Control de oscilaciones electromecánicas en sistemas eléctricos de potencia usando el análisis modal

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(1)CONTROL DE OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA USANDO EL ANÁLISIS MODAL. VIVIANA MARÍA AGUDELO IDÁRRAGA DIEGO FERNANDO PARRA LADINO. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Y FÍSICA PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA PEREIRA 2008.

(2) CONTROL DE OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA USANDO EL ANÁLISIS MODAL. VIVIANA MARÍA AGUDELO IDÁRRAGA DIEGO FERNANDO PARRA LADINO. Proyecto de grado presentado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Electricista. Director: M.Sc. Luis Alfonso Alzate Gómez. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA, CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Y FÍSICA. PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA PEREIRA 2008 2.

(3) Nota de aceptación. Firma del jurado. Firma del jurado. Pereira, Noviembre de 2008 3.

(4) TABLA DE CONTENIDO. INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 9 1.. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ESTABILIDAD ............................... 12 1.1 ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA.......... 12 1.1.1 Estabilidad de ángulo de rotor de las máquinas ......................... 13 1.1.1.1 Estabilidad de pequeña señal.............................................. 16 1.1.1.2 Estabilidad transitoria .......................................................... 20 1.1.2 Estabilidad de voltaje .................................................................. 21 1.1.2.1 Estabilidad de voltaje de perturbación severa ..................... 22 1.1.2.2 Estabilidad de voltaje de pequeña perturbación .................. 23 1.1.2.3 Casos reales de colapso de tensión .................................... 23 1.1.3 Estabilidad de mediano y largo plazo ......................................... 24 1.2 INTRODUCCIÓN A LAS OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS . 25 1.2.1 Oscilaciones de potencia locales e inter-áreas ........................... 28 1.2.2 Reseña histórica ......................................................................... 31. 2.. MODELAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE UN SEP............................ 33 2.1 MÁQUINA SÍNCRONA ...................................................................... 34 2.1.1 Modelo A..................................................................................... 36 2.1.1.1 Ecuaciones diferenciales. .................................................... 36 2.1.1.2 Ecuaciones algebraicas del estator. .................................... 38 2.1.2 MODELO B ................................................................................. 38 2.1.2.1 Ecuaciones diferenciales. .................................................... 39 2.1.2.2 Ecuaciones algebraicas del estator. .................................... 40 2.2. CONTROL DEL REGULADOR DE VELOCIDAD .............................. 40. 2.3. CONTROL DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN .................................... 40. 2.4 CARGAS............................................................................................ 41 2.4.1 Modelo de carga estática ............................................................ 43 2.4.2 Modelo de carga dinámica .......................................................... 44 3.. HERRAMIENTA DE ANÁLISIS ................................................................. 45 3.1 ANÁLISIS MODAL ............................................................................. 45 3.1.1 Análisis matemático .................................................................... 46 3.1.1.1 Ecuaciones de estado ......................................................... 46 3.1.1.2 Ecuaciones de salida ........................................................... 47 4.

(5) 3.1.1.3 Linealización ........................................................................ 48 3.1.1.4 Valores propios.................................................................... 51 3.1.1.4.1 Valores propios reales ...................................................... 51 3.1.1.4.2 Valores propios complejos................................................ 52 3.1.1.5 Vectores propios.................................................................. 53 3.1.1.5.1 Vectores propios derechos ............................................... 53 3.1.1.5.2 Vectores propios izquierdos ............................................. 54 3.1.1.5.3 Factor de participación ..................................................... 55 3.1.2 Identificación de los modos electromecánicos ............................ 56 3.1.3 Clasificación de los modos electromecánicos............................. 57 4. ESTUDIO DE MODOS ELECTROMECÁNICOS EN SISTEMAS DE PRUEBA........................................................................................................... 61 4.1 DESCRIPCIÓN DEL PRIMER SISTEMA DE PRUEBA ..................... 61 4.1.1 Análisis modal para el primer sistema de prueba ....................... 62 4.1.1.1 Sistema con carga nominal.................................................. 63 4.1.1.1.1 Identificación de los modos electromecánicos.................. 63 4.1.1.1.2 Clasificación de los modos electromecánicos .................. 64 4.1.1.1.3 Efecto del PSS en el sistema ........................................... 68 4.1.1.2 Sistema con sobrecarga ...................................................... 73 4.1.1.3 Sistema con carga ligera ..................................................... 76 4.1.2 Observación en el dominio del tiempo del efecto de los PSS..... 79 4.2 DESCRIPCIÓN DEL SEGUNDO SISTEMA DE PRUEBA................. 91 4.2.1 Carga modelada como potencia constante (S cte) ..................... 92 4.2.2 Carga modelada como impedancia constante (Z cte)............... 101 4.3. SVCs EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA...................... 104. CONCLUSIONES........................................................................................... 107 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 109. 5.

(6) LISTA DE FIGURAS. Figura 1. Ilustración del proceso de formación de las oscilaciones electromecánicas ............................................................................................. 14 Figura 2. Relación potencia – ángulo en un sistema radial .............................. 15 Figura 3. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante. ........................................................................................ 19 Figura 4. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones, con voltaje de campo controlado. ....................................................................................... 19 Figura 5. Respuesta del ángulo del rotor a una perturbación transitoria. ......... 22 Figura 6. Principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años 25 Figura 7. Clasificación de la estabilidad en SEPs ............................................ 26 Figura 8. Oscilaciones estudiadas por la estabilidad de pequeña señal. ......... 28 Figura 9. Flujo de potencia trifásico por una línea de interconexión................. 29 Figura 10. Modos inter-área y local. ................................................................. 30 Figura 11. Circuitos del estator y rotor de una máquina sincrónica.................. 36 Figura 12. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo A) ............. 37 Figura 13. Modelo del AVR IEEE tipo I (Modelo A) .......................................... 37 Figura 14. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo B) ............. 39 Figura 15. Modelo del AVR IEEE tipo II (Modelo B) ......................................... 39 Figura 16. Ejemplo de un sistema de excitación .............................................. 42 Figura 17. Circuito equivalente de un motor de inducción................................ 44 Figura 18. Respuesta asociada a la naturaleza de cada valor propio .............. 52 Figura 19. Ejemplo para deferentes valores de amortiguamiento ( ) ............... 54 Figura 20. Modo electromecánico inter-área .................................................... 58 Figura 21. Modo electromecánico máquina-sistema ........................................ 59 Figura 22. Diagrama de participación para el modo inter-área ........................ 59 Figura 23. Diagrama de participación para el modo máquina-sistema............. 60 Figura 24. Sistema de prueba (WSCC) ............................................................ 61. 6.

