

λ

^y

µ

^{, es de ir, forman un onjunto ompleto de operadores que}

onmutan. Pese a esta propiedad, no son asimires del álgebra de Gaudin ya que

no onmutan on todos loselementos delálgebra.

2.2.2 Integrales de movimiento para el aso ra ional

Hasta ahora no se ha asumido ninguna forma espe ial para los generadores del

álgebra de Gaudin. Considérese la realiza ión en términos de los generadores del

espa io suma de un número

L

^{de opiasdel álgebrade Lie}

L ¹ ⊕ L ² ⊕ ... ⊕ L ^L

^:

E ^α (λ) =

X L i=1

E _i ^α

z i − λ H ^a (λ) = X L

i=1

H _i ^a

z i − λ + C ^a

^{1 (2.31)}

donde

E _i ^α

^,

H _i ^a

^,

a = 1...r

⁽

r

^{rango del álgebra) son los operadores es alera y}

operadores de Cartan del álgebra

L i

^{respe tivamente. 1 es el operador unidad,}

z i

L

^{parámetros libres y}

C ^a r

^onstantes arbitrarias. Se puede omprobar que estos operadores umplen las rela iones de onmuta ión(2.28). Con esta realiza ión, los

operadores

S _i ^a

^{de ada opia delálgebra seobtienen:}

S _i ^a = Res (S ^a (λ), λ → z i )

^(2.32)

Es ribiendo los operadores K

(λ)

^{en términosde esta} representa ión y tomando el residuoen

λ → z i

^{se obtienen}

L

^{operadores que por(2.30) onmutan entre sí:}

R _i = − X L j(6=i)

S i · S ^j z i − z j

+ C ^a H _i ^a

^(2.33)

Dado que las integrales de movimiento se han obtenido a partir del residuo

de unos operadores invariantes uánti os del álgebra de Gaudin, el problema de

obten ión de autovalores de las integrales puede mapearse en otro problema de

diagonaliza iónde estos invariantes uánti os:

K

(λ) |Φ >= k(λ)|Φ >

^(2.34)

y losautovalores de (2.33) serán

r i = Res(k(λ), λ → z ⁱ )

^.

Para resolver elproblema de diagonaliza iónUshveridse [18℄ propuso un ansatz

para la fun ión de onda dependiente de

r

^{familias de parámetros (}

r

^{rango del ál-}

gebra):

ζ _α ^a

^{. Apli ando los operadores K}

(λ)

^{obtuvo un término} propor ional a la fun ión de onda y otros queno loson. El primeroes el orrespondientea los auto-

valores, y para que el resto se anulen obtiene unas ondi iones que deben umplir

los parámetros

ζ _α ^a

^{. El pro eso de obten ión es largo, por lo que expondré sólo los}

resultados:

Para es ribirelansatzde lafun iónde ondautilizólades omposi ióndelálgebra

de Gaudin dada porla adenade raí es singulares (Apéndi e A):

G( L) = G( E ^−r ) ⊕ G(H ^r ) ⊕ G(E ^r )

⊕ G(E ^−(r−1) ) ⊕ G(H ^r−1 ) ⊕ G(E ^r−1 )

⊕... ⊕ G(E ⁻¹ ) ⊕ G(H ¹ ) ⊕ G(E ¹ )

(2.35)

Sedenotanloselementosde adasubálgebra

G( L ^p ) = (G( E ^−p ) ⊕ G(H ^p ) ⊕ G(E ^p ))

omo

E p (λ)

^,

H p (λ)

^{,esde ir,elsubíndi e denotaelsubálgebrade la adenaalaque}

pertene en y no al elemento on reto del álgebra. Se dene la matriz

E ˆ _q ( E p )

^{, que}

a túa sobre el subespa io de operadores

E ^p

onvirtiéndolos en operadores de otro subespa io

E q

^:

[E q , E p ] = − ˆ E q ( E ^p )E p

^para

0 < |q| < |p|

^(2.36)

Esta matriz está formada por elementos orrespondientes a todas las ombina-

iones de raí es positivasentre lossubespa ios

p

^y

q

^.

Con estas deni iones, la autofun ión para ada representa ión irredu ible des-

rita porsu estado de máximo peso

|Λ >

^{viene dada porla expresión:}

|Φ > =

( _M r

O

α=1

E _−r (ζ _α ^r )

) ( _M r−1

O

β

"

E ^−(r−1) (ζ _β ^r−1 ) −

M ^r

X

δ=1

E ˆ _−(r−1) ( E r ) ζ _β ^r−1 − ζ δ ^r

#)

×... × ( _M ¹

O

γ=1

"

E ⁻¹ (ζ _γ ¹ ) − X r a=2

M ^a

X

η=1

E ˆ ₋₁ ( E a ) ζ _γ ¹ − ζ η ^a

#)

|Λ >

^(2.37)

donde

{ζ α ^a }

^son

r

^{onjuntos (}

a = 1, ..., r

^{) de}

M ^a

^{variables, on}

M ^a

^:

M ^a = 2

|α ^a | ² X r

b=1

F ba

X L i=1

Λ ^b _i − λ ^b 0

!

(2.38)

donde

α ^a

^{es la raíz simple aso iada al índi e}

a

^,

F

^{es la forma uadráti a del}

álgebra,

Λ ^a _l

^{es la etiqueta de Dynkin del estado de máximo peso}

h ^a _i |Λ >= Λ ⁱ |Λ >

y

λ ^a ₀

^{el autovalor del generador de Cartan total en la base de Chevaley, es de ir}

( P L

i h ^a _i ) |Φ >= λ ^a 0 |Φ >

^.

