= G m (peso), donde r es la distancia del centro del planeta

1

FÍSICA PAU COMUNIDAD VALENCIANA Junio 2015 OPCIÓN A

BLOQUE I - CUESTIÓN

a) Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de un cuerpo que se encuentra a una distancia r del centro de un planeta de masa M y gira a su alrededor siguiendo una órbita circular. b) Dos satélites A y B, siguen sendas órbitas circulares de radios r_A y r_B= 9r_A, respectivamente, ¿cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? Razona la respuesta Respuesta

a) En una órbita circular la fuerza de gravedad del planeta sobre un cuerpo es la fuerza centrípeta. O sea,

r mv r GMm F

2

g = 2 = (peso), donde r es la distancia del centro del planeta al cuerpo (radio de la órbita) ⇒_{. v =}

r GM

b) Si la relación de radios es r_B = 9r_A, la relación de velocidades es,

3 1 9 1 r

r r GM

r GM v

v

B A A B A

B = = = =

/

/ , o sea, v_A = 3v_B.

BLOQUE II - CUESTIÓN

Una onda sonora de frecuencia f se propaga por un medio (1) con velocidad v₁. En un cierto punto, la onda pasa a otro medio (2) en el que la velocidad de propagación es v₂ = 3v₁. Determina razonadamente los valores de la frecuencia, el período y la longitud de onda en el medio (2) en función de los que tiene la onda en el medio (1)

Respuesta

La frecuencia f de una onda depende únicamente del emisor (no del medio) y la velocidad de propagación solamente depende del medio en el que se propaga. El período tampoco varía porque es la inversa de la frecuencia. La relación entre la velocidad de propagación, v, que es la distancia recorrida λ (longitud de onda) en la unidad de tiempo, T (tiempo que tarda en recorrer λ^, o sea, el período). v = λ.f. Solamente variará la longitud de onda.

Por consiguiente, si v₂ = 3v₁, se cumple v₂ = λ2.f = 3v₁ = 3λ1.f ⇒λλλλ2 = 3λλλλ1

BLOQUE III - CUESTIÓN

Describe qué problema de visión tiene una persona que sufre de hipermetropía y explica razonadamente el fenómeno con ayuda del trazado de rayos. ¿Con qué tipo de lentes debe corregirse y por qué?

Repuesta

La hipermetropía es un defecto de refringencia relacionado con la falta de potencia del ojo, respecto de un ojo normal o emétrope, (defecto de curvatura de la córnea y/o el cristalino), de modo que la imagen de un objeto cercano se forma detrás de la retina (figura a) por lo que el ojo las percibe desenfocadas. Dicho de otro modo, el punto próximo (distancia mínima a la cual se ven con nitidez los objetos) es mayor que en un ojo normal (el punto próximo del ojo emétrope se sitúa, por convenio, en 25 cm). Se corrige con lentes convergentes (menisco-convergentes, figura b), dado que se necesita aumentar la potencia de los dioptrios oculares (córnea y cristalino), para que la imagen virtual de un objeto situado a 25 cm se forme como mínimo en el punto próximo del ojo hipermétrope.

Figura b. Imagen corregida por lentes convergentes en un ojo hipermétrope. Se forma en la retina.

Figura a. Imagen de un objeto cercano en ojo hipermétrope. Se forma detrás de la retina.

2 BLOQUE IV - PROBLEMA

Dada la distribución de cargas representada en la figura, calcula:

a) El campo eléctrico (módulo, dirección y sentido)en el punto A. (1 punto)

b) El trabajo mínimo necesario para trasladar una carga q₃ = 1 nC desde el infinito hasta el punto A.

Considera que el potencial eléctrico en el infinito es nulo. (1 punto)

Dato: ke = 9.10⁹ Nm²/C² Respuesta

a) En la figura se han representado los vectores intensidad de campo eléctrico debidos a la carga positiva q1 = 5.10^-6 C, E₁

r

, cuyo sentido está dirigido hacia fuera (es sentido opuesto a la posición de la carga q₁), y el vector E₂

r debido a la presencia de la carga negativa q₂ = - 3,6.10^-6 C (dirigido hacia ella). El vector

intensidad de campo es la suma de ambos, esto es, E E₁ E₂ r r

r= + . Los valores de los

vectores son

r1

2 1

1

1 u

r Kq

Er r

= . ^, _{2 r2}

1 1

2 u

r Kq

Er r

= .