(7) Figura 25. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 13 y 14................................................................................................. 66 Figura 26. Modo electromecánico máquina-sistema asociado a los valores propios 15 y 16................................................................................................. 67 Figura 27. Diagrama de participación de generadores modos 13 y 14 ............ 68 Figura 28. Diagrama de participación de generadores modos 15 y 16 ............ 68 Figura 29. Diagrama de bloques de un PSS .................................................... 69 Figura 30. Diagrama de bloques del PSS utilizado .......................................... 70 Figura 31. Velocidades angulares de los rotores de los generadores sin PSS 80 Figura 32. Voltajes generados por las máquinas sin PSS................................ 80 Figura 33. Potencias generadas por las máquinas sin PSS............................. 81 Figura 34. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 sin PSS 81 Figura 35. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 sin PSS............................................ 82 Figura 36. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 1 ............................................................................................. 83 Figura 37. Voltajes generados por las máquinas con PSS el generador 1 ...... 83 Figura 38. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 1 .. 84 Figura 39. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 1 ................................................................................................. 84 Figura 40. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 1 ................. 85 Figura 41. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 2 ............................................................................................. 86 Figura 42. Voltajes generados por las máquinas con PSS en el generador 2 . 86 Figura 43. Potencias generadas por las máquinas con PSS en generador 2 .. 87 Figura 44. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 2 ................................................................................................. 87 Figura 45. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 2 ................. 88 Figura 46. Velocidades angulares de los rotores de los generadores con PSS en el generador 3 ............................................................................................. 88 Figura 47. Voltajes generados por las maquinas con PSS en el generador 3 . 89 Figura 48. Potencias generadas por las maquinas con PSS en generador 3 .. 89 Figura 49. Potencias transferidas por las líneas que llegan al nodo 8 con PSS en generador 3 ................................................................................................. 90 Figura 50. Voltajes de los nodos 7, 8 y 9 con PSS en generador 3 ................. 90 Figura 51. Sistema de prueba (dos áreas) ....................................................... 91 7.

(8) Figura 52. Modo local asociado a los valores propios 17 y 18 del sistema de dos áreas.......................................................................................................... 94 Figura 53. Modo local asociado a los valores propios 19 y 20 del sistema de dos áreas (S cte) .............................................................................................. 96 Figura 54. Modo inter-área asociado a los valores propios 21 y 22 del sistema de dos áreas (S cte) ......................................................................................... 96 Figura 55. Diagrama de participación de generadores modos 17 y 18 del sistema de dos áreas (S cte)............................................................................ 97 Figura 56. Diagrama de participación de generadores modos 19 y 20 del sistema de dos áreas (S cte)............................................................................ 98 Figura 57. Diagrama de participación de generadores modos 21 y 22 del sistema de dos áreas (S cte)............................................................................ 98 Figura 58. Diagrama de un SVC .................................................................... 104 Figura 59. Modelo del SVC ............................................................................ 105. 8.

(9) INTRODUCCIÓN. El estudio de la estabilidad de los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEPs) es una de las disciplinas más interesantes y complejas de la ingeniería, ya que involucra desde el diseño de las redes, hasta sus protecciones y sistemas de control. Mantener en sincronismo estos sistemas ante los diferentes puntos de operación que se presentan durante su actividad normal, ha sido un problema a manejar desde que la transmisión de energía eléctrica empezó a funcionar con corriente alterna; y se fue complicado cada vez más, conforme crecieron las distancias, aumentó el mallado de las redes, y se necesitó cada vez más potencia. Ante estos requerimientos, nuevos generadores fueron desarrollados, y sus sistemas de excitación junto a los disyuntores de líneas fueron perfeccionándose, aumentando su velocidad de respuesta. Sin embargo, la demanda de energía siguió creciendo, y la operación de los generadores al borde de sus límites obligó a ingenieros y matemáticos a desarrollar teorías sobre estabilidad, y a proyectar y ejecutar diversos mecanismos para simular la operación de los sistemas, en pos de prevenir los resultados catastróficos de eventuales situaciones. Es normal que en la operación de un SEP se presenten continuas perturbaciones, éstas pueden ser de cualquier naturaleza y severidad, pero en su mayoría son cambios pequeños que ocurren, por ejemplo, a partir de las variaciones en la potencia generada por las máquinas, debido a los cambios en la potencia demandada por el sistema. Estas pequeñas perturbaciones reciben el nombre de oscilaciones electromecánicas (u oscilaciones de potencia), ya que involucran las masas rodantes de los generadores [9], [15], [16]. Las oscilaciones electromecánicas pueden producir problemas como limitación en las potencias transferidas por las líneas de transmisión, activación de protecciones de equipos, estrés en los ejes mecánicos de las turbinas, e incluso, ocasionar la salida de líneas y de generadores. Los problemas anteriormente mencionados, pueden ser abordados por medio del estudio de la estabilidad de pequeña señal, llamada así debido a que analiza el comportamiento del sistema ante pequeñas perturbaciones [2], [9]. 9.

(10) La naturaleza (amplitud y frecuencia) de las oscilaciones electromecánicas depende directamente de las respuestas naturales del sistema, también llamadas “modos” electromecánicos, el cálculo y análisis de dichos modos se puede realizar utilizando como principal herramienta de trabajo el “análisis modal”. Se debe tener en cuenta que el amortiguamiento de oscilaciones electromecánicas o de potencia, es sólo uno de muchos aspectos técnicos (estabilidad de voltaje, estabilidad transitoria, estabilidad de largo plazo, control de frecuencia, etc.) que sumados a otros económicos y ambientales se conjugan en la planeación de los SEPs. Este Trabajo De grado (TDG) busca estudiar las oscilaciones electromecánicas que se presentan en el sistema multimáquina IEEE Western System Coordinating Council (WSCC) y en un sistema de prueba simple e hipotético de dos áreas, utilizando como herramienta el análisis modal. Inicialmente se identifican y clasifican los modos de oscilación de dichos sistemas, utilizando los valores propios de la matriz de estado (que resulta del proceso de linealización del sistema) y los diagramas de participación de los generadores; luego se analizan las características (frecuencia y amortiguamiento) de los modos de oscilación electromecánicos de dichos sistemas, para determinar su fortaleza o solidez y finalmente se corregirán los valores propios que caracterizan la respuesta del sistema incluyendo dispositivos de control suplementario denominados estabilizadores del sistema de potencia (PSS) en los puntos del sistema más convenientes de acuerdo a los resultados arrojados por el análisis modal; también se observará el efecto que tiene la utilización de compensadores estáticos (SVS) en el sistema. Para este fin, los cuatro capítulos del TDG proporcionan esta información: A manera de introducción, en el capítulo uno se hace un repaso general de los problemas de estabilidad en los SEPs hasta culminar en el problema de las oscilaciones electromecánicas. En el capítulo dos se indican los aspectos claves en la modelación de SEPs para una correcta simulación de las oscilaciones electromecánicas. Las principales técnicas y herramientas para estudiar las oscilaciones electromecánicas, profundizando en el análisis modal, se dan en el capítulo tres.. 10.

(11) Como complemento a los aspectos teóricos de fondo, en el último capítulo se desarrolla una parte práctica de simulaciones utilizando el PSAT (Power System Analysis Toolbox) versión 1.3.4 el cual es un paquete de software para análisis de estabilidad transitoria y pequeñas perturbaciones y permite realizar análisis estático, dinámico y de control de los sistemas eléctricos de potencia. Se finaliza el capítulo realizando el análisis modal de los sistemas mencionados para conocer la naturaleza fundamental de sus respectivos modos electromecánicos y se analiza el efecto de estabilizadores del SEP (PSSs) ó compensadores estáticos (SVSs) sobre ellos.. 11.

