Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Conceptos generales 3.2 Operaciones matriciales 3.3 Tipos de matrices 3.4 Determinantes 3.5 Matriz inversa 3.6 Rango y traza 3.7 Matrices particionadas
3 MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 CONCEPTOS GENERALES
3.1.1 DEFINICI ¶ON
Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una aplicaci¶on:
A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng ¡! IK (i; j) 7¡! aij:
La matriz A suele representarse por
A = (aij) 1·i·m 1·j·n = 0 B B B B B B B B @ a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n . . . . am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn 1 C C C C C C C C A
y se dice que es de orden m £ n .
² La ¯la i-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos ai1; ai2; : : : ; ain.
² La columna j-¶esima de la matriz A es la formada por los elementos a1j; a2j; : : : ; amj.
² El t¶ermino (i; j) de la matriz A es aij.
NOTACI ¶ON: Se denota porMm£n(IK) el conjunto de las matrices
Sean A; B 2 Mm£n(IR); A = (aij) 1·i·m 1·j·n ; B = (bij) 1·i·m 1·j·n . Se dice que A y B son iguales si y s¶olo si 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij. 3.2 OPERACIONES MATRICIALES 3.2.1 SUMA DE MATRICES Sean A; B 2 Mm£n(IK); A = (aij) 1·i·m 1·j·n ; B = (bij) 1·i·m 1·j·n . Se de¯ne A + B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij)
1·i·m 1·j·n
tal que
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij: 3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. 8A; B; C 2 Mm£n(IK) (A + B) + C = A + (B + C).
2. 9 O = (0ij)
1·i·m 1·j·n
2 Mm£n(IK) (matriz nula), tal que
8A 2 Mm£n(IK) A + O = O + A = A.
3. 8A 2 Mm£m(IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que
A + (¡A) = (¡A) + A = O: (¡A = (¡aij)
1·i·m 1·j·n
4. 8A; B 2 Mm£n(IK) A + B = B + A.
3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij)
1·i·m 1·j·n
, y ¸ 2 IK. Se de¯ne ¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij)
1·i·m 1·j·n
, tal que
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij:
3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES
8A; B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK
1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B. 2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A. 3. (¸¹)A = ¸(¹A).
4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).
3.2.5 OBSERVACI ¶ON:
(Mm£n(IK); +;¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶on
3.2.6 PRODUCTO DE MATRICES
Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p(IK) , donde A = (aij)
1·i·m 1·j·n , B = (bij) 1·i·n 1·j·p
. Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p(IK); con C =
(cij) 1·i·m 1·j·p tal que: 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij = n X k=1aikbkj: 3.2.7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1. 8A 2 Mm£n(IK);8B 2 Mn£p(IK);8C 2 Mp£q(IK)
(AB)C = A(BC): 2. 8A; B; C 2 Mn£n(IK)
A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA: 3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK)
AIn = InA = A; donde: In = 0 B B B B B B B B @ 1 0 ¢ ¢ ¢ 0 0 1 ¢ ¢ ¢ 0 . . . . 0 0 ¢ ¢ ¢ 1 1 C C C C C C C C A :
4. 8A 2 Mm£n(IK);8B 2 Mn£p(IK);8¸; ¹ 2 IK
(¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):
3.2.8 TRASPOSICI ¶ON DE MATRICES
Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij)
1·i·m 1·j·n
. Se de¯ne matriz tras-puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m(IK), como At =
µ a0ij¶ 1·j·n 1·i·m tal que 8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:
3.2.9 PROPIEDADES DE LA TRASPOSICI ¶ON DE MATRICES
Sean A 2 Mm£n(IK) y ¸ 2 IK.
1. (In)t = In.
2. (At)t = A. 3. (¸A)t = ¸At.
4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A + B)t = At + Bt.
3.3 TIPOS DE MATRICES
3.3.1 DEFINICIONES
1. Matriz ¯la: posee una ¶unica ¯la.
(a11a12: : : a1n) 2 M1£n(IK):
2. Matriz columna: posee una ¶unica columna.
0 B B B B B B B B @ a11 a21 ... am1 1 C C C C C C C C A 2 Mm£1(IK):
3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶umero de ¯las que de columnas, m = n . A = 0 B B B B B B B B @ a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n . . . . an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann 1 C C C C C C C C A :
² aii; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales.
² A es una matriz diagonal si y s¶olo si los elementos no dia-gonales son nulos: i 6= j ) aij = 0.
² Una matriz es escalar si y s¶olo si es diagonal y todos los elementos diagonales son iguales entre s¶³.
² Una matriz es triangular inferior si y s¶olo si los elementos por encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0.
² Una matriz es triangular superior si y s¶olo si los elementos por debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0.
4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶olo si A2 = A.
5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶olo si existe m 2 IN tal
que Am = O.
