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Bases, dimensión y Subespacios de un espacio vectorial

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Academic year: 2022

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(1)

ALGEBRA LINEAL – (Observatorio) ´ no 2012

TRABAJO PR ´ACTICO PRELIMINAR.

Se recomienda:

• Repasar operaciones entre matrices (suma, multiplcaci´on, inversi´on, determinante)

• Repasar operaciones entre polinomios (suma, multiplicaci´on, divis´ıon, raices)

• Tener en cuenta que los contenidos de esta pr´actica ya han sido dados en Algebra 1 (pr´actica 13)

Espacios Vectoriales

1. Analizar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre R:

(a) El conjunto de puntos V ={(x, y) : y = 2x + 1} ⊆ R2.

(b) V = C[a, b] el conjunto de las funciones continuas (a valores reales) definidas en el intervalo [a, b], con las operaciones: dadas f, g∈ V y α ∈ R,

(f + g)(x) := f (x) + g(x) y (αf )(x) := α[f (x)].

(c) El conjunto de las funciones f :R → C tales que, para todo t ∈ R, f (−t) = f(t).

(con las mismas operaciones que en el inciso anterior).

(d) GL3(R) el conjunto de matrices invertibles de 3×3 con entradas reales, con la suma definida de la siguiente manera: dadas A, B∈ GL3(R), la “suma” de matrices est´a definida por A + B :=

AB (y el producto por escalares definido de la forma usual).

(e) El conjunto de matrices antisim´etricas de n×n sobre R. Recordemos que una matriz A ∈ Rn×n es antisim´etrica si At=−A, donde At es la matriz traspuesta de A.

2. Sea F un cuerpo. Sea V el conjunto de los pares (x, y) de elementos de F . Se define (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

c(x, y) = (cx, y)

siendo c∈ F . ¿Es V , con estas operaciones, un espacio vectorial sobre el cuerpo F ?

Bases, dimensi´ on y Subespacios de un espacio vectorial

1. Probar que dos polinomios no son suficientes para generar P2(R).

2. Sea V un espacio vectorial sobreC. Supongamos que u, v y w son vectores linealmente independi- entes de V . Demostrar que u + v, v + w y w + u son linealmente independientes.

3. Sea M2(C) el conjunto de las matrices de 2 × 2 con entradas complejas. Encontrar una base de este espacio comoC-espacio vectorial, y otra como R-espacio vectorial.

4. Sea V elR-espacio vectorial de funciones f : R → R. ¿Cu´ales de los siguientes subconjuntos de V son subespacios vectoriales de V ?

(a) {f ∈ V : f(x2) = f (x)2}.

(2)

(b) {f ∈ V : f(0) = f(1)}.

(c) {f ∈ V : f(3) = 1 + f(2)}.

(d) {f ∈ V : f(−2) = 0}.

(e) {f ∈ V : f es continua}.

5. SeaRel conjunto de todas las sucesiones (ai)i∈Nde n´umeros reales y consideremos la suma y el producto (por escalares) coordenada a coordenada.

(a) Probar queR es un espacio vectorial sobreR.

(b) Sea l1={(ai)∈ R : P

i=0|ai| < ∞}. Probar que l1 es un subespacio deR. (c) Sea l2={(ai)∈ R : P

i=0a2i <∞}. ¿Es l2 un subespacio vectorial deR? (Ayuda: Probar que, dados a, b∈ R, (a + b)2≤ 2(a2+ b2).)

6. Sea K un cuerpo. Dados V1y V2 dos subespacios de un K-espacio vectorial V , probar que:

(a) V1∩ V2 es un subespacio de V .

(b) V1+ V2:={v1+ v2 : vi∈ Vi} es un subespacio de V .

En general, ¿V1∪ V2 es un subespacio vectorial de V ? Si la respuesta es negativa, dar un ejemplo.

7. Sea K un cuerpo y n ∈ N. Sea Mn(K) el K-espacio vectorial de las matrices de n× n sobre K.

¿C´uales de los siguientes conjuntos de matrices son subespacios de Mn(K)?

(a) GLn(K) ={A ∈ Mn(K) : A es inversible}.

