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MANUAL DE LA ASIGNATURA FUNCIONES MATEMÁTICAS
DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN.
MANUAL DE ASIGNATURA
DIRECTORIO 5
INTRODUCCIÓN 6
1° UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA. 6
BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 6
TEMA 1. PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN. 8
Conceptos 8
Figuras, cuerpos y sus elementos 9
Formulario área y volumen cuerpos geométricos 14
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN: 16
TEMA 2. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS. 17
Concepto 17
Tipos de ángulos 18
Proceso de conversión de unidades de medidas de ángulos. 18
Ángulos entre paralelas 20
Triángulo 22
Clasificación de los triángulos 23
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA 25
Teorema de Pitágoras 25
Funciones Trigonométricas 26
Identidades Trigonométricas 29
Ley de senos y ley de cosenos 30
2° UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA 36
TEMA 1. LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO. 36
Identificar los elementos y caracteristicas del plano cartesiano. 36
Definir conceptos de: 37
Puntos en el plano 37
Definición de una recta. 38
Cómo encontrar el punto medio de un segmento de línea. 39
División de un segmento en una razón dada. 40
Distancia de un punto a una recta. 40
Pendiente de una Recta. 41
Ángulo entre dos rectas. 42
Formas de la ecuación de la recta. 43
Ecuación de la recta 45
TEMA 2. LAS CÓNICAS. 52
Conceptos 52
Tipos de cónicas 52
Circunferencia 52
Elipse 54
Parábola 56
Hipérbola 65
Ecuación general de las cónicas 66
3° UNIDAD FUNCIONES 67
TEMA 1. CONCEPTOS DE FUNCIONES. 67
Concepto de función. 67
Dominio 67
Rango 68
Funciones Iguales 68
La definición general 70
Funciones con múltiples variables 71
Notación intervalo 71
Notación y Nomenclatura 72
Imagen e imagen inversa 73
Igualdad de funciones 73
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 73
Clasificación 73
Funciones implícitas 73
Función Explicita. 74
Representación de funciones. 74
Características de la gráfica 75
TEMA 2. OPERACIONES CON FUNCIONES. 83
OPERACIONES CON FUNCIONES 83
Suma de funciones 83
Resta de funciones 83
Producto de funciones 83
Cociente de funciones 83
Condición Inicial en una función 85
TEMA 3. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES. 86
Modelos matemáticos usando funciones 86
4° UNIDAD ÁLGEBRA VECTORIAL 90
TEMA 1. VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES 90
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR 93
Producto de un vector por un escalar 93
TEMA 2. TRANSFORMACIÓN DE VECTORES. 95
¿Qué son las transformaciones lineales? 95
Propiedades de una transformación lineal 95
Propiedad 1 95
Demostración: 95
Propiedad 2 95
Demostración: 95
Propiedad 3 95
Ejemplo 1 96
Resolución 96
REFERENCIAS: 99
DIRECTORIO
MANUAL ELABORADO POR:
ING ANTOLÍN ROBLES GARAY, ARQ. JOSÉ JUAN TREJO ANAYA.
REVISADO POR:
M EN A FELIPE SAMUEL TOVAR PACHECO
MANUAL DE FUNCIONES MATEMÁTICAS.
DIVISIÓN SISTEMAS PRODUCTIVOS, MANTENIMIENTO INDUSTRIAL Y CONSTRUCCIÓN.. D.R. 2018
ESTA OBRA, SUS CARACTERÍSTICAS Y DERECHOS SON PROPIEDAD DE LA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE SAN JUAN DEL RÍO (UTSJR), AV.
LA PALMA NO. 125, COL. VISTA HERMOSA, SAN JUAN DEL RÍO, QRO.
QUEDA PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN PARCIAL O TOTAL POR CUALQUIER MEDIO, SIN AUTORIZACIÓN.
INTRODUCCIÓN El objetivo de aprendizaje de esta asignatura es:
El alumno desarrollará modelos matemáticos empleando las herramientas de geometría, trigonometría, geometría analítica y álgebra vectorial para contribuir a la solución de problemas de su entorno y las ciencias básicas.
La competencia que se quiere alcanzar plantear y solucionar problemas con base en los principios y teorías de física, química y matemáticas, a través del método científico para sustentar la toma de decisiones en los ámbitos científico y tecnológico.
El material que se presenta está orientado al cumplimiento de este objetivo, por lo que se presentan los temas a partir de problemas de aplicación y posteriormente se desarrollan los conceptos fundamentales de los temas en estudio.
1° UNIDAD GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA.
El alumno resolverá problemas de geometría y trigonometría para contribuir a la interpretación y solución de problemas de su entorno.
BREVE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.
Todas las civilizaciones antiguas desarrollaron conceptos matemáticos fuertemente ligados a sus necesidades prácticas; conteo de objetos, operaciones aritméticas básicas, y conceptos fundamentales de geometría para la construcción y medición de tierras.
Sin embargo, hubo un pueblo que desarrolló una forma de entender y hacer matemáticas que era diferente a todos los demás; se basó en el razonamiento lógico y transformó radicalmente y para siempre, el significado de esta ciencia.