E_1x = .cos º

) º /

( . . º cos

. 30

30 sen 3

10 10 5

9 r 30

kq ₂

6 9

2 1

1

= − = 866 N/C;

E_1y = . º

) º /

( . . º

. sen30

30 sen 3

10 10 5

9 30 r sen

kq ₂

6 9

2 1

1

− −

=

− = - 625 N/C

3 j 10 6 10 3 9 r u

Kq

E ₂

6 9

2 r 1

1

2 ₂

r r

r ⁻

=

= , .

.

. , o sea, E_2x = 0; E_2y = 3600 N/C j

2975 i

866 E

E

E _{1 2}

r r r

r

r==== ++++ ==== −−−− N/C, módulo Er = 866²+2975²

= 3098 N/C El ángulo que forma con el eje X viene dado por, tan θ ⁼

866 2975 E

E

x

Y = ^{= 3,435;} θ θ θ θ = 73,77º b) El campo eléctrico es conservativo y el trabajo realizado por el campo, al trasladar una

carga de prueba q desde el infinito hasta el punto A es W_campo = - ∆^V.q3 = (V∞ ^-VA).q₃, donde V∞ ^{= 0 y V}A es la suma de los potenciales creados por cada una de las dos cargas,

o sea V_A = V_1A + V_2A = 







 −

=

+ ^{− −}

3 10 6 3 6 10 10 5

r 9 Kq r Kq

6 6

9 2

2 1

1 . , .

. = - 3300 V

W_campo = - V_A q₃ = 3300 .10^-9 = 3,3.10^-6 J, donde el signo positivo indica que el proceso es espontáneo y no se necesita el concurso de fuerzas exteriores.

BLOQUE V – CUESTIÓN

Calcula la masa total de deuterio necesaria diariamente en una hipotética central de fusión, para que genere una energía de 3,8.10¹³ J diarios, sabiendo que la energía procede de la reacción

He H

2²₁ →₂^{4 .}

A d = 3 m α = 30º

q2 = -3,6 µC q1 = 5 µC

X Y

6 m

3 m

E1

r E

r E2

r

A

30º q2

q1

3

Datos: masa del deuterio m(²₁H) = 2,01474 u; masa del helio m(₂⁴He) = 4,00387 u; unidad de masa atómica, u = 1,66.10^-27 kg; velocidad de la luz en el vacío, c = 3.10⁸ m/s.

Respuesta

En la reacción nuclear 2₁²H→₂⁴Hese produce energía (cinética) gracias a que el producto de la fusión ₂⁴Hetiene menor masa en reposo que los dos núcleos de deuterio ²₁Heantes de fusionarse (“defecto de masa” ∆m). O sea, Ec + mprod .c² = minicial.c² ⇒ Ec = (2. m2H - mHe ) c² (1). En el enunciado se pide la masa de deuterio en un día, por lo que se puede calcular la energía producida por cada dos núcleos de deuterio y después calcular el número de núcleos que han de fusionarse en un día para tener la energía de 3,8.10¹³ J (todo en el SI)

De la ecuación (1) se tiene, Ec_2núcleos = (2.2,01474 - 4,00387).1,66.10^-27. (3.10⁸)² = 3,83.10^-12 J (cada 2 núcleos de deuterio)

Los núcleos de deuterio por día, N = 2 ₁₂

13

10 83 3

10 8 3

. −

, .

, = 1,99.10²⁵ núcleos; ahora la masa en kg por

día, m_2H = 1,99.10²⁵.1,66.10^-27 = 0,033 kg/día

BLOQUE VI – PROBLEMA

Un paciente se somete a una prueba diagnóstica en la que se le inyecta un fármaco que contiene un cierto isótopo radiactivo. Éste se fija en el órgano de interés y se detecta la emisión radiactiva que produce. La actividad inicial de la sustancia inyectada debe ser 5.10⁸ Bq (desintegraciones/segundo) y su periodo de semidesintegración es de 6 h. Calcula:

a) La cantidad de isótopo radiactivo, en gramos, que hay que inyectarle.

b) El tiempo que ha de transcurrir para que la actividad del isótopo sea 10⁴ Bq.