(b) V ={A ∈ Mn(K) : A no es inversible}.

(c) Fijada B∈ Mn(K), V ={A ∈ Mn(K) : AB = BA}.

(d) Q = {A ∈ Mn(K) : A2= A}.

8. Sea V el espacio vectorial de las funciones de R en R. Sea Vpar el subconjunto de las funciones pares (f (−x) = f(x)) y Vimp el conjunto de las funciones impares (f (−x) = −f(x)). Probar que:

(a) Vpar y Vimp son subespacios de V . (b) Vpar+ Vimp= V .

(c) Vpar∩ Vimp={0}.

9. Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V tales que V = W1+ W2 y W1∩ W2={0}.

Probar que, para todo vector v ∈ V , existen ´unicos vectores w1 ∈ W1, w2 ∈ W2 tales que v = w1+ w2.

1. Determine el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores dado, en el espacio vectorial correspondiente:

(a) EnR3: A ={(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.

(b) EnR3: A ={(2, 0, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1), (7, 3, 5)}.

(c) En M2(R): A =

  2 1 0 0

 ,

 0 0 2 1

 ,

 3 −1

0 0



.

(d) En P2(R), el R-espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a 2: A ={1 − x, 3 − x2, x + x2}.

(Ayuda: ¿Cu´al es la dimensi´on de P2(R)?)

(3)

2. Sean v1, . . . , vk vectores distintos de un espacio vectorial V de dimensi´on n (k < n). Seahv1, . . . , vki el subespacio vectorial de V generado por{v1, . . . , vk}, es decir,

x∈ hv1, . . . , vki ⇔ existen α1, . . . , αk ∈ F tales que x = α1v1+ . . . αkvk.

Probar que, si W es un subespacio de V que contiene a v1, . . . , vk, entonceshv1, . . . , vki es subespacio de W . Es decir,hv1, . . . , vki es el menor subespacio que contiene a v1, . . . , vk.

3. Escribir el espacio de soluciones enR4 del sistema lineal homog´eneo



2x + 4y− w = 0 x− 2y + 3z = 0 8y− 6z − w = 0

en t´erminos de la baseB = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} de R4. ¿Conoce otra base en la que resulte m´as natural expresar las soluciones?

4. Probar que, si W1y W2 son subespacios de un espacio vectorial de dimensi´on finita V , entonces dim W1+ dim W2= dim(W1∩ W2) + dim(W1+ W2).

5. Sea M2(C) el C-espacio vectorial de matrices de 2 × 2. Sea W1 el conjunto de las matrices de la forma

 x −x

y z



y sea W el conjunto de las matrices de la forma

 a b

−a c

 . (a) Demostrar que W1 y W2son subespacios de V .

(b) Hallar la dimensi´on de W1, W2, W1+ W2y W1∩ W2.

6. Sea Mn(R) el R-espacio vectorial formado por las matrices de n × n con entradas reales. Sean Mnsim(R) = {A ∈ Mn(R) : At = A} y Mnant(R) = {A ∈ Mn(R) : At = −A} los subespacios de matrices sim´etricas y antisim´etricas, respectivamente. Calcular la dimensi´on de ´estos.

7. Sea S = {v1, . . . , vk} un conjunto finito de vectores en un K-espacio vectorial V de dimensi´on n (n > k). Sea A∈ GLn(K) una matriz inversible de n× n con entradas en K y T = {Av1, . . . , Avk}.

Probar que:

(a) S es linealmente independiente si y s´olo si T es linealmente independiente.

(b) Si W es el K-subespacio generado por S y W0 es el K-subespacio generado por T , entonces W0 = A(W ).

Coordenadas - Cambio de base

1. Consideremos las siguientes bases de R2:

B1={u1= (1,−2), u2= (3,−4)} y B2={v1= (1, 3), v2= (3, 8)}.

(a) Encontrar las coordenadas de un vector arbitrario w = (a, b) relativas a la baseB1.

(b) Hallar la matriz de cambio de base PB2,B1 deB1 en B2. (P es la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base B1 respecto a la baseB2).

