Valores de las funciones trigonom´ etricas en los ´ angulos m´ ultiplos de
π4y de
π6Vamos a recordar como se deducen los valores del cos y sen del ´angulo π4.
Preliminares de geometr´ıa
1. Teorema de Pit´agoras. Denotemos por a y b las longitudes de los catetos de un tri´angulo rect´angulo y por c la longitud de su hipotenusa.
b
a c
Complemente la f´ormula:
a2+ b2 =
| {z }
?
2. Suma de los ´angulos de un tri´angulo. En un tri´angulo arbitrario ABC,
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA =
| {z }
?
3. Un criterio del tri´angulo is´osceles. Sea 4ABC un tri´angulo con dos ´angulos iguales:
∠BAC = ∠ABC.
Entonces este tri´angulo es is´osceles. Escriba cu´ales de sus lados son iguales:
| {z }
?
=
| {z }
?
Estudio del tri´ angulo rect´ angulo con ´ angulo agudo
π4En los siguientes ejercicios se considera un tri´angulo ABC con
∠ACB = π
2, ∠BAC = π
4, AB = 1.
π 4
x 1
C B
A
4. Calcule ∠ABC.
5. Demuestre que AC = BC. Vamos a denotar esta longitud por x.
6. Aplique el teorema de Pit´agoras al tri´angulo ABC.
7. Calcule x.
Preliminares geom´ etricos: mediana de un tri´ angulo is´ osceles
8. Sea ABC un tri´angulo con lados iguales AB = AC y sea AM su mediana. Denotemos el
´angulo ∠BAC por α. Calcule los ´angulos marcados:
A
B M C
? ?
? ?
∠BAC = α
∠AMB =
∠AMC =
∠BAM =
∠CAM =
Estudio del tri´ angulo equil´ atero
En los siguientes dos ejercicios consideramos un tri´angulo equil´atero ABC con AB = AC = BC = 1.
Sea AM una de sus medianas.
9. Calcule las longitudes BM y CM . Encuentre los ´angulos marcados.
A
B M C
1 1
? ?
? ?
? ?
? ?
BM = CM =
∠ABM = ∠ACM =
∠AMB = ∠AMC =
∠BAM = ∠CAM =
10. Aplique el teorema de Pit´agoras al tri´angulo ACM y calcule x = AM .
cos y sen del ´ angulo
π411. Aplique el teorema de Pit´agoras al tri´angulo en el dibujo y calcule x.
π 4 π
4
x
x 1
12. Calcule cosπ4 y senπ4.
13. Resumen.
cosπ
4 = senπ
4 =
cos y sen de los ´ angulos
π6y
π314. Considere al tri´angulo en el dibujo. Calcule x. Aplique el teorema de Pit´agoras y calcule y.
1 1
π 3 π
3
π 6 π 6
x x
y
15. Calcule cosπ6, senπ6, cosπ3 y senπ3.
16. Resumen.
sen π
6 = cosπ
6 = sen π
3 = cosπ
3 =
cos y sen en la circunferencia unitaria
17. Escriba las definiciones de cos y sen del ´angulo HOPα del tri´angulo HOPα, es decir, exprese cos α y sen α a trav´es de OH y HPα.
α
Pα
O H
1
Soluci´on.
cos α = sen α =
18. Dibuje las correspondencias con flechitas:
cos α
sen α
ordenada del punto Pα
abscisa del punto Pα
cos y sen de los ´ angulos m´ ultiplos de
π219. Con ayuda de la circunferencia unitaria recuerde los valores de cos y sen en los ´angulos m´ultiplos de π2:
cos 0 = sen 0 =
cosπ
2 = senπ
2 =
cos π = sen π =
cos3π
2 = sen 3π
2 =
cos y sen del ´ angulo
π4en la circunferencia unitaria
20. Aplique el teorema de Pit´agoras y calcule x.
π 4
Pπ
4
O H
1
x 1
x
21. Escriba:
cosπ
4 = senπ
4 =
cos y sen del ´ angulo
π6en la circunferencia unitaria
22. Encuentre y, luego aplique el teorema de Pit´agoras y calcule x.
π 6 π 6
Pπ
6
P−π
6
O
1
1 x
y
y
23. Escriba:
cosπ
6 = senπ
6 =
cos y sen del ´ angulo
π3en la circunferencia unitaria
24. Recuerde los valores senπ6 y cosπ3. Encuentre en el dibujo dos tri´angulos iguales y establezca una relaci´on entre las funciones cos y sen de los ´angulos π6 y π3.
π 6 π 6
Pπ
6
Pπ
3
O
1 1
x
y
25. Escriba:
cosπ
6 = senπ
6 =
cosπ
3 = senπ
3 =
Simetr´ıas en las circunferencia unitaria
26. Sea x e y a las coordenadas del punto Pα. Encuentre las coordenadas de los puntos P−α, Pπ−α y Pπ+α:
1
Pα(x, y)
P−α( , ) Pπ−α( , )
Pπ+α( , )
O
27. Utilizando el dibujo del ejercicio anterior, exprese los valores de cos y sen en los ´angulos
−α, π − α y π + α a trav´es de cos(α) y sen(α):
cos(−α) = x = cos(α), sen(−α) =
cos(π − α) = sen(π − α) =
cos(π + α) = sen(π + α) =
cos y sen de los ´ angulos m´ ultiplos de
π41 Pπ
4
P−π
4
P3π
4
P−3π
4
O
28. Escriba:
cosπ
4 = sen π
4 =
cos3π
4 = sen3π
4 =
cos
−π 4
= sen
−π 4
=
cos
−3π 4
= sen
−3π 4
=
cos y sen de algunos ´ angulos m´ ultiplos de
π61 Pπ
6
P−π6
P5π
6
P−5π
6
O
29. Escriba:
cosπ
6 = sen π
6 =
cos5π
6 = sen5π
6 =
cos
−π 6
= sen
−π 6
=
cos
−5π 6
= sen
−5π 6
=
cos y sen de los ´ angulos m´ ultiplos de
π31 Pπ
3
P−π
3
P2π
3
P−2π
3
O
30. Escriba:
cosπ
3 = sen π
3 =
cos2π
3 = sen2π
3 =
cos
−π 3
= sen
−π 3
=
cos
−2π 3
= sen
−2π 3
=
