Actividad: Trazar en su cuaderno un sistema de coordenadas cartesianas y dimensionarlo, definir un intervalo cerrado en x[ a, b]

Unidad 1.- la integral definida.

1.- Cálculo de áreas de figuras amorfas.

Actividad: Trazar en su cuaderno un sistema de coordenadas cartesianas y dimensionarlo, definir un intervalo cerrado en x[^{a ,b}] y dibujar en los cuadrantes 1 y 2 (arriba del eje de las x) una curva que junto con el intervalo y el eje x generen una figura amorfa (que no tiene una formula geométrica para obtener su área) y aproximen el área como puedan.

El área puede ser aproximada formando dentro de la región, figuras conocidas (cuadrados, rectángulos, triángulos etc.)

También se podría si se ha utilizado papel cuadriculado, contar el número de cuadros enteros y las fracciones para aproximar un total.

Un problema de área de un terreno en la antigüedad fue lo que origino el cálculo integral.

Para trabajar la tierra se necesitaba sacar una autorización con los gobernantes, los cuales requerían de efectuar una medición de la superficie para cobrar en especie del producto a obtener, cuando la forma del terreno solicitado era de una figura conocida su área se obtenía aplicando la fórmula correspondiente.

El problema surge cuando alguien solicito un terreno junto al río y la forma de dicho terreno no tenía una fórmula para calcular su área, entonces una de las formas con la que resolvieron el problema fue dividir en un cierto número de rectángulos de un mismo ancho, perpendiculares al rio y luego se medían sus alturas para sacar un promedio y después sumar las aéreas de todos los rectángulos para obtener el total.

AN

A A A

A= ₁ + ₂ + ₃ +...+

Por tal motivo se toma como símbolo de la integral

∫

que es una ese de suma alargada y deformada por el primer intento por medio de sumas de resolver el problema.

Notación sumatoria: la suma de “n” términos se expresa así.

∑

=

+ + + +

N =

i

N

i a a a a

a

1

3 2

1 ...

Ejemplos:

Encontrar la suma de:

∑

=

= + + + + +

6 =

1

21 6 5 4 3 2 1

i

i

Se sustituye en el lugar de i los números del uno al seis y se suman, dando como resultado 21.

135 49 36 25 16 9 7 6 5 4

3^{2 2 2 2 2}

7

3

2 = + + + + = + + + + =

∑

i=

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

60 26 17 10 5 2

1 25 1 16 1 9 1 4 1 1

1 5 1 4 1 3 1 2 1 1

1 ^{2 2 2}

5

1

2 2

2

= + + + +

=

+ + + + + + + + +

=

+ + + + + + + + +

=

∑

+

= i

i

Ejercicios

∑

= 6 =

1

2

i

i

∑

=

+ =

10

1 1

3

N N

∑ (

⁺

)(

⁻

)

⁼

=

3 1

5

1

K K

K

Propiedades del sumatorio

1.-

∑ ∑

= =

N =

i

N

i i

i K a

Ka

1 1

donde k es una constante

2.-

∑ [ ] ∑ ∑

= =

=

±

=

± ^N

i

N

i i i

N

i

i

i b a b

a

1 1

1

Fórmulas para la suma

1.-

∑

= N =

i

CN C

1

2.-

∑ ( )

=

= +

N

i

N i N

1 2

1

3.-

∑ ( )( )

=

+

= +

N

i

N N

i N

1 2

6

1 2 1

4.-

∑ ( )

=

= +

N

i

N i N

1

2 2 3

4 1

Ejemplos:

Directo por fórmula

∑

^{6 = + + + + + =}

1

21 6 5 4 3 2 1

i

( ) ( )

2 21 42 2

7 6 2

1 6

6 6

1

=

= + =

∑

ⁱ=

Directo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

35 16 9 4 1 0 1 4

3 7 3 6 3 5 3 4 3 3 3 2 3 1

3 ^{2 2 2 2 2 2}

7

1

2 2

= + + + + + +

=

− +

− +

− +

− +

− +

− +

−

=

∑

ⁱ−

Desarrollado

Desarrollando y aplicando las fórmulas

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

35 63 168 140

2 63 8 6 7 6

15 8 7

7 2 9

1 7 6 7 6

1 14 1 7 7

9 6

9 6 3

7

1 7

1 7

1 2

7

1

7

1 2 2

= +

−

=

+



 



