Agust´ınG.BonifacioUNSL Matem´aticaDiscreta

(1)

Matem´ atica Discreta

Agust´ın G. Bonifacio

UNSL

M´etodos de Conteo y Principio del Palomar

(2)

Ejemplos

(a) ¿Cu´ antas cadenas de longitud 4 se pueden formar usando las letras A, B, C, D y E si no se aceptan repeticiones?

5 . 4 . 3 . 2 = 120.

(b) ¿Cu´ antas cadenas del inciso (a) comienzan con la letra B?

1 . 4 . 3 . 2 = 24.

(c) ¿Cu´ antas cadenas del inciso (a) no comienzan con B?

120 − 24 = 96

´ o

4 . 4 . 3 . 2 = 96.

(3)

Principio de la Multiplicaci´ on

Si una actividad se puede construir en t pasos sucesivos y el paso 1 se puede hacer de n

¹

maneras, el paso 2 de n

²

maneras, . . . , y el paso t de n

t

maneras, entonces el n´ umero de actividades posibles diferentes es n

1

.n

2

. . . n

_t

.

Ejemplo

Use el Principio de la Multiplicaci´ on para demostrar que un conjunto de n elementos {x

1

, . . . , x

_n

} tiene 2

ⁿ

subconjuntos.

Respuesta. Un subconjunto se puede construir en n pasos sucesivos: se elige o no x

¹

, se elige o no x

²

, . . . , se elige o no x

n

. Entonces, el n´ umero de subconjuntos posibles es

2 . . . 2

| {z }

= 2

ⁿ

.

(4)

Ejemplo

Sea X un conjunto de n elementos. ¿Cu´ antos pares ordenados (A, B) satisfacen A ⊆ B ⊆ X?

Respuesta. El n´ umero de estos pares es igual al n´ umero de maneras de asignar los elementos de X a los tres conjuntos A, B − A y X − B. Por lo tanto, el n´umero de pares es

3 . . . 3

| {z }

n veces

= 3

ⁿ

.

(5)

Principio de la Suma

Supongamos que X

1

, . . . , X

_t

son conjuntos y que el i-´esimo de ellos, X

i

, tiene n

i

elementos. Si {X

¹

, . . . , X

_t

} es una familia disjunta de a pares (esto es, X

i

∩ X

j

= ∅ si i 6= j), entonces el n´ umero de elementos posibles que se puede seleccionar de X

1

´ o X

2

´ o . . . ´ o X

_t

es:

n

1

+ n

²

+ . . . + n

t

. (Esto es an´ alogo a decir que la uni´ on S

t

i=1

X

_i

tiene

n

1

+ n

2

+ . . . + n

_t

elementos).

(6)

Ejemplo

¿De cu´ antas maneras se pueden seleccionar dos libros de temas diferentes entre cinco de computaci´ on, tres de matem´ aticas y dos de arte?

Respuesta. Por el Principio de la Multiplicaci´ on, computaci´ on - matem´ aticas: 5 · 3 = 15, computaci´ on - arte: 5 · 2 = 10,

matem´ aticas - arte: 3 · 2 = 6.

Como estos conjuntos de selecciones son disjuntos de a pares, por el Principio de la Suma podemos seleccionar los libros de

15 + 10 + 6 = 31

maneras diferentes.

(7)

Ejemplo

Un comit´e de 6 personas, A, B, C, D, E y F, debe seleccionar un presidente, un secretario y un tesorero.

(a) ¿De cu´ antas maneras puede hacer esto? Por el Principio de la Multiplicaci´ on,

6 . 5 . 4 = 120.

(b) ¿De cu´ antas maneras puede hacerlo si A ´ o B debe ser el presidente?

1

Si A es presidente, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto,

2

Si B es presidente, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto.

Entonces, por el Principio de la Suma, se puede hacer de

20 + 20 = 40 maneras.

(8)

(c) ¿De cu´ antas maneras pueden hacerlo si E debe ocupar uno de los puestos?

1

Si E es presidente, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto,

2

Si E es secretario, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto.

3

Si E es tesorero, hay 5 · 4 maneras de elegir el resto.

Entonces, por el Principio de la Suma, se puede hacer de 20 + 20 + 20 = 60 maneras.

