Notas de Probabilidades y Estadística

Notas de Probabilidades y Estadística

Capítulos 7 al 12

Víctor J. Yohai

Basadas en apuntes de clase tomados por Alberto Déboli Diciembre 2003

Cap´ıtulo 7

Esperanza M´ atematica

7.1. Integral de Riemann-Stieljes.

Sea f : [a, b] → R y consideremos una partici´on del intervalo [a, b] que llamaremos π = {x0, x₁, ..., x_n} tal que a = x0 < x₁ < ... < x₀ = b. Sea un selecci´on de puntos de cada intervalo ξ = {ξi}1≤i≤n, donde ξ_i ∈ (xi−1, x_i) para i = 1, 2, ..., n.

Definimos la suma de Riemann S_a^b(π, ξ,f ) =

Xn i=1

f (ξ_i) (x_i− xi−1) . Se llama norma de la partici´on

||π|| = m´ax

1≤i≤n{xⁱ− xi−1: 1 ≤ i ≤ n}.

Se dice que f es integrable Riemann sobre [a, b] con valor I = Rb af = Rb

af (x) dx sii para todo ε > 0 existe σ > 0 tal que si ||π|| < δ entonces

|Sa^b(π, ξ,f ) − I| < ε.

An´alogamente se define la integral de Riemann-Stieljes. Dadas g, F funciones defnidas sobre [a, b] se define la suma de Riemann-Stiljes asociada a la partici´on π y la selecci´on de puntos ξ

S_a^b(π, ξ,g, F ) = Xn

i=1

f (ξ_i) (F (x_i) − F (xi−1)) .

Se dice que f es integrable Riemann-Stieljes sobre [a, b] con valor I = Rb

agdF =Rb

ag (x) dF (x) sii para todo ε > 0 existe σ > 0 tal que si ||π|| < δ entonces

|Sa^b(π, ξ,g, F ) − I| < ε.

Observaci´on.

1. Si F (x) = x, entonces la integral de Riemann-Stieljes es la integral de Riemann.

2. Una condici´on suficiente aunque no necesaria para que exista la in- tegral de Riemann-Stieljes, es que g se continua y F mon´otona no decre- ciente. Si tmamos como F una funci´on de distribuci´on el ´ultimo requisito se cumplir´a.

A continuaci´on enunciamos una serie de propiedades de la integral de Riemann-Stieljes

Algunas propiedades.

P1. Linealidad de la Integral de Riemann-Stieljes respecto de g.

SiRb

ag1dF yRb

ag2dF existen y α1, α2 ∈ R entoncesRb

a(α1g1+ α2g2) dF existe y adem´as

Z b a

(α1g1+ α2g2) dF = α1

Z b a

g1dF + α2

Z b a

g2dF.

P2. Linealidad de la Integral de Riemann-Stieljes respecto de F . SiRb

agdF1 yRb

agdF2 existen y α1, α2 ∈ R entonces Rb

agd (α1F1+ α2F2) existe y adem´as

Z b a

gd (α1F1+ α2F2) = α1

Z b a

gdF1+ α2

Z b a

gdF2. P3. Aditividad respecto del dominio de integraci´on.

Sea a < b < c y supongamos que Rb

agdF ; Rc

b gdF y Rc

agdF existen.

Entonces Z c

a

gdF = Z b

a

gdF + Z c

b

gdF.

Observaci´on.

La vuelta no vale en general. Una condici´on suficiente para la vuelta es que F sea no decreciente.

P4. Si F es no decreciente y g1≤ g² sobre [a, b] entonces Z b

a

g₁dF ≤ Z b

a

g₂dF.

En particular teniendo en cuenta que −|g| ≤ g ≤ |g| se obtiene

¯¯

¯¯ Z b

a

gdF

¯¯

¯¯ ≤ Z b

a |g| dF

Estamos interesados en extender el dominio de ontegraci´on a toda la recta o a semirectas. Esto lleva a la siguiente definici´on

Definici´on.Supongamos queRb

a gdF existe para todo a, b ∈ R. Decimos

que la integral impropiaR_+∞

−∞ gdF = I existe sii es un n´umero real y

a→−∞; b→+∞l´ım Z b

a

gdF = I (7.1)

De manera an´aloga se defineR_+∞

a gdF oRb

−∞gdF. Tendremos el siguiente teorema

Teorema. Sea g ≥ 0 y F no decreciente. Entonces pueden ocurrir dos cosas

(i)

M = sup

a,b∈R

Z b

a gdF < ∞ En este caso el l´ımite (7.1) existe y es finito (ii)

M = sup

a,b∈R

Z b

a gdF = ∞

En este caso el l´ımite (7.1) existe y es ∞. Luego podemos definirR_+∞

−∞ gdF =

∞

Sea ahora g de signo arbitrario y F no decreciente. El siguiente teorema vale.

Una condici´on necesaria y suficiente para queR_+∞

−∞ gdF exista es que M = supf

a,b∈R

Z b

a |g| dF < ∞

7.2. Definici´ on de Esperanza Matem´ atica.

7.2.1. Heur´ıstica

Sea X una variable aleatoria discreta y para fijar ideas supongamos que toma un n´umero finito de valores, x1, x2, ..., xk, con probabilidades p_X(x1); p_X(x2), ..., p_X(x_k).

Supongamos que se repite un experimento asociado a la variable aleatoria X, n veces en forma independiente y que el resultado x_i se ontiene n_i veces, 1 ≤ i ≤ k/. Entonces el promedio de todos los valores es

xn= n1x1+ n2x2+ ... + nkxk

n

= n₁

nx₁+n₂

nx₂+ ... + n_k nx_k.

Luego pasando al l´ımite y dado que n_j/n se aproxima a p_X(x_j) obten- emos

n→+∞l´ım xn= l´ım

n→+∞

³n₁

n x1+n2

n x2+ ... +nk

n xk

´

x1 l´ım

n→+∞

n₁

n + x2 l´ım

n→+∞

n₂

n + ... + xk l´ım

n→+∞

n_k n

= Xk j=1

xjpX(xj) .

Esto motiva la definici´on de la esperanza matem´atica de una variable discreta..

7.2.2. Esperanza de una variable aleatoria discreta

Definici´on. Sea X una variable aleatoria con rango R_X y distribuci´on de probabilidad p_X. Supongamos que

X

x∈RX

|x|p^X(x) < ∞.