− 

=

+

 

 + + −

= +

= +

−

= +

−

=

−

∑ ∑ ∑

∑

ⁱ

∑

^{i i i i}

Ejercicios:

(

⁺

)

⁼

∑

⁵

1

2 5

i

∑

^{6 =}

1

4i

( )

∑

^{10 + =}

1

3 3

2i

Aplicaciones

Utilizando la regla del punto medio calcular un valor aproximado del área definida por la curva Y = X², el eje “x” en el intervalo ^X[^0,4] dividido en cuatro rectángulos.

Se grafica la función que en este caso es una hoja positiva de una parábola vertical, así mismo se ubica el intervalo y los cuatro rectángulos (en este ejemplo intencionalmente se ha decidido que el numero de rectángulos coincida con lo largo de la región en “x”, para que lo ancho de cada rectángulo sea entero, esto en la práctica no sucede siempre).

=

∆X Lo que medirá de ancho cada rectángulo y que se obtiene

S RECTANGULO DE

NUMERO EL

REGION LA

DE LARGO LO

X =

∆ ¹

44 =

=

∆_X

( )

( ) [

( ) ( )

] [

^{( ) ( )}

] [

^{( ) ( )}

]

( ) ( )

[ ] [

^{( ) ( )}

] [

^{( ) ( )}

] [

^{( ) ( )}

]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(^{49 42 9}) ^{4 1 0 1 4 9 16 35}

9 36 36 9 30 25 9 24 16 9 18 9 9 12 4 9 6 1

9 7 6 7 9 6 6 6 9 5 6 5 9 4 6 4

9 3 6 3 9 2 6 2 9 1 6 1 9 6 3

2 2

2 2

2 2

7 2 1

7

1 2 2

= + + + + + +

= +

− +

+ +

− + +

− + +

− + +

− + +

− + +

−

=

= +

− + +

− + +

− + +

− +

+ +

− + +

− + +

−

= +

−

=

∑

ⁱ−

∑

^{i i}

Es necesario calcular las coordenadas en “x” de los puntos medios de cada rectángulo, en este ejemplo señalados por las flechas y por X^__N , que se obtienen al sumar la x de inicio y fin de cada rectángulo y dividiéndola entre dos.

2 1 2

1 0

1 + =

=

X

2 3 2

2 1

2 + =

=

X

2 5 2

3 2

3 + =

=

X

2 7 2

4 3

4 + =

=

X

El área general de un rectángulo será ^A=∆X^Y y en este caso Y =X² ⇒ aplicando las sumatorias tenemos que:

( )( )

²

4

1

1 X

A⁼

∑

Podemos sacar de la sumatoria a ∆X=1

∑ ( )

= ⁴

1

1 X 2

A











 



 

 +



 

 +



 

 +



 



= 

2 2 2 2

2 7 2 5 2 3 2 1 1 A

AREA DE

UNIDADES

A 21

4 84 4

49 4 25 4 9 4

1 1 = =



 + + +

=

Calcular el área entre Y =2X , el eje x positivo en el intervalo ^X[^{0, 3}], dividiendo en 5 rectángulos.

La medida de la región en x es de tres unidades, entonces como se va a dividir en cinco rectángulos lo ancho de cada rectángulo es:

5

= 3

∆_X

Ahora vamos a calcular las coordenadas en x de los puntos medios

5 3 2

1,X ,X ,...,X

X sumando el inicio y el fin de las coordenadas en x de cada rectángulo y dividiendo entre dos.