6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶etrica si y s¶olo si At = A , es decir, si
A = (aij) 1 ·i·n 1·j·n
:
8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji:
7. A 2 Mn£n(IK) es antisim¶etrica si y s¶olo si At = ¡A , es
decir, si A = (aij) 1·i·n 1·j·n : 8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji: 3.4 DETERMINANTES
El determinante es una aplicaci¶on
det : Mn£n(IK) ¡! IK
A 7¡! det A tal que
² Para n = 2 y A = 0 B @ a11 a12 a21 a22 1 C A : det A = a11a22 ¡ a12a21. ² Para n = 3 y A = 0 B B B B B @ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 C C C C C A :
det A = a11a22a33+a21a32a13+a31a23a12¡a13a22a31¡a23a32a11¡a33a21a12:
3.4.1 DEFINICIONES
² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes de las submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el mismo n¶umero de columnas.
² Se llama menor complementario del elemento aij de una
ma-triz cuadrada, que denotamos por Mij, al determinante de la
matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j.
² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+jMij.
² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2
Mn£n(IK) que tiene por elementos los adjuntos de los
elemen-tos de A .
3.4.2 DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA
Sea A = (aij)
1·i·n 1·j·n
2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante
² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : det A = Xn
k=1aikAik.
² Desarrollo por los elementos de la columna j : det A = Xn
k=1akjAkj. 3.4.3 PROPIEDADES
Sean A; B 2 Mn£n(IK).
1. det(A) = det(At).
2. Si se intercambian entre s¶³ dos ¯las (o columnas), el determi-nante cambia de signo.
3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determi-nante es cero.
4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar ¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por det A.
5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸ndet A.
6. El determinante de una matriz no var¶³a si a una ¯la (o columna) se le suma una combinaci¶on lineal de las restantes.
7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante es nulo.
8. det(AB) = det A det B.
3.5 MATRIZ INVERSA
3.5.1 DEFINICI ¶ON
Sea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existe
B 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, B
se llama matriz inversa de A y se denota por A¡1.
Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular.
3.5.2 PROPIEDADES
Sean A; B 2 Mn£n(IK).
1. A es inversible si y s¶olo si det A 6= 0.
2. Si A es inversible, entonces det(A¡1) = 1 det A.
3. Si A es inversible, entonces A¡1 es ¶unica y viene dada por A¡1 = 1
det A(A
?)t.
4. In es inversible y In¡1 = In.
5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1)¡1 = A. 6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es
inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1.
7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y (AB)¡1 = B¡1A¡1.
8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At)¡1 = (A¡1)t.
3.5.3 DEFINICI ¶ON
A 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶olo si es inversible y A¡1 = At.
3.6 RANGO Y TRAZA
3.6.1 DEFINICI ¶ON
Sean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij)
1·i·m 1·j·n
; i 2 f1; : : : ; mg; j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores ¹fi = (ai1; ai2; : : : ; ain);
vector ¯la i-¶esima de A y ¹cj = (a1j; a2j; : : : ; amj); vector columna
j-¶esima de A.
Se denomina rango de A por ¯las al n¶umero m¶aximo de vectores ¯la linealmente independientes.
An¶alogamente se denomina rango de A por columnas al n¶umero m¶aximo de vectores columna linealmente independientes.
3.6.2 TEOREMA DEL RANGO
En cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por colum-nas.
NOTA: El rango de una matriz A , se denota por rg(A). 3.6.3 TEOREMA (Caracterizaci¶on del rango mediante determinantes)
3.6.4 COROLARIO
Sean ¹u1; : : : ; ¹un 2 IKn.
1. ¹u1; : : : ; ¹uk, con k · n, son linealmente independientes si
y s¶olo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a ¹u1; : : : ; ¹uk.
2. ¹u1; : : : ; ¹uk, con k · n, son linealmente dependientes si y s¶olo
si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a ¹u1; : : : ; ¹uk.
3. ¹u1; : : : ; ¹un son vectores linealmente dependientes si y s¶olo si
det A = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a ¹
u1; : : : ; ¹un.
3.6.5 PROPIEDADES
1. Cambios en una matriz que no var¶³an el rango: (a) Intercambiar ¯las entre s¶³ (columnas).
(b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos. (c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶on lineal de
otras.
(d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por un n¶umero distinto de cero.
(e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶on lineal de las restantes.
3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n.
4. rg(In) = n.
5. rg(O) = 0.
6. Si A 2 Mm£n(IK); entonces rg(A) = rg(At).
7. Si A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p(IK), entonces
rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g:
3.6.6 DEFINICI ¶ON
Sea A 2 Mn£n(IK), donde A = (aij)
1·i·n 1·j·n
. Se de¯ne traza de A, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal de A, es decir,
tr(A) = Xn
i=1aii: 3.6.7 PROPIEDADES
Sean A; B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK.
1. tr(At) = tr(A).
2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A). 3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
3.7 MATRICES PARTICIONADAS
Sean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ; mr; n1; : : : ; ns 2 IN con r
X
i=1mi = m
y Xs
j=1nj = n. La matriz A puede representarse como:
A = 0 B B B B B @ A11 ¢ ¢ ¢ A1s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars 1 C C C C C A donde Aij 2 Mmi£nj(IK).