Debido a esta forma de entender la matemática, la geometría es considerada la primera disciplina científica propiamente hablando; se desarrolló a partir de necesidades prácticas, pero se formalizó y se organizó con base en el llamado método axiomático deductivo desde el siglo iii A.C. A través del libro “los elementos” de Euclides.
La geometría (medida de la tierra) es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las figuras, en el plano y en el espacio, incluyendo puntos, rectas, planos y curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc…
La geometría es una de las ciencias más antiguas, data del 2000 al 500 A.C y los primeros indicios se dan en la Mesopotamia, el tema central de esta rama es el problema de la medida de los predios, Los indicios que se encontraron fueron: Calculo de áreas como son el cuadrado y el circulo y usaban un valor aproximado para π=3, y desde entonces ya calculaban el volumen de las figuras.
Según Heródoto los egipcios fueron los padres de la geometría, considerando las grandes construcciones que llevaron a cabo, en su época se decía que era la geometría más avanzada, sin embargo no hay nada que lo pueda afirmar, se concentraron en el cálculo del área y volúmenes que utilizaron el valor 3.1605 para calcular el área de círculos.
Del año 800 al 400 A.C. Los griegos ya resolvían problemas prácticos relacionando con cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas, realizaban operaciones con números enteros, utilizaban extracción de la raíz, calculo con fracciones, resolución de problemas de primero y segundo grado y problemas prácticos de cálculo, todo esto relacionado con construcción y agricultura.
En el siglo VI A.C. Tales de Mileto considerado uno de los siete sabios de la antigüedad.
Fundo la geometría como ciencia y fue el primero en calcular la altura de las pirámides de Egipto.
También en el siglo VI A.C. el señor Pitágoras (discípulo de Tales de Mileto) fundo la escuela Pitagórica donde se estudiaba filosofía, matemáticas y ciencias naturales.
Estudiaron los números enteros y su clasificación e hicieron la demostración del teorema de Pitágoras y los números irracionales (√2 √3).
En el siglo V Heródoto utilizo por primera vez la palabra geometría y fue el que determino que el significado es “Medida de la Tierra”.
La geometría se utilizó para encontrar la distribución adecuada de la tierra por los desbordamientos anuales del rio Nilo.
En los siglos IV a III A.C. Euclides (matemático griego) logro que la geometría griega sobreviviera a través de su obra escrita por él, conocida como: “Los Elementos de Euclides”, esta obra está compuesta por 13 libros y es conocida como la obra más famosa de historia de las matemáticas, y por este motivo es conocido como padre de la geometría.
En el siglo III A.C. Arquímedes, invento la forma de medir superficies curvas y calculo una aproximación para calcular π.
También en este siglo Apolonio de Perga, escribió un tratado de 8 tomos en el que se estableció por primera vez los nombres de elipse, parábola e hipérbola, su tratado estableció las bases para el estudio de la geometría de curvas, tratado que perduro hasta los tiempos del científico francés René Descartes que vivo en el siglo XVII después de Cristo.
La geometría avanzo muy poco desde finales de la era griega hasta finales de la edad media.
En este siglo XIII D.C. un matemático árabe llamado Nasir al-Din al-Tusi escribió libros sobre geometría e hizo estudios críticos relativos al axioma Euclidiano del paralelismo, y es lo que conocemos actualmente como geometría no euclidiana, su libro geometría práctica se considera como el punto de arranque de la geometría Renacentista.
En el siglo XVII el matemático francés René Descartes introdujo el álgebra en el estudio de las secciones cónicas, creando con esta innovación la geometría analítica y también el sistema cartesiano, ambos estudios vigentes en la actualidad.
El matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII introdujo la simbología para representar los objetos geométricos, estableció las coordenadas rectangulares, las oblicuas y las polares e hizo las transformaciones de los diferentes sistemas de coordenadas.
Leonhard Euler matemático y físico suizo en el siglo XVII hizo estudios sobre las tangentes y resolución general sobre ecuaciones trigonométricas, creando con sus teorías la actualidad de la trigonometría.
TEMA 1. PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN.
Conceptos
El perímetro de un polígono (o cualquier otra curva cerrada, tal como un círculo) es la distancia alrededor del exterior.
Es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. La palabra perímetro viene del griego “Peri” alrededor y “Metro” medida.
El área de una curva simple, cerrada, plana es la cantidad del espacio interior.
Área: Viene del latín, área es un pedazo de tierra que se encuentra comprendido entre ciertos límites, es decir es un espacio delimitado determinadas características geométricas.
El volumen de un sólido de forma 3D es la cantidad del espacio desplazado por él.
Algunas fórmulas para figuras planas comunes de 2 dimensiones y solidos de 3 dimensiones se dan a continuación. Las respuestas tienen una, dos, o tres dimensiones; el perímetro es medido en unidades lineales, el área es medido en unidades cuadradas, y el volumen es medido en unidades cúbicas.
Figuras, cuerpos y sus elementos
¿Qué son los cuerpos geométricos?
Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.
Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos.
Poliedros. La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos. Por lo tanto tienen todas sus caras planas. Los elementos son caras, aristas y vértices.
Caras. Superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.
Aristas. La línea que une dos caras se denomina arista. En un cubo hay 12 aristas.
