• No se han encontrado resultados

Un sistema mecánico está conformado por los elementos siguientes: Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Un sistema mecánico está conformado por los elementos siguientes: Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental"

Copied!
13
0
0

Texto completo

(1)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

TeTemama 22.. MMooddelelaaddoo MMaatteemáttiiccoo

InInttrroodduucccciónn

Par el estudio de los sistemas de control es necesario conocer el comportamiento de los elementos que eventualmente pueden formar parte de un sistema a controlar y del sistema de control. Este comportamiento se puede expresar en forma de un modelo matemático.

Se conoce como modelo matemático a las expresiones que representan el comportamiento dinámico de un sistema.

El estudio dinámico consiste entonces en determinar analíticamente la respuesta (salida) cuando la entrada experimenta una variación en el tiempo (excitación). Dicho de otra manera poder representar la respuesta transitoria del sistema.

Los modelos matemáticos de los sistemas físicos son ecuaciones diferenciales, que pueden ser ordinarias para los sistemas a parámetros concentrados o parciales para los sistemas distribuidos. Estas ecuaciones diferenciales pueden ser lineales o no lineales según el rango de funcionamiento en el cual se quiere estudiare al sistema.

En este capítulo estudiaremos los modelos matemáticos, lineales y simplificados de algunos tipos de sistemas más comunes. Quedan fuera del alcance de este capítulo los modelos matemáticos no lineales de los sistemas físicos, los cuales son más precisos pero más complejos para la correcta comprensión del resto de la asignatura.

S

Siisstteemmaass MMeecánniiccooss

Un sistema mecánico está conformado por los elementos siguientes:

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Resorte F Kx

Amortiguador

dt Cdx CV F

Fricción

dt Bdx BV F

Masa

2 2

dt x M d Ma F

Donde:

F: Fuerza x: Desplazamiento V : Velocidad

a: Aceleración K: Constante del resorte C: Constante del amortiguador

B: Coeficiente de fricción M : Masa

El modelo matemático se obtiene haciendo un diagrama de cuerpo libre sobre cada masa del sistema.

M

(2)

Jean-François DULHOSTE Ejemplo 1:

El sistema posee en este caso una sola masa, se hace entonces un diagrama de cuerpo libre en la masa:

El modelo matemático del sistema será:

2 2

dt x M d dt Cdx Kx

F

O escrito ene. Orden común de una ecuación diferencial ordinaria:

F dt Kx

C dx dt

x

M d

2 2

Esta ecuación es una relación del desplazamiento de la masa (salida) en función de la fuerza aplicada (entrada).

Para simplificar la escritura de la ecuación diferencial se puede utilizar el operador matemático de derivada:

dt D d

Que para una derivada de segundo orden es: 2

2 2

dt D d

Con esta representación la ecuación de nuestro sistema mecánico se escribe: MD2xCDxKxF S

Siisstteemmaass MMeecánniiccooss RRoottaattiivvooss

Un sistema mecánico rotativo está conformado por los elementos siguientes:

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Ejes T G

Cojinete

dt Cd C

T

Masa o Volante de

inercia 2

2

dt I d I

T

Tren de engranes 1

2 2 1 2 1

N

N

relación de velocidad

2 2 1

1 T

T relación de trabajo

Donde:

T: Torque o momento : Desplazamiento angular o deformación angular

: Velocidad angular : Aceleración angular

G: Coeficiente de deformación de ejes C: Coeficiente de fricción viscosa

I: Momento de inercia de masas N : Numero de dientes de engrane

El modelo matemático se obtiene haciendo un diagrama de cuerpo libre sobre cada volante de inercia del sistema.

I M

F

M F

Fr Fa

(3)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

(4)

Jean-François DULHOSTE Ejemplo 2:

Se hace el diagrama de cuerpo libre sobre el volante de inercia:

1 2 2 2 2 222

1 dt

I d dt Cd G

G

Y se escribe adicionalmente la ecuación que relaciona el momento aplicado con al extremo del eje con el que momento que recibe el volante de inercia:

1 2

1

 G T

Con estas dos ecuaciones se puede hallar una expresión entre el momento aplicado al sistema (entrada) y el movimiento angular del momento de inercia:

T dt G

Cd dt

Id222 2 22

O escrito utilizando el operador matemático: ID22CD2G22 T

También se puede definir una salida diferente por ejemplo el desplazamiento angular en el extremo del eje. En este caso se combinan las dos ecuaciones de una forma diferente:

Se obtiene primero la expresión

1 1

2 G

T

La cual se sustituye en la primera relación obtenida:

G T G T

G CD T

G

ID T 











1 1 2 1 1 1

1

2

G T DT G G T C G D G I

CD

ID 



1

1 2 1

2 1 1 2 1 1

2

SiSisstteemmaass EEléccttrriiccooss

Un sistema eléctrico está conformado por los elementos siguientes:

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Resistencia V RI , ZR R

Capacitor V C0tIdt

1 ;

Bobina

dt LdI

V , ZL LD

Elemento cualquiera V ZI

En un nodo I  0

En una malla V 0

ZC CD1

Z G1 T

G2

I C

1

2

(5)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

Elementos en serie ZT Zi

Elementos en paralelo

i T

Z

Z 1

1

Donde:

V : Voltaje o diferencia de potencial

I: Intensidad

Z: Impedancia

R: Resistencia C: Capacitancia

L: Inductancia

Ejemplo 3: Hallar V f I y V f V3

Primera parte V f I

Sabemos inicialmente que:

I Z V T

Donde

4 3 2

1 Z Z Z

Z

ZT

1

1 R

Z ;

D R C

Z

2 2

2 1

1

;

D D L

R C Z

3 3 3

3 1 1

1

; Z4 L4D

Luego

I D L D D L

R C D R C

R

V

4

3 3

3 2

2

1 1 1

1 1

1

Segunda parte V f V3

Hallamos primero I f V3 3 3 3

3 Z

I V I

Z

V

Luego

3 3

Z Z V V T

Z Z

Z Z

V

R1

R2

R3

C2

C3

L4

L3

V1

V2

V3

V4

(6)

Jean-François DULHOSTE

AnAnaalloogíaa EElleeccttrroommeecánniiccaa

Este es un método que permite resolver en forma relativamente más sencilla problemas mecánicos, como i se tratase de sistemas eléctricos. En este caso hacemos:

V análogo a F, e I análogo a x

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Resorte ZR K

Amortiguador ZACD

Fricción ZF BD

Masa ZM MD2

Elemento cualquiera F Zx

Elementos en serie ZT Zi

Elementos en paralelo

i T

Z

Z 1

1

El método sirve para sistemas con una sola fuerza y se resuelven los problemas haciendo primero el diagrama de impedancias.

Diagrama de impedancias

Para realizar el diagrama de impedancias:

 Se coloca en la parte superior una línea horizontal que representa la coordenada donde está aplicada la fuerza.

 Se coloca en la parte inferior una línea que representa la tierra, o referencia.

 Se colocan entre las dos anteriores líneas que representen las otras coordenadas existentes.

 Se colocan las impedancias correspondientes a cada elemento y se hace la conexión de este a las coordenadas correspondientes. Nótese que cada elemento estará conectando siempre dos coordenadas. En el caso de las masas estas siempre irán conectando la tierra y la coordenada donde se encuentran, mientras que los otros elementos pueden conectar dos coordenadas diferentes a la tierra.

Z1

Z Z1 Z

Z M

(7)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA Ejemplo 4:

La ecuación del sistema obtenida por éste método será:

Z Z Z x F R A M ;

K CD MDx

F 2 x MD CDx Kx

F 2

SiSisstteemmaass Térrmmiiccooss

Un sistema térmico está conformado por los elementos siguientes:

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Pared delgada

(no absorbe calor) Si T1 T2:

Rt

T Q T1 2

Pared gruesa

(con almacenamiento de calor)

QCT dTdt

1 1 1

t p

R T Q T

;

2 2 2

t p

R T Q T

p TDT C Q Q1 2 Donde:

Q: Flujo de calor T: Temperatura

RT: Resistencia térmica CT: Capacitancia térmica (masa por calor específico) Ejemplo 5: Termómetro de mercurio con pozo térmico de cobre.

El termómetro está formado de tres paredes que absorben calor, más un elemento receptor que también absorbe calor:

 Hg: Mercurio THg, CHg

 V: Vidrio TV, CV

 C: Cobre TC, CC

Entre cada elemento se consideran resistencias térmicas:

 R1: resistencia térmica entre el ambiente y el cobre

 R2: resistencia térmica entre el cobre y el vidrio

 R3: resistencia térmica entre el vidrio y el mercurio

Se requiere en este caso relacionar THg f TE

T1 T2

Q2

Rt1 Rt2

Q1

Tp

CT

T1 T2

Q Rt

TE

V

Q2

Q1 Hg Q3

C M

F F

ZM ZA ZR

x

Esquema Diagrama de Impedancias

(8)

Jean-François DULHOSTE

Las ecuaciones fundamentales serán en este caso:

(1) Q1Q2 CCDTC (2) Q2Q3 CVDTV

(3) Q3 CHgDTHg (4)

1

1 R

T Q TE C

(5)

2

2 R

T Q TC V

(6)

3

3 R

T Q TV Hg

Obtenemos entonces 6 ecuaciones con 7 variables (TE,TC,TV,THg,Q1,Q2,Q3)

Para obtener una expresión de THg f TE debemos entonces reducir nuestro sistema de ecuaciones a una ecuación con dos variables:

 Con 4 y 5 en 1 obtenemos TE fTV,TC: (7)

2 2

1 1

1 1

R T T D R C

R R

T V

C C

E 



 Con 5 y 6 en 2 obtenemos THg fTV,TC: (8)

2 3

2 3

1 1

R T T D R C

R R

T C

V V

Hg 



 Con 6 en 3 obtenemos TV f THg : (9) V CHgD THg R R

T 



3 3

1

 Con 9 en 7 obtenemos TC fTHg,TE: (10)









D R C

R

R T T

D R C

R R T

C

E Hg Hg

C

2 1

1 3

2 3

1 1 1

 Con 9 y 10 en 8 obtenemos THg f TE :

















D R C

R

R T T D R C

R T D R C

R D R C

R R

T

C E Hg Hg Hg

Hg V

Hg

2 1

1 3

3

3 3 3

2

3 1 1

1 1

1 1

Hg Hg

Hg Hg

E aD T a D T a DT aT

T 1 3 2 2 3 4

Con:













1 1 1

2 2 2 1 1 4

3 3

3 2 2 2 2

2 3 1 1 2 1 3 1 3

2 3 2

3 1

3 1 2

3 1 1

R R R R a

R C C R R

C R C R C R C R

C R R C R C R R

C R R a

C C C R C

C C R R

C C R R

C C R R a

C C C R R a

C Hg C

C Hg V

V Hg Hg Hg

C V C Hg C Hg V

Hg V

Hg C V Hg

(9)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

SiSisstteemmaass HHiiddráuulliiccooss

Un sistema hidráulico está conformado por los elementos siguientes:

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Tanques QChdPdt ; QeQs ChDP

h P

Ductos

Rh

Q P;

h s e

R P Q P

Donde:

Q: Flujo o caudal

P: Presión h : Nivel

Rh: Resistencia hidráulica (perdidas que se producen en tuberías y accesorios) Ch: Capacitancia hidráulica (volumen que es capaz de absorber)

Ejemplo 6: Hallar h2 f Qe

El sistema hidráulico está conformado por dos tanques conectados entre sí. Estos tienen una entrada de agua por el primer tanque y una salida por el segundo. Las ecuaciones fundamentales del sistema, considerando presiones manométricas (Patm 0) serán:

(1) P1h1

(2) P2 h2

(3) QeQCh1DP1 (4) QQs Ch2DP2

(5)

1 2 1

R P Q P

(6)

2 2

R Qs P

Qe

h1

Ch1

Q

Qs

Ch2

h2

R1 R2

P1 P2

Rh

Q

Pe Ps

Ch

P h

Qe Qs

(10)

Jean-François DULHOSTE

Tenemos por lo tanto 6 ecuaciones con 7 variables (h1,h2,P1,P2,Qe,Q,Qs).

Debemos entonces reducir el sistema a una ecuación que relacione h2 f Qe :

 Con 5 en 3 obtenemos Qe fP1, P2: (7)

1 2 1 1 1

1

R P P D R C

Qe h 



 Con 5 en 4 obtenemos Qs fP1, P2: (8) 2

1 2 1

1 1

R P D R C

Qs P h 



 Con 6 en 8 obtenemos P1 f P2 : (9) 2

2 1 2 1 1

1

1 P

R D R

C R

P h 



 Con 9 en 7 obtenemos Qe f P2 : (10)

1 2 2 2 1 2 1 1 1

1 1 1

R P P R D R

C R D R C

Qe h h 







2 2 2 2

1 1 2 1 2 2 2 1 1

1 P DP R

R C C R

C P D C C R

Qe h h h h h 



 Con 2 en 10 obtenemos Qe f h2 : 2

2 2 2

1 1 2 1 2 2 2 1

1 h

Dh R R

C C R

C h D C C R

Qe h h h h h 



SiSisstteemmaass NNeeuumáttiiccooss

Un sistema neumático está conformado por los elementos siguientes:

Elementos Representación gráfica Ecuación fundamental

Tanques m Cn dPdt ; me ms CnDP

Ductos

Rn

m P;

n s e

R P m P

Donde:

m : Flujo másico

P: Presión

Rn: Resistencia neumática (perdidas que se producen en tuberías y accesorios) Cn: Capacitancia neumática (V RT)

Rn

m

Pe Ps

Cn P

me ms

(11)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA Ejemplo 7: Hallar m2 f P1

El sistema consta de dos tanque de aire comprimido interconectados entre sí. Existe una entrada de aire y una salida en el tanque 2.