(12) 1. CONCEPTOS GENERALES SOBRE ESTABILIDAD. Los SEPs actualmente se desenvuelven bajo situaciones que los exigen al máximo, ya que a estos se les impone condiciones de cargabilidad que los hace trabajar en puntos cercanos a los límites de estabilidad, debido a que operan bajo un esquema de crecimiento de la demanda cada vez más exigente, es decir, con respecto al crecimiento de la demanda, la infraestructura que poseen la generación y el transporte de la energía eléctrica tiene una velocidad de crecimiento bastante menor, lo cual hace que la habilidad que posea el sistema de conservarse estable se mantenga en continua investigación como un tema de bastante interés. En este capítulo se exponen de forma general los diferentes tipos de estudios de estabilidad en SEPs, haciendo énfasis en las oscilaciones electromecánicas, así como sus causas y efectos; para reconocer que el comportamiento de dichas oscilaciones depende de los modos electromecánicos: modos locales e inter-áreas. Finalmente se describe cómo ha sido la evolución del tema de investigación.. 1.1. ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA. La estabilidad de un SEP está definida como la propiedad que este posee para mantenerse en funcionamiento en cualquier punto de trabajo y recuperar un estado de equilibrio aceptable después de estar sujeto a un cambio, es decir, aun cuando se haya dado una situación que produjera una perturbación, el sistema debería llegar a nuevos valores aceptables que finalmente deben permanecer. De forma general, los estudios de estabilidad se pueden clasificar de la siguiente manera [1], [4], [10]: Estabilidad de ángulo de rotor de las máquinas. Estabilidad de voltaje. Estabilidad de medio y largo plazo.. 12.

(13) 1.1.1 Estabilidad de ángulo de rotor de las máquinas Hace referencia a la capacidad que posee el sistema para mantener el sincronismo entre todas sus máquinas. Las variables a monitorear son los ángulos (relativos a una máquina de referencia) de los rotores de las máquinas que oscilan luego de una perturbación (si el sistema es estable las máquinas interconectadas permanecen "en sincronismo"). Este ángulo es función del balance entre la potencia mecánica aplicada al rotor y La potencia eléctrica transferida a la red. El mecanismo mediante el cual las máquinas interconectadas mantienen el sincronismo entre sí, es a través de fuerzas de restauración, que actúan cuando hay fuerzas tendiendo a acelerar o desacelerar una o más máquinas con respecto a las otras. Bajo condiciones estables existe un equilibrio entre el torque mecánico y el torque de salida eléctrico de cada máquina, con lo cual la velocidad permanece constante [15]. Si el sistema es perturbado el equilibrio se trastorna, llevando a la aceleración o desaceleración de los rotores de las máquinas de acuerdo a las leyes de la dinámica de los cuerpos en rotación. Si un generador corre temporalmente más rápido que otro, la diferencia angular de su rotor respecto a la máquina más lenta aumenta y la diferencia angular resultante transfiere parte de la carga de la máquina lenta a la máquina rápida, dependiendo de la relación potenciaángulo. Esto tiende a reducir la diferencia de velocidad, y por consiguiente la diferencia angular. Es importante resaltar que la pérdida del sincronismo puede ocurrir entre una máquina y el resto del sistema o entre grupos de máquinas. La Figura 1 ilustra el proceso de formación de estas oscilaciones utilizando una balanza mecánica. Si se considera el sistema radial de la Figura 2, se puede demostrar fácilmente que la potencia activa inyectada por la máquina a la carga en régimen permanente es: E E sen! P! G M (1.1) XT Siendo: EG, EM: fems atrás de las reactancias del generador y motor respectivamente. !: diferencia de los ángulos de fase de las fems EG y EM. XT: reactancia total (línea+máquinas).. 13.

(14) Figura 1. Ilustración del proceso de formación de las oscilaciones electromecánicas. 14.

(15) Figura 2. Relación potencia – ángulo en un sistema radial. Se puede ver que ! representa también la posición relativa de las máquinas (diferencia entre los ángulos de los rotores de las máquinas). La relación potencia-ángulo indicada tiene las siguientes propiedades importantes: Es fuertemente no lineal. No hay transferencia para !=0. La transferencia es máxima si !=90°.. 15.

(16) Es directamente proporcional a las fems e inversamente proporcional a la reactancia de la línea. Si ocurre una perturbación cualquiera en el sistema que provoque un aumento en la velocidad del generador (por ejemplo un cortocircuito transitorio en la línea), la ecuación potencia-ángulo permite tener una idea aproximada (dado que es una relación de régimen) del comportamiento del sistema [4], [5]: Para el caso estable, primero aparecería un aumento de velocidad en el generador, lo cual representaría un aumento del ángulo del par y a su vez un aumento de la potencia eléctrica transferida que finalmente provocaría una disminución en la velocidad del generador. En este caso el ángulo se mantiene siempre en la rama creciente de la gráfica potencia-ángulo. Para el caso inestable, primero aparecería un aumento de velocidad en el generador, lo cual representaría un aumento del ángulo del par, pero se presentaría una disminución de la potencia eléctrica transferida que finalmente provocaría un aumento en la velocidad del generador. En este caso, en cambio, el aumento de la velocidad del generador lleva al ángulo a la rama decreciente de la gráfica potencia-ángulo. Vale la pena destacar que la condición de estable o inestable en este análisis simplificado no depende sólo de la perturbación sino también del punto de régimen del que se parte (si el ángulo inicial está cerca del máximo es más probable que la perturbación lo lleve a la rama decreciente de la gráfica) Por comodidad en el análisis y para entender más fácil la naturaleza de los problemas de estabilidad, es usual definir la estabilidad del ángulo del rotor en dos categorías [9]: Estabilidad de pequeña señal. Estabilidad transitoria.. 1.1.1.1 Estabilidad de pequeña señal Es la habilidad de los SEPs para mantener el sincronismo durante pequeños cambios de las condiciones de operación. Este tipo de estabilidad depende del estado de operación inicial ya que el sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales que permiten simular el comportamiento del SEP se linealizan alrededor de un punto de operación en particular.. 16.

(17) Para describir cualitativamente este tipo de fenómeno, consideremos una máquina única inyectando potencia hacia una red. El conjunto de ecuaciones que representan al SEP debe incluir no sólo las ecuaciones eléctricas (como la relación potencia-ángulo descrita más arriba) sino también las que describen el comportamiento mecánico de la máquina. La ecuación de Newton aplicada al rotor giratorio es de la forma:. K. d2! # TD W ! Pm " Pe dt 2. (1.2). Siendo: K: Una constante proporcional a la inercia de la máquina. !: Angulo del rotor respecto a un eje sincrónico de referencia. d! : Velocidad de la máquina. w= dt Pm: Potencia mecánica generada por la turbina. Pe: Potencia eléctrica inyectada por la máquina a la red, función de ! (Pe=P para el caso particular del sistema radial visto). TD: coeficiente de torque amortiguante (incluye el coeficiente de fricción de la turbina y el efecto de variación de las cargas con la frecuencia). Si se supone que en el intervalo de estudio no cambia la potencia mecánica y se linealiza la ecuación respecto al estado de régimen previo:. d 2 "! d"$ # TD # TS "! ! 0 K 2 dt dt (1.3) Con TS !. %Pe %!. Ts (Calculado en el estado de régimen) es igual al coeficiente de torque E E cos! O sincronizante (en el ejemplo del sistema radial: TS ! G M (siendo !0 el XT ángulo inicial). Si se resuelve la ecuación diferencial de segundo grado en la forma clásica, la solución es de la forma:. "! ! Ae #1t # Be # 2t (1.4). 17.