Vértices. Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas.
Clases de poliedros
- Los poliedros regulares: son aquellos cuyas caras son todos polígonos regulares iguales y coincide el mismo número de ellas en cada vértice.
- Los poliedros irregulares: Son irregulares cuando los polígonos (figuras geométricas planas) que lo forman, no son todos iguales.
Poliedros regulares.
Tetraedro. Compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. Tiene cuatro vértices y seis aristas.
Cubo. Está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de hexaedro regular, (hexaedro = cuerpo con 6 caras). Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Octaedro. Compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por su base. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Dodecaedro
Compuesto por doce caras con forma de pentágono. Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro. Compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal. Tiene 12 vértices y 30 aristas.
Clasificación de poliedros irregulares:
Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en: - Prisma - Pirámide
Son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonas. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y el resto de las caras son triángulos.
Prisma. Está constituido por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Según el número de lados de la base se le da el nombre al prisma.
Por ejemplo: Prismas triangular (sus bases son un triángulo), Prismas cuadrangulares (sus bases son cuadrados), Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos), Prisma hexagonal (sus bases son hexágonos), etc.
La altura de un prisma es la distancia entre las bases.
Es recto cuando su eje es perpendicular a las bases y oblicuo cuando el ángulo entre el eje y la base es diferente a base 90°. Si el prisma es cortado de tal manera que la sección producida no sea paralela a una de sus bases, recibe el nombre de prisma truncado.
Pirámide. Es una figura tridimensional constituida por una base poligonal y por caras laterales cuyas aristas concurren a un punto del espacio llamado cúspide o vértice común, por lo tanto las caras laterales siempre serán triangulares. El eje o altura de la pirámide es la línea que va del vértice al centro de la base.
La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
La pirámide se llama rectangular cuando el eje es perpendicular al centro de la base, en un caso diferente se llama oblicua. La porción de pirámide comprendida entre la base y la sección producida por un plano que corta sus caras laterales se llama tronco de la pirámide o pirámide truncada.
Cuadro comparativo: Caras, aristas y vértices de los poliedros
En el siguiente cuadro podrás ver una comparación de los elementos de cada poliedro:
Cuerpos redondos
Son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos redondos.
Cilindro. Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta, denominada generatriz, gira alrededor de otra recta paralela, denominada eje. También lo podemos definir como el cuerpo que se genera cuando un rectángulo gira alrededor de un de sus lados. El cilindro tiene dos bases circulares y una superficie curva.
Elementos del cilindro. Por medio del dibujo de arriba, es posible determinar los elementos de un cilindro, que son: eje, bases, altura y generatriz.
Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.
Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.
Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.
Radio: el radio de los círculos que forman las bases también es el radio del cilindro.
Centro: es el centro de cada una de las bases circulares.
Tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales. Puedes observar que en el desarrollo en el plano se forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz.
Cono. El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
El cono tiene una base circular y una superficie curva.
Elementos del cono. En el dibujo de arriba podemos distinguir los elementos de un cono recto:
Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La base se simboliza: O (A, AB).
Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular a la base.
Centro: Es el centro de la base.
Tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado cúspide.
Tipos. Si la altura coincide con su eje, el cono es recto. Si el eje y la altura no coinciden, el cono es oblicuo.
Esfera. La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Elementos de la esfera. Al girar el semicírculo alrededor del diámetro AB, se genera una superficie esférica donde se determinan los siguientes elementos:
Generatriz: es la semicircunferencia que genera la superficie esférica.
Centro de la esfera: es el centro de la
semicircunferencia y corresponde al punto O.
Radio de la esfera: es el radio de la semicircunferencia: OA.
Diámetro de la esfera: es el segmento que une 2 puntos opuestos de la superficie esférica, pasando por el centro: AB.
Formulario área y volumen cuerpos geométricos
En la siguiente ilustración podrás ver las distintas fórmulas para obtener el área y volumen de los cuerpos geométricos.
Fórmulas
Perímetros
Forma Fórmula Variables
Cuadrado P = 4 s s es la longitud del lado del cuadrado.
Rectángulo P = 2 L + 2 W L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).
Triángulo a + b + c a , b , y c son las longitudes de los lados.
Triángulo rectángulo, con catetos a y b
a y b son las longitudes de los catetos del triángulo
Círculo P = C = 2 πr = πd r es el radio y d es el diámetro.
Áreas
Forma Fórmula Variables
Cuadrado A = s 2 s es la longitud del lado del cuadrado.
Rectángulo
A = LW
L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).
Triángulo b y h son la base y la altura.
Triángulo a , b , y c son las longitudes de los lados ys es el
semiperímetro
Paralelogramo
A = bh b es la longitud de la base y h es la altura.
Trapezoide b 1 y b 2 son las longitudes de los lados paralelos y hla
distancia (altura) entre las paralelas.
Círculo A = πr 2 r es el radio.
Volumen
Forma Fórmula Variables
Cubo V = s 3 s es la longitud del lado.
Prisma rectangular recto V = LWH L es la longitud, W es el ancho y H es la altura.
Prisma o cilindro V = Ah A es el área de la base, hes la altura .
Pirámide o cono A es el área de la base, hes la altura.