10 3 2

5 0 3

1 + =

=

X

10 9 2

5 6 5 3

2 + =

=

X

10 15 2

5 9 5 6

3 + =

=

X

10 21 2

5 12 5 9

4 + =

=

X

10 27 2

5 3 12

5 + =

=

X

Entonces el área de un rectángulo es la base=3/5 por la altura que es y=2x y como el área total es la suma de las aéreas de todos los rectángulos, entonces tenemos que:

( ) ( )

. 9

50 450 10

150 5 3 10 54 10 42 10 30 10 18 10

6 5 3

10 2 27 10 2 21 10 2 15 10 2 9 10 2 3 5 3

5 2 2 3 5

5 3

1

5

1

CUADRADAS UNIDADES

A A A

X X

A

=

=

=

 

= 



 + + + +

=



 



 



 

 + 



 

 + 



 

 + 



 

 + 



 



= 

=

 =



 



=

∑



∑

Ejercicios

Calcular el área entre la función dada, el eje x, en el intervalo dado y para el número de rectángulos señalado.

[ ]

[ ]

[ ] ^{EN RECTANGULOS}

X X

Y

S RECTANGULO EN

X X

Y

S RECTANGULO EN

X X

Y

6 3 , 2 16

8 5

, 1 12

3

6 4

, 0 2

2 2

− +

−

=

− +

= +

=

La sumatoria aplicada en los ejemplos anteriores para definir el área de la región, haciendo el número de rectángulos infinito se le conoce como la suma de Riemann (Jorge Federico Bernardo Riemann- 1826-1866).

Lo que da lugar a la integral definida interpretada como el área bajo una curva.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:

Sea ^{Y = f}( )^x una función continua y sean ^{a , b} valores de x en el dominio de la función y además siempre a<b

1)

∫

^a

( )

⁼

a

dx x

f 0

2)

∫

^b

( )

⁼⁻

∫ ( )

a

a

b

dx x f dx

x f

3)

∫

^b

( )

⁼

∫ ( )

⁺

∫ ( )

^{< <}

a

c

a

b

c

b c a PARA dx

x f dx x f dx x f

4)

∫

^b

( )

⁼

∫ ( )

a

b

a

dx x f K dx x Kf

5)

∫ [ ( )

^±

( ) ]

⁼

∫

^b

( )

^±

∫ ( )

a

b

a b

a

dx x g dx x f dx x g x f

TEOREMA PARA EVALUAR UNA INTEGRAL DEFINIDA:

( )

^{x dx F}

( )

^{x F}

( )

^{a F}

( )

^{b UN NUMERO}

f ^b_a

b

a

=

−

=

∫

=

( )( )^{x LA FUNCIONOBTENIDA AL INTEGRAR}

F

FUNCION UNA

DE L DIFERENCIA EL

dx x f

=

=

¿QUÉ HACER ANTE UNA INTEGRAL DEFINIDA?

1. integrar(obtener la función)

2. evaluar la función en el límite superior “b”

f(b)

3. evaluar la función en el límite inferior “a”

f(a)

4. restar el valor obtenido en f(b)- f(a)= un número

El número obtenido es el valor de la integral definida y significara lo que corresponda según el problema que dio origen a la integral, como puede ser área, volumen, tiempo, distancia etc…

La integral como operación inversa a la derivada

En estudios anteriores nos han enseñado diversas operaciones matemáticas, algunas de ellas llamadas directas y otras inversas.

Directas Inversas

Suma...Resta Multiplicación...División Potencia...Raíz Derivada...Integral

Entonces integrar es, dado el diferencial de una función, encontrar la función.

Entonces cuando integramos (el diferencial de una función) podemos comprobar el resultado, calculando el diferencial de la función obtenida, que debe coincidir con el diferencial dado.

Las integrales indefinidas son ejercicios que sirven para practicar el uso de formulas básicas, procedimientos y métodos para integrar.

FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Simbología: k, c, n =constantes u, v, w =diferenciales

1.

∫

^{Kdx=KX +C}

2.

∫

^KUdu=K

∫

^Udu+C

3.

∫

(^{U +V −W})^{dx =}

∫

^Udx+

∫

^Vdx−

∫

^Wdx+C

4.

∫

^{KXNdx= KX}_{N +}^N₁^{+1 +C}

5.

∫

^{VNdv= V}_N^N₊⁺₁^{1 +C}

6.

∫

^{COSUdu=SENU +C}

7.

∫

^{SENUdu=−COSU +C}

8.

∫

^{SEC2Udu =TANU +C}

9.

∫

^{SECUTANUdu =SECU+C}

10.

∫

^{CSC2Udu=−COTU+C}

11.

∫

^{CSCUCOTUdu =−CSCU +C}

12.

∫

^{eudu =eU +C}

13.

∫

^du_U ^=lnU+C

Significado de la constante “^C” de integración

Las funciones Y = X²+³ Y Y =X² −¹ son diferentes por el +3 y el -1 además por tener graficas diferentes, pero tienen algo en común, un mismo diferencial

Xdx dy=2

Entonces si nos piden integrar

∫

^{2Xdx =} no se sabe cual de las dos funciones es la que buscamos y por tal motivo la respuesta correcta seria

∫

^{2Xdx= X2 +C,}

donde “c” representa el +3 o el -1 que al calcular el diferencial se hace cero.

Por tal motivo se dice que al integrar un diferencial de una función la que se obtiene es una familia de curvas o funciones que solo difieren de la constante

“c” de integración.

Ejercicios de integrales básicas.

Formula 1

∫

^{Kdx=KX +C}

∫

^{3dx=3X +C}

∫

^{7dx=7X +C}

∫

^{−4dx=−4X +C}

∫

₃^{2dx =} ₃^{2 X +C}

∫

^{5dx= 5X +C}

∫

^{dx = X +C}

Fórmula 4

∫

^{KXNdx= KX}_N+^N₁^{+1 +C}

∫

^{5X2dx= 5}₂^X₊²₁^{+1 = 5X}₃^{3 +C X dx X = X = X +C} +

=

+

∫

¹⁴₃

2 3 7 2 1

1 7 7

2 3 2

1 3 2 1 2

1

X C X X

dx X

X = = = +

+

∫

=

+

25 12 5

3 5 4

3 5 5 4 3 1

5 2 4 5

4 ³

5 3

3 5 1 5

3 2 3

2

C X X X

X X

X dx X

dx = = = +

+

−

=

=

=

∫ ∫

∫

+

− −

6 6

2 1 3 2 1

1 3 3

3

3 ² ₂¹

1 1 2 1 2

1

2 1

Aquí empleamos la regla de conversión de radicales a exponentes fraccionarios

N N

N M

N M

X X ADEMAS A

A = 1 = ⁻

Fórmula 3 (

∫

^{U +V −W})^dx=

∫

^Udx+

∫

^Vdx−

∫

^Wdx+C

Esta fórmula nos indica que si tenemos que integrar un polinomio la integral será la suma o resta en su caso de las integrales de cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos.

( )

∫

^{5X +3dx=}

∫

^5Xdx+

∫

^{3dx =5X}₂^{2 +3X +C}

Aquí empleamos las formulas 4 y 1 vistas anteriormente

( )

∫

^{−2X4+7X2 −3X +10dx= −2}₅^{X5 +7X}₃^{3 −3X}₂^{2 +10X +C}

Aquí empleamos las formulas 4 y 1, además observe que no es necesario indicar la integración de cada término, esto se puede hacer directo como en el ejemplo.

X C X

X X

X C X

X X

X C X

X dx X

X X

X

+

− + +

=

+

− + +

=

+

−

− +

−

 =







 − + −

−

−

− −

∫

7 2 2

5 2

7 2 2

3 5 6

7 2 2 4 1 5

2 3 3 7

4 2 5

3

2 2 1

3

2 1 2

3

2 2 1

3 2 2

1

Fórmula 2

∫

^KUdu=K

∫

^Udu+C

Esta fórmula nos enseña que si en una integral encontramos una constante “k”

multiplicando o dividiendo, la podemos sacar de la integral multiplicando o dividiendo según el caso.