En tal caso definimos la esperanza matem´atica de la variable X de la sigu- iente manera

E (X) = X

x∈RX

xpX(x) . Observaci´on.

1. Se sabe que la convergencia absoluta de la serie garantiza la conver- gencia de la serie.

2. Supongamos P

x∈RX|x|pX(x) = ∞ Denotemos con

R⁺_X = {x ∈ RX : x > 0}

R⁻_X = {x ∈ RX : x > 0}.

Entonces pueden ocurrir tres casos distintos.

(a)P

x∈R⁺_Xxp_X(x) = ∞ y P

x∈R_X⁻xp_X(x) = −∞.

(b)P

x∈R⁺Xxp_X(x) = +∞ y P

x∈R⁻Xxp_X(x) > −∞.

(c)P

x∈R⁺Xxp_X(x) < ∞ y P

x∈R⁻Xxp_X(x) = −∞.

En el caso (a) no se puede definir la esperanza de X. En el caso (b) se puede definir E(X) = ∞ en el (c) E(X) = −∞. Es decir para que la es- peranza est´e definida se requiere que P

x∈R⁺_XxpX(x) o bienP

x∈R⁻_XxpX(x) sea finita.

7.2.3. Definici´on general de esperanza matem´atica

Ahora queremos definir la esperanza matem´atica, de manera m´as gen- eral. Supongamos primero que X es una variable aleatoria concentrada en [a, b]. Es decir, supongamos que

P (a < X < b) = 1.

La idea que se utiliza para la definici´on de la esperanza de esta variable es la siguiente. Se define una sucesi´on de variables aleatorias discretas Xn

que la aproximan y luego conociendo la esperanza de cada una de estas variables, la esperanza de X se define por un paso al l´ımite.

Consideremos para cada n, una partici´on del intervalo [a, b] n inter- valos de longitud (b − a)/n. Para esto consideramos la partici´on πⁿ = {xⁿ0, xⁿ₁, ..., xⁿ_n} tal que a = xⁿ0 < xⁿ₁ < ... < xⁿ_n= b y xⁿ_i − xⁿ_i−1= b − a

n . Elegimos para cada i, 1 ≤ i ≤ n, ξiⁿ∈ (xi−1, xi] y definimos la variable aleatoria

X_n= ξ_iⁿsi x ∈ (xⁿ_i−1, xⁿ_i].

Esta variable toma unicamente un n´umero finito de valores: ξ_iⁿ, 1 ≤ i ≤ n. Adem´as

pXn(ξ_iⁿ) = FX(xⁿ_i) − F^X¡ xⁿ_i−1¢

. Luego la esperanza de la cariable X_nviene dada por

E (X_n) = Xn

i=1

ξ_iⁿp_Xn(ξ_iⁿ) =

= Xn

i=1

ξ_iⁿ¡

F_X(xⁿ_i) − FX

¡xⁿ_i−1¢¢

= S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, F ) ,

y se obtiene

n→+∞l´ım E (X_n) = l´ım

n→+∞S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, F_X) = Z b

a

xdF_X. Por lo tanto definimos la esperanza matem´atica de X por

E (X) = Z b

a

xdF_X. Observaci´on.

Siendo la funci´on x continua y F mon´otona no decreciente, resulta que Rb

axdF existe siempre y por lo tanto tambi´en E (X) existe siempre.

Supongamos ahora que X es una variable aleatoria no acotada. El proble- ma que ahora surge es que podr´ıa no existirR_+∞

−∞ xdF. Sin embargo sabemos

que M =R_+∞

−∞ |x| dF siempre est´a bien definida, eventualmente con el valor +∞.

Si M < +∞ definimos la esperanza de la variable X similarmente al caso anterior por

E (X) = Z _∞

−∞

xdF.

Si M = +∞ hay tres casos y el an´alisis es an´alogo al que realizamos anteriormente

(a)R_∞

0 xdF = +∞ y R0

−∞xdF = −∞.

(b)R_∞

0 xdF = +∞ yR0

−∞xdF > −∞.

(c)R_∞

0 xdF < +∞ yR0

−∞xdF = −∞.

En el caso (a) la esperanza matem´atica de X no est´a definida. En el caso (b) se define E(X) = +∞ y en el (c) E(X) = −∞. Nuevamente la esperanza puede estar no definida y para su definici´on se requiere que almenos una de de las dos integrales R_∞

0 xdF o R0

−∞xdF converga.

Con esta definic´ıon general de esperanza matem´atica, para el caso de una variable discreta se tienen dos definiciones. Ahora probaremos que efectiva- mente, la definici´on general es una extensi´on de la primera definici´on dada para el caso discreto, es decir para variables aleatorias discretas ambas definiciones coinciden.

Teorema. Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que E (X) existe y es finita.

Entonces

X

x∈RX

xp_X(x) = Z _+∞

−∞

xdF_X Observaci´on

Este resultado vale siempre, pero para fijar ideas vamos a probarlo para el caso en el que a los fines R_X ∩ [a, b] es finito para todo a y b. Este es el caso de la mayoria de las variables aleatorias discretas que aparecen en la pr´actica tomando ´unicamente valores enteros ; por ejemplo, Poison, Pascal, etc.

Demostraci´on

Teniendo en cuenta que X

x∈RX

xpX(x) = l´ım

a→−∞; b→+∞

X

x∈RX∩[a,b]

xpX(x) , y que

Z _+∞

−∞

xdF_X= l´ım

a→−∞; b→+∞

Z b a

xdF_X, bastar´a probar que para todo a < b

X

x∈RX∩[a,b]

xp_X(x) = Z b

a

xdF_X. (7.2)

Consideremos como antes πⁿ = {xⁿ0, xⁿ₁, ..., xⁿ_n} uan pratici´on del inter- valo [a, b], en n intevalos iguales.Lego tenemos a = xⁿ₀ < xⁿ₁ < ... < xⁿ_n = b tales xⁿ_i − xⁿ_i−1= (b − a)/n .

Teniendo en cuenta que para todo n ∈ N, ||πⁿ|| = (b − a)/n es claro que

n→+∞l´ım ||πⁿ|| = 0.

Por la hip´otesis supuesta R_X∩ [a, b] es un conjunto finito, digamos RX∩ [a, b] = {z¹, z2, ..., zk}.