Esfera r es el radio.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:
TEMA 1 PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN
SER SABER SABER HACER
ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO
TRABAJO COLABORATIVO
DEFINIR EL CONCEPTO DE PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN.
IDENTIFICAR FIGURAS, CUERPOS GEOMÉTRICOS Y SUS ELEMENTOS.
EXPLICAR FÓRMULAS DE PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN.
REPRESENTAR GRÁFICAMENTE PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN.
DETERMINAR PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN DE FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS.
RESOLVER PROBLEMAS RELACIONADOS CON FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS DEL ENTORNO EN QUE SE DESENVUELVE.
AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA
ACTIVIDAD 1
REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUADRADO DE 3 M
REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO DE 3 M DE ALTURA Y UNA DIAGONAL DE 5√2
REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN ROMBO DE DIAGONALES 36 Y 24 CM.
REPRESENTA EL ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CIRCUNFERENCIA DE RADIO 10.
ENCONTRAR EL DIÁMETRO Y PERÍMETRO DE UN CIRCULO DE ÁREA 28.27M2
DETERMINAR EL DIÁMETRO Y ÁREA DE UN CIRCULO CUYO PERÍMETRO MIDE 188.4 CM.
CALCULAR EL ÁREA DE UN HEXÁGONO QUE TIENE COMO BASE 5.
EXPRESAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DE SU LADO.
ACTIVIDAD 2
REPRESENTAR GRÁFICAMENTE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Y DETERMINE SU VOLUMEN.
TEMA 2. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS.
Concepto
¿Qué es Ángulo?
El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice. En otros casos se hace referencia a la abertura que conforman dos lados que parten de ese punto común, o se centran en el giro que da el plano respecto de su origen.
Estos conceptos corresponden a la geometría, que es una de las ramas de las matemáticas, pero que encuentran innumerables aplicaciones en muchísimos otros campos, como la ingeniería, la óptica o la astronomía. En todos los casos se hace referencia a un punto en común, con dos líneas que parten desde ese punto y que generan una cierta apertura, representada por un arco. El grado de apertura de esos arcos (y no su extensión) está representado por el ángulo, sin importar cuán lejos o cerca se haga del vértice.
El concepto de ángulo, entonces, hace referencia a una magnitud que puede ser analizada y comparada con otras, por lo que existen operaciones entre ellos. Para eso, la medición de los ángulos se hace en grados, minutos, y segundos. Los primeros (representados con el signo °) equivalen a 60 de los segundos (representados con ’), que a su vez equivalen a 60 de los terceros (representados con ’’).
La cantidad de grados podrá ascender hasta 360, que es considerado el giro completo. Por poner un ejemplo cotidiano que ejemplifique esto, podemos ver el reloj de agujas:
constantemente las agujas están formando ángulos. A las 12 en punto, cuando las dos agujas apuntan exactamente para el mismo lado, el ángulo es de 0°. A las 3 pasa a ser de 90°, a las 6 de 180°, a las 9 de 270°, y en el giro de las 12 de nuevo serán los 360°, y volverá a empezar.
En lo que respecta a las operaciones con ángulos, podemos sumarlos entre sí, restarlos entre sí o multiplicarlos y dividirlos por números enteros. Si se sabe que el ángulo está comprendido entre dos semirrectas, se puede decir que siempre podrá trazarse una recta que divida en dos partes iguales al ángulo. Esa recta es denominada la bisectriz, y cualquier punto de esa recta equidista de ambos lados del ángulo.
El radián mide el ángulo presentado como central a una circunferencia y su medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del radio cabe en dicho arco. Su símbolo es rad.
Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.
Tipos de ángulos
Son muchísimas las clases de ángulos que se pueden dar en el plano, se indican a continuación algunos ejemplos:
Nulo: El ángulo nulo es el que mide 0°, el agudo es el que mide entre 0° y 90°, el recto el que mide 90°, el obtuso el que mide entre 90° y 180°, el cóncavo es el que mide más de 180° y el completo es el de 360°.
Suplementario: El ángulo suplementario es el ángulo que le falta a uno existente para sumar 180°, mientras que el complementario es el que le falta para sumar 90°.
Adyacentes: Dos ángulos serán adyacentes si están consecutivos con respecto a una recta, y serán opuestos por el vértice si los lados son prolongaciones de los lados de otro ángulo.
Proceso de conversión de unidades de medidas de ángulos.
En relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son:
Grados sexagesimales (D) (DEG) Radianes (R) (RAD)
Gradianes (G) (GRAD)
Algunos conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales.
1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto)
1′ = 60 segundos = 60” (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo)
Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que:
Un ángulo de 180° equivale a π radianes Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes
Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…
Casos particulares
Convertir una medida de ángulo expresada como decimal, a grados minutos y segundos.
Convertir 18, 4567º a grados, minutos y segundos.
En la calculadora científica, la tecla (º ‘ ”)
1. Se toma la parte entera y esos son grados netos, sin duda. Así que vamos contabilizando 18º.
2. Luego tomamos la parte decimal la multiplicamos por 60, para obtener los minutos, así: 0.4567 * 60 = 27.402. De este resultado nuevamente separamos la parte entera, es decir 27, que serán los minutos.
