L´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´on

L´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´ on

Objetivos. Definir las nociones de los l´ımites superior e inferior de una sucesi´on y estudiar sus propiedades b´asicas.

Requisitos. Supremo e ´ınfimo de un conjunto. Trabajo con desigualdades, supremos e

´ınfimos.

1. Proposici´on (repaso). Sea a = (an)_n∈Nuna sucesi´on creciente en R, esto es, aⁿ≤ an+1

para todo n ∈ N. Entonces

n→∞lim a_n= sup

n∈N

a_n.

2. Proposici´on. Sea x = (x_n)_n∈Nuna suseci´on en R. Definimos una sucesi´on a = (ak)_k∈N mediante la regla

a_k:= sup

n≥k

x_n. Entonces la sucesi´on a es decreciente.

Demostraci´on. Sea k ∈ N. Entonces {xn: n ≥ k+1} ⊆ {x_n: n ≥ k}, y de esta contenci´on se sigue la desigualdad a_k+1 ≤ a_k.

3. Definici´on (el l´ımite superior de una sucesi´on). Sea x = (x_n)_n∈N una sucesi´on en R. Su l´ımite superior se define mediante la siguiente f´ormula:

lim sup

n→∞

x_n:= inf

k∈Nsup

n≥k

x_n.

Los resultados escritos antes de la definici´on implican que lim sup

n→∞

x_n = lim

k→∞sup

n≥k

x_n.

4. Ejercicio. Escriba la definici´on del l´ımite inferior en forma “el supremo de ´ınfimos de colas”. Justifique que el l´ımite inferior se puede escribir tambi´en como “el l´ımite de

´ınfimos de colas”.

Vamos a demostrar un criterio de l´ımite superior en t´erminos de cuantificadores y de- sigualdades, sin usar conceptos de nivel m´as alto tales como cotas superiores e inferiores, supremos e ´ınfimos. Necesitamos repasar ciertos criterios ´utiles.

5. Lema (supremos, ´ınfimos y desigualdades, repaso). Sea A ⊆ R y sea b ∈ R.

Recuerde demostraciones de las siguientes afirmaciones:

sup(A) ≤ b ⇐⇒ ∀a ∈ A a ≤ b. (1)

sup(A) < b =⇒ ∀a ∈ A a < b. (2)

sup(A) ≤ b ⇐= ∀a ∈ A a < b. (3)

sup(A) > b ⇐⇒ ∃a ∈ A a > b. (4)

sup(A) ≥ b ⇐= ∃a ∈ A a ≥ b. (5)

sup(A) > b =⇒ ∃a ∈ A a ≥ b. (6)

Tambi´en justifique las afirmaciones similares para inf:

inf(A) ≥ b ⇐⇒ ∀a ∈ A a ≥ b. (7)

inf(A) > b =⇒ ∀a ∈ A a > b. (8)

inf(A) ≥ b ⇐= ∀a ∈ A a > b. (9)

inf(A) < b ⇐⇒ ∃a ∈ A a < b. (10)

inf(A) ≤ b ⇐= ∃a ∈ A a ≤ b. (11)

inf(A) < b ⇐= ∃a ∈ A a ≤ b. (12)

Notamos que en (4) y (10) se usan desigualdades estrictas. El siguiente lema nos ayuda pasar de desigualdades no estrictas a desigualdades estrictas.

6. Lema (pasar de una desigualdad no estricta a desigualdades estrictas). Sean α, β ∈ R. Entonces

α ≤ β ⇐⇒ ∀γ > β γ > α ⇐⇒ ∀γ > β γ ≥ α. (13) α ≥ β ⇐⇒ ∀γ < β γ < α ⇐⇒ ∀γ < β γ ≤ α. (14)

7. Lema (criterio de que el l´ımite superior es menor o igual que un n´umero dado). Sea x = (x_n)_n∈N una sucesi´on en R y sea b ∈ R. Entonces

lim sup

n→∞

x_n ≤ b ⇐⇒ ∀c > b ∃k ∈ N ∀n ≥ k x_n< c.

Demostraci´on. Usamos la siguiente notaci´on:

u_k := sup

n≥k

x_n, L := lim sup

n→∞

x_n. Demostremos la implicaci´on =⇒. Supongamos que

L ≤ b.

Por el criterio (13),

∀c > b c > L.

Sustituimos la definici´on de L:

∀c > b c > inf

k∈Nu_k. Usamos (10):

∀c > b ∃k ∈ N u_k< c.

Sustituimos la definici´on de u_k:

∀c > b ∃k ∈ N sup

n≥k

x_n< c.

Aplicamos la regla (2):

∀c > b ∃k ∈ N ∀n ≥ k x_n< c.

Ahora demostremos la implicaci´on ⇐=. Supongamos que

∀c > b ∃k ∈ N ∀n ≥ k x_n< c.

Aplicamos la regla (3):

∀c > b ∃k ∈ N sup

n≥k

x_n ≤ c.

Usamos la notaci´on u_k:

∀c > b ∃k ∈ N u_k≤ c.

Por (11) concluimos que

∀c > b inf

k∈Nuk ≤ c.

Aplicamos la notaci´on L:

∀c > b L ≤ c.

8. Lema (criterio de que el l´ımite superior es mayor o igual que un n´umero dado). Sea x = (x_n)_n∈N una sucesi´on en R y sea b ∈ R. Entonces

lim sup

n→∞

x_n≥ b ⇐⇒ ∀a < b ∀k ∈ N ∃n ≥ k x_n> a.

Demostraci´on. Usamos la notaci´on del Lema anterior. Demostremos la implicaci´on =⇒.

Supogamos que

L ≥ b.

Por el criterio (14),

∀a < b L > a.

Sustituimos la definici´on de L:

∀a < b inf

k∈Nuk > a.

Aplicamos (8):

∀a < b ∀k ∈ N u_k> a.

Sustituimos la definici´on de u_k:

∀a < b ∀k ∈ N sup

n≥k

x_n> a.

Aplicamos (4):

∀a < b ∀k ∈ N ∃n ≥ k x_n> a.

Ahora demostremos la implicaci´on ⇐=. Supongamos que

∀a < b ∀k ∈ N ∃n ≥ k x_n> a.

Aplicamos (4):

∀a < b ∀k ∈ N sup

n≥k

x_n> a.

Usamos la notaci´on uk:

∀a < b ∀k ∈ N u_k> a.

Aplicamos la regla (9):

∀a < b inf

k∈Nu_k ≥ a.

Usamos la notaci´on L:

∀a < b L ≥ a.

Aplicamos el criterio (14):

L ≥ b.

9. Teorema (criterio de l´ımite superior). Sea x = (xn)_n∈N una sucesi´on en R y sea b ∈ R. Entonces lim sup

n→∞

x_n= b si y s´olo si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. Para cualquier c > b existe un k ∈ N tal que xn< c para todo n ≥ k.

2. Para cualquier a < b y cualquier k ∈ N existe un n ≥ k tal que xn > a.

Demostraci´on. Se sigue de los Lemas 7y 8.

10. Ejercicio. Enuncie y demuestre una proposici´on similar para el l´ımite inferior.

11. Relaci´on entre el l´ımite superior y el l´ımite inferior. Sea (x_n)_n∈N una sucesi´on en R. Entonces

lim inf

n→∞ x_n≤ lim sup

n→∞

x_n.

Demostraci´on. Para cada k ∈ N, comparar infn≥kx_ncon sup_n≥kx_n, y luego pasar al l´ımite cuando k → ∞.

12. Teorema (criterio de la existencia de l´ımite en t´erminos de lim sup y lim inf ). Sea x = (x_n) una sucesi´on en R. Entonces las siguientes condiciones son equi- valentes:

(a) la sucesi´on x_n tiene un l´ımite en R.

(b) lim sup

n→∞

x_n= lim inf

n→∞ x_n.

Si se cumplen estas condiciones, entonces

n→∞lim xn= lim sup

n→∞

xn = lim inf

n→∞ xn. (15)

Demostraci´on. Supongamos que L ∈ R y ^n→∞xn = b. De la estructura de vecindades en R se sigue que

∀c > b ∃k ∈ N ∀n ≥ k x_n< c, (16)

y

∀a < b ∃k ∈ N ∀n ≥ k x_n> a. (17)

De (16) se sigue que lim sup_n→∞x_n ≤ b, y de (17) se sigue que lim inf_n→∞x_n≥ b. Tomando en cuenta que lim sup_n→∞x_n≥ lim sup_n→∞x_n, se obtiene la igualdad (15).

Ahora supongamos que se cumple (b) y denotamos lim sup_n→∞xnpor b. De la desigualdad lim sup_n→∞x_n ≤ b obtenemos (16), y de la desigualdad lim inf_n→∞x_n ≥ b obtenemos (17).

De (16) y (17) se sigue que lim_n→∞x_n= b.