(18) 2. Con # j !. " TD & TD " 4KTS 2K. ; j=1,2. El torque sincronizante (TS) se encarga de mantener las máquinas unidas (eléctricamente), lo que es importante para la estabilidad del sistema posterior a una perturbación severa. En estabilidad de pequeña señal, TS determina la frecuencia de las oscilaciones de potencia, éste, se cuantifica como la pendiente de la recta tangente a la curva de relación potencia-ángulo en el punto de operación de la máquina (ver Figura 2). Si Ts es insuficiente (negativo o positivo pequeño), se produce una inestabilidad no oscilatoria (el ángulo del rotor “se escapa”) como lo muestra la Figura 3. Con la presencia de reguladores de voltaje, el problema de inestabilidad de pequeña señal se manifiesta con oscilaciones de amplitud creciente, debido a la falta de suficiente amortiguamiento del sistema, como se ilustra en la Figura 4 [9], [15]. El torque amortiguante (TD) determina la tasa de disminución de la amplitud de las oscilaciones. El amortiguamiento es determinado por muchos parámetros del sistema, normalmente es pequeño y positivo, pero puede hacerse negativo por la presencia de controles como AVR los cuales son prácticamente la única fuente de amortiguamiento negativo. El amortiguamiento negativo puede llevar a que las oscilaciones crezcan hasta que los relés del sistema respondan a las oscilaciones con la salida de elementos del sistema. Si TD es insuficiente (negativo o positivo pequeño) se produce una inestabilidad oscilatoria, las oscilaciones del rotor no se amortiguan, o se amortiguan muy lentamente. En los sistemas modernos reales el control de TD en valores adecuados está muy relacionado con el diseño y ajuste de los reguladores de tensión y eventualmente, con la incorporación de controladores adicionales [9]. De acuerdo al análisis anterior es posible concluir que la inestabilidad de pequeña señal puede ser de dos formas: Incremento sostenido en el ángulo del rotor debido a la pérdida del suficiente torque sincronizante. Oscilaciones del rotor con amplitud creciente debido a la pérdida del suficiente torque amortiguador.. 18.

(19) Figura 3. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones con voltaje de campo constante. Estable TS positivo TD positivo. '$. '(. 'TD. t. '$ 'TS. Inestabilidad no oscilatoria TS negativo TD positivo. '$. '(. 'TD. t. '$. 'TS. Figura 4. Naturaleza de la inestabilidad a pequeñas perturbaciones, con voltaje de campo controlado. Estable T S positivo T D positivo. '$. '(. 'TD. t. '$ 'TS. Inestabilidad oscilatoria TS positivo TD negativo. '$. '(. 'TS '$. 'TD t. 19.

(20) Las oscilaciones que se presentan en el sistema pueden ser de tres tipos [4], [5], [9], [16]: Oscilaciones normales o positivamente amortiguadas. Ocurren debido a eventos de rutina en los SEPs, así por ejemplo: cambios de carga, salida de generadores y maniobras que pueden causar oscilaciones en el flujo de potencia, voltaje, corriente y frecuencia, el sistema no tiene problemas para reducir la amplitud de este tipo de oscilaciones. Oscilaciones sostenidas o no amortiguadas. Este tipo de oscilaciones se auto sustentan y no desaparecen sin una acción correctiva. Las oscilaciones sostenidas no son crecientes pero tampoco tienden a reducirse. Este tipo de oscilaciones son dañinas en el sistema si tienen una amplitud suficientemente grande. Oscilaciones amortiguadas negativamente Si una oscilación aparece y crece gradualmente en magnitud, es amortiguada negativamente. Este tipo de oscilación puede aparecer como oscilación normal o sostenida y crecer en tamaño hasta alcanzar una amplitud que los SEPs no pueden resistir por mucho tiempo.. 1.1.1.2 Estabilidad transitoria Es la habilidad del SEP de mantener el sincronismo cuando está sujeto a fuertes perturbaciones. La estabilidad depende de las condiciones iniciales de operación y la severidad de las perturbaciones. Usualmente, el sistema es alterado de tal forma, que el estado estable al que llega postperturbación, es diferente al previo al disturbio. La inestabilidad transitoria se produce a causa de perturbaciones severas, para las cuáles dejan de ser válidos los métodos de aproximación lineal. El término transitorio hace referencia al hecho de que en un corto periodo de tiempo (1 a 3)seg.), se podrá saber si el sistema está en capacidad de evolucionar a otros estados de equilibrio. Los métodos de análisis clásicos son las simulaciones numéricas en el tiempo, con intervalos típicos de estudio de entre 3 y 5 seg, aunque puede ser hasta de 10 segundos para sistemas que tengan predominación de los modos inter-áreas [9]. Existen varios casos en los que se puede observar una situación de estabilidad transitoria: La inestabilidad transitoria “clásica” es la llamada primera oscilación ("first swing"); el ángulo de alguna de las máquinas se “escapa” en su. 20.

(21) primera oscilación a causa de una perturbación severa (normalmente se dice que la causa es la “falta de torque sincronizante”) (ver Figura 5, Caso 2). El ángulo de alguna de las máquinas, no obstante, puede “escaparse” luego de varias oscilaciones (ver Figura 5, Caso 3), a causa de que las pequeñas oscilaciones, luego de terminada la perturbación, son a su vez no estables. Este caso es, por lo tanto, propiamente uno de inestabilidad a las pequeñas oscilaciones, al que se suele analizar en conjunto (prolongando la simulación temporal) con el análisis de estabilidad transitoria asociado a la perturbación inicial. Las perturbaciones son de un amplio grado de severidad y probabilidad de ocurrencia en el sistema. Sin embargo este es diseñado y operado para soportar un conjunto de contingencias. Las contingencias usualmente consideradas son cortos circuitos de diferentes tipos: fase-tierra, bifásico-tierra, o trifásicos. Se asume que estos ocurren en las líneas de transmisión, pero ocasionalmente se consideran fallas en las barras o en los transformadores. Además se espera que la falla sea despejada por la apertura de los interruptores apropiados. Como criterio de diseño para los sistemas respecto a la estabilidad transitoria y dada la enorme variedad de posibles perturbaciones importantes, es habitual normalizar la lista de las grandes perturbaciones que los sistemas deben soportar por ejemplo: "El sistema debe ser transitoriamente estable frente a faltas con reenganche monofásico no exitoso, sin necesidad de despejar carga." También se normalizan habitualmente los criterios de aceptación de las oscilaciones post-perturbación por ejemplo:”Las oscilaciones electromecánicas post-perturbación deben tener un amortiguamiento relativo mayor al 5 %.”. 1.1.2 Estabilidad de voltaje Un SEP sometido a una perturbación es estable en voltaje si las tensiones en los puntos cercanos a los nodos de consumo se aproximan a valores de equilibrio después de la perturbación. El sistema entra en inestabilidad de voltaje cuando una perturbación, tal como un aumento de carga o un cambio en la condición del sistema, causa una caída de voltaje que es progresiva e irreparable. El principal factor que causa inestabilidad, es la incapacidad del SEP para suministrar la potencia reactiva demandada.. 21.