Datos: número de Avogadro, N_A = 6,02.10²³ mol^-1; masa molar del isótopo, m_M = 98 g/mol.

Respuesta

a) En primer lugar se calcula el número de núcleos presentes que dan una actividad radiactiva de 5.10⁸ s^-1 y después la masa correspondiente a dichos núcleos, mediante el cálculo de moles correspondientes.

La actividad radiactiva es el número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo y es proporcional al número de núcleos presentes. O sea, N

dt

A=−dN =λ. ^(1), donde λ es la constante radiactiva, la cual está relacionada con el período de semidesintegración (éste es el tiempo necesario para que queden la mitad de los núcleos inicial), mediante la ecuación, T = 0,693 /λ⇒λ = 0,693/T = 0,693/(6.3600) = 3,21.10^-5 s^-1. De la ecuación (1) A = 5.10⁸ = 3,21.10^-5.N ⇒ N = 1,56.10¹³ núcleos.

n = ₂₃

13

A 60210

10 56 1 N

N

. ,

.

= , ^{= 2,59.10-11} mol; m = 2,59.10^-11.98 = 2,54,10^-9 g =2,54 ng.

b) Si N_o son los núcleos iniciales y N los núcleos después de transcurrir un tiempo t, según la ley de desintegración

t 20 2 3 10 5 Ln 10 t A

Ln A t N

Ln N ₈ ⁵

4

o o

− −

=

−

=

− ⇒

= , .

. .

.

λ

λ

4 OPCIÓN B BLOQUE I. CUESTIÓN

Nuestra galaxia, la Vía Láctea, se encuentra próxima a la galaxia M33, cuya masa es 0,1 veces la masa de la primera. Suponiendo que son puntuales y están separadas por una distancia d, justifica razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determina la distancia de ese punto a la Vía Láctea, expresando el resultado en función de d.

Respuesta

La intensidad de campo gravitatorio creado por dos masas en un punto P es la suma de los vectores intensidad de campo gravitatorio debidos a

cada masa por separado. Para que la suma de dos vectores sea nula, ha de cumplirse que cada uno de ellos tenga el mismo módulo y dirección, pero sentido opuesto gr₁ gr₂

−

= . Tanto el vector gr₁

, debido a la masa M33, como el vectorgr₂

, debido a la masa M

de la Vía Láctea, tienen la dirección de la recta que los une y el sentido dirigido hacia M33 y M, respectivamente. Dado que M > M33, el punto P considerado puede encontrarse entre las dos masas (figura 1), si bien estará más cerca de la menor que de la mayor (M), dado que los módulos han de ser iguales.

No existe otra posibilidad fuera del segmento situado entre las dos masas porque, aunque se cumpliera que r₁ < r₂, los vectores tendrían el mismo sentido y su suma no sería nula.

2

1 g

gr r

−

= ⇒ g₁ = g₂⇒

2 2 2

1 r

33 GM r

GM = , pero d = r₁ + r₂; o sea, r₂ = d – r₁

(

)

⁽

⁾

2 1 2

1 2 2

1

− =

= ⇒

− ^{= 0,1}

(

)

BLOQUE II. PROBLEMA

Un cuerpo de 2 kg de masa realiza un movimiento armónico simple. La gráfica representa su elongación en función del tiempo, y(t).

a) Escribe la expresión de y(t) en general y particulariza sustituyendo los valores de l la amplitud, frecuencia angular y la fase inicial,

obtenidos a partir de la gráfica. (1,2 puntos).

b) Calcula la expresión de la velocidad del cuerpo v(t), y su valor para t = 3 s. (0,8 puntos) Respuesta

a) La ecuación de un movimiento armónico simple es y = A sen (ω^{t +} φο), donde x es la elongación o posición de la partícula en un instante dado, A la amplitud, ω la pulsación o frecuencia angular, t el instante y φo la fase inicial, o sea, el argumento de la función seno en t = 0.

M

gr1

gr2

r2 M33 d

r1

t(s) y(mm)

4 2 0 -2 -4

0 5 10 15 20 25 30

5

Según la gráfica y(t), el valor máximo, amplitud, es 4 mm (A = 0,004 m); el período o tiempo que tarda en repetirse la función es el tiempo comprendido entre dos máximos o mínimos de y, o sea, T = 12 s

La pulsación está relacionada con la frecuencia y con el período, ωωωω ⁼ T

2π _{= ππππ}/6 rad/s.

La fase inicial se obtiene de las condiciones iniciales: xo = - A = - 4 mm y la velocidad inicial nula (es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y en este caso, la pendiente de la curva y(t) es nula en t = 0). O sea, - 0,004 = 0,004 sen φo⇒φφφφο ο ο ο = − π/2= − π/2= − π/2= − π/2 ^rad.

La ecuación es y = 0,004. sen (ππππ^{t/6 –} ππππ/2) m si t en s.

La ecuación anterior también puede escribirse y = 0,004. cos (ππππ^t/6)

b) La velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo, es decir, v_y = dt dy ,

v_y = Aω^{.cos (}ω^{t +} φo) = 0,004.π^{/6.cos (}π^{t/6 –} π/2) = 0,00209. cos (ππππ^{t/6 –} ππππ/2) m/s si t en s.

En t = 3s, vy = 0,00209. cos (π^{3/6 –} π/2) = 0,00209 m/s BLOQUE III. PROBLEMA

En un laboratorio se estudian las características de una lente perteneciente a la cámara de un teléfono móvil. Si se sitúa un objeto real a 30 mm de la lente, se obtiene una imagen derecha y de doble tamaño que el objeto.

a) Calcula razonadamente la posición de la imagen, la distancia focal imagen de la lente y su potencia en dioptrías. ¿La lente es convergente o divergente? (1,2 puntos)

b) Realiza un trazado de rayos donde se señale claramente la posición y el tamaño, tanto del objeto como de la imagen. ¿Es una imagen real o virtual?

Respuesta

a) Que la imagen formada por la lente es el doble que el objeto indica que se trata de una lente convergente (las lentes divergentes solamente dan imágenes virtuales de menor tamaño que el objeto). Además, las imágenes derechas que dan las lentes convergentes son virtuales. El aumento lateral de una lente está relacionado con el cociente entre las distancias imagen y objeto, de acuerdo con las normas DIN, A_L =

s s y y' '

= , o sea,

s 2 s y

y'= '=+

Por la ecuación de las lentes

60 1 f 1 f 1 60

1 30 2

1 f

1 s 1 s

1 − = ⇒ =

⇒ −

=

− ' ( ) ' '

' ⇒ f’ = 60 mm,

como corresponde a una lente convergente (foco imagen a la derecha de la lente).

La potencia es la inversa de la distancia focal (en m), o sea P = 1/0,06 = 16,7 D b) La figura 2 muestra el objeto, la lente

convergente y los rayos que proceden del extremo del objeto, que permiten obtener la imagen gráficamente. De los infinitos rayos que salen del punto B se han escogido dos:

el paralelo al eje óptico que, después de

refractarse pasa por el foco imagen y el rayo que pasa por el vértice (centro de la lente) el cual no se desvía. El resultado son dos rayos divergentes cuya imagen virtual B’ se forma por la prolongación de los rayos (se necesita un sistema óptico convergente para obtener la imagen, tal como una cámara fotográfica o el ojo). Debajo de B’, sobre el eje óptico estará A’.

F

Figura2. Imagen virtual con lente convergente

B’

A’ A

B

F’

6 BLOQUE IV. CUESTIÓN

La figura representa un conductor rectilíneo de longitud muy grande recorrido por una corriente continua de intensidad I y una espira conductora rectangular, ambos contenidos en el mismo plano. Justifica, indicando la ley física en que te basas para responder, si se producirá corriente en la espira en los siguientes casos: a) la espira se mueve hacia la derecha, b) la espira se encuentra en reposo.

Respuesta

Según la ley de Faraday-Henry “al variar el flujo magnético de un campo magnético exterior a través de un conductor cerrado, se produce una corriente eléctrica inducida cuya fuerza electromotriz es igual a la variación temporal del flujo magnético”.

Matemáticamente se expresa:

∆t

= ∆Φ

ε ^.

La ley de Lenz completa la ley de Faraday-Henry, indicando el sentido de la corriente eléctrica inducida: “El sentido de la corriente inducida, al variar el flujo magnético de un campo exterior a través del contorno de un conductor cerrado, es tal que el campo magnético producido por la corriente inducida se opone a la variación de flujo magnético exterior”. Por consiguiente, para

producir una corriente inducida es preciso que varíe el flujo magnético al mover la espira rectangular.

El campo magnético creado por una corriente rectilínea de intensidad I es cilíndrico alrededor de ella, esto es, es perpendicular al plano del dibujo y de sentido entrante en la espira, y disminuye con la distancia a la corriente (de acuerdo con la ley de Biot, B = µ^/2π. I/d, donde m es la permeabilidad magnética del medio, I la intensidad de corriente y d la distancia del punto a la corriente).

a) Si la espira se acerca a la corriente, cada vez entrarán más líneas de fuerza, de modo que el flujo magnético a través de su contorno aumentará y se inducirá corriente en sentido horario (de acuerdo con la ley de Lenz).

b) Si la espira no se mueve, no habrá variación de flujo magnético (el número de líneas de fuerza que atravesarán la espira no cambiará) y ε = 0, no se producirá corriente inducida.

BLOQUE V. CUESTIÓN

Escribe la expresión de la energía de un fotón indicando el significado de cada símbolo.

Supongamos que un fotón choca contra la superficie de un metal, transfiriendo toda su energía al electrón. Discute si electrón será emitido siempre o bajo qué condiciones. ¿Cómo se denomina el fenómeno físico al que se refiere esta explicación?

Respuesta

De acuerdo con el modelo de Einstein para la explicación del efecto fotoeléctrico, la luz está formada por cuantos de energía o fotones, de energía dada por la hipótesis de Planck, o sea, Efotón

= h.ν, donde h es la constante de Planck y ν la frecuencia de la radiación, los cuales interaccionan con los electrones cediéndoles su energía. El electrón solamente puede ser emitido si el fotón tiene energía suficiente para arrancarlo del metal, para lo cual ha de tener una frecuencia mínima, llamada frecuencia umbral, νo, que depende de cada metal. Si la frecuencia de la radiación es menor que la umbral no se arrancarán electrones por muy intensa que sea la radiación.

I↑

• • • ⊗ ⊗

• • • ⊗ ⊗

• • • ⊗B

r ⊗

• ⊗ ⊗ ⊗

7

El fenómeno físico al que se refiere, como se ha indicado antes, es el efecto fotoeléctrico, al que Albert Einstein dio un modelo cuántico coherente con los hechos experimentales observados en el efecto fotoeléctrico.

BLOQUE VI. CUESTIÓN

La energía relativista de una partícula que se mueve a una velocidad v es el doble que su energía en reposo. Calcula su velocidad. Dato: velocidad de la luz en el vacío, c = 3.10⁸ m/s.

Respuesta

La energía total (relativista) de una partícula que se mueve con cierta velocidad v viene dada por E = mc², donde m es la masa relativista y c la velocidad de la luz. La energía de una partícula en reposo es, E_o = m_o.c², donde m_o es la masa en reposo. En el enunciado se indica que E = 2E_o , o sea, m = 2m_o. Pero la relación entre la masa relativista y la masa en reposo es m = m_o.γ^, ⇒ γ ^{= 2,} donde γ es un factor que vale, γ ⁼

2 2

c 1 v

1

−

= 2;⇒ _{4 =}

2 2

c 1 v

1

−

2 2

c

1−v = 1/ 4 = 0,25 ⇒

2 2

c

v = 1 – 0,25 = 0,75 ⇒ v = 0,75.c= 0,866.c = 2,56.10⁸ m/s