(c) Encontrar las coordenadas de un vector arbitrario w = (a, b) relativas a la baseB2. (d) Determinar la matriz de cambio de base PB1,B2 deB2 enB1.

(e) Comprobar que PB1,B2= PB−1

2,B1.

(f) Mostrar que PB2,B1[w]B1= [w]B2 para todo vector w = (a, b).

(4)

2. En M2(R), el R-espacio vectorial de matrices de 2 × 2, escribir la matriz A =

 2 −1

4 6

 en t´erminos de la base:

B =

  1 1

−1 0

 ,

 2 0 3 1

 ,

 0 1

−1 0

 ,

 0 −2

0 4



.

3. En P2(R), el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a 2 (junto con el polinomio nulo) con coeficientes reales, la base can´onica es {1, x, x2}. Consideremos otra base ordenada, B = {4x − 1, 2x2− x, 3x2+ 3}. Si p(x) = a0+ a1x + a2x2, escribir a p(x) en t´erminos de la baseB.

4. Consideremos la baseB = {u1= (1, 2, 0), u2= (1, 3, 2), u3= (0, 1, 3)} de R3. Hallar

(a) La matriz de cambio de base PB,E desde la base can´onicaE = {e1, e2, e3} de R3 hasta la base B.

(b) La matriz de cambio de base PE,B desde la baseB hasta la base can´onica E.

5. SeaR el cuerpo de los n´umeros reales y θ ∈ (0, 2π) un n´umero real fijo. Consideremos los vectores v1= (cos θ,− sen θ) y v2= (sen θ, cos θ).

(a) Probar queB = {v1, v2} es una base de R2.

(b) Intuitivamente, ¿qu´e representa el cambio de base de la base can´onica aB?

6. Sea W el subespacio deC3 generado por v1= (1, 0, i) y v2= (1 + i, 1,−1).

(a) Demostrar que los vectores w1 = (1, 1, 0) y w2 = (1, i, 1 + i) pertenecen a W y forman una base de W .

(b) Calcular las coordenadas de v1 y v2en la base ordenada{w1, w2} de W .

7. Sea V el C-espacio vectorial de todas las funciones de R en C. Sean f1(x) = 1, f2(x) = cos(x) + i sen(x) y f3(x) = cos(x)− i sen(x).

(a) Demostrar que f1, f2 y f3 son linealmente independientes.

(b) Sean g1(x) = i, g2(x) = cos(x) y g3(x) = sen(x). Hallar una matriz inversible P de 3× 3 tal que

gj = X3 i=1

Pijfi.

8. Consideremos a Rn comoR-espacio vectorial. Sea E = {e1, . . . , en} la base can´onica de Rn y sean u1= e2− e1, u2= e3− e2 , . . . , un−1= en− en−1, un= en.

(a) Probar queB = {u1, . . . , un} es base de Rn.

(b) Si n = 3, hallar las matrices cambio de base PB,E y PE,B. (c) Mostrar que [v]B= PB,E[v]E para todo vector v∈ R3.

9. Consideremos a Rn comoR-espacio vectorial. Sea E = {e1, . . . , en} la base can´onica de Rn y sean u1= e112e2, u2= e213e3 , . . . , un−1= en−1n1en, un= en.

(a) Probar queB = {u1, . . . , un} es base de Rn.

(b) Si n = 4, hallar las matrices cambio de base PB,E y PE,B (sin invertir matrices).

(c) Mostrar que PE,B= PB,E−1.

10. Sea Pm[x] el R-espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales (en la indeterminada x) de grado menor o igual a m. SeaE = {e0= 1, e1= x, e2= x2. . . , em= xm} la base can´onica de Pm[x]

y sean

u0= x− 1, u1= x(x− 1), . . . , um−1= xm−1(x− 1), um= xm.

(5)

(a) Probar queB = {u0, . . . , um} es base de Pm[x].

(b) Si n = 3, hallar las matrices cambio de base PB,E y PE,B (sin invertir matrices).

(c) Mostrar que PE,B= PB,E−1 y que [p(x)]B= PB,E[p(x)]E para todo p(x)∈ Pm[x].

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