(22) Figura 5. Respuesta del ángulo del rotor a una perturbación transitoria.. Para un punto de funcionamiento o para todos los nodos del sistema, este es estable en voltaje si en cada nodo aumenta la tensión cuando hay una inyección de potencia reactiva en el mismo nodo. Por el contrario el sistema es inestable si hay un nodo en donde el voltaje disminuye a medida que se produce una inyección de potencia reactiva. En conclusión la región de atracción a la estabilidad es donde la sensibilidad voltaje-potencia reactiva (VQ) es positiva, y la región de atracción a la inestabilidad es donde la sensibilidad V-Q es negativa. Luego de una inestabilidad de voltaje, una red puede sufrir un colapso si las tensiones de equilibrio después de la perturbación son inferiores a valores límites aceptables. La inestabilidad y el colapso de tensión son casi siempre provocados por situaciones como esquemas de voltajes iniciales bajos, aumentos importantes de la carga, funcionamientos próximos del límite de la capacidad de transporte de la energía, a una generación alejada eléctricamente de los puntos de consumo y a una insuficiencia de medios de compensación de potencia reactiva. Para propósitos de análisis, se clasifica la estabilidad de voltaje en dos tipos.. 1.1.2.1 Estabilidad de voltaje de perturbación severa Está relacionada con la habilidad del sistema de controlar los voltajes después de una perturbación severa como las fallas que se presentan en el sistema de transmisión, pérdida de generación o contingencias de corto circuito. Esta. 22.

(23) capacidad es determinada por las características del sistema, la carga y las interacciones de controles continuos y discretos y de protecciones. La determinación de la estabilidad de voltaje a grandes disturbios requiere la revisión de la respuesta no lineal del SEP durante el tiempo suficiente para capturar el funcionamiento y las interacciones de los dispositivos tales como los cambiadores de tomas bajo carga de los transformadores, y los limitadores de campo del generador. El período del estudio de interés se puede extender a partir de algunos segundos a diez minutos.. 1.1.2.2 Estabilidad de voltaje de pequeña perturbación Está relacionada con la capacidad del sistema de mantener los voltajes después de pequeñas perturbaciones como cambios de la carga del sistema. Esta forma de estabilidad es influenciada por las características de cargas, de controles continuos, y de controles discretos en un instante dado del tiempo. Este concepto es útil para la determinación, en todo momento, de cómo los voltajes de los nodos responderán a los pequeños cambios del sistema. Con simplificaciones apropiadas, las ecuaciones del sistema se podrían linealizar, sin embargo, no se podrían explicar los efectos no lineales de los controles. Por lo tanto, una combinación lineal y no lineal se utiliza en una manera complementaria para el análisis de la estabilidad de voltaje.. 1.1.2.3 Casos reales de colapso de tensión Entre los fenómenos descritos anteriormente se encuentra una desviación extrema del voltaje llamado colapso de tensión o de voltaje. Este es un proceso mediante el cual una secuencia de eventos es acompañado por una inestabilidad de voltaje, llevando el sistema a una caída de voltaje a niveles tan bajos que son imposibles recuperarlos. Los efectos de un colapso de voltaje son mucho más serios que un típico período de tener bajos voltajes. Como consecuencia de un colapso de voltaje, secciones enteras del SEP pueden experimentar “apagones”. En los últimos años se ha incrementado el número de apagones en el mundo por colapso de voltaje, de tal manera, que en promedio de los últimos veinte años se ha presentado al menos un apagón de gran magnitud por año. A continuación se listan e ilustran en la Figura 6 los principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años: Nueva York Power Pool, Septiembre 22 de 1970. 23.

(24) Nueva Zelanda y Dinamarca, 1979 Florida, Diciembre 28 de 1982 Francia, Diciembre 19 de 1978 y Enero de 1987 Norte de Bélgica, Agosto 4 de 1982 Suecia, Diciembre 27 de 1983 Japón, Julio 23 de 1987 Estados Unidos, Julio 2 de 1996 Estados Unidos, Agosto 10 de 1996 Suecia y Dinamarca, Septiembre 23 de 2003 Italia, Septiembre 28 de 2003 Estados Unidos, Agosto 14 de 2003 Ecuador, Abril 12 de 2004 Estos incidentes tienen algunas características comunes: Las perturbaciones que los provocan pueden ser importantes (salidas de líneas, generadores, etc.) o no (aumentos progresivos de carga). Se mantiene por un cierto tiempo el suministro de las cargas sin variaciones relevantes de frecuencia. Son fenómenos lentos, por lo que tienen tiempo de actuar los automatismos de control de tensión. Se terminan produciendo caídas de tensión más allá de lo esperado. El despeje final de los incidentes lo realizan relés convencionales.. 1.1.3 Estabilidad de mediano y largo plazo Los términos estabilidad de mediano plazo y estabilidad de largo plazo fueron introducidos por la necesidad de tratar con problemas asociados a la respuesta dinámica del SEP cuando es sometido a muchas perturbaciones. La estabilidad de corto plazo del voltaje involucra la dinámica en el tiempo de los componentes rápidos de la carga, tales como motores de inducción, cargas controladas electrónicamente, los convertidores de la transmisión HVDC, controles de un generador protecciones, etc. Mientras que la estabilidad de voltaje de largo plazo involucra la dinámica de los equipos de respuesta lenta tal como los cambiadores de tomas de los transformadores, cargas controladas por temperatura, los limitadores de la corriente del generador, reguladores de velocidad, reguladores de voltaje-carga (taps), etc). Sin embargo, se debe decir que la principal diferencia entre estabilidad de mediano y largo plazo es el fenómeno analizado y la representación del sistema usado, en lugar de los periodos de tiempo involucrados [9].. 24.

(25) Figura 6. Principales colapsos de voltaje en el mundo en los últimos 20 años. Algunos rangos típicos de tiempo para los estudios de estabilidad son: Periodo corto: 0 a 10 segundos. (Estabilidad transitoria) Medio plazo: 10 segundos a algunos minutos. (Estabilidad dinámica) Largo plazo: algunos minutos a decenas de minutos. (Estabilidad de régimen permanente) El diagrama de la Figura 7 muestra en forma sintética los diferentes tipos de estabilidad descritos anteriormente, cada uno de ellos asociados a una gama de fenómenos [9].. 1.2. INTRODUCCIÓN A LAS OSCILACIONES ELECTROMECÁNICAS. Los SEPs en estado estable operan a una frecuencia de 60 Hz (algunos a 50 Hz). Esta es la frecuencia necesaria para todas las variables eléctricas en los SEPs AC. Pero cuando se dice que el sistema está oscilando, lo que se quiere denotar es la presencia no deseada de oscilaciones diferentes a 60 Hz en tales variables. Estas oscilaciones se deben a la variedad de interacciones entre los componentes de los SEPs.. 25.

(26) Figura 7. Clasificación de la estabilidad en SEPs. Las oscilaciones son iniciadas por cambios en la topología o en las condiciones operativas del sistema. Las perturbaciones pueden ser pequeñas (por ej. cambios constantes en la carga) o severas (por ej. una falla trifásica en una línea de transmisión). Cuando las oscilaciones involucran las masas rodantes de los generadores, se denominan oscilaciones electromecánicas o de potencia. Las oscilaciones. 26.