Otra forma: Por el Principio de la Multiplicaci´ on, 3 . 5 . 4 = 60.

(d) ¿De cu´ antas maneras pueden hacerlo si tanto A como F deben ocupar un puesto? Tres pasos sucesivos: asignar a A, asignar a F, asignar el lugar que queda:

3 . 2 . 4 = 24.

(9)

Ejemplo

¿Cu´ antas cadenas de ocho bits comienzan con 101 ´ o 111?

1

Con 101 : 101 . 2 . . . 2

| {z }

5 lugares

= 2

⁵

= 32,

2

Con 111: 111 . 2 . . . 2

| {z }

5 lugares

= 2

⁵

= 32,

Por el Principio de la Suma, 32 + 32 = 64.

(10)

Definici´ on

Una permutaci´on de n elementos diferentes x

¹

, . . . , x

_n

es un ordenamiento de los n elementos en cuesti´ on.

Ejemplo

Existen 6 permutaciones de 3 elementos A, B, C.

Teorema

Existen n! permutaciones de n elementos.

Prueba. Una permutaci´on de n elementos se construye en n pasos

sucesivos. . .

(11)

Ejemplo

(a) ¿Cu´ antas permutaciones de la cadena ABCDEF contienen la subcadena DEF ? Tomo a DEF como un objeto: hay 4!

permutaciones.

(b) ¿Cu´ antas permutaciones de la cadena ABCDEF contienen DEF pero en cualquier orden? Dos pasos:

1

DEF en cualquier orden: 3!,

2

Permutaci´ on con DEF como un objeto: 4!

Por el Principio de la Multiplicaci´ on, hay 4! · 3! = 6 · 24 = 144

permutaciones de este tipo.

(12)

A veces se desea considerar un orden de r elementos seleccionados entre n elementos.

Definici´ on

Una permutaci´on r de n elementos x

1

, . . . , x

_n

es un ordenamiento de r elementos de x

1

, . . . , x

_n

. El n´ umero de permutaciones r de un conjunto de n elementos se denota por P (n, r) ´ o P

_rⁿ

.

Ejemplo

Ejemplos de permutaciones 2 de a, b, c son:

ab, ba, ca.

Teorema

P

_rⁿ

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1), r ≤ n.

Prueba. Por el Principio de la Multiplicaci´ on.

(13)

Ejemplos

(a) El n´ umero de permutaciones 2 de X = {a, b, c} es P

_rⁿ

= 3 · 2 = 6. Estas 6 permutaciones son:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

(b) ¿De cu´ antas maneras se puede seleccionar presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de un grupo de 10 personas? P

4¹⁰

= 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.

Observaci´on

P

_rⁿ

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) =

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)(n − r) . . . 21

(n − r) · . . . · 2 · 1 = n!

(n − r)! .

(14)

Ejemplo

¿De cu´ antas maneras pueden hacer cola 7 marcianos y 5 venusinos si ning´ un par de venusinos se paran juntos? Proceso de dos pasos:

M

1

M

2

M

3

M

4

M

5

M

6

M

7

1

Formar marcianos: 7! = 5040 formas,

2

Formar venusinos: P

5⁸

= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 formas

Por el Principio de la Multiplicaci´ on, el n´ umero de maneras es

5040 · 6720 = 33868800.

(15)

Definici´ on

1

Una combinaci´on r de n elementos es una selecci´on no ordenada de r de esos n elementos.

2

El n´ umero de combinaciones r de n elementos se denota C(n, r) ´ o

ⁿ_r

. Ejemplo

Un grupo de 5 estudiantes A, B, C, D y E ha decidido hablar con el director de departamento de matem´ aticas para que ofrezcan m´ as cursos de Discreta. El director dijo que hablar´ a, pero s´ olo con 3.

¿De cu´ antas maneras se pueden elegir 3 estudiantes de un grupo de 5? NO TOMAR EN CUENTA EL ORDEN!

⁵3

= 10

(16)

Teorema

El n´ umero de combinaciones r de n objetos es

n r

= P

_rⁿ

r! = n(n − 1) . . . (n − r + 1)

r! = n!

(n − r)!r! , r ≤ n.