LLamemos δ

δ = m´ax

2≤i≤k{zi− zi−1}.

Va a ser fundamental para esta demostraci´on la elecci´on de los puntos ξ_iⁿ en cada intervalo (xⁿ_i−1, xⁿ_i]. Procedemos de la siguiente manera.

Si |πⁿ|| < δ, en cada intervalo hay a lo sumo un elemento de RX∩ [a, b] . (i) Si

(R_X∩ [a, b]) ∩ (xⁿ_i−1, xⁿ_i] 6= ∅

escogemos alg´un punto de la intersecci´on como ξ_iⁿ. Como hemos visto, si

|πⁿ|| < δ a lo sumo existe uno solo . (ii) Si

(R_X∩ [a, b]) ∩ (xⁿ_i−1, xⁿ_i] = ∅ escogemos a cualquier punto de (x_i−1, xi] como ξⁿ_i.

Sabemos que

n→+∞l´ım S_a^b(πⁿ, ξ_iⁿ, x, F ) = l´ım

n→+∞

Xn i=1

ξ_iⁿ(F_X(xⁿ_i) − FX(xⁿ_i−1))

= Z +b

a

xdF

Veamos c´omo se vincula S_a^b(πⁿ, ξ_iⁿ, x, F ) con E(X). definida como una serie. Consideremos dos subconjuntos de ´ındices

A = {i : (R^X∩ [a, b]) ∩ (xⁿ_i−1, xⁿ_i) 6= ∅}

y

A^c= {i : (RX∩ [a, b]) ∩ (xⁿ_i−1, xⁿ_i) = ∅}

Entonces podemos realizar la siguiente descomposici´on:

S_a^b(πⁿ, ξⁿ_i, x, F ) = Xn i=1

ξ_iⁿ¡

FX(xⁿ_i) − F^X¡ xⁿ_i−1¢¢

=

=X

i∈A

ξ_iⁿ¡

F_X(xⁿ_i) − FX

¡xⁿ_i−1¢¢

+X

i∈A^c

ξ_iⁿ¡

F_X(xⁿ_i) − FX

¡xⁿ_i−1¢¢

Observemos que F_X(xⁿ_i) − FX

¡xⁿ_i−1¢

= 0 si i ∈ A^c ya que el intervalo (x_i−1, xi] no contiente elementos de RX. Luego

X

i∈A^c

ξⁿ_i ¡

F_X(xⁿ_i) − FX

¡xⁿ_i−1¢¢

= 0

y se obtiene

S_a^b(πⁿ, ξ_iⁿ, x, FX) =X

i∈A

ξⁿ_i ¡

FX(xⁿ_i) − F^X¡ xⁿ_i−1¢¢

Sea n0 tal que (b − a)/n⁰ < δ . Luego si n > n0, ||πⁿ|| < δ, y de acuerdo a lo anteriormente observado, en cada intervalo (xⁿ_i−1, xⁿ_i] hay un solo z_j que coincide con el correspondiente ξ_iⁿ. En tal caso se tiene que FX(xⁿ_i) − F^X¡

xⁿ_i−1¢

= pX(zj) . Por otro lado todo zj ser´a igual al ξ_iⁿ para alg´un i. Luego

S_a^b(πⁿ, ξⁿ_i, x, F ) = Xk j=1

z_jp_X(z_j) = X

x∈RX∩[a,b]

xp_X(x)

y por lo tanto Z b

a

xdF = l´ım

n→∞S_a^b(πⁿ, ξⁿ_i, x, F ) = X

x∈RX∩[a,b]

xp_X(x)

y esto prueba (7.2). Esto demuestra el Teorema 2

7.2.4. Esperanza matem´atica para una variable absolutamente continua.

El siguiente Teorema prueba que en el caso de que X sea una variable aleatoria absolutamente continua E(X) se puede calcular por una integral de Riemann

Teorema. Supongamos que R_∞

−∞|x|f^X(x) dx < ∞. Luego E (X) =

Z _∞

−∞

xfX(x) dx.

Demostraci´on. El teorema vale en general. Para facilitar la demostraci´on lo probaremos para el caso que f_X es continua,

Bastar´a ver que para todo intervalo [a, b] , a < b vale que Z b

a

xf_X(x) dx = Z b

a

xdF_X, (7.3)

ya que en tal caso el resultado se obtiene pasando al l´ımite.

Consideremos para cada n una partici´on de puntos equidistantes del intervalo intervalo [a, b]

πⁿ= {xⁿ0, xⁿ₁, ..., xⁿ_n}

tal que a = xⁿ₀ < xⁿ₁ < ... < xⁿ_n= b satisfaciendo xⁿ_i − xⁿ_i−1= b − a n . Sabemos que F_X⁰ (x) = f_X(x) . Por el Teorema del Valor Medio, para todo i, 1 ≤ i ≤ n, existe ξⁿi ∈ (xⁿi, xⁿ_i−1] tal que

FX(xⁿ_i) − F^X¡ xⁿ_i−1¢

= fX(ξ_iⁿ)¡

xⁿ_i − xⁿ_i−1¢

. (7.4)

Eligiremos estos puntos ξ_iⁿ, 1 ≤ i ≤ n,para formar las sumas de Riemann- Stiljes. Luego

S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, FX) = Xn

i=1

ξ_iⁿ¡

FX(xⁿ_i) − F^X¡ xⁿ_i−1¢¢

, (7.5)

y se tendr´a que

n→∞l´ım S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, F_X) = Z b

a

xdF_X. (7.6)

Usando (7.5) y (7.4) obtenemos que S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, F_X) es tambi´en una suma de Riemann correspondiente a la funci´on xf_X. En efecto

S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, FX) = Xn

i=1

ξⁿ_ifX(ξ_iⁿ)¡

xⁿ_i − xⁿ_i−1¢

= S_a^b(πⁿ, ξⁿ, xf_X(x), x) . Luego

n→∞l´ım S_a^b(πⁿ, ξⁿ, x, FX) = Z b

a

xfX(x) dx. (7.7) De (7.6) y (7.7 se obtiene (7.3).

Algunas propiedades de la esperanza matem´atica

P1. Sea X una variable aleatoria tal que P_X({a}) = 1. Entonces E (X) = a.

Esto es inmediato teniendo en cuenta X es una variable discreta con RX = {a} y p^X(a) = 1. Luego

E (X) = X

x∈RX

xp_X(x) = a.