Se dice que A est¶a particionada en rs bloques por (m1; : : : ; mr; n1; : : : ; ns):
3.7.1 OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS
² Suma:
Sean A; B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por
(m1; : : : ; mr; n1; : : : ; ns) , A = 0 B B B B B @ A11 ¢ ¢ ¢ A1s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars 1 C C C C C A; B = 0 B B B B B @ B11 ¢ ¢ ¢ B1s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Br1 ¢ ¢ ¢ Brs 1 C C C C C A Entonces, A + B = 0 B B B B B @ A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs 1 C C C C C A:
² Producto por escalares:
Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr;
n1; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces ¸A = 0 B B B B B @ ¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars 1 C C C C C A: ² Producto de matrices:
Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p(IK) matrices
parti-cionadas por (m1; : : : ; mr; n1; : : : ; ns) y (n1; : : : ; ns; p1; : : : ; pk) ,
respectivamente, entonces C est¶a particionada por (m1; : : : ; mr;
p1; : : : ; pk) C = AB = 0 B B B B B @ C11 ¢ ¢ ¢ C1k ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk 1 C C C C C A; donde Cij = s X l=1AilBlj. 3.7.2 PROPOSICI ¶ON
Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1; n2; n1; n2),
A = 0 B @ A11 A12 A21 A22 1 C A:
Si A12 = O 2 Mn1£n2(IK) o A21 = O 2 Mn2£n1(IK), entonces
3.7.3 INVERSA PARTICIONADA
Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1; n2; n1; n2)
A = 0 B @ A11 A12 A21 A22 1 C A: Si A22 es regular, entonces A¡1 = 0 B @ B11 B12 B21 B22 1 C A; donde: B11 = (A11 ¡ A12A¡122 A21)¡1; B21 = ¡A¡122 A21B11; B12 = ¡B11A12A¡122 ; B22 = A¡122 ¡ A¡122 A21B12: Si A11 es regular, entonces A¡1 = 0 B @ C11 C12 C21 C22 1 C A; donde: C11 = A¡111 + A¡111 A12C22A21A¡111 ; C12 = ¡A¡111A12C22; C21 = ¡C22A21A¡111 ; C22 = (A22 ¡ A21A¡111 A12)¡1:
3.8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.8.1 DEFINICI ¶ON
Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas a un conjunto de ecuaciones de la forma:
a11x1 + a12x2 +¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
am1x1 + am2x2 +¢ ¢ ¢ + amnxn = bm
donde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij; bi 2 IR .
² aij son los coe¯cientes del sistema.
² bi son los t¶erminos independientes del sistema.
² xj son las inc¶ognitas del sistema.
Se denomina soluci¶on del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn) que
veri¯ca las siguientes igualdades:
a11s1 + a12s2 + ¢ ¢ ¢ + a1nsn = b1
a21s1 + a22s2 + ¢ ¢ ¢ + a2nsn = b2
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
am1s1 + am2s2 +¢ ¢ ¢ + amnsn = bm
Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas:
0 B B B B B B B B @ a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n . . . . am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn 1 C C C C C C C C A 0 B B B B B B B B @ x1 x2 ¢ xm 1 C C C C C C C C A = 0 B B B B B B B B @ b1 b2 ¢ bm 1 C C C C C C C C A ; o bien A¹x = ¹b;
donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del
sis-tema, ¹x 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶ognitas del sistema y
¹b 2 Mm£1(IK) el vector de t¶erminos independientes del sistema.
Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones en funci¶on del conjunto de soluciones:
1. Incompatible: cuando no admite soluci¶on.
2. Compatible: cuando admite soluci¶on. A su vez puede ser: (a) Determinado: cuando admite una ¶unica soluci¶on. (b) Indeterminado: cuando admite m¶as de una soluci¶on.
Clasi¯caci¶on de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶erminos independientes:
1. Homog¶eneo: el vector ¹b es nulo.
2. No homog¶eneo: al menos alguna de las componentes de ¹b es distinta de cero.
Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se repre-senta por (Aj¹b) , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz A la matriz columna ¹b. Por tanto, (Aj¹b) 2 Mm£(n+1)(IK) y toma la forma: (Aj¹b) = 0 B B B B B B B B @ a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n b1 a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2 . . . . am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm 1 C C C C C C C C A :
3.8.2 TEOREMA DE ROUCH¶E-FROBENIUS
Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas es: 1. Compatible si y s¶olo si rg(A) = rg(Aj¹b) . Adem¶as,
(a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado. (b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado. 2. Incompatible si y s¶olo si rg(A) < rg(Aj¹b) .
3.8.3 OBSERVACI ¶ON
Todos los sistemas homog¶eneos de la forma A¹x = ¹0 son compati-bles, rg(A) = rg(Aj¹0), y siempre admiten como soluci¶on:
x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0;
denominada soluci¶on trivial.
El sistema homog¶eneo A¹x = ¹0 de m ecuaciones lineales con n inc¶ognitas:
² S¶olo tiene soluci¶on trivial si rg(A) = n. ² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.