Entendiéndose que lo que se encuentre a la derecha del símbolo de integración se dice que está dentro de la integral y lo que se encuentra a la izquierda del símbolo de integración está afuera, y solo podemos sacar o colocar a la izquierda del símbolo de integración constantes que estén multiplicando o dividiendo, nunca sumando o restando y mucho menos variables.

Ejemplos.

( ^X )^dx ( ^X )^{dx X X}+^C

 



 +

= +

=

+

∫

∫

^{47 3 4 7 3 4 7}₂^{2 3}

Aquí el cuatro está multiplicando dentro de la integral y por la formula 2 lo podemos colocar afuera y al integrar el resultado queda multiplicado por el cuatro.

( ) ( )

C X X X

X X dx X

X dx X

X X

+



 



 − +

=



 



 − +

= +

− + =

−

∫

∫

17 3 3

4 3 5

2 17 6 3 4 3 17 5 6 3 4

5 3

17 6 4 5

2 3

2 3 2

2

Aquí encontramos un cinco multiplicando y un tres dividiendo, por tal motivo sacamos la fracción cinco tercios de la integral, integramos y el resultado de la integral queda multiplicado por esa fracción.

( ) ( )

C X X X

X X dx X

X dx X

X X

+



 



 + +

=



 



 + +

−

= − + +

− + =

+

−

−

− −

−

∫

∫

π π π π

5 2

5 2 4

3 4

3

2 7 17

1

5 5 2 7 17 5 1

17 7 1 17

5 7

Aquí sacamos la fracción uno sobre diecisiete y observe que en este ejemplo se ha incluido el numero irracional

π

, como parte del polinomio y se integra igual como si fuera un dos o un seis.

Fórmula 5 , 1

1

1

−

≠ + +

∫

^VNdv= ^V_N^{N+ C PARA N}

En esta fórmula encontramos que la expresión a integrar debe de ser un producto, uno de los factores del producto será la función “v” y esta deberá de estar elevada a un exponente diferente del número −1, además la función debe estar multiplicando a su diferencial. Si esto sucede se dice que la integral esta completa y se escribe la respuesta.

Una vez identificada la función “v” se procede a calcular el diferencial de “v” es decir ^dv, con el objetivo de verificar si el diferencial esta completo o no, para este fin no se tome en cuenta el valor del exponente “n” este debe cumplir solo con ser N ≠−1.

Ejemplos completos.

( ) ( )

X C dx

X + = + +

∫

^{3 53 3} ₂^{5 2}

Aquí ^{V =}(^{3X +5}) ^{Y dv=3dx⇒ ESTA COMPLETO, ADEMAS N =1}

(

_{− X +}

) ⁽

_{− X}

⁾

_dx=

(

^{− X +}

)

_+C

∫

^{5 8 10 5} ₄ ⁸

2 4 2 3

Aquí observamos que: ^{V =}

(

^{−5X2 +8}

)

^{Y dv=−10Xdx , N =3⇒COMPLETO}

(

_X

)

_dx

(

_{X X}

) (

_X

)

_dx

(

^{X X}

) (

^{X X}

)

_C

X

X + +

+ =

= + +

= +

∫

+

∫

^{2 2} ₃ ⁵

2 3 5 5 2

4 5 2 5

4 5 2

2 3 2

3 2

2 1 2

2

En este ejemplo se transformo el radical a exponente fraccionario y esa expresión a la potencia un medio, necesariamente debe de ser ^{V =}

(

^{2X2 +5X}

)

ⁿ⁼

½ y dv=(4x+5) tenemos entonces un problema completo para la fórmula 5.

El resultado puede dejarse en términos de exponentes fraccionarios o regresar a los radicales que es lo mismo.

(

_X

) (

_X

)

_dx

(

^X

) (

^X

)

_{X C}

X

Xdx = − = − +

+

−

= −

−

−

− =

− ^{− − +}

∫

∫

^{2 2}

1 1 2

2 1 2 2

1 2

2 2 7

2 1 7 2 1

1 2 7

7 7

2