P2. Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y A ∈ A.

Definimos la variable aleatoria

X (ω) = I_A(ω) =

½ 1 si ω ∈ A 0 si ω /∈ A.

En este caso R_X = {0, 1}, pX(1) = P (A) , y p_X(0) = 1 − P (A) . Entonces

E (X) = 0 (1 − P (A)) + 1P (A) = P (A) .

7.3. Integraci´ on por partes

El siguiente teorema permite la integraci´on por partes de una integral de Riemann-Stieljes.

Teorema. Sean g y F funciones definidas sobre [a, b] tales que Rb agdF existe. Supongamos que g sea continua en a. Entonces

Z b

a gdF = g (x) F (x) |^ba− Z b

a

F dg.

Demostraci´on.

Consideremos para cada n, una partici´on de puntos equidistantes del intervalo [a, b]

πⁿ= {xⁿ0, xⁿ₁, ..., xⁿ_n}

tal que a = xⁿ₀ < xⁿ₁ < ... < xⁿ_n= b donde para todo i, xⁿ_i − xⁿ_i−1= b − a n . Elegimos en cada subintervalo ξⁿ_i ∈ xⁿ_i−1, xⁿ_i] como el extremo derecho

ξ_iⁿ= xⁿ_i. Entonces

S_a^b(πⁿ, ξⁿ, g, F ) = Xn i=1

g (xⁿ_i)¡

F (xⁿ_i) − F¡ xⁿ_i−1¢¢

=

= Xn i=1

g (xⁿ_i) F (xⁿ_i) − Xn i=1

g (xⁿ_i) F¡ xⁿ_i−1¢

=

=

n−1X

i=1

g (xⁿ_i) F (xⁿ_i) + g (b) F (b) − Xn i=2

g (xⁿ_i) F¡ xⁿ_i−1¢

− g (x1) F (a)

= Xn i=2

g¡ xⁿ_i−1¢

F¡ xⁿ_i−1¢

+ g (b) F (b) − Xn i=2

g (xⁿ_i) F¡ xⁿ_i−1¢

− g (x1) F (a)

= − Xn

i=2

F¡ xⁿ_i−1¢

(g (xⁿ_i) − g¡ xⁿ_i−1¢

) + g (b) F (b) − g (x1) F (a)

= − Xn

i=2

F¡ xⁿ_i−1¢

(g (xⁿ_i) − g¡ xⁿ_i−1¢

) − F (a)(g(x1) − g(a)) + g(b)F (b) − g(a)F (a)

= g(x)F (x)|^ba− Xn

i=1

F¡ xⁿ_i−1¢

(g (xⁿ_i) − g¡ xⁿ_i−1¢

)

Como

n→∞l´ım Xn

i=1

F¡ xⁿ_i−1¢

(g (xⁿ_i) − g¡ xⁿ_i−1¢

) = − Z b

a

F dg

resulta la tesis del Teorema 2

P3. Dada una funci´on F mon´otona se tiene Z b

a dF = F (b) − F (a) .

Aplicando integraci´on partes s con g = 1 y dado que dg = 0, obtenemos Z b

a dF = 1F (x) |^ba− Z b

a

F dg = F_X(x) |^ba= F (b) − F (a) . Lema. Supongamos queR

|x|dF^X < ∞. Entonces vale (i)

x→+∞l´ım x (1 − FX(x)) = 0, (7.8) y

(ii)

x→−∞l´ım xFX(x) = 0. (7.9)

Demostraci´on.

Teniendo en cuenta queR_∞

−∞|x|dFXes finita entonces “las colas” tienden a cero, es decir

b→+∞l´ım Z _+∞

b

xdF_X = 0, (7.10)

y

a→−∞l´ım Z a

−∞

xdFX = 0. (7.11)

Usando P3 obtenemos Z _+∞

b

dFX = l´ım

d→∞

Z d b

dFX = l´ım

d→∞FX(d) − F^X(b) = 1 − F^X(b), y entonces resulta

Z _+∞

b

xdFX ≤ b Z _+∞

b

dFX = b (1 − F^X(b)) ≥ 0 .

Luego

0 = l´ım

b→∞

Z _+∞

b

xdF_X ≤ l´ım

b→∞b (1 − FX(b)) ≥ 0.

Luego se deduce (7.10).

(ii) se prueba de manera an´aloga y se deja como ejercicio. 2

Ahora estamos en condiciones de dar una expresi´on de la esperanza como sumas de integrales de Riemann.

Teorema. Supongamos que R_∞

−∞|x|dFX < ∞. Entonces E (X) =

Z _+∞

0 (1 − FX(x)) dx − Z 0

−∞

F_X(x) dx. (7.12)

Demostraci´on.

Sabemos que

E (X) = Z _+∞

0

xdFX+ Z 0

−∞

xdFX.

Estudiaremos cada integral por separado. Integrando por partes tenemos que

Z b 0

xdF_X= xF_X(x)|^b0− Z b

0

F_X(x) dx =

= bFX(b) − Z b

0

FX(x) dx =

= bF_X(b) + b − b − Z b

0

F_X(x) dx =

= −b (1 − FX(b)) + b − Z b

0

F_X(x) dx =

= −b (1 − F^X(b)) + Z b

0 dx − Z b

0

FX(x) dx =

= −b (1 − FX(b)) + Z b

0 (1 − FX(x)) dx.

Luego pasando al l´ımite y teniendo en cuenta el resultado (7.8) se obtiene Z _+∞

0

xdFX = Z _+∞

0 (1 − F^X(x)) dx.

An´alogamente se prueba Z 0

−∞

xdF_X = − Z _+∞

0

F_X(x) dx.

De esta dos ´ultimas igualdades se obtiene el Teorema. 2

P4. Sean X e Y dos variables aleatorias tal que P (X ≤ Y ) = 1, y tal que sus esperanzas E (X) , E (Y ) existen.

Entonces

E (X) ≤ E (Y ) . Demostraci´on.

Consideremos el evento U = {ω : X (ω) ≤ Y (ω)}. Claramente P (U) = 1 y P (U^c) = 0

Podemos escribir

{X ≤ x} = ({X ≤ x} ∩ U) ∪ ({X ≤ x} ∩ U^c) . Si ω ∈ {Y ≤ x} ∩ U entonces X (ω) ≤ Y (ω) ≤ x de manera que

{Y ≤ x} ∩ U ⊂ {X ≤ x} ∩ U.