Enel aso de SU(2), dado que el álgebraes de rango uno, sólohay un onjunto

de parámetros,las energíasde pares

e _α

^{, y (2.38) se redu eal número de pares.}

Lasmatri es

E ˆ _−p ( E a ) ζ _β ^p − ζ α ^a

(2.39)

a túan sobre el espa io de operadores pertene ientes a

E −p

^{que apare en a su}

izquierday quedependendelparámetro

ζ _β ^p

^{,y sobrelasmatri es oníndi es}

^{E ˆ} _ζ ^−a a ^{(E c )} α −ζ γ ^c

,

on

c

^{un índi e arbitrariode ualquier otro subespa iotal que}

c > a

^.

Los parámetros

ζ _α ^a

⁽

a = 1, ..., r

^;

α = 1, ..., M ^a

^{) deben satisfa er un onjunto de}

e ua iones a opladas no lineales,generaliza iónde lase ua iones de RG:

X r b

M ^b

X

β

A _ba ζ _β ^b − ζ α ^a

+ F a (ζ _α ^a ) = 0

^(2.40)

donde

A ba

^{son los elementos de matriz de la matriz de Cartan del álgebra de}

Lie

L

^{, y}

F α (λ)

^{son los} autovalores de los operadores de Cartan del álgebra de Gaudin a tuando sobre el estado de máximo peso de la representa ión irredu i-

ble:

H ^a (λ) |Λ >= F ^a (λ) |Λ >

^{. Estas e ua iones oin iden on las de Ri hardson}

para el álgebrade SU(2).

Finalmente, los autovalores

k(λ)

^{de los operadores (2.29) tienen laforma:}

k(λ) = X r a=1



F a (λ) + α ^a ∂

∂λ



F a (λ) + 2 X r a=1

M ^a

X

α=1

F a (λ) − F a (ζ _α ^a ) λ − ζ α ^a

(2.41)

Por onvenien ia apartir de ahora utilizaré labase de Chevaley para es ribirel

término lineal de las integrales de movimiento (2.33) de tal manera que en vez de

las onstantes

C _i ^a

^{apare erán otras}

ξ _i ^a

^{y las integralesquedarán es ritas:}

R i = − X L j(6=i)

S i · S j

z i − z j

+ ξ ^a F ab h ^b _i

^(2.42)

donde

F

^{esla forma uadráti a delálgebra de Lie.}

En términos de estas nuevas onstantes las e ua iones generalizadas de RG se

es riben:

X r b

M ^b

X

β

A ba

ζ _β ^b − ζ α ^a

− X L

i

Λ ^a _i z i − ζ α ^a

= ξ ^a

^(2.43)

donde

Λ ^a _i

^{eslaetiquetadeDynkindelestadodemáximopesodela}representa ión irredu ible,es de ir

h ^a _i |Λ >= Λ ^a i |Λ >

^{. Tomandoel residuode los}autovalores (2.41) en

λ = z i

^{sellegaalaexpresiónparalos}autovaloresdelasintegralesdemovimiento (2.42):

r i = ξ · F · Λ i + X L j(6=i)

Λ j · F · Λ i

z j − z ⁱ − 1 2

X r a=1

M ^a

X

α=1

Λ ^a _i |α ^a | ²

ζ _α ^a − z ⁱ

^(2.44)

Para el asodelasálgebrasde rangounoSU(2)ySU(1,1),eligiendo

ξ = −1/(2g)

estasintegrales,autovaloresye ua ionesseredu enalasobtenidasporM.C. Cam-

biaggio y olaboradores (2.24) (salvo por un fa tor

2g

^{) y a las e ua iones de Ri-}

hardson (2.6).

2.2.3 Generaliza ión de la solu ión a otras familias de inte-

grales de movimiento

LosresultadosdeUshveridsepartendesuponerlasfun iones

X a (λ)

^{en(2.27)iguales}

para todos los generadores y de la forma

X(λ) = 1/λ

^{(forma ra ional). Aquí se}

generalizarán las solu iones a otras familias. Partamos del aso general en que

todas las

X a (λ)

^{son fun iones} meromór as ualesquiera. Utilizando la base de Cartan-Weyl, se denota

Z _a (λ)

^{a la fun ión} orrespondiente alCartan

H ^a (λ)

^{, y}

X _α

ala orrespondiente aloperador es alera

E ^α (λ)

^.

Se toma la siguiente realiza ión de los operadres del álgebra de Gaudin en tér-

minosdelosgeneradoresdelespa iosumade unnúmero

L

^{opiasdelálgebrade Lie}

⊕ ^L i L i

^:

E ^α (λ) = X L

i=1

E _i ^α X α (z i − λ); H ^a (λ) = X L

i=1

H _i ^a Z a (z i − λ) + C ^a

^{1 (2.45)}

donde

z i

^son

L

^parámetros arbitrarios,

C ^a

^son

r

^{onstantes y 1 es el operador}

unidad. Nótese que en el aso

X α (λ) = Z a (λ) = 1/λ

^esta representa ión se redu e a(2.31).

La hermiti idad de los artanes

(H ^a (λ)) ^† = H ^a (λ)

^{y la ondi ión}

E ^α (λ) = (E ^−α (λ)) ^†

^{para los operadores es alera impli an:}

Z a (λ) = Z _a ^∗ (λ); X α (λ) = X _−α ^∗ (λ) ∀a, α

^(2.46)

Para que estos operadores así denidos umplan las rela iones de onmuta ión

del álgebrade Gaudin(2.27) se deben satisfa er las ondi iones: