Alta interacción

Introdu ion a los fenomenos

rti os y al Grupo de

Renormaliza ion

2.1. Introdu ion. Fenomenos rti os

Como ya se ha men ionado en el aptulo 1, las transi iones de fase ontinuas

estan aso iadas a la presen ia de un punto rti o en el diagrama de fases (ver, por

ejemplo,laFig.1.1).Enlasproximidadesdedi hopunto rti olossistemaspresentan

un omportamiento que se suele denominar fenomeno rti o. Una de las primeras

observa ionesde laexisten iadeun fenomeno rti osedebeaAndrewsque,en1869,

presento sus resultados sobre la opales en ia rti a en dioxido de arbono. Hasta el

momento en que Andrews observo tal fenomeno, se rea que la transi ion de lquido

a gas que se observa en uidos al disminuir la presion a temperatura (T) onstante

era de primer orden para ualquiervalor de T.Sin embargo, latransi ion pasa de ser

de primer orden a ser ontinua en el punto (T

;p

) del diagrama de fases T-p. Tras

las observa iones de Andrews, en 1873, van der Waals propuso la e ua ion de estado

que llevasu nombre y, de esta manera,introdujotambien una des rip ion teori a del

omportamientode uidosen laregion rti a. A pesar de que hoy en dasesabe que

esta des rip ion no es uantitativamente exa ta para temperaturas er anas a T

, el

trabajo de Vander Waals supuso un avan e teori o importanteen la omprensionde

losfenomenos rti os.Porotrolado,P.Curieobservoqueunsistemaferromagneti oa

temperaturas moderadaspasaaser paramagneti oapartirde una iertatemperatura

T

en ausen ia de ampo magneti o [Fig. 1.1℄. Esta fue una observa ion pionera en

el omportamiento rti o de sistemasmagneti os. Apartir de estos experimentos, en

1907, Weiss propuso una teora para sistemas ferromagneti os que lleva su nombre.

Igual que la teora de van der Waals para uidos, la teora de Weiss es orre ta solo

desde un punto de vista ualitativo. Sin embargo, fue un avan e importante en la

omprension de transi iones de fase en sistemas magneti os. A tualmente, tanto la

teoradevanderWaals omoladeWeissseenmar andentrodelgrupodelasllamadas

teorasde ampomedio, grupo alque pertene e tambien lateorade Landaudes rita

en el aptulo anterior.

A partir de todos estos avan es de nales del siglo XIX y primeramitad delXX,

se llego a la on lusion de que el omportamiento de las magnitudes observables (A)

er a de un punto rti o viene dado por

Au

 0

f

(2.1)

donde u

f

es una variable de es ala fenomenologi a que se rela ionara en la se ion

x2.2.5 onelGrupode Renormaliza ion.Estarela ionsirve omodeni ionde losex-

ponentes rti os (denotadoenlae ua ion(2.1)por 0

).



Estosdependendelobservable

alque ara terizan y, en prin ipio,del sistema alque se reeren. Se denen positivos

y el signo que pre ede a ada uno depende tambien delobservable en uestion. En el

uadro 2.1se resumen los exponentes rela ionados on losobservables ara tersti os

deun sistemaferromagneti o.Tambien seintrodu elavariablede es alaen ada aso

y el signo que a ompa~na al exponente en la e ua ion (2.1). Para mas informa ion,

ver porejemplo la Ref.134 donde sedetalla este puntode forma lara, introdu iendo

tambien losexponentes analogos (y on igual nombre)para uidos.

Los exponentes rti os se pueden onsiderar omo el \ingrediente" prin ipal en

ualquierteorade fenomenos rti os.Esto esdebido,en granmedida,aquesistemas

que aparentemente tienen un omportamiento ma ros opi o distinto, se ara terizan

por el mismo onjunto de valores para los exponentes rti os. Esta es una de las

manifesta ionesde loque sehadado en llamaruniversalidad. Es uriosoverque,aun

antes de que losexponentes rti os se denieran omo tal,ya haba eviden ias de la

existen iadeuna iertauniversalidad.Un aso laroenqueo urreestoeslaextension

delprin ipiode estados orrespondientes 1

asistemasquenosiguenlae ua ionde van

derWaals.EnlaFig.2.1[135℄,sepresentaunejemplode omo,alrepresentarT=T

en

fun iondeladensidad divididaporladensidad enelpunto rti o 

,seobtieneuna

1

Estaleysededujoini ialmente de lae ua ionde vanderWaals (ver Ref.134) pero, posterior-

mente,se des ubrioque tambien era valida para sistemas que no obede en la e ua ion de van der

Cuadro 2.1: Deni ion de los exponentes rti os en una transi ion desde una fase para-

magneti a a una ferromagneti a. En ada aso se apli a la e ua ion (2.1) variando solo la

magnitud que apare e en la variable de es ala y dejando el resto de variables onstantes.

Se indi a expl itamente el signo de la variable de es ala (T T

)=T

que se debe utilizar

dependiendode siT >T

obienT <T

.Enel asode lamagnetiza ion,larela ion(2.1) es



uni amentevalidapara T <T

yaque,para T >T

,lamagnetiza iones ero.

Observable u

f

 0

Calor espe  o (C

H

) (T T

)=T

Magnetiza ion(M), T <T

(T T

)=T

+

Sus eptibilidad magneti a () (T T

)=T

Magnetiza ion(M) H +1=Æ

Longitud de orrela ion() (T T

)=T



Fun ionde orrela iona pares distan ia (d 2+)



uni a urva para diferentes gases. Este olapso de urvas orrespondientes a sistemas

ondistinto omportamientose onsidera en laa tualidad omoun aso parti ularde

es alado para uidos. En las se iones x 2.2.4 y x 2.2.5 se introdu e una expli a ion

general a los olapsos de este tipo. Por otro lado, en la se ion x 2.2.6, se estudia la

universalidad on algomas de detalle.

Como se ha di ho, para sistemas reales, la e ua ion de estado de van der Waals

no es valida en las proximidades del punto rti o. Este he ho provo o la busqueda

de una e ua ion de estado valida er a del punto rti o. Fue Widom en 1965 [136℄

quien en ontro una solu ion al problema postulando la homogeneidad de la energa

libre er a del punto rti o. A pesar de que la hipotesis de homogeneidad no estaba

totalmentefundamentada, on estateorafueposible en ontraralgunasrela iones en-

treexponentes. Posteriormente, en1966,Kadano[137℄ enfo oelproblemadesdeuna

perspe tiva diferente sin ha er dire tamente la hipotesis de homogeneidad. Con este

enfoque, se logro obtener resultados similares a los de Widom y, ademas, fue posible

en ontrar algunasrela iones entre elexponente aso iado ala fun ionde orrela ion

y el resto de exponentes rti os. Esto no se haba onseguido utilizando la teora de

Widom.Apesarde quelateoradeKadanoevitalahipotesisdehomogeneidad,tam-

po o esta exenta de hipotesis que requeran una teora mas ompleta. En la se ion

x2.2.5se omentabrevemente omoseresuelveelproblemaprin ipaldelplanteamien-

tode Kadano(en laRef. 138 sedan masdetallessobre losproblemasde la teorade

Figura 2.1: Representa ion de

T=T

en fun ion de =

para 8

gases distintos sobre la urva de

oexisten ia.ExtradodelaRef.135.

Fue Wilson 2

quienpropuso lateoraqueresolveragranpartedelosproblemasque

presentaban lasteorasanteriores.Esta teoraeslaquesellamoGrupo de Renormali-

za ion (GR)apli adoafenomenos rti os.Wilson introdujolateoraendosart ulos.

El primero de ellos esta dedi ado al GR en el espa io real [139℄ mientras que, en el

segundo, introdu e la formade apli ar elGR en el espa iode momentos[140℄.

Desde que Wilson publi ara sus resultados en 1971, han sido mu has las publi a-

ionesque han apare ido tratando lasideas delGR.Ver, porejemplo lasRefs.10,11,

19,20,138,141{148.

Enloquesigue,sepresentaranalgunasdelasideasfundamentalesdelGRapli ado

a fenomenos rti os. En la se ion x 2.2 se presentara un resumen del formalismo

del GR en el espa io de posi iones para sistemas estati os y de tama~no innito. El

desarrollo se ha e en el espa io real puesto que es el mas apropiado para sistemas

de variables dis retas tipo espn omo el que se estudia en esta tesis [Captulos 4

y 5℄. Por otro lado, el GR se ha estudiado tradi ionalmente en sistemas en que la

me ani aestadsti a tradi ionalesvalida (verdis usionmasadelante on referen iaa

lasE s. (2.4) y (2.5)). Sin embargo, esta hipotesis noes estri tamente ne esaria para

la apli a ion del GR ( onsultar nota 79 en la Ref. 138) y, en el aso parti ular de

esta tesis, es ne esaria una introdu ion pres indiendo de di ha hipotesis para poder

apli arlas ideas delGR asistemas desordenados on dinami a metaestable.

La se ion x 2.2 se divide en seis subapartados. En el primero de ellos [x 2.2.1℄

2

K.G.Wilsonre ibioelpremioNobelen1982gra iasasustrabajossobreelGrupodeRenorma-

se introdu e, en dos pasos, la transforma ion del GR en el espa io real utilizando

una red de espines. Seguidamente, en el subapartado x 2.2.2, se dene un espa io en

el que se puede des ribir geometri amente el omportamiento de un sistema bajo la

transforma iondelGR.Enelsubapartadox2.2.3sedenenlasmagnitudesapropiadas

(variables de es ala) para des ribir la transforma ion del GR. A ontinua ion, en el

subapartadox 2.2.4, se introdu e elformalismo de invariantes bajo la transforma ion

del GR y, a partir de di ho formalismo, se dedu en rela iones de es ala 3

de forma

general. El on epto de invariantes permitira extender las rela iones de es ala, bien

ono idas en sistemastradi ionales, asistemas desordenados ( aptulo 5). Trashaber

obtenidolasrela ionesdees alaengeneral,seintrodu iranenelproblemalasvariables

de ontrol ( omo por ejemplo la temperatura o el ampo magneti o) que son las que

permitenunirlasideasdelGR onlasde fenomenos rti os.Finalmente,para a abar

lase ion2.2,sedis utirael on eptode universalidaddesdeelpuntodevistadelGR.

Enlase ionx2.3seextienden lasideasintrodu idasen lase ionx2.2asistemas

nitos y se dis ute la extrapola ion al lmite termodinami o a partir del analisis de

sistemasnitos.Seguidamente, en lase ion x2.4seintrodu enalgunasideas rela io-

nadas on elGR apli adoa sistemasdinami os.

Enlase ionx2.5sepresentaunresumendelasideasprin ipalessobrelaapli a ion

del GR a las transi iones de fase de primer orden. Este es un tema que no se trata

habitualmente en los textos dedi ados al GR. Sin embargo, es un punto interesante

que, de he ho, se utiliza mas adelante en la tesis [x 5.11.3℄ dentro del ontexto del

RFIM.

2.2. Grupo de Renormaliza ion

2.2.1. Transforma ion del Grupo de Renormaliza ion

Supongamosuna red generi a 4

de N espines fs

i

;i=1;2:::Ng on Hamiltoniano

H(f

p g;fs

i g)=

X

p



p Y

i2p s

i

!

; (2.2)

dondep denota un onjunto de lugares en la red y f

p

g esun onjuntode onstantes

de a oplamiento. Separando las intera iones por lases, segun el numero de espines

3

No onfundireltermino\rela ionesdees ala" onlasrela ionesentreexponentes rti os.

4

A este nivel de exposi ion de las ideas, no es importante la geometra on reta de la red. Sin

embargo,laele ionmashabitualalolargodelatesisseraunaredhiper ubi aenddimensionesy,

queintera tuan en ada una de ellas, podemos es ribirel Hamiltoniano omo

H(f

p g;fs

i g)=

N

X

i



i s

i +

N

X

i N

X

j>i



ij s

i s

j

+:::: (2.3)

Despre iandoterminosdeordensuperior,obtenemoselHamiltoniano(1.16)introdu i-

doenlase ionx1.4.1y, omovimosendi hase ion,elprimersumatorio orresponde

aun ampolo alquea tuasobre ada espn. Elsegundo orresponde alaintera ion

apares de espines(en general, ualquier par),y as su esivamente. Es fa ilrela ionar

estaterminologa onlade lae ua ion(2.2).Enelprimersumatoriode(2.3)apare en

N de las onstantes de a oplamientode (2.2)y, en elsegundo, apare en N(N 1)=2.

Es oportuno remar ar en este punto que, aunque en la introdu ion sera tal vez

mas sen illo haber utilizado desde el prin ipio el Hamiltoniano (1.16), es apropiado

introdu ir un Hamiltoniano general (2.2) en que apare en todas las onstantes de

a oplamiento posibles para no restar generalidad a las ideas del GR. Como veremos

masadelante, en general es ne esario onsiderar innitas onstantes de a oplamiento

en el Hamiltoniano.

Para des ribir el omportamientode un ierto sistema, se ne esita por un lado el

Hamiltoniano(2.2)y,porotro,ladistribu iondeprobabilidadparalas ongura iones

de espines fs

i

g, denida a partir delHamiltoniano:

P(f

p g;fs

i

g)=P [H(f

p g;fs

i

g)℄: (2.4)

En parti ular, omo ya se ha adelantado en la se ion x 2.1, es habitual utilizar la

distribu ionde la ole tividad anoni a denida omo 5

P(f

p g;fs

i g)=

e

H( fpg;fs

i g)

Z

; (2.5)

donde Z es la fun ion de parti ion. Sin embargo, las ideas fundamentales del GR no

pre isan de esta hipotesis sobre P(f

p g;fs

i

g) y, de he ho, en sistemas desordenados

puede ser diferenteaesta.

Llegado el punto de introdu ir el GR hay que de ir que no existe una deni ion

pre isa de lo que se entiende por GR. De ualquier manera, la idea en la que se

fundamenta es la observa ion de que los sistemas que estan er a de una transi ion

de fasede segundo ordenson invariantes bajo transforma ionesde es ala 6

.Utilizando

estaidea, en elespa iorealsesuele introdu irlatransforma iondelGRmediantedos

pasos:

5

Consideraremosquelas onstantesdea oplamientointrodu idasen(2.2)ya ontienenelprefa tor

habitual1=k

B T.

6

i) Agrupa ion 7

(o transforma ion de Kadano): Este paso es basi amente el

pro edimientoquepropusoKadanoen1966[149℄ omoalternativaalahipotesis

de homogeneidad de lasmagnitudes er a de un punto rti o.

La agrupa ion onsiste en dividir los nodos de la red en onjuntos o bloques

disjuntos.Seguidamente,trasagruparlosespinesfs

i g

I

pertene ientesaun ierto

onjuntoI,seasignaun valorde espns

I

querepresentaatodoel onjuntoy se

situaenalgunaposi iondentrodelarea ubiertaporelbloque.Latransforma ion

se onsidera orre ta siempre y uando la red transformada sea exa tamente

omolaoriginalpero onunparametrode redmayory,en algunos asos,rotada

respe to a la original.Esto es posible siempreque la red originaltenga simetra

dis retade es alado 8

[146℄.

No existe una norma que se pueda utilizar on \re eta" para la asigna ion del

valorde los espines transformados,aunque la ele iondebe umplir iertaspro-

piedades.Porejemplo,si onsideramosunareddeespinesenque adaunopuede

tomarsolodos valores1, tambien elespnrepresentantede un ierto onjunto

debe tomar solo estos dos valores. Un ejemplo de este tipode transforma iones

es la regla de la mayora que onsiste en asignar a s

I

el signo mayoritario de

entre los espines fs

i g

I

del onjunto I-esimo. Para jar ideas, y omo ejemplo,

supongamos una red uadrada innita de parametro a [Fig. 2.2(a)℄ en que ha-

emosuna agrupa ion on uadrados de b espinespor lado (b=3en este aso).

Al pasar a los espines transformados por laregla de la mayora [Fig. 2.3(b)℄, se

obtieneuna red de parametro ba. Aspues, alha er laagrupa ion, en generalel

parametrode red ambia omo:

a!a(b)=ba: (2.6)

Enesteejemplo on retosehautilizadob =3pero, enadelante, onsideraremos

queuna agrupa iongeneri aviene parametrizadaporun iertoparametrobque,

en general,puede ser ualquierreal positivo.

ii) Renormaliza ion:Si,tras ha er latransforma ionanterior,se rees alan lasdis-

tan ias en la red de tal manera que en las nuevas unidades los espines trans-

formados esten separados por la distan ia original a, se onsigue que el siste-

ma transformado sea isomorfo al original [Fig. 2.2( )℄, aunque la ongura ion

de los espines sera lo almente diferente y, omo se vera mas adelante, solo en

7

Utilizoelterminoagrupa ionparadesignarlaopera ionqueeninglessedenomina omoblo king.

8

b=3 a

(a)

Agrup.

a(b)=ba

Renorm.

(b) ( )

Figura 2.2: (a)Agrupa ion on parametrob=3 enuna red uadradade parametroa. (b)

Resultadode ha er laagrupa ion.( ) Red renormalizada.

iertas ondi iones puede onsiderarse estadsti amente igual a la red original.

Estepro edimiento onsistesimplementeen renormalizarlasdistan iasalnuevo

parametrodered.Poresto tienesentido referirseaesta opera ion oneltermino

\Renormaliza ion".Wilson,trabajando en elespa iode momentos[140℄,justi-

aeste nombre porla transforma ionde losespines alapli ar latransforma ion

delGR.Aunqueaparentementeesun motivodistinto,losdos sonvalidospuesto

que, on lanalidadde queel sistematransformadosea lo maspare ido posible

aloriginal,se renormalizantanto lasdistan ias omo el valorde los espines.

Resumiendo,en esta opera ion,si R esuna iertadistan iaen elespa ioreal, la

distan iaredu ida rR =a transforma omo:

r !r(b)= R

a(b)

=b 1

r; (2.7)

dondese hautilizado (2.6).

Por otro lado, on la nalidadde que el sistema transformado sea formalmente

igualaloriginal,seradeseable queladistribu ionP(f

p

(b)g;fs

i

(b)g;b)en elsis-

tematransformadofueseformalmenteigualquelanotransformadaP(f

p g;fs

i g).

Engeneral,esto es imposiblesi ini ialmenteel numerode onstantes de a opla-

miento es nito. Esto es as porque, al ha er la agrupa ion, apare en innitas

onstantes de a oplamiento entre losespines transformados 9

.

9

Esfa il onven ersedeesto apartirde unejemplo. EnlaRef. 150 seapli anlasideasdel GR

en redes de espines tipo Ising y, on retamente,la resolu ion del problema mediante el desarrollo

en umulantes des ribeeste problema de manera lara.El mismo problema seen uentraresumido

en[11℄.A parte,enunodelosart ulosderevision[138℄de M.E.Fisher,tambiensetratadeforma

Para solventar este problema, es su iente on pedir que quede invariante la

distribu ion onrespe toalas onstantesquesondistintasde erooriginalmente.

Deestamanera,lasnuevas onstantes dea oplamientof

p

(b)gsepueden a abar

expresando en fun ion de las onstantes originalesmediante una apli a ion del

tipo



p

(b)=R

p

[~(1);b℄; (2.8)

donde, para abreviar, se ha denido ~(1) que equivale a f

p

g. En adelante, se

utilizara ~ en vez de ~(1) pero, en este aso, se ha indi ado expl itamente la

dependen ia on bpararemar ar queelsistemaoriginal orrespondeab=1.La

expresion(2.8) se puede es ribir on una nota ion alternativa omo:

~

(b)=

~

R [~(1);b℄: (2.9)

A partir de este punto, utilizaremos esta expresion (o equivalentemente (2.8))

omo deni ion de la transforma ion ombinada de la agrupa ion y posterior

renormaliza ion y, tal omo se ha ido ha iendo hasta este punto, se denomi-

nara transforma iondel GR.

2.2.2. Puntos jos y super ie rti a

Desde un punto de vistageometri o,podemos suponer que las onstantes de a o-

plamientoformanun espa io, quellamaremosespa iode las onstantes 10

.Engeneral,

tendrainnitasdimensiones debidoaque, omose hadi hoantes, alapli arla trans-

forma ion delGR apare en innitas onstantes de a oplamientoaunque ini ialmente

separta de un numero nito.Geometri amente, la apli a ionrepetida de la transfor-

ma ion del GR des ribe una traye toria dis reta(parametrizada por b) en el espa io

de onstantes de a oplamiento.

Experimentalmenteseen uentraquelossistemasqueestan er adeunatransi ion

de fase de segundo orden son estadsti amente invariantes bajo transforma iones de

es ala[151℄.Estosepone demaniestodentrodelmar odelGRmedianteel on epto

de punto jo de la transforma ion del GR. Este punto se dene omo aquel que es

invariante bajo la transforma iondel GR. Matemati amente, a partir de la e ua ion

(2.9) sedene omo aquelpunto~



talque

~

R[~



;b℄=~



: (2.10)

10

Esteespa io tambiense suelellamar espa iode parameros, de Hamiltonianosy, hastain luso,

Teniendoen uentaquealefe tuar unatransforma iondelGRlasdistan ias ambian

segun (2.7), en un punto jo,la longitudde orrela ion(~



) umpleque

(~



)=(~



)=b; (2.11)

de tal manera que (~



) solo puede ser 0 o 1. Siguiendo este resultado, a un punto

jo en el que (~



) = 0 se le llama punto jo \trivial", mientras que uno en el que

(~



)=1sedenominapuntojo rti o.Unpuntojo rti odes ribeunatransi ion

de fase ontinuamientras queun puntojotrivialpuede des ribirtransi ionesde fase

de primer orden[x 2.5℄ en que esnita o, simplemente, des ribe una fase.

Enparti ular, lospuntos~



=0 y~



=1son laramentepuntosjostriviales en

ualquiersistema.

El primero de ellos orresponde a un sistema en que, de forma efe tiva, no hay

a oplamiento entre los espines ni estan a oplados on ningun ampo externo. Por

ejemplo, esto se observa en sistemas que estan a temperatura muy alta y por eso

se a ostumbra a llamar punto jo de alta temperatura [146,147℄. Por ejemplo, en un

sistemade espines onintera ionesferromagneti as,este eselpuntojoque des ribe

la fase en que los espines se orientan aleatoriamente independientemente del resto.

No obstante, este no es el uni o aso en que se observa una gran independen ia del

omportamientode losespines,sinoque,enunsistema ondesorden(notermi o)muy

alto,tambienseobservauna granindependen iaentre losespinesyportantoes omo

si,de formaefe tiva,nointera ionasen. Tomandoesto en onsidera ion,talvez sera

masapropiado llamar aeste punto jo omo punto jo de baja intera ion.

Porel ontrario,elpuntojo~



=1, orrespondeal asoenquetantolatempera-

tura omoeldesordenen elsistematiendena0,obien,laintera ionentre losespines

es muy fuerte. En ualquiera de estos asos existe un orden perfe to en el sistema.

Habitualmente,aeste puntoselehallamadopuntojo de baja temperatura pero, por

la misma razon que antes, se le podra llamar punto jo de alta intera ion. En un

sistema de espines on intera iones ferromagneti as, este punto jo des ribe la fase

enque todoslosespinesson paraleloso, omoveremosen lase ionx2.5, bajo iertas

ondi ionespuede des ribir una transi ionde fase de primer orden.

En referen ia a los puntos jos rti os, es importante de ir que, en general, una

transforma ion del GR puede tener varios de ellos. Para ada uno, se dene omo

super ie rti a 11

el lugar geometri o formado por todos los puntos del espa io de

11

Tambienllamadavariedad rti ayaque,engeneral,lasuper ie rti anoesunasuper iesino

onstantes que, bajo larepeti ionde la transforma iondelGR, uyen ha iael punto

jo.

2.2.3. Comportamiento er a de un punto jo. Variables de

es ala

Cer a de un punto jo ~



, la E . 2.8se puede desarrollar omo:



q

(b)=R

q [~



℄+ X

p L

qp [~



;b℄(

p



p

)+O(2); (2.12)

dondese hadenido un tensor de transforma ionlineal omo

L

qp [~



;b℄



R

q (~;b)



p



~



: (2.13)

De manera mas ompa ta, denotaremos este tensor omo

$

Lb

, de tal forma que, a

primerorden, es posible es ribirla rela ion(2.12) omo

~

(b) ~



=

$

Lb

(~ ~



): (2.14)

Supongamosahora quef

i

(b)g sonlosautovalores de

$

Lb

orrespondientes al onjunto

de autove tores f^e

i

g. Enton es, por deni ion

$

Lb

^e

i

=

i (b)^e

i

; (2.15)

ydadoquedostransforma ionessu esivasparametrizadasporb

1 yb

2

,respe tivamente,

son equivalentes a una uni a transforma ion on parametrob

1 b

2

,se umpleque

$

Lb1



$

Lb2

e^

i



=

$

Lb1b2

^e

i

; (2.16)

Utilizandoahora larela ion(2.15),se llega a la on lusionde que



i (b

1 )

i (b

2 )=

i (b

1 b

2

); (2.17)

uya solu iones



i

(b)=b y

i

; (2.18)

dondefy

i

g esun onjunto de onstantes que sea ostumbran a llamarautovalores del

Grupo de Renormaliza ion y, omo veremos, estan rela ionados on los exponentes

El onjuntode ve tores f^e

i

gforma unabase ortonormal. En onse uen ia, sepue-

den expresar losve tores delespa iode onstantes en di habase

~

 ~



= X

i u

i

^ e

i

: (2.19)

Enesta rela ionsehan introdu idoel onjuntode variables de es alafu

i

g.Geometri-

amentetienenunsentido laro:lai-esimavariabledees alaeslaproye iondelve tor

~

 ~



sobre ladire iondel autove tor e^

i .

En ualquier aso, ademasde esta propiedad geometri a,lapropiedad masimpor-

tantede lasvariablesde es ala es quetransforman de formaextremadamente sen illa

alapli ar latransforma iondelGR:

u

i

(b)=b y

i

u

i

: (2.20)

Para llegar a esta rela ion hay que utilizarla e ua ion (2.19) y una analoga para las

variables transformadas.A partir de tales rela iones, y utilizando (2.14),se obtiene

$

Lb

X

i u

i

^ e

i

!

= X

i u

i (b)^e

i

(2.21)

= X

i u

i



i (b)^e

i

: (2.22)

Finalmente, igualando los dos miembros dere hos de estas igualdades y utilizando la

rela ion(2.18), sellega fa ilmentea lae ua ion(2.20).

El ujodelGR en ladire ionde ^e

i

esta rela ionado on elsigno de y

i

.Segun sea

este signo, sepueden distinguirtres asos:

i) y

i

> 0 (

i

(b) > 1): segun (2.20), u

i

(b) re e al aumentar b, de manera que, en el

espa iode onstantes, el sistemase alejadelpuntojo.Se di e en este aso que

u

i

esrelevante. Porextension sedi e que la dire ion de e^

i

es relevante.

ii)y

i

<0(

i

(b) <1):eneste asou

i

(b)de re e alaumentarby,portanto,elsistema

semueveha ia el punto jo. Enesta situa ionu

i

esirrelevante. En este aso la

dire ionde e^

i

es irrelevante.

iii) y

i

= 0 (

i

(b) = 1): u

i

(b) no ambia al variar b, pero realmente, en este aso

no se puede dedu ir on seguridad el omportamiento del ujo del GR en la

aproxima ion lineal y es ne esaria una aproxima ion mejor. En esta situa ion,

sedi e que u es marginal y ladire ion de e^ tambien esmarginal.

e r 2

e r 3

e r 1

Alta interacción

Baja interacción

PFC

Figura 2.3: Flujo esquemati o del GR en la aproxima ion lineal visto desde el sistema

de referen ia de los ve tores f^e

1

;e^

2

;e^

3

g propios de

$

Lb

. En este aso la super ie rti a es

bidimensionaly,en laaproxima ion lineal,esunplano generadoporlas dire ionese^

2 ye^

3 ,

que suponemos irrelevantes. Todos los puntos on u

1

=0 pertene en a la super ie rti a

y tienden ha ia el punto jo rti o (PFC). En ambio, los puntos que no pertene en a la

super ie rti asealejan del puntojo rti otendiendo alpunto jode alta intera iono

de bajaintera ion segun si ini ialmenteu

1

>0 o u

1

<0,respe tivamente.

En la Fig. 2.3 serepresenta esquemati amente el ujo delGR para un espa io de

onstantestridimensionalenquehayunadire ionrelevante(^e

1

)ydosirrelevantes(^e

2

y e^

3

). En estas ondi iones, todos los puntosen que u

1

=0,solo tienen omponentes

irrelevantes y estan sobre la super ie rti a puesto que al apli ar repetidamente la

transforma iondelGRtiendenalpuntojo.Apartirdeesto,sededu equeunsistema

queya esobrelasuper ie rti a,tienelasmismas ara tersti asagrandesdistan ias

que uno que se en uentre ini ialmente en el punto jo rti o y, omo onse uen ia,

todala super ie rti a tiene longitudde orrela ioninnita.

Enlazando on lase ionx2.2.2,desdeelpuntode vistadel ujodelGR,unpunto

jo rti o se ara terizaporteneralmenosunadire ionrelevante. En ambio,todas

lasdire iones aso iadas a un puntojo trivialson irrelevantes.

Para nalizar esta se ion, es interesante puntualizar que, a partir de la e ua ion

(2.19)seve laramentequeel ujoen elsistemadereferen iadelas onstantes dea o-

plamientof g seobtieneapartirdel ujoen elsistemadenido porlosautove tores

f^e

i

g ha iendo una trasla iony una rota ion.

2.2.4. Rela iones de es ala. Invariantes bajo la transforma-

ion del GR

Al ha er una transforma ion del GR er a de un punto rti o, hay numerosos

observables que transforman omo [147℄:

A(~(b);b) =b a

A(~); (2.23)

dondesesuponequelamagnitudAdependeden

a

onstantesdea oplamiento(dim(~)=

n

a

). Es importante remar ar que, en algunos asos, soloalguna de las ontribu iones

a un ierto observable se omporta de la forma (2.23). En esta tesis (Captulo 5) se

presentan variosejemplosen queun iertoobservablesepuedeexpresar omolasuma

de dos ontribu iones quese omportande manera diferentealapli ar latransforma-

iondel GR.Un ejemplo tradi ional de omportamiento de este tipo es el ambio de

laenerga libre bajo la transforma iondel GR[147℄.

En adelante, onsideraremos la dependen ia de la fun ion generi a A on las va-

riablesde es ala ~ufu

i

g en vez de on las onstantes de a oplamiento~puesto que,

omoya sehavisto,lasvariablesde es alatransforman de formamassen illa quelas

onstantes de a oplamiento. En ualquier aso, el paso de unas variables a otras es

dire toutilizandola rela ion(2.19) 12

.

Ahora, utilizando la transforma ion de A dada por (2.23) y la de una ualquiera

de las variables de es ala (por ejemplo u

j

), dada por lae ua ion (2.20),vemos que el

produ toA(~u)u a=yj

j

es invariantebajo latransforma ion delGR:

A(~u(b);b)(u

j (b))

a=yj

=b a

A(~u)(b yj

u

j )

a=y

j

=A(~u)u a=y

j

j

: (2.24)

A nivel de nota ion, deniremos un operadorde invarian iaI que da omo resultado

elprodu toinvariantede lasmagnitudessobre lasquea tua. Enel aso parti ular de

lasmagnitudes A y u es

I[A(~u);u

j

℄=A(~u)u a=y

j

j

: (2.25)

El invariante I[A(~u );u

j

℄ depende solo de las variables de es ala fu

i

g pero, segun

(2.20), fuera del punto jo, estas no permane en invariantes al apli ar la transfor-

ma ion del GR, de manera que I[A(~u);u

j

℄ no puede depender de ada una de ellas

individualmente, sino que debe depender de invariantes onstruidos a partir de ellas.

12

Esne esariopuesbus arlosinvariantesquesepueden obtener apartirdelasvariables

de es ala. Dadauna pareja de variables de es ala (u

i

;u

j

), un posible invariantees

I[u

i

;u

j

℄=u

i u

yi=yj

j

: (2.26)

Siguiendoestalnea,sepodranirformandoinvariantesqueimpliquentresvariablesde

es alaomaspero estonoesne esariopuesto que\ ualquierinvarianteformado onn

variablesde es alasepuede expresar omoprodu tode n 1poten iasde invariantes

de pares".

Parademostrarqueestaarma iones orre ta, onsideremoselsiguienteinvariante

de n variablesde es ala

I[u

1

;u

2

;:::;u

n

℄= n

Y

i=1 u

q

i

i

; (2.27)

dondelos oe ientes fq

i

gdeben umplirque P

n

i=1 y

i q

i

=0paraquehayainvarian ia.

Si ahora redenimoslos oe ientes fq

i

g en fun ion de un nuevo onjuntode oe-

 ientes fp

i

g omo

q

i

= 8

>

>

>

<

>

>

>

: p

1

; i=1

p

i p

i 1 y

i 1

y

i

; i=2;3;:::n 1

p

n 1 y

n 1

yn

; i=n

(2.28)

se obtiene la expresion que bus amos en que se expresa el invariante I[u

1

;u

2

;:::u

n

℄

omo produ tode poten iasde n 1 invariantes de pares

I[u

1

;u

2

;:::;u

n

℄= n 1

Y

i=1 (I[u

i

;u

i+1

℄) p

i

: (2.29)

Tras todas estas onsidera iones, podemos expresar elinvariante I[A(~u );u

j

℄ omo

fun ion de n

a

1 invariantes de pares:

I[A(~u);u

j

℄=

~

A(I[u

1

;u

2

℄;I[u

2

;u

3

℄;:::;I[u

na 1

;u

na

℄); (2.30)

donde

~

A es una fun ion de es ala. En generalse llama fun ion de es ala a lafun ion

quedala dependen ia de un determinadoinvariante on los invariantes formados on

las variables de es ala del problema. Por propia deni ion, una fun ion de es ala es

invariantebajo latransforma iondelGR.

Finalmente, utilizando(2.25) y (2.26),se obtienela dependen ia de la fun ion A:

A(~u)=u a=y

j

j

~

A



u

1 u

y

1

=y

2

2

;u

2 u

y

2

=y

3

3

;:::;u

na 1 u

yn

a 1=yn

a

na



: (2.31)

Una propiedad de los invariantes que ya se ha utilizado de manera impl ita es

que,siI[u

i

;u

j

℄esinvariante, logi amentetambien loes(I[u

i

;u

j

℄) p

,dondepesunreal

ualquiera.Estapropiedad ha equelaformaen quesehanpresentado losinvariantes

noseauni a. Porejemplo,elevandoelinvarianteexpresado en(2.26)ay

j

obtenemosel

invarianteu y

j

i u

y

i

j

queestotalmenteequivalentealprimero.Deesta manera,sepueden

expresar lase ua iones de innitas formas distintaspero equivalentes entre s.

Basandose en razonamientos similares, la dependen ia del observable A se puede

expresar de innitas formas diferentes pero equivalentes, siempre y uando los inva-

riantesde pares queseintroduz an omo dependen ia on lasvariablesde es alasean

independientes entre s 13

. Porejemplo, una formaequivalentea (2.31) podraser:

A(~u)=u a=y

k

k



A(u yi

1 u

y1

i

;u y4

2 u

y2

4

;:::): (2.32)

Normalmente se supone que, en las rela iones de es ala, solo intervienen las va-

riables relevantes puesto que las irrelevantes no juegan un papel importante a lar-

gas distan ias. De todas formas, en algunos asos las variables irrelevantes llamadas

\peligrosas"juegan un papel importante y pueden dar lugar a orre iones al es ala-

do[20,147℄.

En todaesta dis usiony en las que siguen, sino se di e lo ontrario, se onsidera

que fu

i

>0g para que al elevar a poten ias no enteras resulte un numero real. Esto

se ha onsiderado as para ha er la introdu ion mas lara, pero la extension al aso

en que algunas variables son negativas es sen illa. En la pra ti a, se suele resolver

utilizando siempre el modulo de las variables de es ala y deniendo una fun ion de

es ala

~

A

~



uyosubndi eenformadeve tor

~

tieneen uentaelsignode adavariable

(a ada ombina ion distinta de signos de las variables de es ala le orresponde una

fun ion de es ala diferente). As pues, laE . (2.31)se puede es ribir omo

A(~u)=ju

j j

a=y

j

~

A

~

 ju

1 jju

2 j

y

1

=y

2

;ju

2 jju

3 j

y

2

=y

3

;:::;ju

n

a 1

jju

n

a j

y

na 1

=yn

a

: (2.33)

En el aso parti ular en que solo se onsideren dos variables de es ala u

1 y u

2 , on

u

2

>0, la rela ionde es ala (2.33) sees ribe omo:

A(~u)=ju

1 j

a=y1

~

A

 ju

1 jju

2 j

y1=y2

= 8

<

: ju

1 j

a=y

1 ~

A

+ ju

1 jju

2 j

y

1

=y

2

; u

1

>0

ju

1 j

a=y1

~

A ju

1 jju

2 j

y1=y2

j

; u

1

<0:

(2.34)

13

Se onsideran invariantes independientes aquellos que nose pueden obtener omo produ to de

2.2.5. Rela ion del GR on los fenomenos rti os

Hastaestepunto,todoloexpuesto onreferen iaalGRhaestadorela ionadobasi-

amente on el omportamientode sistemasde espinesgobernadosporladistribu ion

(2.4) al ha er un ambio de es ala. Todo se ha llevado a abo estudiando el ujo del

GR en el espa io de onstantes de a oplamiento. Aunque desde un punto de vista

teori o lasvariablesde es alason utiles,tpi amentenosonlasmagnitudesde ontrol

que se pueden variar externamente en un sistema en que tenga lugar una transi ion

de fase. Como vimos en el aptulo 1, las magnitudes de ontrolque se suelen variar

son, por ejemplo,la temperatura, lapresion, el ampomagneti oo eldesorden.

Esne esario puesrela ionarelformalismodelGR onlasvariablesde ontrolpara

poder apli ar las ideas del GR a fenomenos rti os. La idea prin ipal que lleva a

esta union es suponer que a ada onjunto de valores de las variables de ontrol le

orresponde un punto en elespa iode onstantes. Comoyase hadi ho, elnumerode

onstantesdea oplamiento(yportantodevariablesdees ala)esinnitoy,en ambio,

el numero de variables de ontrol es nito. De esto se desprende que, generalmente,

el onjunto a esible de valores de las variables de ontrol no permite re orrer todo

el espa io de onstantes sino que la explora ionse ve restringida solo a una zona. El

he ho importante es que, aunque no se pueda re orrer todo el espa io de onstantes,

siparaalgundeterminadovalorde lasvariablesde ontrol,elsistemasesituasobrela

super ie rti aenundeterminadopuntollamadopunto rti o 14

,su omportamiento

vendra di tado por elpuntojo rti o quegenera lasuper ie rti a en uestion.

Matemati amente podemos poner estas ideas de maniesto suponiendo que tene-

mos un onjunto de n

f

variables de ontrol 15

f

i

;i = 1;2;:::;n

f

g uya varia ion

genera un amino en el espa io de onstantes que, de formaparametri a, representa-

remos por ~(

~

). De nuevo, es mejorha er el estudio en terminos de las variables de

es ala,porqueesparaestasparalasquesehan propuestolasrela ionesde es alaen la

se ionx 2.2.4y, nalmente, sonestas lasrela iones queseutilizan en lapra ti a. En

terminos de las variablesde es ala, el amino lo denotaremos omo ~u(

~

). Por exten-

sion del termino \super ie rti a", llamaremos super ie fsi a a la region denida

por~u(

~

).

Surge un problema importanteen este punto,y esque, tantoladependen ia en

~

14

Es importante notar que, aunque este nombre es similar a \punto jo rti o", el on epto es

diferente. El punto rti o es un punto situado en la super ie rti a pero no tiene porque ser el

puntojo quelagenera,ydehe ho,engeneralnoloes.

15

Adiferen iadelanota ionintrodu idaenlase ionx1.1,algunodelos

i

puedeserlatempe-

de ~(

~

) omo lade ~u(

~

), esdes ono ida [19,147℄.Sin embargo, sesupone queesuna

dependen ia analti a,loque permitedesarrollar en serie adauna de las variablesde

es ala en torno alpunto rti o

~

:

~ u(

~

)=~u(

~

)+

X

i

"

~u (

~

)



i

#

~

(

i

i )

+ X

i;j

"

 2

~ u(

~

)



i



j

#

~

(

i

i )(

j

j

)+O(3):

(2.35)

Generalmente se asume que si hay n

f

variables de ontrol que permiten aproximarse

o alejarse del punto rti o de formaindependiente, deben existir n

f

dire iones rele-

vantes en elespa iode las onstantes de a oplamientoparadar uentade lasdistintas

formas independientes de variar ladistan iaa la super ie rti a.

Apartirde larela ion(2.35)entrelasvariablesde ontroly lasvariablesde es ala,

se pueden expresar las rela iones de es ala del tipo (2.31) en fun ion de las variables

de ontrol, y esto es lo queinteresa en la mayora de asos reales.

Para on retar, supongamos el modelo de Ising ferromagneti o. En este aso hay

dos variablesde ontrol: latemperaturaT y el ampomagneti o H.A estas variables

de ontrol se les aso ian dos dire iones relevantes en el espa io de parametros on

variablesde es ala u

T y u

H

.La nota ionutilizadaestajusti adaporelhe ho de que

elpunto rti o en equilibriotiene lugarpara H =H

=0,de maneraque eloperador

$

L

debeserdiagonalporbloques de talformaqueelsubespa io par(invariantebajo el

ambiofs

i

g!f s

i

g)noeste one tado onelsubespa ioimpar(imparbajoel ambio

fs

i

g !f s

i

g). As pues, se onsidera que la variable u

T

pertene e alsubespa io par

mientras queu

H

pertene e alsubespa io impar.

Teniendo en uenta las ondi iones de simetra,el aso parti ular de la E . (2.35)

para u

T y u

H es:

u

T

(T;H)  (T T

)=T

+O (T T

)

2

;H 2

(2.36)

u

H

(T;H)  H+O((T T

)H); (2.37)

dondeT

esla temperaturaen el punto rti o.

Se obtienende esta manerados de lasvariablesdees alafenomenologi asintrodu-

idas en el uadro2.1.

EnlaFig.2.4serepresentade formaesquemati aelespa iode las onstantes para

este modelo y el ujo del GR. Supongamos que variamos la temperatura a ampo

H = 0. En estas ondi iones, es bien sabido que para la temperatura T el sistema

presenta una transi ion de fase de segundo orden, de manera que el amino~u(T;H

)

seguidoporel sistemaen elespa io de las onstantes ruza lasuper ie rti a en un

punto~u(T

;H

).Cuandoelsistemaseen uentraenestepunto,agrandeses alas,tiene

las mismas ara tersti as que el punto jo rti o (PFC en la Fig. 2.4) puesto que,

bajo la transforma ion del GR,tiende ha ia di ho punto jo. En ambio, el ujo del

GR en los puntos ~u(T > T

;H

) tiende ha ia el punto de alta intera ion, mientras

que,a partir de ualquier punto ~u(T <T

;H

), tiende alpuntode baja intera ion.

Si el punto rti o esta su ientemente er ano al punto jo, sera valida la apro-

xima ion lineal del GR y las rela iones de es ala [E . 2.31℄ se podran expresar en

terminos de las variables de ontrol del problema utilizando las rela iones (2.36) y

(2.37).Considerando omouni as variablesde es alau

T y u

H

,ydejandoaun ladolas

variables irrelevantes, se obtiene

A(T;H)=u a=y

T

T

~

A



u

H u

y

H

=y

T

T







T T

T



a

~

A



H[(T T

)=T

℄ Æ



; (2.38)

a primer orden. Los exponentes rti os ,  y Æ estan denidos en el uadro 2.1 y,

segun lae ua ion(2.1), umplen las rela iones siguientes:

 



T

T

T





; (2.39)

M 



T

T

T



; (2.40)

H  jMj Æ

signo(M); (2.41)

donde, de a uerdo on el uadro 2.1, M es la magnetiza ion y  es la longitud de

orrela ion. Para obtener el ultimo miembro de la E . (2.38) es ne esario rela ionar

losautovalores delGrupo de Renormaliza ion on losexponentes rti os omo:

y

T

1= ; y

H

 Æ



: (2.42)

Alrela ionarlasideasdelGR onlosfenomenos rti os,siempreapare elarela ion

ne esaria entre los exponentes rti os (denidos antes de que Wilson propusiera el

GR) y los autovalores del GR. Esto resuelve el prin ipal problema de la formula ion

de Kadano [149℄que ne esitaba introdu ir lahipotesisde quelas variablesde es ala

fenomenologi asvarande formapoten ialal ha er una transforma ionde es ala. En

ambio,allinealizarelGR,esta ondi ionapare e de formanaturalapartir de (2.20)

y (2.35).

Todos los exponentes rti os introdu idos en el uadro 2.1 se pueden expresar

PFC PC

) , ( T H c

u r

) , ( T c H c

u r

Alta interacción

Baja interacción

Figura 2.4: Espa io de las onstantes en que se representa el amino ~u(T;H

) que sigue

el sistema al variar la temperatura a ampo H = H

(H

=0 en el modelo de Ising ferro-

magneti o enequilibrio).El amino ruza lasuper ie rti a enelpunto rti o (PC)y,tal

y omo seindi a on una e ha, en esta situa ion el sistema evolu iona ha ia el punto jo

bajo latransforma ion delGR. Tambien seindi a on e hasel ujodelGRparaT >T

y

T <T

.

independientes entre s y deben que umplir iertas rela iones entre ellos. Como ya

se dijo en la introdu ion, estas rela iones se haban en ontrado previamente on la

teora de Widom y Kadano. No se daran aqu expl itamente estas rela iones pero

noes dif ilobtenerlas. Este puntoesta bien tratadoen laRef. 134, por ejemplo.

Como ejemplo, parti ularizando la E . (2.38) a la longitud de orrela ion y a la

magnetiza ion er a delpunto rti o, sellega a lasexpresiones siguientes:

(T;H) = j(T T

)=T

j



~





Hj(T T

)=T

j

Æ

(2.43)

M(T;H) = j(T T

)=T

j

~

M



Hj(T T

)=T

j

Æ

: (2.44)

Logi amente, estasrela iones de es ala oin iden on laspropuestas utilizandopro e-

dimientostradi ionales [134℄ distintosalformalismo de invariantes introdu idoaqu.

Por otro lado, en un uido en que ladensidad en estado lquidoes 

L

y en estado

gas es 

g

, la diferen ia 

L



g

juega un papel similar al de la dis ontinuidad de la

magnetiza ionen sistemas magneti os.Portanto, ap=p

[134℄,



L



g





T

T

T



: (2.45)

Este omportamientoexpli a dire tamenteel es aladopropuesto porGuggenheim en

1945 [135℄ on  = 1=3. Guggenheim interpreto el es alado omo una extension del

prin ipiode estados orrespondientes y, en ambio, en terminos de la teora moderna

sededu e dire tamente que el omportamiento esde laforma(2.45).

Vistoesto,deformaresumida,sepuedede irquelasrela ionesdees alaenfun ion

de las variablesde ontrolson validas siempre quese den dos ondi iones:

Elpunto rti odebeestar su ientemente er adelpuntojo rti o omopara

quelalinealiza ion(2.12) seavalida y,portanto,sea orre to onsiderarquelas

rela iones de es ala dependensolo de las variablesde es ala [E . 2.31℄.

Lasvariables de ontrolnodeben estar muy lejosdelpunto rti o paraque sea

a eptable onsiderar eldesarrollo(2.35) hasta un orden nito.

Estas dos ondi iones son independientes entre s puestoque la primeraesta rela-

ionada on el GR en s mismo y la segunda on la introdu ion de las variables de

ontrolen el problema.

Ademasdelas ondi ionesenumeradas,endeterminados asos, omoenelejemplo

delmodelodeIsingferromagneti o,parallegaraunarela iondees aladeltipo(2.42),

sehanaprove hadolassimetrasdelproblema,loquepermiteque,aprimerorden,las

variables u

T y u

H

queden desa opladas (laprimera depende solode latemperaturay

lasegunda solodel ampo).Engeneral, omosehavisto,aunaprimerorden,notiene

porqueexistirtaldesa oplo. Evidentemente, suponer quehay desa oplo uando nolo

hay,eintentarextender lavalidez de lasrela iones de es alaa valoresde lasvariables

de ontrolen queela oplamientoseanotable,puedeafe taralvalordelosexponentes

rti os obtenidos en lapra ti a.

2.2.6. Universalidad

Taly omo seintrodujoen lase ionx 2.1, sellamauniversalidadal he ho de que

sistemasdistintostenganen omunelvalorde losexponentes rti osque ara terizan

su omportamiento er a delpunto rti o [138,144,148℄. Segun esto, se di e que dos

sistemaspertene en a lamisma lase de universalidadsise ara terizanporel mismo

onjunto de exponentes.

Por ejemplo,se hademostradoexperimentalmenteque latransi ionlquido{vapor

en algunos uidospertene e a lamisma lase de universalidadqueel modelo de Ising

tridimensional.Tambien pertene en a esta lase algunos materiales magneti os unia-

Figura 2.5: Representa ion es-

quemati a de dos sistemas v y w

on super ies de ontrol ~v(

v

) y

~ w(

w

), respe tivamente. Los puntos

rti os de ambos sistemas estan

sobrelasuper ie rti ayseindi an

on PCv yPCw parael sistema v y

el w, respe tivamente. El ujo del

GR, omo en guras anteriores, se

indi a on e has.

PFC

) ( ^v v r Ψ r

) ( ^w w r Ψ r Alta interacción

Baja interacción

PCv PCw

de otros sistemas que pertene en a esta lase de universalidad y a otras, onsultar la

Ref. 148.

ElGRpermitioentenderlauniversalidaddesde unpuntode vistateori o.Con ep-

tualmente, este esuno de loslogros mas importantes delGR. Por esta razon, en esta

se ionseintrodu ebrevemente laexpli a ionde la universalidadutilizandolasideas

expuestas sobreel GR.

Para on retar, supongamos una situa ion omo la representada en la Fig. 2.5.

Se representan dos sistemas diferentes v y w tales que sus super ies fsi as ~v(

~

v

) y

~ w(

~

w

),respe tivamente, ruzanlamismasuper ie rti a. Enprin ipio,lasvariables

de ontrol del sistema v no tienen porque ser las mismas que las del sistema w. Por

ejemplo, en un sistema pueden ser la temperatura y el ampo magneti o y, en el

otro,pueden ser latemperaturayla presionhidrostati a.El punto rti o delsistema

v (PCv) tiene lugar para

~

v

=

~

v

y, el del sistema w (PCw), o urre para

~

w

=

~

w

. En general, aunque las variables de ontrol de ambos sistemas sean las mismas,

habitualmente

~

v

6=

~

w

.

Consideremos ahora laenerga libreporespnde ada uno de lossistemas.Llama-

remosf

v

alaenergalibredelsistemav y f

w

aladelsistemaw.Esinteresanteutilizar

esta magnitud omo punto de partida porque, demostrando la universalidad en ella,

ella.Bajo la transforma iondelGR, esta magnitud transforma omo 16

f

v

(~v(b);b)=b d

f

v

(~v); (2.46)

f

w

(w(b);~ b) =b d

f

w

(w);~ (2.47)

para ada uno de los sistemas,donde d esla dimensiondelsistema.

Como se vio en la se ion x 2.2.4, si un observable transforma omo lo ha e la

energalibre en (2.46)(o en (2.47)), enton es (ver E . (2.31)) sepuede es ribir omo:

f

v

(~v)=v d=y

1

1

~

f

v



v

1 v

y

1

=y

2

2



(2.48)

f

w

(w)~ =w d=y

1

1

~

f

w



w

1 w

y

1

=y

2

2



; (2.49)

donde, para simpli ar, y sin perdida de generalidad,se ha he ho lahipotesis de que

elespa iode onstantes tienesolodosvariablesdees ala,de lasque,almenosuna, es

relevante. Como se puede ver, en ambas e ua iones apare en los mismos autovalores

del GR porque, omo se demostro en la se ion x 2.2.3, estos solo dependen de la

transforma ion del grupo de renormaliza ion (

$

Lb

) en torno al punto jo rti o y no

dependendelsistema en uestion. Esto esas siemprey uandolaaproxima ionlineal

delGR sea valida.

Por otro lado, en la se ion x 2.2.5 se demostro que los exponentes rti os estan

determinados uni amente por los autovalores del GR. De este he ho se dedu e di-

re tamente que si los autovalores del GR son independientes delsistema, tambien lo

son los exponentes rti os. En la Fig. 2.5 se muestra lo que su ede en el espa io de

onstantes.Cuando losdossistemas,queen prin ipiotienen ara tersti as diferentes,

estan en sus respe tivospuntos rti os, tienden almismo punto jo rti o al apli ar

reiteradamente la transforma ion del GR. Como onse uen ia, su omportamiento a

largas distan ias es igual y esta ara terizado uni amente por el punto jo rti o al

quetienden. Vistoesto, se on luye que lossistemas quepertene en ala misma lase

de universalidad solo dierenentre sen sus variablesde es ala irrelevantes.

En todoeste razonamiento,nose hadi honada de laposible universalidad de las

fun iones de es ala

~

f

v y

~

f

w

. En prin ipio, estas son fun iones no universales ya que

deben dar uenta de fa tores omo las simetrasde ada sistema.As, si por ejemplo

el sistema v es un ferromagneto y el w es un uido, el primero tiene unas simetras

[x2.2.5℄queelsegundo notieney,aunque su omportamiento rti oestedes ritopor

los mismos exponentes, no tienen porque estar des ritos por las mismas fun iones de

16

Se puede demostrar que la transforma ion de la energa libre bajo la transforma ion del GR

es ala.Porejemplo,larepresenta ionanalogaparaunsistemaferromagneti oalaque

se presenta para uidos en la Fig. 2.1 es T=T

en fun ion de M=M

max

. En el aso de

uidos seobserva una asimetra lara on respe to al eje =

=0:5, mientras que en

el aso de la urva de un sistema magneti o on un eje de fa il imana ion, la urva

orrespondienteesperfe tamentesimetri a onrespe toalejeM =0(vergura1dela

Ref.138).Sinembargo,lasfun ionesdees alassepueden onsideraruniversalesentre

sistemasque,aun siendodistintos, tienen iertas ara tersti asen omun.Esto dene

un on epto de universalidaden sentido masfuerte [138℄. En prin ipio,este on epto

no esta tan rela ionado on el GR omo la universalidad apli ada uni amente a los

exponentes rti os.

Un ejemplo de esta universalidades el es alado de laFig. 2.1en que losdistintos

uidos, ademas de tener los mismos exponentes rti os, tienen las mismas fun iones

de es ala.

2.3. Tama~no nito

Estri tamente hablando, en al ulos de me ani a estadsti a las transi iones de

fasetienenlugar soloen ellmite termodinami o en elque elvolumen(V)delsistema

y el numero (N) de grados de libertad 17

tienden a innito manteniendo la densidad

 = N=V jada. Esto es importante en esta tesis en que se presentan resultados de

simula iones numeri asque, logi amente, orresponden asistemas de tama~nonito.

Por otro lado, la mayora de sistemas experimentales reales se ara terizan por

tener un numerode part ulas muy grande y un volumen mu ho mayor que el de las

part ulas individuales. Esto ha e que, aunque estri tamente, tanto N omo V sean

nitos,lossistemasexperimentalespresententransi ionesdefaseenquelasmagnitudes

termodinami astienen un ara ter singular limitado uni amentepor la resolu ionde

losaparatos de medida.

Enunpunto rti o

~

,porejemplo,el alorespe  oolasus eptibilidadmagneti-

apresentan una divergen iateori asielsistemaen uestionesinnito.En ambio, si

elsistema esnito, en lugarde una divergen ia en

~

, presentan un pi o en un ierto

punto

~

(L) diferente al punto rti o [152{154℄. Estas ara tersti as supusieron el

punto de partida [155,156℄ de la teora de es alado de tama~nonito (a menudo a lo

largode latesis utilizaremosel a ronimoFSS derivado delinglesFinite-Size S aling).

Basi amente, esta teora permite extraer lainforma ion rti a partiendo de un siste-

17

ma nito aunque, desde un punto de vista estri to, sus ara tersti as no se puedan

onsiderar omo rti as. Posteriormente, la teorade es aladode tama~nonito seha

introdu ido desde el punto de vista del GR, tanto en el espa io de momentos [157℄

omo en el espa io real [156℄. Todos estos trabajos parten del ambio de la energa

libre de un sistema bajo la transforma ion del GR, utilizando una distribu ion de

ongura iones de espines omo la dada en la E . (2.5). Para evitar esta hipotesis,

utilizaremosel formalismode invariantes introdu ido en la se ionx 2.2.4.

Consideremos un sistema hiper ubi o d-dimensional on una longitud L por lado.

Si se onsidera L dado en unidades del parametro de red, el sistema tiene L espines

porlado 18

.Teniendoen uenta el ambiode laslongitudes bajola transforma iondel

grupo de renormaliza iondado por (2.7), Ltransforma omo:

L!L(b)=b 1

L: (2.50)

A partir de esta e ua ion, queda laro que la longitud del sistema permane e inva-

riante solo en dos asos. Uno de ellos es para L = 0 y no tiene sentido fsi o porque,

estri tamente, signi a que no hay ningun espn. El otro aso es L ! 1, que no es

masque ellmitetermodinami odelsistema.Esto on uerda onelhe hode quesolo

en ellmitetermodinami opueda existirun fenomeno rti o estri topuestoque esla

situa ion en que el tama~no del sistema permane e invariante bajo la transforma ion

delGR.

Dea uerdo oneste omportamiento,L 1

se onsiderahabitualmente[20,147,156℄

omo una variablede es ala relevanteque solo se anulaen el lmite termodinami oy

portanto,igualque elrestode variablesde es ala,es ero en un puntojo rti o.De

ualquier manera,L 1

es una variable de es ala pe uliar ya que, independientemente

de la proximidad al punto jo rti o, su transforma ion viene dada por la e ua ion

(2.50),mientras quelasvariablesde es ala fu

i

gsolo ambian de formapoten ial(E .