Entonces resulta

({Y ≤ x} ∩ U) ∪ ({X ≤ x} ∩ U^c) ⊂ {X ≤ x}.

Tomando probabilidades y teniendo en cuenta que P ({Y ≤ x} ∩ U) = P ({Y ≤ x}) y P ({X ≤ x} ∩ U^c) = 0 se obtiene que

P ({Y ≤ x}) ≤ P ({X ≤ x}) , o bien

FY (x) ≤ F^X(x) . (7.13)

Luego

1 − F^X(x) ≤ 1 − F^Y (x) . (7.14) Teniendo en cuenta (7.12) resulta

E (X) = Z _+∞

0 (1 − F^X(x)) dx − Z 0

−∞

FX(x) dx, E (Y ) =

Z _+∞

0 (1 − FY (x)) dx − Z 0

−∞

F_Y (x) dx.

y de (7.13) y (7.14) se obtiene el resultado 2

P5. Supongamos que P (X = 0) = 1. Por la propiedad P1 es claro que E (X) = 0.

Ahora bien, del hecho de que E (X) = 0 no se deduce que P (X = 0) = 1.

¿Que condici´on podemos agregar para que se cumpla? La propieddad P5 responde a esta pregunta.

P6. E (X) = 0 y P (X ≥ 0) = 1 implica que P (X = 0) = 1.

Demostraci´on

Supongamos que esta propiedad no n es cierta, luego tendr´amos una variable aleatoria X tal que E (X) = 0, P (X ≥ 0) = 1 y P (X = 0) <

1.Luego teniendo en cuenta que P (X ≥ 0) = 1 obtenemos que P (X > 0) = P (X ≥ 0) − P (X = 0) = 1 − P (X > 0) = a > 0.

Ahora consideremos los eventos A_n=©

X ≥ _n¹ª

. La sucesi´on d {An} es mon´otona creciente, An⊂ Aⁿ⁺¹ y

{X > 0} = [

n∈N

An, de manera que

n→∞l´ım P (An) = P ({X > 0}) = a > 0.

Por lo tanto existe un n´umero natural n₀ tal que P (A_n0) > a/2 y entonces

E (X) = Z _+∞

−∞

xdF_X= Z _+∞

0

xdF_X = Z ¹

n0

0

xdF_X+ Z _+∞

1 n0

xdF_X ≥

≥ Z _+∞

1 n0

xdFX≥ 1 n₀

Z _+∞

1 n0

dFX = 1 n₀

µ 1 − F^X

µ 1 n₀

¶¶

=

= 1 n₀P

µ

X > 1 n₀

¶

= 1 n₀

a 2 > 0.

lo cual es un absurdo ya que contradice la hip´otesis. 2 Observaci´on.

La igualdad R_+∞

−∞ xdFX = R_+∞

0 xdFX se justifica teniendo en cuenta que P (X ≥ 0) = 1.

7.4. Esperanza de transformadas de variables aleato- rias

7.4.1. Caso discreto

Sea X una variable aleatoria discreta, RXsu rango y pXsu densidad. Sabemos que

E (X) = X

x∈RX

xp_X(x) . El siguiente Teorema generaliza esta f´ormula

Teorema. consideremos X un vector aleatorio discreto de dimensi´on k y sea g : R^k→ R una funci´on medible . Definamos Y = g (X) . Entonces

E (Y ) = X

x∈RX

g (x) p_X(x) .

Demostraci´on.

Sea y ∈ g (RX) = R_Y y definamos

A_y = {x ∈ RX : g (x) = y} = g⁻¹({y}) .

Es f´acil ver que la familia de subconjuntos {A^y}y∈RY es una partici´on de R_X, es decir R_X=S

y∈RY Ay y si y 6= y⁰ entonces Ay∩ Ay⁰ = ∅.

Teniendo en cuenta que

p_Y (y) = P_X(A_y) = X

x∈Ay

p_X(x) ,

y que para todo x ∈Ay se tiene g(x) =y, obtenemos

E (Y ) = X

y∈RY

yp_Y (y) = X

y∈RY

y X

x∈Ay

p_X(x) =

= X

y∈RY

X

x∈Ay

g (x) p_X(x) = X

x∈RX

g (x) p_X(x)

ypor lo tanto queda demostrado el Teorema. 2

7.4.2. Caso continuo

Ahora pasamos al caso absolutamente continuo. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua y f_X su funci´on de densidad. Sabemos que

E (X) = Z _+∞

−∞

xf_X(x) dx.

El siguiente Teorema es el an´alogo al Teorema anterior cuando X es un vector absolutamente continuo

Teorema. Sea X un vector aleatorio absolutamente continuo de dimen- si´on k, con densidad f_X. Sea g : R^k → R una funci´on medible que toma a lo sumo un numerable de valores y definamos Y = g (X) . Luego

E (Y ) = Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

g (x) fX(x) dx1...dx_k. (7.15)

Demostraci´on.

Como en el teorema anterior consideramos la partici´on

A_y = {x ∈ RX: g (x) = y} = g⁻¹({y}) .

En este caso R^k=S

y∈RY Ay y si y 6= y⁰ entonces Ay∩ Ay⁰ = ∅. Adem´as p_Y (y) = P_X(g⁻¹({y}) = PX(A_y) . Entonces usando que para x ∈Ay se tiene g(x) =y y que

X

y∈RY

IAy(x) = 1

obtenemos

E (Y ) = X

y∈RY

yp_Y (y)

= X

y∈RY

yP_X(A_y)

= X

y∈RY

y Z

· · · Z

Ay

f_X(x) dx₁...dx_k

= X

y∈RY

Z

· · · Z

Ay

yf_X(x) dx₁...dx_k

= X

y∈RY

Z

· · · Z

Ay

g (x) f_X(x) dx₁...dx_k

= X

y∈RY

Z

· · · Z

R^k

g (x) f_X(x) I_Aydx₁...dx_k

= Z

· · · Z

R^k

g (x) f_X(x)



 X

y∈RY

I_Ay(x)



 dx1...dx_k=

= Z

· · · Z

R^k

g (x) f_X(x) dx₁...dx_k 2

P7. Sea X una variable aleatoria. Entonces para todo n´umeros reales c y λ

(i) E (X + c) = E (X) + c.