(27) debidas a cambios severos se denominan oscilaciones transitorias y son estudiadas por la estabilidad transitoria. Las oscilaciones iniciadas por las pequeñas perturbaciones ocurren constantemente, ya que en todo momento se están haciendo ajustes en la generación, en la demanda, en los controles, etc. Estas oscilaciones son de baja frecuencia y se pueden dividir según los elementos involucrados en los siguientes tipos de oscilaciones: Oscilaciones electromecánicas. Oscilaciones asociadas con los controles. Oscilaciones subsincrónicas (resonancia subsíncrona). Estas oscilaciones están relacionadas directamente con los modos estudiados por la estabilidad de pequeña señal, como se puede ver en la Figura 8. Es de aclarar que un “modo” se entiende como una resonancia del sistema (frecuencia de oscilación natural del sistema), que se identifica por una combinación de su frecuencia de oscilación, amortiguamiento y diagrama de participaciones; el diagrama de participaciones indica que elementos del sistema oscilan entre sí. De la misma forma que se habla de un modo o una frecuencia de resonancia en un circuito LC, en un SEP se puede hablar de muchos modos de oscilación diferentes. Más adelante se mostrara que cada modo de oscilación se representa por un número complejo (*), donde: (1.5). "!!& j. La parte real de los valores propios (+) cuantifica el amortiguamiento del modo, y la imaginaria (() la frecuencia de oscilación. Si se desea el radio de amortiguamiento (tasa de disminución de la amplitud de la oscilación del modo) se calcula como: #!. "! !2 #. 2. (1.6). Continuamente en el sistema se superponen los modos (en su mayoría locales e inter-áreas), debido a los continuos cambios de la demanda, la generación, las ganancias de controles, etc. Lo que explica las variaciones de potencia por las líneas de interconexión (ver ejemplo en la Figura 9.).. 27.

(28) Figura 8. Oscilaciones estudiadas por la estabilidad de pequeña señal. Estabilidad de pequeña señal. Inestabilidad oscilatoria. Inestabilidad no oscilatoria. Modos locales. Modos de control. Modos de torsión. Estos modos están asociados a las oscilaciones de baja frecuencia en los sistemas de potencia. Durante estas oscilaciones los generadores intercambian energía eléctrica a través de la red. Este tipo de modos son los que han ocasionado históricamente incidentes de oscilaciones de potencia inestables o poco amortiguadas. Están asociados a variables eléctricas de los generadores y los controles. Reguladores de voltaje mal ajustadas, reguladores de velocidad, convertidores de potencia AC-DC, y compensadores estáticos son las causas usuales de inestabilidad de estos modos. Están relacionados con la tendencia de las partes constitutivas de la turbina a oscilar entre si y respecto a la red eléctrica donde el generador está conectado.. Problemas de Problemas de resonancia inestabilidad de subsincrónica voltaje. Modos interárea. Problemas de oscilaciones electromecánicas. Este problema de inestabilidad no ocurre en los sistemas actuales de potencia por la presencia de los reguladores de voltaje. 1.2.1 Oscilaciones de potencia locales e inter-áreas Las oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia son imposibles de evitar y siempre están presentes en los SEPs; se originan por cambios pequeños y continuos en los equipos o en las condiciones del sistema * , como por ejemplo los cambios en la generación y la carga. Aunque las oscilaciones afectan muchas variables del sistema (voltajes, corrientes, frecuencias, etc.), la *. Un SEP es un sistema dinámico, es decir, continuamente está modificando su estado, ó sea, los SEPs no son sistemas estáticos o estacionarios.. 28.

(29) velocidad de los generadores y la potencia que fluye por la red son las que más se ven afectadas. Cuando se presentan estos cambios, las unidades generadoras, en el intento de encontrar nuevos puntos de operación estables, responden con oscilaciones que pueden afectar toda la red [5].. Flujo de potencia (MW). Figura 9. Flujo de potencia trifásico por una línea de interconexión.. 230 5 MW. 220 210 200 3300. 3340 3320 tiempo del día (seg). 3360. Cuando ocurren estas oscilaciones de potencia en el sistema, las máquinas sincrónicas intercambian energía cinética en forma de potencia eléctrica a través de la red, de tres formas posibles * [9] como se observa en la Figura 10. Un generador oscila contra el resto del sistema. Esta forma de oscilación es la más común de las tres, y está asociada con los modos máquinasistema o también llamados planta-sistema. Este tipo de oscilaciones son causadas, generalmente, por reguladores automáticos de voltaje de sistemas de excitación (AVRs) de generadores que operan con altas salidas y están conectados al sistema por medio de interconexiones largas y radiales (conexión débil); el problema se agudiza con sistemas de excitación de alta respuesta. Las características de los modos de oscilación máquina-sistema han sido suficientemente estudiados, y su amortiguamiento se logra eficazmente con estabilizadores de SEPs (control suplementario de los sistemas de excitación). Un grupo pequeño de generadores oscilan en fase o en contra de otros grupos de generadores de la misma área. Esta forma de oscilación no es bien amortiguada por el sistema y está asociada a los modos intermáquinas, inter-plantas o también llamados intra-áreas del sistema. *. Algunos textos como [5] mencionan una cuarta forma de oscilación: oscilaciones entre unidades de una misma central cuyo rango típico de oscilación es de 2 a 3 Hz.. 29.

(30) Los generadores de un área oscilan en contra de generadores de otras áreas. Esta forma de oscilación es la más grave, está asociada a los modos inter-áreas del sistema y tiene una frecuencia típica de oscilación de 0.1 a 1 Hz. Las características de esta forma de oscilación son más complejas, y en muchos aspectos diferentes a las dos formas anteriores. Las dos primeras formas de oscilación solo involucran una pequeña parte del sistema, por lo cual representan un problema local. Los modos máquinasistema e inter-máquina conforman los llamados modos locales; estos modos tienen frecuencias en el rango de 1 a 2 Hz. En los SEPs, las oscilaciones que mayor traumatismo causan son las asociadas a los modos inter-áreas, ya que tienen menor amortiguamiento y menor frecuencia, su aparición causa fluctuaciones perceptibles en los voltajes del sistema, y las variaciones de potencia suelen alterar las protecciones de los equipos e incluso causar su actuación. Figura 10. Modos inter-área y local.. Modos locales. P 3-4 (MW). P 3-4 (MW). Modo inter-área Modo inter-máquina. Modo máquina-sistema. 30.

(31) Esta oscilaciones, en una forma muy general, ocurren cuando se involucran generadores de alta constante de inercia, generadores con uniones débiles a los sistemas de transmisión, o generadores con niveles de carga muy altos (cercanos al 100%). La estabilidad de pequeña señal, permite estudiar las oscilaciones de potencia, ya que son la consecuencia de pequeñas perturbaciones en el sistema. Pero como se ve en la Figura 8, la estabilidad de pequeña señal agrupa otros tipos de estudios (estudio de modos de torsión, modos de control), pero generalmente cuando se utiliza este término se está haciendo solo referencia al estudio de modos inter-áreas y modos locales. Entre las razones que justifican por qué se centra el estudio de estabilidad de pequeña señal en los modos de oscilación electromecánicos (modos interáreas y locales) están las siguientes [3], [7], [9], [12]: Son los modos asociados a problemas globales en el sistema (oscilaciones que afectan más de una región del sistema). Históricamente han estado asociados con incidentes de oscilaciones poco amortiguadas o inestables de baja frecuencia en SEPs alrededor del mundo. Son modos difíciles de amortiguar (principalmente los inter-áreas). Es conveniente reiterar que la literatura especializada algunas veces utiliza el término "estudio de estabilidad de pequeña señal" para hacer solo referencia a la estabilidad de los modos locales e inter-áreas que determinan la estabilidad de las oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia.. 1.2.2 Reseña histórica Los primeros SEPs estaban formados por generadores conectados en paralelo con líneas de baja impedancia, si ocurrían oscilaciones, eran mitigadas por los devanados de amortiguación ya que prácticamente las variaciones en el voltaje del sistema eran despreciables (por las bajas impedancias de interconexión), de esta forma los reguladores de voltaje no eran estimulados y no participaban dentro del fenómeno de oscilación. Los sistemas actuales presentan tamaños mayores, pero un menor acople entre los generadores; debido a que los sistemas no se han expandido lo suficiente como consecuencia de las consideraciones financieras y ambientales actuales. Teniendo esto en cuenta, la respuesta de los sistemas actuales a las oscilaciones es bastante diferente a la de los sistemas antiguos. La alta impedancia externa vista por los generadores causa que los devanados amortiguadores se vuelvan poco efectivos contra las oscilaciones y que se. 31.

(32) originen variaciones de voltaje en el SEP. Esto causa que los reguladores de voltaje actúen, produciendo amortiguamiento negativo (efecto no deseado), por lo que algunas veces se debe restringir la máxima potencia transferida por las líneas, o variar las ganancias de los reguladores para aumentar el amortiguamiento de las oscilaciones. Entre los años 1920 y 1930 aparecen los primeros intentos de solución a los problemas de estabilidad en los SEPs. En un comienzo se pensaba en la máquina como una fuente de tensión inalterable, la carga como una impedancia constante y se creía que el problema se centraba exclusivamente en las redes de transmisión; pero gracias a la experimentación con modelos a escala y el avance en la teoría de SEPs, se logró establecer que la configuración del SEP y todos los equipos asociados tales como generadores, excitación, gobernador, líneas de transmisión, cargas, relés de protección, entre otros, influyen en la estabilidad del mismo. La primera vez que se enfrentó un problema severo de estabilidad fue en los años sesenta en una interconexión entre las zonas oriental y occidental de los Estados Unidos, en este sistema aparecieron oscilaciones de baja frecuencia, las cuales lograron aislar las áreas y producir un apagón. Debido a las consecuencias ocasionadas por las fallas en las redes, derivadas de la inestabilidad de los SEPs, se despertó el interés de las empresas del sector eléctrico, ingenieros, usuarios y entes de regulación de los sistemas en el problema de la estabilidad. La atención despertada impulso el desarrollo de nuevos software, equipos para pruebas al SEP, relés de protección, compensaciones de línea, sistemas de control y estabilizadores de SEPs (PSS), con el fin de estudiar y minimizar los efectos de la inestabilidad en los SEPs. En los años 60 y 70 el uso de los PSS fue difundido. Al final de los años 70 fue desarrollado el PSS de potencia acelerante (una potencia acelerante o desacelerante aparece cuando se presenta un desbalance entre la potencia eléctrica solicitada por el sistema al generador y la potencia mecánica aplicada a la turbina) en la Hidroeléctrica de Ontario (Canadá). En los tiempos actuales se reconocen las bondades de los PSS, pero también se sabe que ellos solos, generalmente, no son suficientes para mitigar las oscilaciones. Actualmente se cuenta con otros equipos electrónicos de potencia para amortiguar oscilaciones como los condensadores serie controlados por tiristores (TCSCs), compensadores estáticos (SVSs), líneas de alto voltaje DC (HVDC), almacenadores de energía magnética mediante superconductores (SMESs), controladores unificados de flujo de potencia (UPFCs), y otros.. 32.

(33) 2. MODELAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE UN SEP. Los estudios de operación y planeación en SEPs están basados en simulaciones del modelo del sistema real. Los modelos son equivalentes matemáticos de los elementos del sistema que permiten prever su comportamiento mediante abstracciones matemáticas. Cada elemento del sistema es único, pero un solo elemento puede tener muchos modelos que varían en complejidad dependiendo del tipo de estudio que se desee hacer. El objetivo principal de este capítulo es identificar factores importantes en el modelamiento de los elementos del SEP, que son requeridos para lograr exactitud en las simulaciones a realizar * . En términos generales, los modelos usados para el análisis modal son los mismos que se requieren para estudios de estabilidad transitoria. Cualquier sistema de potencia puede modelarse usando un conjunto de n ecuaciones diferenciales y un conjunto de ecuaciones algebraicas para el estator y la red, tal que [1], [9]:. x ! f ( x, y, u) (2.1). 0 ! g( x, y ) La primera ecuación representa las ecuaciones diferenciales y la segunda ecuación agrupa al conjunto de ecuaciones algebraicas del estator y de la red. Donde: x i ! ( $ i , (i , E,qi , E,di , E fdi , Vri , R fi ) t. i ! 1,..., m.. (2.2). y i ! (Idi , Iqi , - i , Vi , -L , VL ) t. i ! 1,..., m. l ! m # 1,..., n. (2.3). ui ! (TMi , VREFi )t. i ! 1,..., m. (2.4). Donde n es el número de barras del sistema y m es el número de barras generadoras, “x” es un vector de nx1 que contiene las variables de estado tales como los ángulos de los generadores, Fem’s, etc, “y” es un vector que contiene las variables algebraicas (generalmente voltajes en las barras y/o sus ángulos), *. Es recomendable retroalimentar este capítulo con el capítulo 3.. 33.

(34) y “u” es un vector rx1 con variables de entrada de parámetros tales como referencias de los generadores. Las funciones f y g se asumen que son continuas y diferenciales. A continuación se discuten los modelos de los elementos del SEP a los cuales se les debe prestar mayor atención al momento de realizar un estudio de oscilaciones electromecánicas con el fin de obtener resultados adecuados en las simulaciones. Se consideraron los equipos y elementos del SEP, cuyos modelos son decisivos para una simulación bastante precisa de las oscilaciones de potencia. Los demás elementos que no fueron considerados, tales como, transformadores, líneas, etc., fueron incluidos en el modelo del sistema, pero no requieren atención extra, ya que el modelamiento que se hace de éstos para estabilidad transitoria es suficiente.. 2.1. MÁQUINA SÍNCRONA. A diferencia de los elementos pasivos de la red (líneas, transformadores), cuyo modelado para estudios de estabilidad no difiere del que se usa habitualmente, en los estudios de régimen estacionario, la máquina síncrona debe ser modelada en una forma mucho más compleja y sofisticada. Los modelos sencillos de líneas y transformadores que se usan al formular las ecuaciones del flujo de cargas son sustentables en estudios de estabilidad debido a que los transitorios de red son tan rápidos (a lo sumo unos pocos ciclos) que se puede asumir que la red va describiendo una sucesión de estados de equilibrio (calculables a través de las ecuaciones algebraicas del flujo de cargas) a medida que va transcurriendo la perturbación en estudio (metodo “cuasiestático” de análisis). Esta simplificación no es razonable para la máquina síncrona, cuyos transitorios (mecánicos, de los devanados del rotor, y de los sistemas de regulación de velocidad y tensión) muestran constantes de tiempo del orden de varios segundos. Se hace necesario, por lo tanto, modelar la máquina síncrona a través de un conjunto de ecuaciones no sólo algebraicas, sino también diferenciales. Estas ecuaciones deben incluir una descripción del comportamiento de la máquina en relación a las variables eléctricas (corrientes, tensiones) intercambiadas con la red, y también una descripción del comportamiento mecánico de la máquina al producirse la perturbación (se recuerda al respecto que el objeto clásico de estudio del análisis de estabilidad transitoria es la eventual pérdida de sincronismo del. 34.

