Multiplicaci´on de polinomios por binomios m´onicos

(1)

Multiplicaci´

on de polinomios por binomios m´

onicos

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional, ESFM, M´exico

(2)

Contenido

Algoritmo en acci´on

(3)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4

(4)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4

(5)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 3 · 5 = 15

(6)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 3 · 5 = 15

(7)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 3 · (−2) + 5 = −1

(8)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(9)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 3 · 3 + (−2) = 7

(10)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 3 · 3 + (−2) = 7

(11)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(12)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(13)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 −4 = −4

(14)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo (5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4. 5 −2 3 −4 3 15 −1 7 −9 −4 −4 = −4

(15)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Primer ejemplo

(5 − 2x + 3x2− 4x3)(3 + x ) = 15 − x + 7x2− 9x3− 4x4.

5 −2 3 −4

(16)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3

(17)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3

(18)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · 2 = −4

(19)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · 2 = −4

(20)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · (−3) + 2 = 8

(21)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(22)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · 1 + (−3) = −5

(23)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · 1 + (−3) = −5

(24)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · 0 + 1 = 1

(25)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 (−2) · 0 + 1 = 1

(26)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(27)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(28)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 −3 = −3

(29)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo (2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5. 2 −3 1 0 −3 −2 −4 8 −5 1 6 −3 −3 = −3

(30)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Segundo ejemplo

(2 − 3x + x2− 3x4)(−2 + x ) = −4 + 8x − 5x2+ x3+ 6x4− 3x5.

2 −3 1 0 −3

(31)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Tercer ejemplo (−4 + 6x − 3x2+ 2x3)(2 + x ) = −8 + 8x + x3+ 2x4. −4 6 −3 2 2 − 8 8 0 1 2

(32)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(33)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(34)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(35)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(36)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(37)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(38)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Tercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2+ 2x3)(2 + x ) = −8 + 8x + x3+ 2x4.

−4 6 −3 2

(39)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Cuarto ejemplo (3 − 4x + x2− 7x3)(0 + x ) = 3x − 4x2+ x3− 7x4. 3 −4 1 −7 0 0 3 − 4 1 − 7

(40)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(41)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(42)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(43)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(44)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(45)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

(46)

Multiplicamos un polinomio por un binomio m´

onico

Cuarto ejemplo

(3 − 4x + x2− 7x3)(0 + x ) = 3x − 4x2+ x3− 7x4.

3 −4 1 −7 0 0 3 − 4 1 − 7

(47)

Ejercicios

(−5 + 4x2+ 2x3+ x4)(3 + x ) =

− 15 − 5x + 12x2+ 10x3+ 5x4+ x5

Se recomienda parar la presentaci´on y escribir la soluci´on en papel.

−5 0 4 2 1

3

− 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2− 5x3)(−1 + x ) = − 4 + 7x + 2x3− 5x4.

Se recomienda detener la presentaci´on y escribir la soluci´on en papel. 4 −3 −3 −5

(48)

Ejercicios

(−5 + 4x2+ 2x3+ x4)(3 + x ) =

− 15 − 5x + 12x2+ 10x3+ 5x4+ x5

−5 0 4 2 1

3

− 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2− 5x3)(−1 + x ) = − 4 + 7x + 2x3− 5x4.

(49)

Ejercicios

(−5 + 4x2+ 2x3+ x4)(3 + x ) = − 15 − 5x + 12x2+ 10x3+ 5x4+ x5

−5 0 4 2 1

3 − 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2− 5x3)(−1 + x ) = − 4 + 7x + 2x3− 5x4.

(50)

Ejercicios

(−5 + 4x2+ 2x3+ x4)(3 + x ) = − 15 − 5x + 12x2+ 10x3+ 5x4+ x5

−5 0 4 2 1

3 − 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2− 5x3)(−1 + x ) =

− 4 + 7x + 2x3− 5x4.

Se recomienda detener la presentaci´on y escribir la soluci´on en papel.