3. Por último tomamos los decimales que no usamos en el paso anterior es decir los 0,402 y los multiplicamos nuevamente por 60, para obtener los segundos. De este modo, obtenemos: 0.402 x 60 = 24.12. De este resultado, nuevamente se toma la parte entera despreciando la decimal.
4. Resultado final: 18, 4567º = 18 º 27 ‘ 24”
Conversión grados – radianes y viceversa
Convertir de radianes a grados, vamos a utilizar la siguiente fórmula:
Ejemplo: si te piden convertir 4,36 radianes a grados, la operación será: 180 (4,36) y luego dividido por 3,1416.
El resultado será 249,8090145, que convertido serán 249º 48’32”.
Convertir de grados a radianes, vamos a utilizar la siguiente fórmula:
Ejemplo: si te piden convertir 44º 47 ‘ a radianes, razonarás así:
60′ = 1º 47′ = x
Resolviendo esa regla de tres simple, obtienes x = 0,783333 que son los minutos expresados en grados, para sumarlos a los 44 que ya tienes y poder usar la fórmula anterior.
Entonces: harás 3,1416 * ( 44, 783333) dividido 180 y obtendrás 0,78 radianes.
Ángulos entre paralelas
Los ángulos entre paralelas, en geometría euclidiana, son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Estableciendo una relación a distancia entre estos ángulos, esta relación facilita estudiar diversos problemas mediante igualdad de ángulos y ángulos suplementarios.
Ángulos alternos
Son los que se sitúan a distinto lado de la transversal.
Alternos internos
Son los que se encuentran a distinto lado de la transversal y en la zona interior de las rectas paralelas.
Las parejas de ángulos: c,f; d,e se llaman ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos son congruentes.
Alternos externos
Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.
Las parejas de ángulos: a,h; b,g se llaman ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
Ángulos colaterales
Ángulos colaterales son los que se encuentran del mismo lado de la secante Ángulos colaterales internos
Los ángulos colaterales internos o conjugados internos son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas.
Son ángulos colaterales internos los siguientes ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos colaterales internos son suplementarios. (Suman 180°) Ángulos colaterales externos
Los ángulos colaterales externos o conjugados externos son los que se encuentran al mismo lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas.
Son ángulos colaterales externos los siguientes ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales externos son suplementarios. (Suman 180°) Ángulos congruentes entre paralelas
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes.
Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal Si intersectamos dos rectas paralelas por una transversal, obtendremos 8 ángulos, 4 en cada punto de intersección.
Ángulos correspondientes
Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal son los ángulos que se ubican en las esquinas correspondientes y valen lo mismo.
Ángulos alternos externos
Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo.
Ángulos alternos internos
Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Son iguales entre sí; es decir miden lo mismo.
Triángulo
Se llama triángulo, en geometría plana, al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo. Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, tres lados y tres vértices entre otros elementos.
Elementos
Vértices. Cada uno de los puntos que determinan un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: A,B,C, Si AB+BC=AC no existe triángulo que determine A,B y C.
Un triángulo se nombra, entonces, como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.
Lados. Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo.
No interesa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado. Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.
La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por la ecuación P=2s=AB+BC+CA
Ángulos. Cada par de lados con origen común el vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior- La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es . También es posible utilizar una letra minúscula - habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:
EL ángulo cuyo vértice coincide con uno de los vértices del triángulo y sus lados: son la prolongación de un lado triangular y el otro lado angular contiene a un lado triangular, se llama ángulo externo. En cada vértice triangular hay dos ángulos externos.
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
Por la medida de sus lados, todo triángulo se clasifica en:
Triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o π /3 radianes).
Triángulo isósceles, tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).
Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.
Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos.
Además se cumplen las igualdades
A + 2B = A +2C = 180º; A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C
Triángulo escaleno, Todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
Por la amplitud de sus ángulos
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo.
Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:
TEMA 2 ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
SER SABER SABER HACER
ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO
TRABAJO COLABORATIVO
DEFINIR EL CONCEPTO DE ÁNGULO Y SUS UNIDADES DE MEDIDA: GRADOS
SEXAGESIMALES Y RADIANES.
IDENTIFICAR LOS TIPOS DE ÁNGULOS
IDENTIFICAR LAS PROPIEDADES DE ÁNGULOS
TRAZAR ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS.
REALIZAR CONVERSIONES ENTRE UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS.
OBTENER ÁNGULOS Y
TRIÁNGULOS EMPLEANDO SUS PROPIEDADES
AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA
ACTIVIDAD 3
TRAZAR TRIÁNGULOS CON SUS ÁNGULOS CON BASE A SUS PROPIEDADES, REALIZANDO CONVERSIONES ENTRE UNIDADES DE MEDIDA DE ÁNGULOS.
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es el triángulo que tiene un ángulo recto (90° ). A los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al lado restante hipotenusa. Pues bien, el teorema de Pitágoras relaciona la hipotenusa con sus dos catetos. Vamos ahora a descubrir esta relación.
Imaginemos un triángulo rectángulo, por ejemplo de catetos 3 y 4 cm y con una hipotenusa de 5 cm, y dibujamos un cuadrado sobre cada uno de sus lados. Nos queda una figura así:
Pues bien, lo sorprendente es que el cuadrado de la hipotenusa tiene la misma área que los otros dos cuadrados juntos.
