EC 2322 Solución a la Ecuacion en Modos TEM pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.1. SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE ONDA PARA LOS MODOS TEM.. 2.1.1 Introducción Como se vio en la Unidad 1, los campos electromagnéticos de los modos TEM satisfacen las ecuaciones de onda vectoriales: ∇ t2 eˆ t ± (u1 , u 2 ) + kˆc 2 eˆ t ± (u1 , u 2 ) = 0. (2.1). ∇ t2 hˆ t ± (u1 , u 2 ) + kˆc 2 hˆ t ± (u1 , u 2 ) = 0. (2.2). En estas ecuaciones, el parámetro k̂c es desconocido. Además, la forma del operador laplaciano vectorial es dependiente de la elección de un sistema de coordenadas particular para la solución de las ecuaciones, y no puede establecerse a priori, a diferencia de la forma del operador laplaciano escalar. A fin de poder resolver los campos para cualquier sistema de coordenadas axial generalizado salvando estas dificultades, se usarán las ecuaciones de Maxwell, específicamente las leyes de Faraday y de Ampère-Maxwell, para determinar los campos. Las ecuaciones de onda se usarán luego para determinar el parámetro k̂c . Partiendo de la descomposición del rotacional en el sistema de coordenadas axial generalizado, se llega a un conjunto de ecuaciones de Maxwell simplificadas para los modos TEM. Luego se demuestra que se puede determinar el campo eléctrico transversal en términos de un potencial eléctrico transversal, se calculan y estudian los parámetros de interés de los. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 28.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. modos TEM (constante de propagación, impedancia, rapidez de propagación y longitud de onda), se determinan los campos y se estudian sus propiedades, y se determina la densidad de potencia promedio de las ondas TEM. Se supondrá que los medios son lineales, isotrópicos y homogéneos. 2.1.2 Descomposición del rotacional en el sistema de coordenadas axial generalizado Puede demostrarse que en el sistema de coordenadas generalizado, el rotacional de un vector puede descomponerse como:  1  ∂ (h2 F2 ) ∂ (h1 F1 )   ∂F     + 1z ×  t − ∇ t Fz  ∇ × F = 1z  − ∂ u2    ∂z   h1 h2  ∂ u1. (2.3). donde ∇ t Fz es el gradiente transversal de Fz , que se obtiene del gradiente suprimiendo el término que tiene la derivada ∂ / ∂ z . Dado que el primer término de la ecuación 2.3 es lo que se obtendría del determinante del rotacional colocando cero en el lugar de la derivada ∂ / ∂z y en el lugar de Fz , es entonces igual a ∇ t × Ft , por lo que: ∂F  ∇ × F = ∇ t × Ft + 1z ×  t − ∇ t Fz   ∂z . (2.4). 2.1.3 Ecuaciones de Maxwell simplificadas para los modos TEM. Para los modos TEM, se tiene: ˆ ± (r ) = Eˆ t ± (r ) = eˆ t ± (u1 , u 2 ) e m γˆ z ; Eˆ z ± (r ) = 0 E. (2.5). ˆ ± (r ) = H ˆ t ± (r ) = hˆ t ± (u1, u 2 ) e m γˆ z ; Hˆ z ± (r ) = 0 H. (2.6). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 29.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. γˆ = kˆc 2 − ω 2 µ εˆ. (2.7). Aplicando la ecuación 2.4, la Ley de Faraday en el dominio fasorial queda:  ∂ Eˆ t  ˆ = ∇t × E ˆ t + 1z ×  ˆ z  = − jω µ H ˆt ∇×E − ∇ E t  ∂z    Al sustituir las ecuaciones 2.5 y 2.6, se obtiene:. (. ± m γˆ z. ∇ t × eˆ t e. ).  ∂ (eˆ ± e m γˆ z )  t  = − jω µ hˆ ± e m γˆ z + 1z ×  t   ∂ z  . Operando y simplificando las exponenciales, queda: ∇ t × eˆ t ± m γˆ 1z × eˆ t ± = − jω µ hˆ t ±. (2.7). Separando los términos axiales y transversales en la ecuación 2.7, se obtienen las siguientes dos ecuaciones: ∇ t × eˆ t ± = 0. (2.8). m γˆ 1z × eˆ t ± = − jω µ hˆ t ±. (2.9). Aplicando propiedades del rotacional, de la ecuación 2.8 puede escribirse: eˆ t ± = −eˆ0 ± ∇ t φt. (2.10). En la ecuación 2.10, que es similar a la que relaciona al campo electrostático con el potencial electrostático, el carácter complejo de êt ± viene dado por la amplitud compleja ê0 ± , mientras que su carácter vectorial lo. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 30.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. establece ∇ t φt . Es importante mencionar que la función φt por sí misma no tiene significado físico. De la ecuación 2.9 se obtiene:. eˆ ± γˆ hˆ t ± = ± 1z × eˆ t ± = ± 1z × t jω µ ηˆ TEM. (2.11). donde η̂ TEM se denomina impedancia de onda para los modos TEM, y viene dada por:. ηˆ TEM =. jω µ γˆ. (2.12). 2.1.4 Determinación de la constante de propagación. Llegados a este punto, queda por determinar la función φt y la constante de propagación γˆ . Aplicando la Ley de Gauss para el campo eléctrico en el caso de regiones sin fuentes, se tiene:. (. ). ˆ ± = 0 ⇒ ∇ ⋅ eˆ t ± e m γˆ z = 0 ∇⋅E Desarrollando la divergencia:. (. ). (. ). ∇ ⋅ eˆ t ± e m γˆ z = e m γˆ z ∇ ⋅ eˆ t ± + ∇ e m γˆ z ⋅ eˆ t ± = 0. Operando y simplificando las exponenciales: ∇ ⋅ eˆ t ± m γˆ 1z ⋅ eˆ t ± = 0. Como 1z ⋅ eˆ t ± = 0 por definición, entonces ∇ ⋅ eˆ t ± = 0 Sustituyendo la ecuación 2.10 se tiene:. (. ). ∇ ⋅ eˆ0 ± ∇ t φ t = eˆ0 ± ∇ t 2φ t = 0 ⇒ ∇ t 2φ t = 0 Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.13). 31.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. La ecuación 2.13 indica que la función φt satisface la Ecuación de Laplace escalar transversal, es decir, en las coordenadas transversales u1 y u2. Trabajando con la ecuación de onda y la ecuación 2.10: ∇ t2 eˆ t ± (u1 , u 2 ) + kˆc 2 eˆ t ± (u1 , u 2 ) = 0 = ∇ t2 (∇ t φt ) + kˆc 2 (∇ t φt ). ( ). Puede demostrarse que ∇ 2 (∇φ ) = ∇ ∇ 2φ . Por lo tanto, la ecuación de onda para los modos TEM implica:. (. ). ∇ t ∇ t2 φt + kˆc 2 (∇ t φt ) = 0 En virtud de la ecuación 2.13, lo anterior se reduce a: kˆc 2 (∇ t φt ) = 0 Como ∇ t φt no puede ser nulo porque el campo eléctrico sería nulo y no habría onda electromagnética, entonces: kˆc 2 = 0. (2.14). Sustituyendo este último resultado, la constante de propagación resulta:. γˆ = − ω 2 µ εˆ = jω µ εˆ. (2.15). 2.1.5 Resumen de ecuaciones para los modos TEM eˆ t ± = −eˆ0 ± ∇ t φt , con ∇ t 2φt = 0 eˆ t ± jω µ ± hˆ t = ± 1z × , con ηˆ TEM = y γˆ = jω γˆ ηˆ TEM ˆ ± = eˆ t ± e m γˆ z E. µ εˆ = α + jβ. Eˆ ± ± ˆ ± m γˆ z ˆ H = ht e = ± 1z × ηˆ TEM. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 32.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. De la ecuación que relaciona al campo magnético con el campo eléctrico se obtiene que: a) Los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y con respecto a la dirección de propagación. b) La magnitud del campo magnético es la del campo eléctrico dividida por la magnitud de la impedancia de onda. c) La fase del campo magnético es la del campo eléctrico menos la fase de la impedancia de onda. Llegados a este punto, conviene ahondar más en el comportamiento de la constante de propagación, la impedancia de onda, la rapidez de propagación y la longitud de onda para los modos TEM.. 2.1.6 Constantes de fase y de atenuación, impedancia de onda, rapidez de propagación y longitud de onda Como εˆ = ε (1 − j tan δ ) , entonces la constante de propagación es:. γˆ = jω µ εˆ = jω µ ε (1 − j tan δ ) = α + jβ de donde:. α (ω , µ , ε , δ ) =. 