2.20) uando la aproxima ion lineal del GR es valida. Considerando pues L 1

omo

una variable relevante, el espa io de onstantes se debe ampliar. En la Fig. 2.6 se

muestra esquemati amente esta situa ion en un espa io en que se indi a la super ie

rti a on una lnea y existen dos dire iones relevantes. Una de ellas aso iada a la

variable u

1

(que onsideramos positivaporsimpli idad) y la otra aso iada a L 1

. La

super ie fsi a en que experimentalmentenos podemos movervariando las variables

18

Se ha supuesto un sistema hiper ubi o, pero el razonamiento que se va ha llevar a abo es

independientedelaforma on retadelsistema.Engeneral,sepuede onsiderarqueLessimplemente

untama~no ara tersti o omopuedeserlo,porejemplo,lalongitudmediadetodaslasdimensiones

de ontrol

~

y L viene dada por ~u(

~

;L). Tal y omo se ha indi ado ( e ha 0), solo

en el aso en que el sistema se en uentre exa tamente en el punto rti o (PC) el

ujo del GR tiende ha ia el punto jo rti o (PFC). En ambio, en el aso en que

estamos en el lmite termodinami o (L 1

=0, pero u

1

6=0 ( e ha 1)) el ujodel GR

tiende alpunto jode altaintera ion. Por tanto,se re upera el omportamientodel

lmite termodinami o representado en la Fig. 2.4. Por otro lado, ualquier punto en

queu

1

=0y L 1

>0( e ha 2)se ara teriza porun ujo quetiendeal punto en que

L = 0. Esto tiene sentido en sistemas nitos puesto que, al apli ar repetidamente la

transforma iondelGR,eltama~nodelsistemadisminuye.Portanto,alha erun ierto

numerodeitera ioneselsistemallegaraadesapare er.Porultimo,partiendodepuntos

omo el indi ado on la e ha 3 (u

1

6= 0 y L 1

6= 0), se observa un omportamiento

mez laentre losdos asos anteriores.

A partir de la rela ion(2.50) sededu e que, para una ierta variablede es ala u

i ,

I[u

i

;L℄=u

i L

y

i

; (2.51)

esinvariantebajo la transforma iondel GR.

Consideremos ahora, igual que en lase ion x 2.2.4,un observable A que depende

den

a

variablesdees alayademasde L.Sienlasproximidadesde unpuntojo rti o

esta fun iontransforma omo

A(~u(b);L(b);b)=b a

A(~u;L); (2.52)

sudependen ia sepodraes ribir omoen (2.31)peroa~nadiendotambienladependen-

ia on L mediante elinvariante (2.51):

A(~u;L)=u a=y

j

j

~

A



u

1 u

y

1

=y

2

2

;u

2 u

y

2

=y

3

3

;:::;u

n

a 1

u y

na 1

=y

na

n

a

;u

i L

y

i



: (2.53)

Parti ularizandoparael aso en quei=j ydeniendo unanueva fun ionde es ala



A

omo



A(u

j L

y

j

) a=y

j

~

A; (2.54)

sepuede es ribir (2.53)de formaalternativa omo

A(~u;L)=L a



A



u

1 u

y1=y2

2

;u

2 u

y2=y3

3

;:::;u

n

a 1

u y

na 1

=y

na

na

;u

j L

y

j



: (2.55)

Elpasoalades rip ionenfun ionde lasvariablesde ontrol

~

esdire tointrodu-

iendo~u(

~

)en lasfun ionesde es ala.Enlasproximidadesdelpunto rti o sepuede

)

; ( L u r Ψ

Superficie (línea) Crítica.

Su pe rfi cie fí sic a

PC PFC

Alta interacción

L = 0

u 1

L ^{-1 1}

2 3

0

Figura 2.6: Espa io de onstantes esquemati o on dosvariablesde es ala relevantes u

1 y

L 1

. Se ha onsiderado solo la region en que u

1

> 0 para simpli ar. La super ie rti a

estadenidaporu

1

=L 1

=0y, eneste aso, seesquematiza on una lnea.Con e hasse

indi a el ujodel GR segun la posi ion ini ial en la super ie fsi a ~u(

~

;L). Con la e ha

0 se indi a el ujo de un sistema que se en uentra en el punto rti o (PC). La e ha 1

orrespondeaunsistemainnito onu

1

6=0.La e ha2 orrespondeaunsistemanito on

u

1

=0. Y nalmente, on la e ha 3 se representa el omportamiento de un sistema nito

on u

1 6=0.

Supongamos,parasimpli ar,quevariamossolounavariablede ontrol yqueA

dependesolode una variablede es alarelevanteu ydeltama~no. Enestas ondi iones

laE . (2.55)se es ribede manerasen illa:

A(u( );L)=L a



A (u( )L y

): (2.56)

dondey esel autovalordelGR aso iadoa lavariableu.

Dela ondi ionu(

)=0sededu e que,para ono eru( ),esne esario 19

ono er

. Este parametro, as omo los exponentes y y a, se pueden en ontrar utilizando

la e ua ion (2.56) y la fun ion A(u( );L) para varios tama~nos. Para ha er esto es

su iente on representar la urva L a

A(u( );L) para ada tama~no frente a u( )L y

y bus ar los valores de

, y y a para los que todas las urvas orrespondientes a

distintos tama~nos olapsan en una sola. La urva que se onsigue de esta manera no

esmasque la fun ion de es ala



A.

Aspues,late ni ade es aladodetama~nonitopermiteextraer ara tersti asdel

19

Cono er

es ondi ionne esariaparadeterminaru( )yuni amente essu ientesise onsidera

sistema innito a partir de los resultados orrespondientes a un sistema nito. Esto

ha e que esta te ni ase haya utilizadoen innumerables trabajos de simula ion desde

quesepropuso. Enparti ular, existen trestrabajos publi ados porD. P. Landauque,

por su er ana en el tiempo a la propuesta teori a de Fisher en 1972, mere en ser

men ionadosporque fueron una de las primeraspruebas de la validez de la teora. El

primero de estos trabajos trata el modelo de Ising en una red uadrada [158℄. En el

a~node publi a ion de este trabajo ya se ono a desde ha a a~nos la solu ion exa ta

de Onsager 20

[161℄, lo que permitio omparar los resultados de la simula ion on los

exa tos. Tras este art ulo, D. P. Landau publi o estudios similares en el modelo de

Isingferromagneti oenunared ubi a[162℄yenelmodelodeIsingantiferromagneti o

tambien en una red ubi a [163℄.

Por otro lado, gra ias al desarrollo en la prepara ion de apas nas, tambien a

nivelexperimentalsehapodidoestudiareles aladode tama~nonito.Verporejemplo

[164{166℄.

Enlazando onelejemplo delmodelo deIsingferromagneti otratadoen lase ion

x2.2.5,si onsideramosunarednita, er adelpunto rti olalongitudde orrela ion

y lamagnetiza ion sepueden es ribir omo

(T;H;L)=L







H[(T T

)=T

℄ Æ

;[(T T

)=T

℄L 1=



; (2.57)

M(T;H;L)=L =



M



H[(T T

)=T

℄ Æ

;[(T T

)=T

℄L 1=



: (2.58)

Justo en el punto rti o, la longitud de orrela ion es innita en el lmite termo-

dinami o. En ambio, siel sistemaes nito,no seha e innitaya que L.De esto

se dedu e que



(0;0) es nita y que la longitud de orrela ionen el punto rti o es

simplementepropor ional a L, de manera que la divergen ia de  en el punto rti o

noviene dada por(0;0) sino porel prefa tor L.

La magnetiza ionpara H =0 se omporta omo:

M(T;L)=L =



M [(T T

)=T

℄L 1=

: (2.59)

EnlaFig.2.7(a)serepresentaeles alado orrespondientealaE .(2.59) omoejemplo.

Losdatos orrespondenalamagnetiza iondelmodelode Isingferromagneti o enuna

red uadrada on ondi ionesperiodi asde ontorno(extradadelaRef.158).Enesta

gura,N equivaleaL en nuestranota ion. Comose puedever, el omportamientode

lafun ionde es aladepende de sila temperatura esinferior o superior alT

.

20

Posteriormente a lasolu ion de Onsager,se han propuesto otras formas alternativas [159,160℄