Las ecuaciones fundamentales del sistema, suponiendo presiones manométricas, son:

(1)

1 2 1

1 R

P m P

(2)

3 2

3 R

m P

(3)  m1C1DP1

(4) m1m2m3 C2DP2

Nota: m2 debe ser conocido (entrada), o en su defecto la presión de entrada debe ser conocida.

Tenemos por lo tanto 4 ecuaciones con 5 variables (P1,P2,m1,m2,m3).

Debemos entonces reducir el sistema a una ecuación que relacione m2 f P1 :

 Con 1 en 3 obtenemos P1 f P2 : (5) 1

1 1

2 1 D P

R P C 



 Con 1 y 2 en 4 obtenemos m2 fP1, P2: (6) 2 2

3 1 1 1 2

1

1 C D P

R R R

m P 



 Con 5 en 6 obtenemos m2 f P1 : 1

1 1 2

3 1 1 1

2 1 1 1

P R D D C

R C R R

m P 







1 3 1 1 2 3 1

1 2 1

1 1 2 1

2 1 2

1

2 P

R DP R

R C R

C R P C R D

C

m C 







P1

C1

P2

C2

R1

m1

R2

R3

m2

m3

Patm

(12)

Jean-François DULHOSTE

EjEjeerrcciicciiooss

1. Sistema mecánico

Hallar:

 F f x2 y

 F f x1

Por los dos métodos

2. Sistema termo-neumático

Hallar:

4

3 f T , P

m E

Nota: la ecuación de relación entre los dos sistemas:

RT P

mRT Pv

Donde se supone:

R Constante

3. Sistema termo-eléctrico Hallar T fVE,TE

Nota: la ecuación de relación de los dos sistemas es:

R V R I VI

QR 2 2

M2

M1

C2

K2

C1

K1

F

x1 x2

Gas

Vidrio

Cobre TE

P1

P2 P3

C2

C3

R1 R2

R3

R4

m1 m2 3

m

m4

P4 = Cte Patm

Aire Aislante

Pared TE

R

T C C1

C2

C3

L2

L3

R3

VE

(13)

Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA 4. Sistema hidráulico

Hallar QS fQE1,QE2

5. Sistema neumático con pistón

Hallar m f F

Nota la ecuación que relaciona el sistema neumático con el pistón es: PF A

6. Sistema Mecánico Hidráulico Hallar y1 f QE

Nota: para la relación entre el sistema mecánico y el hidráulico Ch Área del tanque

Utilizar el método de la silla (analogía electromecánica)

P3

C3

P2

C2

R1

m1

R2

R3

m2

m

Patm

P1

F Pistón

de área

QE1

h1

Ch1

QS

Ch2

h2 R3

P1 P2

R1

h3

R2

R4

QE2

a

b Ch3

M2

M1

QE

Ch h

P R

QS

K1

K2

K3

C

y1

y2

Referencias

Documento similar

{ En el servicio ADSL, el envío y recepción de datos se establece desde el ordenador del usuario a través de un módem ADSL Estos desde el ordenador del usuario a través de un

 Sistema Operativo (SO): conjunto de programas que gestiona todos los recursos físicos de la máquina (hardware) y sirve como soporte a las capas superiores de software

Al igual que en el elemento bidimensional, los nodos de los vértices se emplean para describir la geometría, orientar los lados del elemento y permitir la integración del

deterioro de los

La combinación, de acuerdo con el SEG, de ambos estudios, validez y fiabilidad (esto es, el estudio de los criterios de realidad en la declaración), verificada la

Con el cometido de evaluar la credibilidad del testimonio en casos de violencia de gé- nero, a la vez que la huella psíquica con- trolando una potencial simulación, hemos

1. LAS GARANTÍAS CONSTITUCIONALES.—2. C) La reforma constitucional de 1994. D) Las tres etapas del amparo argentino. F) Las vías previas al amparo. H) La acción es judicial en

• Para ello, la actualización del estudio del pan analiza las configuraciones principales de la cadena de valor identificadas en el estudio de la campaña 2009, y estudia el proceso