1/ 2 ω µε  2  1 + tan δ − 1  . 2 . . 1/ 2 ω µε  2  β (ω , µ , ε , δ ) = ≥ω µ ε  1 + tan δ + 1. 2. . . Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.16) (2.17). 33.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Puede demostrarse que:. β 2 − α 2 = ω 2µ ε > 0 ⇒ β > α. (2.18). Para la rapidez de propagación, se tiene: 1/ 2.  1  2 ω  v(ω , µ , ε , δ ) = = β µ ε  1 + tan 2 δ + 1 . 1. ≤. µε. ≤c. (2.19). Este resultado indica que la rapidez de propagación en un material LIH con pérdidas es menor a la que se tendría en el mismo material si no tuviese pérdidas, y menor a la rapidez de la luz c = 1 / µ 0ε 0 en el vacío. Por su parte, para la longitud de onda se tiene: 1/ 2.   2   = λ (ω , µ , ε , δ ) = β f µ ε  1 + tan 2 δ + 1  2π. 1. ≤. 1 f µε. ≤. c f. (2.20). Este resultado indica que a una frecuencia dada la longitud de onda de una onda TEM en un material LIH con pérdidas es menor a la que tendría dicha onda en el mismo material si no tuviese pérdidas, y menor a la que tendría en el vacío. Finalmente, la impedancia de onda es:. ηˆTEM (ω , µ , ε , δ ) =. µ µ = = εˆ ε (1 − j tan δ ). µ /ε. (1 + tan δ ) 2. 1/ 4. e jδ / 2. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (2.21). 34.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Nótese que aunque no aparece la frecuencia angular ω en la ecuación explícitamente, ω se ha mantenido como variable porque está implícita en la tangente de pérdidas tanδ. Expresando a la impedancia de onda en forma polar:. ηˆTEM = ηˆTEM e j arg(ηˆTEM ) = ηˆTEM e. jθη. se tiene que:. ηˆTEM ≤ µ / ε (compárese con η0 = µ 0 / ε 0 = 120π Ω para el vacío) 0 ≤ θη < π / 4 Es oportuno mencionar que como para medios sin pérdidas la impedancia de onda sólo depende de la permitividad y permeabilidad del material, también se le denomina impedancia intrínseca del material. Frecuentemente esta denominación se utiliza aún para medios con pérdidas. Ejemplo 2.1: Cálculo de los parámetros de ondas TEM para un buen aislante y para un buen conductor. El polietileno es un material no magnético que tiene una constante dieléctrica de 2,26 hasta 10 GHz, una tangente de pérdidas despreciable hasta 1 MHz y de 0,0005 a 10 GHz. Por su parte, el cobre es un metal no magnético que tiene una conductividad de 5,8 × 107 siemens/m. Determine las constantes de atenuación y de fase, la rapidez de propagación y la impedancia intrínseca. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 35.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. de estos materiales a 1 MHz y a 10 GHz. Suponga para el caso del cobre que su constante dieléctrica es 1. Solución a). Para el polietileno. α=. 1/ 2 ω ε 1/ 2 ω µε  r  2 2   1 + tan δ − 1 = 1 + tan δ − 1    . 2. . . 2c . . 0 Neper/m, si f = 1 MHz 0,0787 Neper/m, si f = 10 GHz. α =. 1/ 2 ω ε 1/ 2 ω µε  r  2 2   β= =  1 + tan δ + 1  1 + tan δ + 1. 2. . . 2c . . 