En nuestra imagen de muestra podemos comprobarlo sumando la cantidad de cuadraditos que conforman cada cuadrado, pues, el cuadrado de la hipotenusa está formado por 25 cuadraditos, que es igual a los 16+9=25 cuadraditos de los otros dos cuadrados.
Estos valores no son más que el área de cada cuadrado, que se calcula
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esta relación se conoce con el nombre de teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras cuenta con una infinidad de demostraciones diferentes, de hecho el matemático estadounidense Elisha Scott Loomis publicó el libro "The Pythagorean Proposition" en 1927 con 370 demostraciones diferentes. Loomis clasifica las demostraciones en cuatro apartados: las algebraicas, donde se relacionan los lados del triángulo; geométricas, en las que se comparan áreas; dinámicas, a través de las propiedades de fuerza y masa; y las cuaterniónicas, que usan los vectores. En esta unidad solamente haremos una demostración geométrica.
Funciones Trigonométricas
En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.
Son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Conceptos generales
Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de
este triángulo rectángulo que se usará en el sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo α
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo α
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
Razones trigonométricas de ángulos notables
Identidades Trigonométricas
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
Ley de senos y ley de cosenos
La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.
En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces .
Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.
Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).
Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es
C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluido (ALA).
Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.
El tercer ángulo del triángulo es:
C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°
Por la ley de los senos,
Por las propiedades de las proporciones
y
El caso ambiguo
Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.
(1) No existe tal triángulo.
(2) Dos triángulos diferentes existen.
(3) Exactamente un triángulo existe.
Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A . (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin A .)
(1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.
(2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.
(3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.
Ejemplo 1: No existe solución
Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6
Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución.
Verifique esto usando la ley de los senos.
Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.
Ejemplo 2: Dos soluciones existentes
Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5
h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.
Por la ley de lo senos,
Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y 144.31°.
Si B ≈ 35.69° Si B ≈ 144.31°
C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31° C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°
Ejemplo 3: Una solución existente
Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado.
a > b
Por la ley de lo senos,
B es agudo.
C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°
Por la ley de lo senos,
Si se nos dan dos lados y un ángulo incluido de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos establecer ninguna
proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.
La ley de los cosenos establece:
c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .
Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.
La ley de los cosenos también puede establecerse como b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .
Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluido-LAL Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.
Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.
Ejemplo 2: Tres lados-LLL
Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos. Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.
Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.
B ≈ 116.80°
Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.
Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN:
TEMA 3 TRIGONOMETRÍA
SER SABER SABER HACER
ANALÍTICO CREATIVO SISTEMÁTICO AUTÓNOMO RESPONSABLE CRÍTICO
TRABAJO COLABORATIVO
EXPLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS.
EXPLICAR LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
EXPLICAR LA LEY DE SENOS Y LA LEY DE COSENOS.
EXPLICAR LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
- RECÍPROCAS - COCIENTE - PITAGÓRICAS
RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS UTILIZANDO LEY
DE SENOS Y LEY DE COSENOS.
RESOLVER PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS RELACIONADOS CON
EL ENTORNO EN QUE SE DESENVUELVE.
DEMOSTRAR IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
AU DE SA NA AU DE SA NA AU DE SA NA
ACTIVIDAD 4
RESOLVER TRIÁNGULOS CON BASE A SUS PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS.
2° UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA
El alumno resolverá problemas de rectas y cónicas en el plano cartesiano para contribuir a la interpretación y solución de problemas de su entorno.
TEMA 1. LA RECTA EN EL SISTEMA CARTESIANO.
Identificar los elementos y caracteristicas del plano cartesiano.
Elementos que componen el plano cartesiano
El plano cartesiano está determinado por dos rectas perpendiculares a las que se les llama eje de coordenadas. La recta horizontal se llama eje de las equis o eje de las abscisas y la recta vertical ejes de la y o eje de las ordenadas. Cada uno de estos ejes es una recta numérica, en el eje X los positivos están a la derecha del cero mientras en el eje de la Y los positivos se encuentran en la parte superior. El punto de corte de los ejes se llama origen.
El uso del plano cartesiano es muy común en las matemáticas ya que nos ayuda a representar números, puntos, ecuaciones, su comportamiento y poder ver la forma que toman. Aunque se ve bastante simple es esencial en su respectiva área, por lo que vale la pena saber cada uno de los elementos que lo forman.
Éste fue desarrollado hace cientos de años y si tiene este nombre, es porque Rene Descartes, destacado matemático francés, lo llevo hasta lo que conocemos ahora.
Elementos del plano cartesiano.
Los ejes. Los principales elementos son los ejes que se ven a simple vista y que le dan forma al plano. Tenemos el eje X, el cual es la linea horizontal, y el eje Y, el cual es la linea vertical. Estas líneas se cruzan en un punto llamado el origen, que sirve como referencia cuando se buscan un número. Una de las características que tienen los ejes o las lineas que los representan son las flechas que tienen en cada extremo. Éstas sirven para indicar que el plano cartesiano se extiende infinitamente en todas las direcciones, tanto positivas como negativas.