(ii) E (λX) = λE (X) . Demostraci´on.

(i) Sea Y = X + c. Sabemos que F_Y (x) = F_X(x − c) . Entonces inte- grando por partes, haciendo el cambio de variable x = y − c y sumando y restando FX(x) x|^b−c_a−c se obtiene

Z b a

ydF_Y = yF_Y (y) |^ba− Z b

a

F_Y (y) dy

= yFX(y − c) |^ba− Z b

a

FX(y − c) dy =

= bF_X(b − c) − aFX(a − c) − Z _b−c

a−c

F_X(x) dx + F_X(x) x|^b−c_a−c− FX(x) x|^b−c_a−c.

Luego, integrando por partes resulta

− Z _b−c

a−c

FX(x) dx = xFX(x) |^b−c_a−c− Z _b−c

a−c

xdFX =

= − (b − c) FX(b − c) + (a − c) FX(a − c) + Z _b−c

a−c

xdF_X

= −FX(x) x|^b−c_a−c+ Z _b−c

a−c

xdF_X.

Reemplazando y cancelando algunos t´erminos obtenemos Z b

a

ydF_Y = bF_X(b − c) − aFX(a − c) − FX(x) x|^b−c_a−c+ Z _b−c

a−c

xdF_X+ F_X(x) x|^b−c_a−c− FX(x) x|^ba⁻−

= bF_X(b − c) − aFX(a − c) + Z _b−c

a−c

xdF_X− (b − c) FX(b − c) + (a − c) FX(a − c)

= Z _b−c

a−c

xdF_X+ cF_X(b − c) − cFX(a − c) . Finalmente pasando al l´ımite se obtiene el resultado E (Y ) = l´ım

a→−∞, b→+∞

Z b a

ydF_Y = l´ım

a→−∞, b→+∞

·Z _b−c

a−c

xdF_X+ cF_X(b− c) − cFX(a− c)

¸

=

= E (X) + c. 2

La prueba de (ii) se deja como ejercicio.

Recordemos el concepto de convergencia uniforme

Definici´on.Sea (fn)_n≥1una sucesi´on de funciones definidas sobre [a, b] . Se dice que la sucesi´on de funciones (f_n)_n≥1 converge uniformemente a la funci´on f sobre [a, b] si i para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n⁰ entonces para todo x ∈ [a, b]

|fn(x) − f (x) | < ε.

Observaci´on.

La diferencia con la convergencia puntual es que el n0 en este caso sirve para todo x, es decir s´olo depende de ε.

La convergencia uniforme implica la puntual pero no al rev´es. En partic- ular nos interesa la convergencia uniforme de variables aleatorias. Hacemos notar que el l´ımite puntual de funciones medibles y en consecuencia el uni- forme es una funci´on medible.

Notaci´on: En el caso de que la convergencia sea uniforme escribiremos X_n⇒ X.

Teorema. Sea (X_n)_n≥1 una sucesi´on de variables aleatorias que con- vergen uniformemente a una variable aleatoria X. Supongamos que E (X) existe. Entonces

n→+∞l´ım E (X_n) = E (X) . Observaci´on

La existencia de E (X) implica la existencia de E (Xn) para todo n a partir de un valor n₀.

Demostraci´on.

Teniendo en cuenta la convergencia uniforme dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces

sup |Xⁿ− X| < ε.

Esto significa si n ≥ n⁰ entonces

|Xn− X| < ε, o bien

X − ε < Xⁿ< X + ε.

Por la monotonia de la espereanza y P7 se obtiene que si n ≥ n⁰entonces E (X) − ε ≤ E (Xn) ≤ E (X) + ε.

Por lo tanto l´ım E(X_n) = E(X). 2

Teorema. Sea X = (X1, X2, ..., X_k) un vector aleatorio absolutamente continuo con funci´on de densidad f_X y g : R^k → R una funci´on medible arbitraria. Si definimos la variable aleatoria Y = g (X) entonces

E (Y ) = Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

g (x) f_X(x) dx.

Observaci´on.

La misma afirmaci´on la probamos anteriormente para una funci´on med- ible que asume un n´umero a lo sumo numerable de valores. Tambi´en hay que observar que la variable aleatoria Y no tiene por qu´e ser absolutamente continua, pues g podr´ıa ser constante y en tal caso Y discreta.

La estrategia de la siguiente demostraci´on es la siguiente y se usa a menudo: Se aproxima uniformemente la variable por una sucesi´on de vari- ables cuya esperanzas satisfacen la propiedad en cuesti´on. Luego se pasa al l´ımite haciendo uso del resultado que asegura que si X_n converge uniforme- mente a X entonces E(Xn) converge a E(X)

Demostraci´on.

Sea g_n la funci´on definida de la siguiente manera. Dado x, existe alg´un erntero i tal que

i

n < g (x) ≤ i + 1 n .

Luego definimos

gn(x) = i + 1 n Teniendo en cuenta que g⁻¹_n ¡_i+1

n

¢ = g⁻¹¡

(_nⁱ,ⁱ⁺¹_n ]¢

se ve que para cada n, g_n es una funci´on medible Borel. Definimos la variable aleatoria Y_n = gn(X) . Teniendo en cuenta que

|gn(x) − g (x) | < 1 n, se obtiene que Y_n⇒ Y.

Como ya hemos demostrado este teorema para funciones g que toman un numerable de valores, se tendr´a

E (Yn) = Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

gn(x) fX(x) dx.

Como, por el teorema anterior l´ım_n→∞E(Yn) = E(Y ), bastar´a probar

n→+∞l´ım Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

g_n(x) f_X(x) dx = Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

g (x) f_X(x) dx.

(7.16) Luego obtenemos

¯¯

¯¯ Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

g_n(x) f_X(x) dx−

Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

g (x) f_X(x) dx

¯¯

¯¯

=

¯¯

¯¯ Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

(g_n(x) − g (x)) fX(x) dx

¯¯

¯¯

≤ Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞ |(gⁿ(x) − g (x))| fX(x) dx

≤ 1 n

Z _+∞

−∞

...

Z _+∞

−∞

fX(x) dx

| {z }

=1

=1 n,

y por lo tanto se cumple (7.16) 2.

Ahora vamos a probar la linealidad de la esperanza.

Teorema.Supongamos que X e Y son variables aleatorias con esperanza finita. Entonces para todo escalar α y β vale que

E (αX + βY ) = αE (X) + βE (Y ) . Observaci´on.

Para su demostraci´on utilizaremos la misma estrategia comentada ante- riormente.

Demostraci´on.

Sean X e Y variables aleatorias discretas con esperanza finita. Definimos Z = αX + βY y g : R²→ R

g (x, y) = αx + βy.

Entonces si X = (X, Y ) se tiene que Z = g (X) . Sabemos que para el caso discreto vale

E (Z) = X

(x,y)∈R(X,Y )

g (x, y) p_{(X,Y )}(x, y) = X

(x,y)∈R(X,Y )

(αx + βy) p_{(X,Y )}(x, y) =

= α X

(x,y)∈R(X,Y )

xp_{(X,Y )}(x, y) + β X

(x,y)∈R(X,Y )

yp_{(X,Y )}(x, y) .

Si probamos que

X

(x,y)∈R(X,Y )

xp_{(X,Y )}(x, y) = E (X) ,

y X

(x,y)∈RX

yp_{(X,Y )}(x, y) = E (Y ) . se obtiene la linealidad para el caso discreto.

Bastar´a probar la primera de estas dos ecuaciones. Consideremos la proyecci´on a la primer eje, g₁ : R² → R donde g₁(x, y) = x. Observando que X = g1(X), tenemos

E (X) = E (g₁(X)) = X

(x,y)∈R(X,Y )

g₁(x, y) p_{(X,Y )}(x, y)

= X

(x,y)∈R(X,Y )

xp_{(X,Y )}(x, y) .

que es el resultado buscado.

Ahora bien, si X e Y son variables aleatorias arbitrarias, entonces pode- mos definir dos sucesiones de variables aleatorias (X_n)_n≥1e (Y_n)_n≥1 tal que Xn⇒ X, y Yⁿ⇒ Y

M´as precisamente si X (ω) ∈ (_nⁱ;ⁱ⁺¹_n ] definimos Xn(ω) = i + 1

n . Es f´acil ver que

|Xⁿ(ω) − X (ω) | < 1 n.

An´alogamente definimos Yn. Ambas convergencias son uniformes, de manera que (αX_n+ βY_n)_n≥1converge uniformemente a la variable aleatoria αX + βY = Z.

Para el caso discreto vimos la linealidad, es decir E (αX_n+ βY_n) = αE (X_n) + βE (Y_n) .

Entonces teniendo en cuenta esa propiedad y del resultado que asegura que si X_n converge uniformemente a X entonces E(X_n) converge a E(X) se obtiene

n→∞l´ım E (αX_n+ βY_n) = E (αX + βY ) . Como adem´as

n→∞l´ım E (αXn+ βYn) = l´ım

n→∞(αE (αXn) + βE (Yn))

= α l´ım

n→∞E (Xn) + βE (Yn)

= αE (X) + βE (Y ) , se prueba la tesis 2.

7.5. Esperanza del producto de variables aleato- rias independientes

Otro problema interesante es estudiar la esperanza de un producto de variables aleatorias. Si las varaibles aleatoria X e Y tienen esperanzas finitas y definimos la variable aleatoria Z = XY entonces no preguntamos ¿cuando vale que E (Z) = E (XY ) = E (X) E (Y )? Una condici´on suficiente es la independencia de las variables X e Y.

Teorema. Sean X e Y variableas aleatorias independientes con esper- anza finita. Si Z = XY entonces

E (Z) = E (XY ) = E (X) E (Y ) . Observaci´on

La estrategia para su demostraci´on vuelve a ser la misma que antes.

Demostraci´on

En principio lo probaremos para el caso discreto. Luego aproximaremos uniformemente y finalmente pasaremos al l´ımite.

Sean X e Y variables aleatorias discretas independientes con esperanza finita y definamos g : R²→ R

g (x, y) = xy.

Entonces Z = g (X) . Sabemos que

E (Z) = X

(x,y)∈R(X,Y )

g (x, y) p_{(X,Y )}(x, y)

= X

(x,y)∈RX×RY

xyp_{(X,Y )}(x, y)

= X

(x,y)∈RX×RY

(xp_X(x)) (yp_Y (y))

= X

x∈RX

xpX(x) X

y∈RY

ypY (y)

= E (X) E (Y ) .

Observemos que R_{(X,Y )} ⊂ RX×RY pero para (x, y) ∈ RX×RY−R(X,Y )

se tiene p_{(X,Y )}(x, y) = 0, lo que justifica la segunda igualdad. La tercera se justifica por el hecho que dado que X e Y son independientes se tiene p_{(X,Y )}(x, y) = p_X(x)p_Y(y) .

Ahora vamos a dar la prueba para una variables aleatorias cualquiera.

Dada una funci´on medible g : R^k → R existe una sucesi´on de funciones med- ibles {gn}n≥1que asumen un n´umero de valores a lo sumo infinito numerable tal que |gⁿ− g| < n¹.

Utilizaremos esto con la funci´on identidad. Es decir, existe una sucesi´on de funciones medibles {gn}n≥1cada una con un s´olo valor _nⁱ tal que |gn(x)−

x| < 1 n.

Sean X e Y independientes y consideremos las sucesiones de variables aleatorias discretas g_n(X) = X_n.e Y_n = g_n(Y ) . Dado que g_n es medible y X e Y son independientes, se tiene que Xn e Yn son independientes.

Luego, por el caso anterior

E (XnYn) = E (Xn) E (Yn) . Ahora teniendo en cuenta que X_n⇒ X, Yn⇒ Y

n→∞l´ım E (XnYn) = l´ım

n→∞E (Xn) l´ım

n→∞E (Yn) = E (X) E (Y ) .

Luego basta probar que l´ım_n→∞E (X_nY_n) = E (XY ). Para ver esto observemos que

|E (XnY_n) − E (XY ) | = |E (XnY_n− XY ) |

≤ E |XⁿYn− XY |

= E |XⁿYn− XⁿY + XnY − XY |

= E |Xn(Y_n− Y ) + Y (Xn− X)|

≤ E (|Xn(Y_n− Y )| + |Y (Xn− X)|)

≤ E (|Xn| |Yn− Y |) + E (|Y | |Xn− X|) .