4 −3 −3 −5 −1 −4 7 0 2 −5

(51)

Ejercicios

(−5 + 4x2+ 2x3+ x4)(3 + x ) = − 15 − 5x + 12x2+ 10x3+ 5x4+ x5

−5 0 4 2 1

3 − 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2− 5x3)(−1 + x ) = − 4 + 7x + 2x3− 5x4.

Se recomienda detener la presentaci´on y escribir la soluci´on en papel.

4 −3 −3 −5 −1 −4 7 0 2 −5

(52)

Contenido

Algoritmo en acci´on

(53)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(54)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(55)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= _c₀_x0 _{+ c}

1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(56)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= _c₀_x0 _{+ c}

1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(57)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(58)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(59)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(60)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(61)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(62)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(63)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(64)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(65)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

x0: c0 = a0b x1: c1 = a1b + a0 x2_: _c 2 = a2b + a1 x3: c3 = a3b + a2 x4: c4 = a4b + a3 x5: c5 = a4

(66)

Deducci´

on de las f´

ormulas para un caso particular

a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 bx0 + 1 x1

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

(67)

De las f´

ormulas a la tabla

Aqu´ı están las fórmulas deducidas en la página anterior:

x0: c0= a0b x1_: _c 1= a1b + a0 x2: c2= a2b + a1 x3: c3= a3b + a2 x4: c4= a4b + a3 x5: c5= a4

Las podemos escribir en una tabla:

a0 a1 a2 a3 a4

b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4

(68)

De las f´

ormulas a la tabla

a0 a1 a2 a3 a4

(69)

De las f´

ormulas a la tabla

a0 a1 a2 a3 a4

(70)

Ejercicio: deducir las f´

ormulas para otro caso particular

Multiplicar un polinomio de grado 3 por un binomio m´onico. Expresar c0, . . . , c4 a trav´es de a0, . . . , a3 y b: (a0+ a1x + a2x2+ a3x3)(b + x ) = c0+ c1+ c2x2+ c3x3+ c4x4. c0 = ? c1 = ? c2 = ? c3 = ? c4 = ?

(71)

Demostraci´

on formal

Usamos la siguiente notaci´on para los datos iniciales y para el resultado:

f (x ) = n−1 X j=0 ajxj, g (x ) = b + x , h(x ) = f (x )g (x ) = n X j=0 cjxj. f (x )g (x ) = n−1 X j=0 (ajb)xj + n−1 X j=0 ajxj+1= n−1 X j=0 (ajb)xj + n X k=1 ak−1xk =a0b + n−1 X j=1 (ajb)xj + n−1 X j=1 aj−1xj + an−1xn = a0b + n−1 X j=1 (ajb + aj−1)xj + an−1xn.

Obtenemos las siguientes f´ormulas para los coeficientes del producto:

(72)

Demostraci´

on formal

f (x ) = n−1 X j=0 ajxj, g (x ) = b + x , h(x ) = f (x )g (x ) = n X j=0 cjxj. f (x )g (x ) = n−1 X j=0 (ajb)xj + n−1 X j=0 ajxj+1 = n−1 X j=0 (ajb)xj + n X k=1 ak−1xk =a0b + n−1 X j=1 (ajb)xj + n−1 X j=1 aj−1xj + an−1xn = a0b + n−1 X j=1 (ajb + aj−1)xj + an−1xn.

(73)

Demostraci´

on formal

(74)

Demostraci´

on formal

(75)

Demostraci´

on formal

(76)

Demostraci´

on formal

(77)

Tareas y aplicaciones

Ejercicio de programaci´on.

En algún lenguaje de programación escribir una función que realice el algoritmo explicado en esta presentación.

Aplicaciones del algoritmo:

Construir polinomios con ra´ıces dadas. Construir el polinomio interpolante

(f´ormulas de Lagrange, Neville y Newton).

(78)

Tareas y aplicaciones

Ejercicio de programaci´on.

En algún lenguaje de programación escribir una función que realice el algoritmo explicado en esta presentación.

Aplicaciones del algoritmo:

Construir polinomios con ra´ıces dadas. Construir el polinomio interpolante

(f´ormulas de Lagrange, Neville y Newton).