Coordenadas. Las coordenadas son un par de números que se utilizan para ubicar un punto en el plano. Se representan con una X y una Y dentro de unos paréntesis, indicando la cantidad de puntos que hay que desplazarse sobre cada eje: (x,y). También se conocen como pares ordenados y se pueden indicar coordenadas positivas y negativas, yendo a la derecha y arriba los positivos, mientras que los negativos irían a la izquierda y abajo.
Cuadrantes. El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes, donde se representa la continuidad de éste hasta el infinito incluyendo todas las combinaciones de coordenadas posibles.
Cuadrante I. (x,y) Cuadrante II. (-x,y) Cuadrante III. (-x,-y) Cuadrante IV. (-x,y)
Si un número está al menos en uno de los ejes, su valor será cero, dependiendo si es el horizontal o el vertical.
Simple y útil.
Desde la antigüedad ha ayudado a representar gráficamente lo que estudian las matemáticas, desde un pequeño punto hasta los conceptos algebraicos más complejos, todo tiene cabida en el plano cartesiano, cualquier tipo de número, desde los reales hasta los imaginarios.
Cualquier estudiante puede notar lo sencillo y difícil que es a la vez, porque se puede empezar con cualquier punto y después pasar a representar rectas, parábolas, hipérbolas o cualquier otra función. En la actualidad se utilizan diferentes sistemas que de alguna forma u otra toman algo del modelo de Descartes.
Se ha agregado profundidad con la inclusión del eje z y aunque es un pequeño cambio, modifica completamente la dimensión con la que se visualizan las matemáticas, ya que se agregan más elementos, más signos y se da un rango de movimiento más amplio para otro tipo de funciones y ecuaciones.
Definir conceptos de:
Puntos en el plano
Un punto en el plano se localiza con una pareja ordenada de valores (x, y) llamados coordenadas, donde x es la primera componente y y la segunda. La primera componente (x) se localiza en el eje de las abscisas, y la segunda (y) en el eje de las ordenadas.
Al trazar las perpendiculares de cada uno de los ejes desde esos puntos, las líneas resultantes se intersecan en un punto que es el lugar buscado.
Si se tiene el par ordenado A (6, 2) y se localiza en el plano, la primera componente (6) se localiza en el eje de las abscisas y la segunda (2) en el eje de las ordenadas; al trazar la perpendicular de los ejes coordenados desde esos puntos se encuentra su intersección, que es la coordenada A (6, 2).
En el par ordenado B (-7, 4) se puede observar que el valor de x es negativo y el de y es positivo, por lo que tal punto se localiza en el segundo cuadrante. Si el punto a localizar es C (--5, -2), el punto estará en el tercer cuadrante y si es D (8, - 3), estará en el cuarto cuadrante.
Cuando la abscisa del par ordenado es 0, por ejemplo M (0, 5), el punto se localiza sobre el eje de las y. Y si la ordenada es 0, por ejemplo N (-7, 0) el punto se localiza en el eje de las x.
En ocasiones es necesario identificar las coordenadas de un punto observando su localización con respecto al origen. Por ejemplo:
El punto A se localiza en la intersección de las perpendiculares del eje de las abscisas en el punto 6 y del eje de las ordenadas en el 3; por lo tanto, sus coordenadas son (6, 3).
El punto B se localiza en la intersección de las perpendiculares del eje de las abscisas en el punto -2 y del eje de las ordenadas en el -4, por lo tanto, sus coordenadas son (-2, -4).
En el plano cartesiano es posible representar expresiones algébricas y su uso abarca no sólo aspectos estrictamente matemáticos sino también relativos a otras ramas de la ciencia.
La recta. Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2,y2), entonces su pendiente (m) está dada por: m=y2-y1/x2-x1
Definición de una recta.
En geometría una línea recta es aquella que une dos puntos ubicados en un plano, siendo una sucesión ordenada de puntos ininterrumpidos. Es uno de los elementos geométricos básicos y fundamentales.
Distancia entre dos puntos. Sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el
eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1 ) .
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1 P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1 (7, 5) y P2 (4, 1)
Cómo encontrar el punto medio de un segmento de línea.
Encontrar el punto medio de un segmento de recta es sencillo siempre y cuando conozcas las coordenadas de ambos extremos. La manera más común de hacer esto es utilizando la fórmula del punto medio, pero existe otra forma de encontrar el punto medio de un segmento de recta si es vertical u horizontal. Si quieres saber cómo encontrar el punto medio de un segmento de recta en unos cuantos minutos, sigue estos pasos.
Entiende el punto medio. El punto medio de un segmento de recta es el punto que se encuentra localizado exactamente a la mitad de dos puntos. Se trata del promedio de ambos puntos, el cual es el promedio de las dos coordenadas x y de las dos coordenadas y.
Conoce la fórmula del punto medio. La fórmula del punto medio puede utilizarse al sumar las coordenadas x de los dos puntos extremos y dividiendo el resultado entre dos y luego haciendo lo mismo con las coordenadas y. Así es como se encuentra el promedio de las coordenadas x y y.