Por la convergencia uniforme existe n₀ ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces

|Yn− Y | ≤ ε

2(E (|X|) + 1) , |Xn− X| ≤ ε

2E (|Y |) y adem´as que E (|Xn|) ≤ E (|X|) + 1.

Luego

|E (XnY_n) − E (XY ) | ≤ E (|Xn| |Yn− Y |) + E (|Y | |Xn− X|) ≤

≤ m´ax |Yⁿ− Y | E (|Xⁿ|) + m´ax |Xⁿ− Y | E (|Y |) ≤

≤ ε

2(E (|X|) + 1)(E (|X|) + 1) + ε

2E (|Y |)(E (|Y |)) = ε, y se obtiene el resultado buscado 2.

Damos a continuaci´on un ejemplo que muestra que la rec´ıproca es falsa, es decir de la propiedad E (XY ) = E (X) E (Y ) no se deduce la indepen- dencia de las variables.

Consideremos un vector (X, Y ) discreto tal que R_{(X,Y )}=

{(−1, 0); (1, 0); (0, −1) ; (0, 1)} y tal que p(x, y) = 1/4 para cada (x, y) ∈ R_{(X,Y )}. Sea g (x, y) = xy y Z = XY = g(X, Y )

Como para todo (x, y) ∈ R(X,Y ), se tiene xy = 0,resulta P (XY ≡ 0) = 1. Luego E (XY ) = 0. Tambien se ve que RX = {−1, 0, 1} y p^X(−1) = 1/4, p_X(0) = 1/2 y p_X(1) = 1/4. por lo tanto que E (X) = −1(1/4) + 0(1/2) + 1(1/4) = 0. De manera que se cunmple E (XY ) = E (X) E (Y ) = 0. Pero X e Y no son independientes pues pX(1) = ¹₄ = pY (1) y dado que (1, 1) /∈ R_{(X,Y )} se tiene p_{(X,Y )}(1, 1) = 0.

Sin embargo si X, Y fueran independientes debiera cumplirse p_{(X,Y )}(1, 1) = pX(1/4)pY(1/4) = 1

4 1 4 = 1

16.

de donde resulta una contradicci´on. Por lo tanto X e Y no son independi- entes..

7.6. Esperanza de distribuciones sin´ etricas

El concepto de esperanza matem´atica esta ligado con el valor central de la distribuci´on Ciertas variables llamadas sim´etricas tienen un centro natural . Por ejemplo aquellas que tienen densidad sim´etrica respecto a un punto.

Definici´on.Dada una variable aleatoria X cualquiera, se dice que tiene distribuci´on sim´etrica respecto de µ si

PX((−∞, µ − x]) = P^X([µ + x, ∞)). (7.17)

Proposici´on. X tiene distribuci´on sim´etrica respecto de µ si y solo si Y = X − µ tiene distribuci´on sim´etrica respecto de 0.

Demostracion. Se tiene

P_X((−∞, µ − x]) = P (X ≤ µ − x)

= P (Y ≤ −x)

= PY((−∞, −x]), y

P_X([µ + x, ∞)) = P (X ≥ µ + x)

= P (Y ≥ x)

= P_Y([x, ∞)).

Luego P_X((−∞, µ−x]) = PX([µ+x, ∞)) es equivalente a PY((−∞, −x]) = P_Y([x, ∞)) y por lo tanto la proposici´on es cierta 2.

Proposici´on (i) Si X es absolurtamente continua, entonces X tiene distribuci´on simetrica respecto de µ si y solo si

fX(µ − x) = f^X(µ + x) . (7.18) (ii) Si X es discreta, entonces X tiene distribuci´on simetrica respecto de µ si y solo si

p_X(µ − x) = pX(µ + x) .

Demostraci´on. Solo probaremos (i) Para facilitar la demstraci´on aunque no es necesario, supondremos que f_X es continua y por lo tanto

F_X⁰ (x) = f_X(x). (7.19)

Sea X absolutamente continua sim´etrica respecto de µ satisfaciendo (7.19). En este caso (7.17) es equivalente a

F_X(µ − x) = 1 − FX(µ + x), y derivando se obtiene

−f^X(µ − x) = −f^X(µ + x), y por lo tanto

f_X(µ − x) = fX(µ + x).

Supongamos ahora que X satisface (7.18), entonces P_X((−∞, µ − x]) =

Z _µ−x

−∞

f_X(z)dz

= Z _µ−x

−∞

f_X(µ − (µ − z))dz

= Z _µ−x

−∞

f_X(µ + (µ − z))dz (7.20)

= Z _µ−x

−∞

fX(2µ − z)dz.

Haciendo la transformaci´on w = 2µ − z se obtiene Z _µ−x

−∞

f_X(2µ − z)dz = − Z µ+x

∞

f_X(w)dw

= Z _∞

µ+x

f_X(w)dw

= PX([µ + x, ∞)). (7.21) De (7.20) y (7.21) resulta (7.17), y por lo tanto X es sim´etrica respecto de µ 2.

Teorema. Si X es sim´etrica respecto de µ y E(X) existe y es finita, resulta E(X) = µ Demosraci´on. Lo demostraremos unicamente en el caso de que X sea absolutamente. Supongamos primero que µ = 0, y por lo tanto por (7.18) f_X(−x) = fX(x). Luego

E (X) = Z _+∞

−∞

xfX(x) dx = Z 0

−∞

xfX(x) dx + Z _+∞

0

xfX(x) dx, (7.22) y haciendo el cambio de variable y = −x, dy = −dx,resulta

Z 0

−∞

xfX(x) dx = Z 0

∞

yfX(y) dy

= − Z _∞

−0

yf_X(y) dy

= − Z _∞

−0

xf_X(x) dx. (7.23) Luego de (7.22) y (7.23) resulta E(X) = 0. Tomemos ahora X sim´etrica respecto de µ. Por el resultado anterior Y = X − µ es sim´etrica respecto de 0. Luego E(Y ) = 0 = E(X) − µ, Luego E(X) = µ 2.

La esperanza de una variable aleatoria es una caracter´ıca de su distribu- ci´on que describe un valor central. Sin emargo, variables aleatorias con distribuciones muy distintas pueden tener la misma esperanza. Por ejemplo puden diferir en como su dispersan los valores que toma la variable alrededor de la esperanza: pueden estar m´as o menos dispersos. Esto nos lleva a definir otras caracter´ısticas, en particular caracter´ısticas de dispersi´on.