Prueba. Podemos construir permutaciones r de n elementos en 2 pasos:

1

elegimos una combinaci´on r de n : hay

ⁿ_r

,

2

ordenamos: hay r!

Entonces, por el Principio de la Multiplicaci´ on, P

_rⁿ

=

ⁿ_r

r!.

(17)

Teorema (Binomial)

Si a, b ∈ R y n ∈ N, entonces (a + b)

ⁿ

=

X

n k=0

n k

a

^n−k

b

^k

.

Observaci´on

X

n k=0

n k

= 2

ⁿ

(18)

Principio del Palomar (Primera Forma)

Si n palomas vuelan a k palomares y k < n, entonces algunos palomares contienen al menos 2 palomas.

Ejemplo

10 personas tienen por nombre Alicia, Bernardo o Carlos y por apellido L´opez, Maza o Noriega. Demuestre que al menos 2 tienen el mismo nombre y apellido.

Personas = palomas = 10,

Nombre y Apellido = palomares = 9.

(19)

Principio del Palomar (Segunda Forma)

Si f es una funci´on de un conjunto finito X a un conjunto finito Y

y adem´as |X| > |Y |, entonces f (x

1

) = f (x

2

) para alg´ un par

x

1

, x

2

∈ X con x

¹

6= x

²

. (Es decir, f no puede ser inyectiva).

(20)

Ejemplo

Demuestre que si se seleccionan 151 cursos diferentes de Computaci´on numerados entre 1 y 300, inclusive, al menos 2 tienen n´ umeros consecutivos.

Sean los n´umeros de los cursos seleccionados

c

1

, c

2

, . . . , c

150

. (1) Los 302 n´umeros que consisten en los n´ umeros de (1) m´as sus sucesores

c

1

+ 1, c

2

+ 1, . . . , c

150

+ 1 (2) tienen valores que van del 1 al 301. Como los n´ umeros en (1) son todos distintos y los n´ umeros en (2) tambi´en, por el Principio del Palomar, al menos dos coinciden. Entonces existen i, j tales que

c

i

= c

j

+ 1,

lo que implica que el curso c

i

es sucesor de c

j

.

(21)

Principio del Palomar (Tercera Forma)

Sea f una funci´on de un conjunto finito X a un conjunto finito Y.

Supongamos que |X| = n, |Y | = m y sea k = ⌈

_mⁿ

⌉. Entonces, hay al menos k valores x

1

, x

2

, . . . , x

k

∈ X tales que

f (x

1

) = f (x

2

) = . . . = f (x

k

).

Prueba. Sea Y = {y

1

, . . . , y

m

} y supongamos que la conclusi´on es falsa.

Entonces:

existen a lo sumo k − 1 valores x ∈ X tales que f (x) = y

1

; existen a lo sumo k − 1 valores x ∈ X tales que f (x) = y

2

;

.. . .. .

existen a lo sumo k − 1 valores x ∈ X tales que f (x) = y

m

; Esto implica que |X| ≤ m(k − 1). Como adem´as, k − 1 <

_mⁿ

(Probar!!!), tenemos que

n = |X| ≤ m(k − 1) < m n

= n.

(22)

Ejemplo

Una caracter´ıstica ´ util de las fotos en blanco y negro es el brillo promedio. Digamos que 2 fotos son similares si su brillo promedio difiere en a lo sumo un cierto valor fijo. Demuestre que entre 6 fotos, hay o bien 3 mutuamente similares o bien 3 mutuamente no similares.

Sean P

1

, . . . , P

6

las 6 fotos. Cada uno de los 5 pares {P

1

, P

2

}, {P

1

, P

3

}, . . . , {P

1

, P

6

}

son similares (S) o no similares (N S). Tomando como X el conjunto de pares anterior y a Y = {S, N S}, el Principio del Palomar nos dice que existen ⌈

₂⁵

⌉ = 3 pares con el mismo valor. Es decir, existen i, j, k tales que {P

1

, P

i

}, {P

1

, P

j

}, {P

1

, P

k

} son todos S o todos N S. Consideremos ahora los pares

{P

i

, P

j

}, {P

j

, P

k

}, {P

i

, P

k