0,0315 rad/m, si f = 1 MHz 314,8566 rad/m, si f = 10 GHz. β = v=. ω 1,996 × 108 m/s, si f = 1 MHz = β 1,996 × 108 m/s, si f = 10 GHz. Antes de calcular la impedancia, hay que determinar el ángulo de disipación δ = tan −1 (tan δ ) : 0°, si f = 1 MHz −1 tan (0,0005) = 0,0286°, si f = 10 GHz. δ =. ηˆTEM =. µ /ε. (1 + tan 2 δ ). 1/ 4. e jδ / 2 =. 120π / ε r. (1 + tan 2 δ ). 1/ 4. e jδ / 2. 250,7708 Ω j 0,0143° Ω 250,7707e. ηˆTEM = . Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 36.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Comentarios El polietileno es un buen aislante, ya que su tangente de pérdidas es mucho menor que la unidad. Los resultados obtenidos con las fórmulas exactas son numéricamente muy similares a los que se obtendrían suponiendo que la tangente de pérdidas es nula (no hay pérdidas), excepto para la constante de atenuación α. Existen las siguientes fórmulas aproximadas para el cálculo de las constantes de atenuación y de fase en el caso de buenos aislantes:. α≈. ω µε 2. . tan δ. . 1. β ≈ ω µ ε 1 + tan 2 δ  8 . . También existe una fórmula aproximada para la impedancia intrínseca, pero es más complicada que la fórmula exacta. Se deja como ejercicio para el estudiante realizar los cálculos con las fórmulas aproximadas y comparar sus resultados con los presentados aquí. b). Para el cobre En primer lugar, hay que calcular la tangente de pérdidas a cada. frecuencia. (recuérdese. que. ε 0 = 8,854 × 10 −12. Faradios/m. y. que. µ 0 = 4π × 10 − 7 Henrios/m): σ 5,8 × 10 7 1,0426 × 1012 , si f = 1 MHz tan δ = = = ω ε 2π fε 0 1,0426 × 108 , si f = 10 GHz. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 37.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS. Como tan δ >> 1 , se pueden usar las fórmulas aproximadas para el caso de buenos conductores.. ω µσ. α≈. 2. β≈ v=. ω µσ 2. 15131,914 Neper/m, si f = 1 MHz = 1513191,403 Neper/m, si f = 10 GHz 15131,914 rad/m, si f = 1 MHz = 1513191,403 rad/m, si f = 10 GHz. ω 415,2274 m/s, si f = 1 MHz = β 41522,74 m/s, si f = 10 GHz. ω µ j 45° 3,6896 × 10 − 4 e j 45° Ω, si f = 1 MHz e = ηˆ ≈ σ 3,6896 × 10 − 2 e j 45° Ω, si f = 10 GHz Se deja como ejercicio para el estudiante realizar los cálculos con las fórmulas exactas y comparar sus resultados con los presentados aquí. Es oportuno mencionar que se ha supuesto la constante dieléctrica del cobre porque hasta ahora no se ha podido determinar experimentalmente la constante dieléctrica de ningún material que sea buen conductor.. 2.1.7 Densidad de potencia promedio La densidad de potencia promedio de una onda electromagnética es:. {. 1 ˆ ± )* S ± = Re Eˆ ± × (H 2. }. Sustituyendo el campo magnético por su expresión en términos del campo eléctrico para ondas TEM:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 38.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS.  ± *   ˆ 1 ± 1 z × E ˆ ±    S ± = ReE ×  ηˆ TEM  2       ±2  ±2 ˆ ˆ E E  1  = Re± 1z cos(θη )  = ± 1z ηˆ TEM  2  2 ηˆ TEM  . Finalmente: S ± (r ) = ± 1z. eˆ t ± (u1 , u 2 ) 2 ηˆ TEM. 2. cos(θη ) e m 2α z. (2.22). La aparición del coseno del ángulo de la impedancia de onda en la ecuación 2.22 puede interpretarse como un factor de potencia, de manera similar al caso de circuitos en corriente alterna, pero teniendo en cuenta que el ángulo de la impedancia de onda en el peor de los casos (conductores ideales) no puede sobrepasar π /4.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 39.

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