Ésta es la fórmula: [(x1 + x2)/2,( y1 + y2)/2]
Localiza las coordenadas de los puntos extremos. No puedas utilizar la fórmula del punto medio sin conocer las coordenadas x y y de los puntos extremos. Para este ejemplo queremos encontrar el punto medio, punto O, el cual se encuentra en medio de los dos puntos extremos M (5,4) y N (3,-4). Tenemos que (x1, y1) = (5, 4) and (x2, y2) = (3, -4). Observa que cualquiera de los dos pares de coordenadas puede servir como (x1, y1) o como (x2, y2). Ya que solo estarás sumando y dividiendo entre dos, no importa cuál par coloques primero.
Introduce las coordenadas correspondientes en la fórmula. Ahora que conoces las coordenadas de los puntos extremos, puedes colocarlos en la fórmula. Así es como se hace:
[(5 + 3)/2, (4 + -4)/2]
Resuelve. Una vez que hayas introducido las coordenadas en la fórmula, todo lo que debes hacer es una operación aritmética que te dará como resultado el punto medio entre dos puntos. Así es como se hace:
[(5 + 3)/2, (4 + -4)/2] = [(8/2), (0/2)] =
(4, 0)
El punto medio entre los puntos (5,4) y (3, -4) es (4,0).
División de un segmento en una razón dada.
El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra.
Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Consideramos como el proceso de “Dividir un segmento en una razón dada” aquel el cual consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra el (Segmento) dado entre dos puntos (A)y (B), de tal manera que el segmento (AP) dividido entre el segmento (PB) da como resultado la razón.
Ahora, para obtener las coordenadas de un punto 'P', que divida a un segmento en una razón dada, se sigue las siguientes fórmulas:
El valor de x2 se multiplica por la razón y se divide entre la suma de 1 más la razón. Así, se obtiene la abscisa del punto 'P'. La ordenada, se obtiene de manera análoga.
Distancia de un punto a una recta.
Ax+By+C=0 Ecuación General de la recta.
Y=Mx+b Ecuación Ordinaria de la recta.
𝑥 𝑎+𝑦
𝑏= 1 Ecuación Simétrica
𝑑 =𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶
√𝐴2+𝐵2 Formula General
En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta. Sean A un punto y D una recta. Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.
Calcular la distancia que existe entre el punto A(4,3) y la recta 3x+2y-6=0
𝑑 =3𝑥+2𝑦−6
√32+22 =3𝑥+2𝑦−6
√9+4 =3𝑥+2𝑦−6
3.6 =3.4+2.3−6
3.6 =12+6−6
3.6 = 12
3.6 =3.3
Pendiente de una Recta.
Es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Se denota con la letra m. Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.
Cálculo de la pendiente.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta.
Ejemplos
La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:
La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.
Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).
Ángulo entre dos rectas.
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
Sus vectores directores
Rectas paralelas al eje OY
Ejemplos
Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: vector=
(-2, 1) y vector=(2, -3).
Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.
Formas de la ecuación de la recta.
Hasta el momento, se han dado algunas características de la recta tales como la distancia entre dos puntos, su pendiente, su ángulo de inclinación, relación entre ellas, etc. Con ello ya tenemos elementos que nos servirán para la obtención de la ecuación en sus distintas formas. La
recta se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que al tomarse de dos en dos se obtiene la misma pendiente.
Forma ordinaria de la ecuación de una recta.
La ecuación de la recta se expresa en términos de la pendiente m y la ordenada al origen b.
Si la pendiente m, (la cual representa la inclinación de la recta) es positiva obtendremos una gráfica como la de la figura (A) y si m es negativa obtendremos una gráfica como la de la figura (B), cabe mencionar que (b) representa el valor de la ordenada (y), donde la recta intersecta al eje y.
Forma general de la ecuación de una recta.
En esta forma, la ecuación de la recta se representa por coeficientes enteros y debe ser igualada a cero, su forma simbólica es:
Nota: Cuando la ecuación se presente en ésta forma, el termino A deberá ser positivo.
Donde A, B y C son los coeficientes de la ecuación, x e y son las variables.
Forma punto - pendiente de la ecuación de una recta.
Una de las primeras formas de representar la ecuación de una recta es la llamada punto - pendiente, como su nombre lo indica, los datos que se tienen son un punto y una pendiente.
Sea A(x1, y1) el punto dado y m la pendiente dada de la recta, entonces si consideramos otro punto cualquiera B(x, y), que forme parte de dicha recta, por la definición de recta se tiene que:
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-5, 4) y tiene una pendiente de m =2.
Ejemplo 2.
Hallar la ecuación ordinaria de la recta que pasa por el punto A(-2, 5) y tiene una pendiente de m =3 / 2.
Ecuación de la recta en su forma simétrica.
La ecuación de una recta en su forma simétrica es aquella que está dada en términos de las distancias de los puntos de intersección de la recta al origen del sistema coordenado, como se muestra en la siguiente figura.
Cabe recordar que en una coordenada (x, y), x recibe el nombre de abscisa, y recibe el nombre de ordenada. De acuerdo a la figura la ordenada al origen es “b” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje y). La abscisa al origen es “a” (distancia entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje x).
Si A(a, 0) y B(0, b) son dos puntos de la recta, al sustituirlos en la ecuación en su forma punto- punto tenemos que:
