INSTITUTO TECNOL ´OGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

(1)

DE MONTERREY

CAMPUS CIUDAD DE M ´EXICO

DIN ´ AMICA DE TRANSICI ´ ON DE FASE L´IQUIDO-S ´ OLIDO EN MCFs PARA AISLAMIENTO T ´ ERMICO EN UNA

GEOMETR´IA PLANA.

POR

JES ´ US RICARDO ZAMUDIO G ´ OMEZ

TESIS

SOMETIDA A LA ESCUELA DE INGENIER´IA Y CIENCIAS DEL

INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACAD ´EMICO DE

MAESTRO EN CIENCIAS DE LA INGENIER´IA

TLALPAN, CIUDAD DE M ´EXICO, 5 DE DICIEMBRE 2020

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©Copyright por JES ´ US RICARDO ZAMUDIO G ´ OMEZ, 2020 Todos los Derechos Reservados

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AGRADECIMIENTOS, RECONOCIMIENTOS

Quiero expresar mi m´as profundo agradecimiento a todos los que han estado para apoyarme y guiarme a lo largo de este logro.

DR. JOS É ANTONIO OTERO HERN ÁNDEZ DR. ERNESTO MANUEL HERN ÁNDEZ COOPER DR. JES ÚS ENRIQUE CHONG QUERO

DR. FRANCISCO CASTILLO ARANGUREN MTRA. SUSET RODR´IGUEZ ALEM ´AN ING. VALTER SILVA NAVA

Gracias.

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DEDICATORIA

Gracias a mis padres Isaura y Gabriel, y a mi hermano Gabriel por toda su confianza incondicional, apoyo, paciencia y aliento. Fueron mi principal motiva- ci´on para impulsar este trabajo.

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Abstract

Resumen

En este trabajo se utilizó el método h´ıbrido para analizar y predecir la respuesta de distin- tos materiales de cambio de fase mediante la aplicación de dos modelos unidimensionales para transiciones de fase l´ıquido-sólido a presión constante en el aislamiento térmico. Las propiedades termodinámicas del material se asumen constantes en el rango de temperaturas relevantes a la aplicación. La distribución de la temperatura en el l´ıquido y en el sólido, la dinámica de la interfaz y volumen del sistema se obtienen a través de las soluciones numéricas de un modelo isobárico de masa constante. Aplicando el modelo a sales hidratadas, parafinas y materiales orgánicos se concluye sobre la viabilidad de su uso en aplicaciones de aislamiento térmico.

Summary

In this work, the hybrid method was used to analyze and predict the response of different phase change materials by applying two one-dimensional models for liquid-solid phase transitions at constant pressure in thermal insulation. The thermodynamic properties of the material are as- sumed constant over the temperature range relevant to the application. The distribution of the temperature in the liquid and in the solid, the dynamics of the interface and volume of the system are obtained through the numerical solutions of an isobaric model of constant mass. Applying the model to hydrated salts, paraffins and organic materials, it is concluded on the viability of its use in thermal insulation applications.

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´Indice general

1. Introducci´on 1

1.1. Antecedentes . . . 1

1.2. Motivaci´on . . . 3

1.3. Pregunta de investigaci´on . . . 4

1.4. Hip´otesis . . . 4

1.5. Objetivos Generales . . . 4

1.6. Objetivos Espec´ıficos . . . 5

1.7. Aporte . . . 5

2. Estado del arte 6 2.1. Temperatura de transici´on de fase . . . 8

2.2. Criterios de selecci´on . . . 8

2.2.1. Materiales org´anicos . . . 9

2.2.2. Materiales inorg´anicos . . . 10

2.2.3. Eut´ecticos . . . 10

2.3. M´etodos de encapsulaci´on de MCF . . . 11

2.4. MCF para aplicaciones de refrigeraci´on . . . 11

2.4.1. MCF en la envolvente del edificio . . . 13

3. Desarrollo 14 3.1. Planteamiento del Problema . . . 14

3.2. Desarrollo del modelo . . . 15

3.2.1. M´etodo H´ıbrido . . . 17

23 3.2.2. Modelo 2: Condici´on de Stefan y Conservaci´on de Masa . . . 25

IX

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4.1. Resultados . . . 29

5. Conclusiones 43 5.1. Conclusiones . . . 43

5.2. Investigaci´on Futura . . . 43

A. Demostración del uso de la densidad del l´ıquido para la conservación de la masa 50 A.1. Demostración . . . 50

A.1.1. Derretimiento usando la masa del l´ıquido (m_l) . . . 50

A.1.2. Derretimiento usando la masa del s´olido (m_s) . . . 51

A.1.3. Solidificaci´on usando la masa del l´ıquido (m_l) . . . 53

A.1.4. Solidificaci´on usando la masa del s´olido (m_s) . . . 55

A.2. Demostraci´on de Flujos de Calor . . . 57

A.2.1. Flujo del S´olido . . . 57

A.2.2. Flujo del L´ıquido . . . 58

A.2.3. Flujo Total . . . 58

B. Propuesta de Experimento 59 B.1. Propuesta . . . 59

B.1.1. Objetivo general . . . 59

B.1.2. Objetivos espec´ıficos . . . 59

B.1.3. Desarrollo . . . 61

B.1.4. Esquemas . . . 62

X

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´Indice de cuadros

8

4.1. Errores relativos del método H´ıbrido con HBIM y NCFDS. . . 38 4.2. Errores relativos del método H´ıbrido contemplando conservación de masa (de-

rretimiento) con HBIM y NCFDS. . . 39 4.3. Errores relativos del m´etodo H´ıbrido contemplando conservaci´on de masa (soli-

dificaci´on) con HBIM y NCFDS. . . 40 4.4. Errores relativos de la interfase del Aceite de coco entre ambos modelos (derre-

timiento). . . 41 4.5. Errores relativos de la interfase del Cloruro de Calcio Hexahidratado entre ambos

modelos (derretimiento). . . 42

XI

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´Indice de figuras

1.1. Una comparaci´on entre (a) calor sensible y (b) almacenamiento de calor latente . 2

2.1. Ventajas y Desventajas de Sales hidratadas, Parafinas y Aceites vegetales . . . . 10

2.2. Diferentes tipos de t´ecnicas de enfriamiento. . . 12

3.1. Condici´on inicial de la barra. . . 16

3.2. Nodos b´asicos para aproximar ecuaci´on. . . 17

3.3. Condicion de la barra con conservaci´on de masa. . . 26

4.1. Comparativa del movimiento de la interfase sin conservación de masa entre los métodos HBIM, NCFDS, H´ıbrido (FEM-FDS),(a)Derretimiento, (b)Solidificación. 31 4.2. Comparativa del movimiento de la interfase con conservación de masa entre los métodos HBIM, NCFDS, H´ıbrido (FEM-FDS) (a)Derretimiento, (b)Solidificación 32 4.3. Comparativa del movimiento de la Longitud con conservación de masa entre los métodos HBIM, NCFDS, H´ıbrido (FEM-FDS) (a)Solidificación, (b)Derretimiento. 32 4.4. Comparativa del movimiento de la inerfase con conservación de masa y sin conservación de masa para el método H´ıbrido (FEM-FDS) (a)Derretimiento, (b)Solidificación. . . 33

4.5. Comparativa del movimiento de la interfase con conservación de masa y sin con- servación de masa para el método H´ıbrido (FEM-FDS) con Aceite de Coco, alcanzando el estado estacionario. . . 34

4.6. Comparativa del movimiento de la interfase con conservación de masa y sin con- servación de masa para el método H´ıbrido (FEM-FDS) con Cloruro de Calcio Hexahidratado, alcanzando el estado estacionario. . . 34

4.7. Comparativa del movimiento de la interfase sin conservaci´on de masa para el m´etodo H´ıbrido (FEM-FDS) utilizando varios MCFs. . . 35

4.8. Comparativa del movimiento de la inerfase con conservaci´on de masa para el m´etodo H´ıbrido (FEM-FDS) utilizando varios MCFs. . . 36

XII

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4.9. Comparativa del movimiento de la Longitud para el m´etodo H´ıbrido (FEM-FDS)

utilizando varios MCFs. . . 36

A.1. Esquemas de la barra unidimensional con dos fases. a) Ejemplo donde la diferencia de flujo de calor causa el derretimiento de la fase sólida y b) Ejemplo donde la diferencia de flujo de calor causa la formación de la fase sólida. . . 57

B.1. Diagrama de bloques del experimento. . . 61

B.2. Esquema de la Propuesta . . . 63

B.3. Vista desde fuera del horno. . . 63

B.4. Posici´on de los sensores. . . 64

B.5. Vista superior. . . 65

XIII

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Cap´ıtulo 1 Introducci´on

1.1. Antecedentes

En las últimas décadas, los investigadores y analistas están buscando nuevas tecnolog´ıas que reduzcan el consumo de combustibles convencionales para disminuir los impactos negativos sobre el clima y el medio ambiente. El almacenamiento de energ´ıa térmica (TES por sus siglas en inglés) mediante el uso de materiales de cambio de fase (MCF) es uno de los enfoques mediante los cuales se puede generar energ´ıa alternativa; lo que no solo reduce la variación entre la ofer- ta y la demanda, sino que también aumenta la estabilidad del suministro de energ´ıa además de la conservación de la energ´ıa. Llamaremos MCF solo a aquellos materiales que poseen ciertas caracter´ısticas como: gran calor latente y algunas otras.[38]

El almacenamiento de energ´ıa consta de 3 etapas que son: carga, almacenamiento y descarga;

y esto puede llevarse a cabo a trav´es de dos sistemas, el pasivo y el activo, y el ´ultimo a su vez puede ser directo o indirecto como se muestra en la figura

Existen 3 tipos de almacenamiento de energ´ıa t´ermica:

Almacenamiento de calor sensible.

Almacenamiento de calor latente.

Almacenamiento termoqu´ımico de calor.

Pero en este trabajo solo nos centraremos en los dos primeros, ya que son los que nos in- teresan. El calor sensible se almacena o libera cuando la temperatura del material aumenta o

1

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2

Figura 1.1: Una comparaci´on entre (a) calor sensible y (b) almacenamiento de calor latente [1]

disminuye. Existen diferentes tipos de materiales, y cada uno tiene sus ventajas y desventajas, pero el material, se selecciona de acuerdo con su capacidad calor´ıfica, que es proporcional a la densidad de energ´ıa t´ermica [4].

La cantidad de energ´ıa almacenada se calcula como se muestra en la siguiente ecuaci´on:

Q = m C_p ∆T (1.1)

donde Q es la cantidad de calor almacenado en el material (J ), m es la masa del material de almacenamiento (kg), C_pes el calor espec´ıfico del material de almacenamiento (J/kgK) y T es el cambio de temperatura (K) [4].

El calor latente se puede usar cuando hay una transición de fase, comúnmente se usa la transición sólido-l´ıquido, derritiendo o solidificando el material. La cantidad de calor almacenado se calcula siguiendo la ecuación mostrada a continuación:

Q = m h (1.2)

donde Q es la cantidad de calor almacenado en el material (J ), m es la masa del material de almacenamiento (kg) y h es la entalp´ıa de cambio de fase (J/kg) [4].

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El estudio de las transiciones en fase l´ıquido-sólido ha atra´ıdo la atención de los investigadores debido a las aplicaciones potenciales de los sistemas de almacenamiento térmico de calor latente (LHTS por sus siglas en inglés), que se utilizan para reducir las demandas de consumo de energ´ıa. En estos sistemas, la energ´ıa térmica se almacena durante la fusión de un material de cambio de fase y se libera durante la solidificación. Las propiedades termof´ısicas de la temperatura de fusión dentro del rango de operación deseado, alto calor latente de fusión, alta capacidad térmica espec´ıfica y pequeños cambios de volumen durante la transición de fase, hacen del MCF un candidato ideal para el almacenamiento de energ´ıa térmica. [42]

El problema de Stefan de le llama a aquellos problemas de determinación del campo de temperatura y de la frontera de transición de fase en sustancias puras. La fase de la sustancia cambia a consecuencia de la conducción térmica que se lleva a cabo en el medio por el efecto de fuentes internas o externas de energ´ıa térmica. La superficie de discontinuidad que separa las fases se le llama frontera libre y cumple con la Condición de Stefan (CS). Esta condición expresa la un balance de energ´ıa local en la interfaz l´ıquifo-sólido, en dicha interfase, la temperatura es igual a la temperatura de fusión de la sustancia, es decir, la transición de fase es un proceso isotérmico.[51]

El primer trabajo sobre los problemas de Stefan se publicó en 1831 por J. Lamé y B.P. Clapeyrón, bajo el t´ıtulo de La solidificación de una esfera l´ıquida sometida a enfriemiento; y en 1889 Josef Stefan publicó un trabajo sobre el congelamiento de un suelo húmedo.

Algunas desventajas de los MCF que no son sustancias puras son:

Subenfriamiento sean o no sean sustancias puras.

Histéresis (diferente rango en la temperatura de fusión entre el derretimiento y la solidifi- cación).

Tienen un rango de Temperatura de fusi´on (zona pastosa).

Presentan segregaci´on.

Presentan polimorfismo (se crean diferentes tipos de cristales) lo que genera diferentes Temperaturas de fusi´on y se pierde el control sobre esta.

1.2. Motivaci´on

En los ´ultimos a˜nos se han demostrado los efectos adversos que el calentamiento global causa en el planeta, trayendo consigo una crisis medio ambiental, lo que nos plantea la necesidad de

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4

adaptarnos a esto para ayudar a mitigar los efectos.

De acuerdo con la Agencia Internacional de Energ´ıa (IEA por sus siglas en inglés), las emisiones de CO2 relacionadas con la energ´ıa de los edificios han aumentado en los últimos años después de estabilizarse entre 2013 y 2016. Las emisiones directas e indirectas de la electricidad y el calor comercial utilizado en los edificios aumentaron a 10 Giga toneladas de CO2 en 2019, el nivel más alto jamás registrado. Varios factores han contribuido a este aumento, incluida la creciente demanda de energ´ıa para calefacción y refrigeración con el aumento de la propiedad de acondicionadores de aire y eventos climáticos extremos. [16]

Por lo cual es necesario crear y/o mejorar tecnolog´ıas que beneficien al medio ambiente, y de ser posible a un costo bajo en comparaci´on con productos existentes.

1.3. Pregunta de investigaci´on

¿Mejoran los resultados que se obtienen al usar un método h´ıbrido en la solución de los modelos que describen la dinámica de transición de fase?

1.4. Hip´otesis

Al utilizar un método h´ıbrido en la solución del modelo matemático, se obtendrán resultados más próximos a los obtenidos con el Método Integral de Balance de Calor(Heat Balance Integral Method (HBIM)) y el Esquema de Diferencia Finita No Clásico (Non Classical Finite Difference Scheme (NC-FDS)).

1.5. Objetivos Generales

Construir y resolver un modelo para MCFs utilizando un método h´ıbrido para una geometr´ıa plana con la finalidad de aplicar la dinámica de la transición de fase obtenida al aislamiento térmico.

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1.6. Objetivos Espec´ıficos

Evaluar mediante un modelo de masa total constante diversos materiales de cambio de fase para predecir la din´amica de transici´on de fase.

Seleccionar con la simulación cual de los MCFs evaluados es más apto de acuerdo a la aplicación que se plantea en este trabajo.

Comparar las soluciones num´ericas obtenidas con el modelo propuesto con resultados re- portados en la literatura.

1.7. Aporte

Se proponen dos modelos f´ısico-matemáticos para estudiar la dinámica de transición de fase, l´ıquido-sólido

Se presenta e implementa un método h´ıbrido (FEM-FDS) para la solución numérica de un problema de Stefan.

Creación de una herramienta computacional desarrollada en Matlab para el estudio de la dinámica de transición de fase.

Se realizaron simulaciones para varios MCFs obteniendo el m´as apto para la aplicaci´on.

Se validan los resultados de la utilizaci´on de un m´etodo h´ıbrido con resultados obtenidos por HBIM y NC-FDS.

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Cap´ıtulo 2

Estado del arte

Una poblaci´on mundial en constante crecimiento combinada con un gran aumento en la demanda de energ´ıa ha llevado a una importante crisis ambiental que ya muestra su claro comienzo.

La producción de energ´ıa primaria, según la Agencia Internacional de Energ´ıa (AIE), ha aumentado un 49 % y las emisiones de CO2 un 43 % en los últimos 20 años [17]. Los resultados de la investigación han especificado que los edificios representan casi el 41 % del consumo energético mundial, lo que constituye el 30 % de las emisiones anuales de gases de efecto invernadero [15].

Se espera que la demanda de energ´ıa en el sector de la construcción aumente en aproximadamente un 50 % en 2050 y que la demanda de refrigeración de espacios se triplique entre 2010 y 2050. Por lo tanto, la envolvente del edificio debe optimizarse para minimizar las cargas de refrigeración en climas cálidos. En aplicaciones de energ´ıa de alta eficiencia para refrigeración, el potencial de ahorro de energ´ıa se estima entre el 10 % y el 40 % [16]].

Una de las formas atractiva para de reducir las demandas de energ´ıa es el uso de almacenamiento de energ´ıa t´ermica (TES). Dependiendo de las circunstancias ambientales, los materiales de cambio de fase pueden absorber calor, almacenarlo y liberarlo; mejorar la brecha entre el suministro de energ´ıa y el consumo de energ´ıa [27].

Muchos estudios han investigado el uso de MCF en edificios y han demostrado que el MCF puede mejorar notablemente el rendimiento energético del edificio. Pero se encontraron muchas dificultades, especialmente sobre el uso eficiente de los MCFs y su aplicación práctica.

Al-Saadi y Zhai [2], Baetens et al. [37], Cabeza et al. [23], Khudhair y Farid [20], Kuznik et al [6]

y otros, han realizado varias revisiones sobre el uso de MCFs en edificios para el almacenamien- to de energ´ıa térmica y el confort del clima interior, claramente mostrando que el interés por los MCFs está aumentando en todo el mundo. Varios autores también han demostrado que el MCF proporciona beneficios energéticos en el per´ıodo de calefacción, mientras que se encontraron

6

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beneficios limitados durante la temporada de enfriamiento[45].

La energ´ıa ha sido el principal motor del crecimiento y desarrollo de la civilizaci´on moderna.

El desarrollo económico mundial depende más que nunca de la energ´ıa. Sin embargo, el campo de la energ´ıa enfrenta desaf´ıos importantes como mejorar la eficiencia, reducir el consumo de combustibles fósiles y las emisiones de CO2 y desarrollar fuentes alternativas de energ´ıa renovable. El almacenamiento de energ´ıa es uno de esos métodos adecuados mediante los cuales se puede producir energ´ıa alternativa. El almacenamiento de energ´ıa térmica (TES) es uno de los métodos de almacenamiento de energ´ıa más utilizados. Los TES se pueden clasificar en dos categor´ıas principales a) Almacenamiento de calor sensible y b) Almacenamiento de calor latente; los materiales de cambio de fase (MCFs) son uno de los materiales más apropiados para la utilización efectiva de la energ´ıa térmica como fuente de energ´ıa renovable.

Cada material es un material de cambio de fase, en el almacenamiento de energ´ıa llama- mos MCF solo aquellos materiales que poseen ciertas caracter´ısticas para el almacenamiento de energ´ıa. Los materiales de cambio de fase para el almacenamiento de energ´ıa deben tener una calor espec´ıfico elevado (C_p) y un gran calor latente. Además, el punto de fusión de las sustancias debe estar dentro de un rango realista de aplicación; los materiales deben ser qu´ımicamente estables y deben fundirse de manera congruente con el m´ınimo subenfriamiento. Qu´ımicamente, los materiales también deben ser no tóxicos y no corrosivos.

Los tipos de MCF utilizados en las plantas de CSP consisten en sales con puntos de fusión al- tos, que constituyen materiales de cambio de fase de alta temperatura (HTPCM), donde se almacena energ´ıa térmica [10]. El calor extra capturado de la radiación solar concentrada es transpor- tado al HTPCM por un fluido de transferencia de calor (HTF). El HTPCM absorbe energ´ıa térmi- ca como calor latente y calor sensible para su uso como sistema de respaldo durante las noches o per´ıodos nublados [10]. La tasa de transferencia de calor entre el HTF y el PCM debe mejorarse debido a la baja conductividad térmica del PCM. Se ha logrado una mejora de las tasas de transferencia de calor mediante la encapsulación de PCM en pequeñas conchas esféricas, que aumentan el área de superficie espec´ıfica del PCM [30]. También se han desarrollado materiales com- puestos que combinan HTPCM con grafito para aumentar la tasa de transferencia de calor [10;

25]. También se ha informado la mejora de las propiedades termof´ısicas deseadas de los PCM mediante el uso de nanotubos de carbono de paredes múltiples para aumentar la conductividad térmica del PCM y reducir los tiempos de fusión / solidificación con poco impacto en el calor latente de fusión.

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2.1. Temperatura de transici´on de fase

Los MCF se clasifican en función de su temperatura de transición de fase como MCF de baja, media y alta temperatura. MCF categorizados con puntos de fusión por debajo de 220 °C como materiales de baja temperatura, aquellos con puntos de fusión entre 220 y 420 °C como materiales de temperatura media, y el que tiene puntos de fusión por encima de 420 °C como alta temperatura .

Cuadro 2.1: Propiedades termof´ısicas de los MCFs utilizados en este trabajo y algunos m´as.

El calor latente de fusión L_f se obtiene como L_f = (C_l − C_s)T_f. Las capacidades calor´ıficas espec´ıficas en la fase l´ıquida (sólida) Cl(C_s)corresponden a sus valores cercanos a la temperatura de saturación l´ıquido-sólido T_f. Se supone que el valor de k_lpara SP70 tiene el mismo valor que k_s[46].

MCF Ref. Tf kl ks Cl Cs ρl ρs Lf

- (K) (W/m.K) (W/m.K) (J/kg.K) (J/kg.K) (kg/m³) (kg/m³) (J/kg)

KN O3 [3; 26] 607 0.425 0.5 1517 1400 1800 1870 71019

KN O3/N aN O3 [3] 496 0.8 1 1500 1430 2096 2192 34720

M gCl26H2O [7; 40] 384.5 0.694 0.704 2570 2167 1450 1569 154953.5

BaOH28H2O [7; 36] 351 0.653 1.225 1876 1194 1937 2070 239382

SP 70 [26] 342 0.6 0.6 2439 2000 1300 1500 150138

N a2SO410H2O [7; 32] 305 0.554 0.554 2923 2090 1458 1485 254065

CaCl26H2O [7; 48] 297 0.54 1.088 2100 1400 1562 1802 207900

P araf ina [12] 317 0.24 0.24 2950 2510 760 818 266000

Aceite de coco [19] 297 0.17 0.19 2200 1650 891 916 106000

SP 21E [11] 294-296 0.6 0.6 - - 1400 1500 160000

P araf inaC13–C24 [52; 14] 295-297 - 0.21 - - 760 900 189000

RT 25HC [11] 295-299 0.2 0.2 2000 - 770 880 230000

2.2. Criterios de selecci´on

El principal problema asociado con los MCF es el número de ciclos que pueden soportar sin disminuir cualquiera de sus propiedades. Hay dos razones detrás de la falta de eficiencia a largo plazo de los materiales a) poca estabilidad de las caracter´ısticas de los materiales y b) reacción entre los materiales y los contenedores. Los contenedores deben ser desarrollados de tal manera que el MCF debe ser capaz de pasar ciclos repetitivos de enfriamiento y calentamiento sin

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causar ninguna corrosión. Las pruebas de ciclos térmicos son realizadas para garantizar que los materiales sometidos a prueba no se desv´ıan de sus propiedades después de un uso prolongado [34].

Se deben tomar criterios de selección los cuales en particular son: la Temperatura de fu- sión (de acuerdo a la aplicación) , la densidad de almacenamiento de energ´ıa térmica, alto calor latente de fusión, la conductividad térmica, propiedades qu´ımicas (sutancia pura y es deseable que no tenga subenfriamiento), las caracter´ısticas cinéticas de los materiales y también el costo, la disponibilidad, seguridad del producto, adaptabilidad y confiabilidad son consideradas como parámetros de selección clave de los materiales de cambio de fase orgánicos, inorgánicos y eutécticos son los principales criterios de selección para diversas aplicaciones de almacenamien- to de energ´ıa térmica con un rango de temperatura de operación más amplio.

2.2.1. Materiales org´anicos

Los materiales orgánicos de cambio de fase son parafinas y no parafinas, estas últimas incluyen ácidos grasos, ésteres, alcoholes, glicoles, etc. Tienen algunas caracter´ısticas que los hacen beneficiosos para el almacenamiento de calor latente en edificios. Generalmente, los MCF orgánicos están disponibles en un amplio rango de temperatura, son qu´ımicamente estables, no corrosivos y no tóxicos, se congelan con poco o sin subenfriamiento( es el estado en el que un material permanece l´ıquido a una temperatura inferior a su temperatura de congelación o punto de solidificación), no presentan segregación, tienen un alto calor latente de fusión y buena velocidad de nucleación, aunque esto último puede ser una desventaja debido a la generación de polimorfismo.

Sin embargo, la mayor´ıa de los MCF orgánicos no son estables a temperaturas más altas debido a los enlaces covalentes[21] . Además, su densidad es baja (generalmente menos de 103 kg / m3), que está por debajo de la densidad de materiales inorgánicos como agua y sales hidratadas.

Las parafinas están disponibles en una amplia gama de puntos de fusión desde aproximadamente 20 ° C hasta 70 ° C, sin embargo, tienen una conductividad térmica baja (aproximadamente 0,2 W / (m.K)) lo que limita sus aplicaciones, por ejemplo al usarlos para almacenar energ´ıa térmica[20]. Durante el ciclo de congelación, cuando se desean altas tasas de transferencia de calor, la parafina presenta un problema. Además, no tienen un gran cambio de volumen durante el cambio de fase [13]. Además, están disponibles con muchos fabricantes, pero son caros en comparación con las sales hidratadas. La cera de parafina es el MCF orgánico comercial más utilizado.

Los ácidos grasos que se presentan generalmente por la fórmula qu´ımica CH3 (CH2) 2nCOOH, tienen caracter´ısticas similares a la parafina y son estables al ciclar. La combinación de diferentes

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ácidos grasos para obtener temperaturas de fusión en el rango de 20 a 30 ° C con una precisión de ± 0,5 ° C puede ser prometedora [21].

2.2.2. Materiales inorg´anicos

Los materiales TES más atractivos e importantes son las sales hidratadas, debido a su densidad de almacenamiento relativamente alta de aproximadamente 240 kJ / kg, su pequeño cambio de volumen durante la transición de fase, su conductividad térmica relativamente alta y su bajo precio en comparación con los MCFs orgánicos. Las sales hidratadas tienen algunas desventajas, como el subenfriamiento, la segregación y la corrosión [21]. En cuanto a los MCF metálicos, no se encuentran dentro del rango de temperatura deseado para aplicaciones de construcción.

Figura 2.1: Ventajas y Desventajas de Sales hidratadas, Parafinas y Aceites vegetales

2.2.3. Eut´ecticos

Los eutécticos son una mezcla de proporciones de muchos sólidos, con el fin de obtener las propiedades más deseadas, principalmente un mayor calor latente y un punto de fusión más espec´ıfico. Casi se funden y solidifican sin segregación, evitando la separación de componentes. Los eutécticos se dividen en 3 grupos según los materiales que los componen: eutécticos orgánicos-orgánicos, inorgánicos-orgánicos e inorgánicos-inorgánicos [45].

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2.3. M´etodos de encapsulaci´on de MCF

A pesar de la posibilidad de incorporar directamente MCF en estructuras de construcción o materiales (por ejemplo, hormigón), que se conocen como MCF de forma estabilizada [43], se prefiere la encapsulación de MCF. Esto puede explicarse por el alto potencial de fugas durante cambio del MCF a fase l´ıquida. Además, la encapsulación puede evitar que los l´ıquidos de baja viscosidad se difundan por todo el material. En consecuencia, la incorporación e inmersión di- recta de MCF con otros materiales de construcción no se considera como una técnica práctica.

Los temas mencionados destacan la necesidad de la encapsulación del MCF para una eficiente implementación sobre la construcción [44].

Además, al agrandar el área de la superficie, la encapsulación puede aumentar la conductividad térmica, lo que significa aumentar la transferencia de calor entre el MCF y el entorno circundan- te. De manera similar, con la cápsula, el MCF puede aislarse de los factores ambientales dañinos.

Otras funciones clave de la encapsulación incluyen la compatibilidad entre el MCF y materiales circundantes, disminución de la corrosión y gestión de la variación del volumen durante los cambios de estado [8]. La clasificación de encapsulación se basa en el tamaño que engloba el MCF:

macro (con di´ametros de 1mm y m´as), micro (de 1µm a 1mm) y nano (menos de 1µm) [18].

La macroencapsulación tiene más aplicaciones porque puede ser integrado más cómodamen- te con otros materiales de construcción y en consecuencia, hace posible la construcción de un edificio de manera similar al método de construcción actual [44].

2.4. MCF para aplicaciones de refrigeraci´on

Recientemente, se ha observado que la demanda de refrigeración del sector de la construcción está aumentando con rapidez, especialmente en los pa´ıses en desarrollo, debido a: 1) la gran necesidad de comodidad de los ocupantes de los edificios, 2) el aumento de las ganancias de calor internas de los edificios, 3) el impacto de la isla de calor urbano que se siente en las ciudades superpobladas y 4) el costo reducido de los equipos de refrigeración [33; 28; 47] . Por lo tanto, las soluciones de energ´ıa pasiva o eficiente para la refrigeración de espacios han recibido mucha atención.

En refrigeración de espacios, el objetivo es mantener un espacio fr´ıo, más precisamente para evitar que la temperatura suba por encima de un determinado nivel, lo que se puede realizar de tres formas: la reducción del aporte de calor, la reducción de las fluctuaciones de temperatura y la mejora de rechazo de calor [21].

Para cumplir con los requisitos de refrigeraci´on, el MCF se puede instalar en el edificio en sis-

(22)

12

temas pasivos o activos. Los sistemas pasivos no utilizan equipos mecánicos activos y no se requiere energ´ıa adicional, es decir, el calor se carga o descarga solo debido a las fluctuaciones de temperatura cuando la temperatura del aire sube o baja más allá del punto de fusión del MCF y solo la ventilación natural proporciona fr´ıo desde el exterior. Las aplicaciones pasivas se im- plementan fácilmente y se pueden integrar en la envolvente del edificio (paredes, techos y pisos).

Por el contrario, los sistemas activos necesitan la ayuda de equipos mecánicos para lograr la carga o descarga de energ´ıa térmica del MCF. En este caso, el MCF se puede instalar en unida- des de almacenamiento, en sistemas de calefacción, ventilación o aire acondicionado (Heating Ventilation and Air Conditioning (HVAC)).

En diferentes estudios se han sugerido diferentes clasificaciones de sistemas de refrigeraci´on MCF [5; 49], como se muestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2: Diferentes tipos de t´ecnicas de enfriamiento.

[46]

Los sistemas de enfriamiento MCF se dividen en cinco categor´ıas: enfriamiento libre, enfriamiento solar, sistemas de aire acondicionado, enfriamiento evaporativo y radiativo y MCF en la envolvente del edificio. Los sistemas de enfriamiento activos y pasivos se pueden encontrar juntos o cada uno solo en estas categor´ıas.

(23)

2.4.1. MCF en la envolvente del edificio

La envolvente de un edificio se puede definir como lo que separa el interior de los entornos al aire libre. Es un elemento importante que afecta la calidad y controla las condiciones interiores independientemente de las condiciones exteriores transitorias. Varios componentes, como muros, fenestraciones, techos y cimientos, componen el envolvente de un edificio [41]. El MCF puede incorporarse virtualmente en todos los elementos de la envoltura de la construcción. La integración común de MCF está en las paredes, pisos, y techo debido a una fácil instalación y más transferencia de calor efectiva [9].

Aplicaci´on de MCF en las paredes

Memon et al. [31] realizaron pruebas de rendimiento térmico (pequeñas experimentos a escala) de un hormigón de agregado ligero (LWAC) que contiene parafina macroencapsulada- agregado ligero (LWA) para aplicación en pared. También evaluó los aspectos económicos y ambientales de la aplicación propuesta de MCF para un edificio residencial en Hong Kong. Los resultados de la prueba en interiores revelaron que el panel macro encapsulado de parafina-LWA pudo disminuir la temperatura interior en el centro de la habitación y en la superficie interna del panel por 4,7^◦C y 7,5^◦C, respectivamente. Además, 2,9^◦C de la reducción de la temperatura interior se observó en el modelo del cuarto con Parafina–LWA durante la prueba. La evalua- ción ambiental encontró una reducción anual de 465 kg CO2-eq (medida calculada y usada para determinar el impacto en el calentamiento global).[1]

Aplicaci´on de MCF en techos

Li etal. [24] realizó una investigación numérica para comparar el rendimiento térmico de diferentes techos de PCM para una vivienda en China. En el estudio, se evaluó el efecto de variar las temperaturas de transición del MCF (30^◦C, 34^◦C y 38^◦C), los espesores de capa del MCF (40 − 100mm) y las pendientes del techo (0,05–0,5 %) utilizando el software ANSYS Fluent.

Los resultados de la simulación mostraron que el tiempo de retardo de las temperaturas máximas de la capa base en los techos de MCF fue de 3h más que en el techo de control. También muestra que el techo con MCF de diferentes temperaturas de transición (30^◦C, 34^◦C y 38^◦C) demostró diferencias de temperatura de 10^◦C, 13^◦C y 12^◦C, respectivamente, en comparación con el techo de control.[1]

(24)

Cap´ıtulo 3 Desarrollo

3.1. Planteamiento del Problema

Considere una fase l´ıquida en contacto con una fase sólida, ambas separadas por una interfaz con la posición ξ a alguna temperatura de fusión, Tf, donde el flujo de calor total a través de la interfaz provoca su desplazamiento. Supongamos que las fases l´ıquida y sólida tienen un perfil de temperatura T1(x, t) y T2(x, t), respectivamente, donde la temperatura en cualquier punto dentro de la fase l´ıquida está por encima de Tf y dentro de la fase sólida, la temperatura en cualquier punto está por debajo de Tf. Los perfiles de temperatura tienen las siguientes condiciones de con- torno de Dirichlet homogéneas que son: T1(x0, t) = Tl;T2(L, t) = Tsy T1(ξ, t) = T2(ξ, t) = Tf, donde los sub´ındices 1 y 2 representan las fases l´ıquida y sólida respectivamente. Se considera el flujo de calor como homogéneo a lo largo de la sección transversal de una barra de longitud L, implicando que todo el problema se realiza en una dimensión; as´ı mismo no se considera la convección natural ya que no hay convección inducida por flotación y tampoco hay convección inducida por gradientes de presión puesto que el estudio se realiza a presión constante (transición de fase isobárica), la transferencia de calor por radiación también esta descartada. En cuanto a las variables termodinámicas (densidad(ρ), calor espec´ıfico (Cp) y conductividad térmica (k)) se considera que no dependen de la temperatura, debido a que el rango de temperturas utilizadas para las fronteras de Dirichlet (Fronteras Isotérmicas) no tienen gran diferencia con la temperatura de saturación (Temperatura de Fusión), se ha demostrado en la literatura que para gradientes de temperatura pequeños los efectos de la expansión térmica en la energ´ıa absorbida por los MCF son despreciables encontrando diferencias de máximo 1 % en la energ´ıa absorvida.[39]

Dicho planteamiento se solucionar´a utilizando el m´etodo h´ıbrido con esquema impl´ıcito de or-

14

(25)

den superior grado 2, donde se utilizará la Condición de Stefan para predecir la dinámica de transición de fase.

3.2. Desarrollo del modelo

El método de elemento finito es una técnica general para construir soluciones aproximadas a problemas de valores en la frontera. El método consiste en dividir el dominio de la solución en elementos finitos. Debido a la generalidad y riqueza de las ideas subyacentes al método, se ha utilizado con notable éxito en la resolución de una amplia gama de problemas en prácticamente todas las áreas de la ingenier´ıa y la fisicomatemática.

El desarrollo de investigación en el campo de los MCFs (Materiales de Cambio de Fase) inicio hace poco más de 20 años, este ha dado como resultado diversos modelos termo-mecánicos para explicar el comportamiento de estos materiales con respecto a las micro esferas que los contienen y sus caracter´ısticas fisicoqu´ımicas, y as´ı con esto generar un mejor rendimiento de ellos, es por esto que diversos autores han estudiado, analizado y hecho propuestas del problema utilizando la ecuación de Steffan en conjunto con las condiciones frontera de Dirichlet en una dimensión donde es tomado en cuenta los cambios de volumen durante la transición de fase, la conservación de la materia y la diferencia de densidad entre las dos fases, dando como resultado un modelo que explica de manera exacta el comportamiento de la transición de fase, tomando como base lo siguiente [42]:

Teorema de la divergencia de Gauss (Transformación entre integrales triples y de superficie) Sea T una región limitada delimitada en el espacio cuyo l´ımite es una superficie orientable lisa por partes S. Sea una función vectorial que sea continua y tenga primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que contiene T . Luego F (x, y, z) [22].

Z Z

T

Z

div F dV = Z

S

Z

F n dA (3.1)

En componentes de F = [F 1, F 2, F 3] y del vector normal unitario externo n = [cos, cos, cos]

de S, la Ec. 3.1 se convierte en Ec. 3.2 [22]:

Z Z

T

Z ∂

∂xF₁ + ∂

∂yF₂+ ∂

∂zF₃

dx dy dz = Z

S

Z

(F₁ cos α + F₂ cos β + F₃ cos γ) dA (3.2)

(26)

16

= Z

S

Z

(F₁ dy dz + F₂ dz dx + F₃ dx dy) (3.3)

Del teorema de la divergencia gaussiana se obtiene la ecuaci´on de calor que es:

∂

∂tU = c² ∇² U (3.4)

La Ec. 3.4 tambi´en puede verse como sigue:

∂

∂tT = α ∂²

∂x²T (3.5)

El ejemplo m´as utilizadol es el de la barra aislada longitudinalmente durante un cierto per´ıodo de t = 0 y longitud L, T (x, 0) = f (x), 0 < x < L.

Figura 3.1: Condici´on inicial de la barra.

Teniendo como resultado las condiciones de frontera de Dirichlet: temperaturas conocidas.T₁(x₀, t) = T_l;T₂(L, t) = T_s y T₁(ξ, t) = T₂(ξ, t) = T_f tienen los valores de la temperatura de la barra en

sus extremos y en la interfase respectivamente para t > 0, donde los sub´ındices 1 y 2 representan las fases l´ıquida y s´olida respectivamente.

El dominio de la definición T se establece tal como se presenta en el rectángulo del sistema de coordenadas x-t en la figura, donde se establecen los nodos, que son puntos de cruce horizon- tales y verticales. De donde se obtiene la siguiente ecuación que será válida para cualquier nodo [35]:

∂Ti(x, t)

∂t = α_i∂²Ti(x, t)

∂x² (3.6)

(27)

Donde α_i = _ρ^kⁱ

iCi es la difusividad t´ermica.

Y finalmente de la figura 3.2, los nodos marcados con puntos negros se usan para aproximar

∂

∂tT_i, y los marcados con una cruz para aproximar _∂x^∂²2T_i.

Figura 3.2: Nodos b´asicos para aproximar ecuaci´on.

[22]

3.2.1. M´etodo H´ıbrido

Partimos de la ecuaci´on 3.6 y buscamos el residuo:

R (x, t) = α_i∂²T_i(x, t)

∂x² − ∂T_i(x, t)

∂t (3.7)

Si T (x, t) = T_exacta =⇒ R (x, t) = 0 Si T (x, t) = T_aproximada =⇒ R (x, t) 6= 0

Multiplicando el residuo por una función de prueba (de peso) v = v(x) que sea suficiente- mente suave sobre el intervalo: 0 ≤ x ≤ 1 e integramos (Se utilizó el método de los residuos pesados).

(28)

18

I = Z 1

0

R (x, t) v (x) dx = 0 (3.8)

Sustituimos la ecuaci´on 3.7 en la ecuaci´on 3.8, y tenemos:

I = Z 1

0

α∂²T (x, t)

∂x² v (x) dx − Z 1

0

∂T (x, t)

∂t v (x) dx = 0 (3.9)

La priemra integral de la ecuaci´on 3.9 se integra por partes:

Z 1 0

α∂²T (x, t)

∂x² v (x) dx = −α Z 1

0

∂v(x)

∂x

∂T (x, t)

∂x dx +

αv (x)∂T (x, t)

∂x

1 0

(3.10)

Y sustituimos la ecuaci´on 3.10 en la ecuaci´on 3.9 para obtener:

I = −α Z 1

0

∂v(x)

∂x

∂T (x, t)

∂x dx +

αv (x)∂T (x, t)

∂x

1 0

− Z 1

0

v (x)∂T (x, t)

∂t dx = 0 (3.11)

Entoncs la ecuación diferencial 3.6 se transformó en una ecuación integral, y a esto se le conoce como planteamiento variacional.

Ahora, supongamos una aproximaci´on cuadr´atica para la temperatura:

T (x, t) = a (t) x²+ b (t) x + c (3.12)

Resolviendo por determinantes llegamos a la siguiente expresi´on:

T (x, t) = N₁(x) T₁(t) + N₂(x) T₂(t) + N₃(x) T₃(t) (3.13)

donde N₁(x),N₂(x) y N₃(x) son las funciones de interpolaci´on de Lagrange o funciones de forma y tienen la siguiente forma:

(29)

N₁(x) = (x₂− x) (x₃− x) (x₂− x₁) (x₃− x₁) N₂(x) = (x₁− x) (x₃− x)

(x₁− x₂) (x₃− x₂) N₃(x) = (x₂− x) (x1− x)

(x₁− x₃) (x₂− x₃)

(3.14)

Por otro lado, suponemos que la funci´on de prueba es:

v (x) =







N₁(x) N₃(x) N₂(x)





 (3.15)

Y la ecuaci´on 3.11 se puede escribir de la siguiente manera:

−

4

X

i=1

α Z x2i

x2i−2

∂v(x)

∂x

∂T (x, t)

∂x dx −

4

X

i=1

Z x2i

x2i−2

v (x)∂T (x, t)

∂t dx+

4

X

i=1

αv (x)∂T (x, t)

∂x

x2i

x2i−2

= 0 (3.16) Para un elemento i

T⁽ⁱ⁾(x, t) = h

N₁(x) N₃(x) N₂(x) i







T_2i−2(t) T_2i+1(t) T_2i(t)





 (3.17)

Para la primera integral de la expresi´on 3.17 tenemos:

(30)

20

α Z x2i

x2i−2

∂v(x)

∂x

∂T (x, t)

∂x dx = α Z x2i

x2i−2





 N₁⁰ N₃⁰ N₂⁰





 h

N₁⁰ N₃⁰ N₂⁰ i







T_2i−2(t) T_2i+1(t) T_2i(t)





dx

=





 Z x2i

x2i−2







N₁⁰N₁⁰ N₁⁰N₃⁰ N₁⁰N₂⁰ N₃⁰N₁⁰ N₃⁰N₃⁰ N₃⁰N₂⁰ N₂⁰N₁⁰ N₂⁰N₃⁰ N₂⁰N₂⁰





dx













T_2i−2(t) T_2i+1(t) T_2i(t)







(3.18)

k⁽ⁱ⁾ = Z x2i

x2i−2







N₁⁰N₁⁰ N₁⁰N₃⁰ N₁⁰N₂⁰ N₃⁰N₁⁰ N₃⁰N₃⁰ N₃⁰N₂⁰ N₂⁰N₁⁰ N₂⁰N₃⁰ N₂⁰N₂⁰





dx → Matriz de rigidez del elemento (3.19)

Aqu´ı N10

= −^2(x³^+x_h2²^−2x), N20

= −^2(x³^+x_h2¹^−2x), N30

= ^4(x²^+x_h2¹^−2x) y hi = x2i − x2i−2; y sustituyendo en la ecuaci´on 3.20 llegamos a la siguiente expresi´on:

k⁽ⁱ⁾ = α h_i







7 3

−8 3

1 3

−8 3

16 3

−8 3 1

3

−8 3

7 3





→ Matriz de rigidez del elemento (3.20)

Para la segunda integral de la expresi´on 3.17 tenemos:

Z x2i

x2i−2

v (x)∂T (x, t)

∂t dx = Z x2i

x2i−2





 N₁ N₃ N₂





 h

N₁ N₃ N₂ i







T˙_x_2i−2(t) T˙_2i+1(i) T˙_2i(i)





dx

= Z x2i

x2i−2







N₁N₁ N₁N₃ N₁N₂ N₃N₁ N₃N₃ N₃N₂ N₂N₁ N₂N₃ N₂N₂





dx







T˙_x_2i−2(t) T˙_2i+1(i) T˙_2i(i)







(3.21)

Y obtenemos la matriz de masa.

m⁽ⁱ⁾ = Z x2i

x2i−2







N₁N₁ N₁N₃ N₁N₂ N₃N₁ N₃N₃ N₃N₂ N₂N₁ N₂N₃ N₂N₂





dx → Matriz de masa (3.22)

(31)

Aqu´ı N1 = ^{2 (h}ⁱ^−x+xⁱ⁾(^hi₂^−x+xi)

hi2 , N₂ = −^{2 (x−x}ⁱ⁾(^hi₂^−x+xi)

hi2 , N₃ = ^{4 (x−x}ⁱ^{) (h}_h ⁱ^−x+xⁱ⁾

i2 ; y sustituyendo en la ecuaci´on 3.22 llegamos a la siguiente expresi´on:

m⁽ⁱ⁾ = h_i







2 15

1 15

−1 30 1

15 8 15

1 15

−1 30

1 15

2 15





→ Matriz de masa (3.23)

Trabajando con el tercer t´ermino de la expresi´on 3.17 tenemos:

αv (x)∂T (x, t)

∂x

x2i

x2i−2

=

v (x) α∂T (x, t)

∂x

x2i

x2i−2

=













N₁(x) N₃(x) N₂(x)





σ (x, t)







x2i

x2i−2

=













N₁(x) σ (x, t) N₃(x) σ (x, t) N₂(x) σ (x, t)













x2i

x2i−2

=







N₁(x_2i) σ (x_2i, t) N₃(x_2i) σ (x_2i, t) N₂(x_2i) σ (x_2i, t)







−







N₁(x_2i−2) σ (x_2i−2, t) N₃(x_2i−2) σ (x_2i−2, t) N₂(x_2i−2) σ (x_2i−2, t)





=







−σ (x_2i−2, t) 0 σ (x_2i, t)







(3.24)

Y obtenemos el vector de carga:

f⁽ⁱ⁾ =







−σ (x_2i−2, t) 0 σ (x_2i, t)





→ Vector de carga (3.25)

Aqu´ı σ (x, t) = α^{∂T (x,t)}_∂x representa el flujo y hemos usado que: N₁(x_2i) = 0, N₁(x_2i−2) = 1, N₂(x_2i) = 1, N₂(x_2i−2) = 0 , N₃(x_2i) = 0, N₃(x_2i−2) = 0.

Finalmente, para un elemento i tenemos:

(32)

22

m⁽ⁱ⁾T˙⁽ⁱ⁾+ k⁽ⁱ⁾T⁽ⁱ⁾ = f⁽ⁱ⁾ (3.26) Donde:

m⁽ⁱ⁾ = h_i







2 15

1 15

−1 30 1

15 8 15

1 15

−1 30

1 15

2 15





→ Matriz de masa

k⁽ⁱ⁾ = α h_i







7 3

−8 3

1 3

−8 3

16 3

−8 3 1

3

−8 3

7 3





→ Matriz de rigidez

f⁽ⁱ⁾ =







−σ (x_2i−2, t) 0 σ (x_2i, t)





→ Vector de carga

T⁽ⁱ⁾ =







T_2i−2(t) T_2i+1(t) T_2i(t)







T˙⁽ⁱ⁾ =







T˙_2i−2(t) T˙_2i+1(i) T˙_2i(i)







(3.27)

Discretizaci´on en el tiempo (m´etodo de diferencia finita: esquema impl´ıcito).

Partimos de la ecuaci´on global:

M ˙T + K T = F (3.28)

Y utilizando una aproximai´on izquierda discretiazamos la derivada de la temperatura con respec- to al tiempo:

T (t) =˙ d T (t)

d t =⇒ ˙T^j = T^j− T^j−1

∆t → Aproximaci´on izquierda (3.29) MT^j − T^j−1

∆t + K T^j = F^j (3.30)

(M + ∆t K) T^j = M T^j−1+ ∆t F^j (3.31)

(33)

De la ecuaci´on 3.31 el vector de carga (F^j) se elimina debido a que no hay flujo de calor en las fronteras y sus temperaturas son constantes, quedando la ecuaci´on de la siguiente manera:

(M + ∆t K) T^j = M T^j−1+ ∆t (3.32)

Discretizaci´on en el espacio (Condici´on de Stefan[42]).

Asumimos que las variables no dependen de la temperatura por lo que la Condici´on de Stefan queda de la siguiente manera:

∆Q

∆t = L_f∆m_T

∆t = L_fρ_i A ∆ξ

∆t

(3.33)

La variaci´on del flujo de calor a trav´es de la interfaz cuando ∆t → 0 es como sigue:

dQ

dt = Lfρi A dξ dt

(3.34)

dQ

dt = −k_l A ∂

∂xT_l|_{x =ξ}+ k_sA ∂

∂xT_s|_{x =ξ} (3.35)

Igualamos las ec.3.34 y 3.35, y se eliminan las ´areas, entonces:

ρ_iL_fdξ

dt = k_s∂T_s

∂x |_{x= ξ}+ − k_l∂T_l

∂x|_{x = ξ}− (3.36)

Donde:

dξ

dt −→ velocidad de la interfase.

ρi −→ densidad de la fase l´ıquida o s´olida dependiendo la direcci´on de la interfase.

L_f −→ calor latente de fusi´on.

k_s, k_l −→ conductividad t´ermica del s´olido y del l´ıquido.

(34)

24

Aproximaci´on de las derivadas

Aproximaci´on derecha para la primera derivada.

∂ξ (x, t)

∂t = ξ_i,j+1− ξ_i,j

∆t , ε = o (∆t) (3.37)

Derivando la ecuaci´on 3.13 con respecto a x obtenemos las siguientes ecuaciones:

dT_l

dx = dN₁

dx Tl1 + dN₂

dx Tl2 + dN₃

dx Tl3 (3.38)

dT_s

dx = dN₁

dx T_s₁ +dN₂

dx T_s₂ +dN₃

dx T_s₃ (3.39)

Sustituyendo las aproximaciones de las derivadas en la ecuaci´on 3.36 obtenemos:

ρ_iL_fξ_i,j+1− ξ_i,j

∆t = k_s dN₁

dx T_s₁ + dN₂

dx T_s₂ +dN₃ dx T_s₃

− k_l dN₁

dx T_l₁ +dN₂

dx T_l₂ +dN₃ dx T_l₃

(3.40)

ξ_i,j+1−ξ_i,j = ∆t ρ_iL_f

k_s dN₁

dx T_s₁ + dN2

dx T_s₂ +dN3

dx T_s₃

− k_l dN₁

dx T_l₁ + dN2

dx T_l₂ + dN3

dx T_l₃

(3.41)

Ordenando los t´erminos, finalmente llegamos a la ecuaci´on discretizada,

(35)

ξ_i,j+1= ∆t ρiLf

k_s dN₁

dx T_s₁ +dN₂

dx T_s₂ + dN₃ dx T_s₃

− ∆t

ρ_i L_f kl

dN₁

dx Tl1 + dN₂

dx Tl2 + dN₃ dx Tl3

+ ξi,j

(3.42)

3.2.2. Modelo 2: Condici´on de Stefan y Conservaci´on de Masa

Para este caso se utilizará la misma Condición de Stefan solo con un cambio en el uso de las densidades el cual es que se usará la densidad de l´ıquido sin importar si se derrite o solidifica el MCF, esto está demostrado en el Apéndice A.

ξ_i,j+1 = ∆t

ρ_lL_f k_s dN₁

dx T_s₁ +dN₂

dx T_s₂ + dN₃ dx T_s₃

− ∆t

ρ_l L_f k_l dN₁

dx T_l₁ +dN2

dx T_l₂ + dN3

dx T_l₃

+ ξ_i,j

(3.43)

A diferencia de la sección anterior en esta se toma en cuenta la conservación de la masa al análisis del fenómeno en cuestión por lo que tomamos en cuenta la ecuación de la conservación de la masa:

m_T = m_l+ m_s= ρ_l A L_l+ ρ_s AL_s (3.44)

L_l = ( ξ − x₀) (3.45)

L_s = (L_T − ξ) (3.46)

Donde:

(36)

26

Figura 3.3: Condicion de la barra con conservaci´on de masa.

Masa del l´ıquido: m_l Masa del s´olido: m_s Longitud:L

Densidad l´ıquido:ρ_l Densidad s´olido: ρs

Area transversal: A´

Sustituyendo las ecuaciones 3.45 y 3.46 en la ecuaci´on 3.44 obtenemos la siguiente expresi´on:

mT = ρl A ( ξ − x0) + ρs A (L − ξ) (3.47)

(37)

Y debido a que la masa no cambia en el tiempo ^dm_dt^T = 0 =⇒ m₀ = m (t), esto es la conservaci´on de la masa.

0 = ρ_l A dξ

dt − dx₀ dt

+ ρ_sA dL dt − dξ

dt

(3.48)

Dividimos la ecuaci´on entre el ´area A transversal y debido a que la frontera izquierda se mantendra fija a traves del tiempo ^dx_dt⁰ = 0 , entonces:

0 = ρ_l dξ

dt + ρ_s dL dt −dξ

dt

(3.49)

Se utilizan las aproximaciones de las derivadas con respecto al tiempo para discretizar la ecuaci´on 3.49

Aproximaci´on de las derivadas:

Aproximaci´on derecha para la primera derivada.

dξ

dt = ξ_i,j+1− ξ_i,j

∆t , ε = o (∆t) (3.50)

dL

dt = L_i,j+1− L_i,j

∆t , ε = o (∆t) (3.51)

Ecuaci´on discretizada

0 = ρl

dξ dt|_t=t

j + ρs

dL dt|_t=t

j − dξ dt|_t=t

j

(3.52)

0 = ρl

ξ_i,j+1− ξ_i,j

∆t + ρs

L_i,j+1− L_i,j

∆t − ξ_i,j+1− ξ_i,j

∆t

(3.53)