(35) sistema, lo cuál está directamente relacionado con las variaciones de posición relativas de los rotores de unas máquinas con respecto a otras). No obstante, las dificultades y complejidad inherentes a un modelado excesivamente preciso justifican asumir diversas simplificaciones en los modelos usados, de forma que se pueda abordar el análisis sin complicar innecesariamente la teoría y las rutinas de cálculo. El nivel de estas simplificaciones depende del tipo de estudio a realizar (y en particular, del período de tiempo de análisis a partir de la perturbación en la red que motiva el estudio: régimen subtransitorio, transitorio o estacionario) y ha variado históricamente a lo largo del tiempo, a medida que se han ido haciendo cada vez más potentes y sofisticadas las herramientas de cálculo. De esta forma, es posible encontrar en la literatura a la máquina síncrona modelada en forma tan simple como una fuente de tensión atrás de una reactancia (estudios de régimen y de estabilidad transitoria en la década del 70) o tan compleja como un conjunto de 7 o más bobinados acoplados electromagnéticamente a través de coeficientes de inducción propia y mutua que dependen del tiempo (estudios de estabilidad transitoria modernos). Recordemos que los generadores sincrónicos son los elementos del SEP más importantes en los estudios de oscilaciones electromecánicas u oscilaciones de potencia ya que cuando ocurren pequeñas perturbaciones, aparecen oscilaciones en el sistema durante las cuales los generadores intercambian energía, éstas se deben a modos o respuestas naturales del sistema que se superponen a la oscilación de operación (50 ó 60)Hz). Cuando se presentan oscilaciones, son las masas rodantes de los generadores (rotores) las que oscilan entre sí intercambiando energía cinética. La transformación de Park es de gran ayuda al utilizarla para simplificar el análisis de máquinas sincrónicas, tal transformación lleva el circuito trifásico del estator a dos ejes que rotan a la misma velocidad, llamados eje directo y eje de cuadratura. El eje directo (eje d) esta alineado con el eje magnético del devanado de campo, y el eje de cuadratura (eje q) esta 90 o adelantado al eje d como lo muestra la Figura 11. La transformación tiene la ventaja de que anula la dependencia de las inductancias con el ángulo y representa a la máquina mediante dos circuitos equivalentes acoplados, cuyos parámetros son constantes.. 35.

(36) Figura 11. Circuitos del estator y rotor de una máquina sincrónica. A continuación se muestran dos modelos de la maquina síncrona con regulador de voltaje [1].. 2.1.1 Modelo A Se emplea el modelo de dos ejes para la máquina síncrona (ver Figura 12) y para el regulador de voltaje se tiene el modelo IEEE tipo I (Ver Figura 13). No son tenidos en cuenta los efectos subtransitorios de la máquina síncrona. Las variables que representan este modelo son: t X1 ! .$, (, E,q , E,d /. Variables del generador. (2.5). X 2 ! .E,fd , VR , R f /. Variables del regulador. (2.6). X 3 ! .Id , Iq /. Variables algebraicas del generador. (2.7). t. t. 2.1.1.1 Ecuaciones diferenciales.. d$ i ! (i " (s dt. (2.8). 5 E,di # x,qi .Iqi 2 5 (i " (s 2 d(i TMi 5 E,qi" x,di .Idi 2 ! "3 0.Iqi " 3 0.Idi " Di .3 0 dt Mi Mi 4 Mi 1 4 1 4 Mi 1. (2.9). 36.

(37) dE,qi dt. !". E,qi 5 x di " x,di 2 E .Idi # fdi "3 0 , Td,0i 4 Td,0i 1 Tdoi. (2.10). 5 x qi " x ,qi 2 dE,di E, ! " di # 3 0.Iqi dt Tq,0i 34 Tq,0i 10 k # SE (E fdi ) dE fdi V ! " Ei .E fdi # Ri dt TEi TEi. (2.11) (2.12). K K .K dVRi V K ! " Ri # Ai .R fi " Ai fi .E fdi # Ai .( Vrefi " Vi ) TAi TAi .Tfi dt TAi TAi. (2.13). dR fi R K ! " fi # fi2 .E fdi dt Tfi Tfi. (2.14). Figura 12. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo A). jx,di. 7E,. di. 8. # (x,qi " x,di ).Iqi # jE,qi .e. Rsi. j($i"6 ) 2. (Idi # jIqi).e. ! IDi # jIQi. j( $i " 6 ) 2. ( Vdi # jVqi ).e. j( $i" 6 ) 2. ! Vi .e j-i ! VDi # jVQi. Figura 13. Modelo del AVR IEEE tipo I (Modelo A) Vref. - 9. + 9. VR. KA 1 # ST A. + 9. 1 K E # ST E. SE (E fd ). SK F 1 # ST F. 37. E fD.

(38) 2.1.1.2 Ecuaciones algebraicas del estator.. Las ecuaciones algebraicas del estator en forma polar, se obtienen directamente del circuito equivalente dinámico de la Figura 12, ecuaciones que también forman parte del modelo A. Del modelo del circuito de dos ejes para la máquina síncrona se tiene:. 0 ! Vi .e j-i # ( jx,di # R si ).(Idi # jIqi ).e. j( $i " 26 ). " 7 E,di # ( x ,qi " x ,di ).Iqi # jE,qi 8.e. j( $i " 26 ). (2.15). i ! 1,..., m.. Multiplicando todo por e 0 ! Vi .e j-i .e 0 ! Vi .e. " j( $i " 62 ). " j( $ i " - i " 62 ). " j( $i " 26 ). :. # (R si # jx,di ).(Idi # jIqi ).e. j( $i " 26 ). " 7 E,di # ( x,qi " x,di ).Iqi # jE,qi. 8. (2.16). # R si .Idi " x ,di .Iqi # j x ,di .Idi # jR si " E ,di " x ,qi .Iqi # x ,di .Iqi " j E ,qi (2.17). 0 ! Vi .sen($i " -i ) # jVi . cos($i " -i ) # Rsi .Idi # jx,di .Idi # jR si .Iqi " E,di " x,qi .Iqi " jE,qi (2.18) Separando parte real y parte imaginaria. 0 ! Vi .sen($i " -i ) # R si .Idi " x,qi .Iqi " E,di. (2.19). 0 ! Vi . cos($ i " -i ) # x,di .Idi # R si .Iqi " E,qi. (2.20). Organizando las ecuaciones: 0 ! E,di " Vi .sen($ i " -i ) " R si .Idi # x ,qi .Iqi. (2.21). 0 ! E,qi " Vi . cos($ i " -i ) " x ,di .Idi " R si .Iqi. i ! 1,..., m. (2.22). 2.1.2 MODELO B. También existe otro modelo más simplificado que al igual que el anterior usa un modelo de dos ejes para la máquina síncrona (Ver Figura 14) pero para el regulador de tensión usa un modelo IEEE tipo II (Ver Figura 15), este conjunto es llamado modelo B. No son tenidos en cuenta los efectos subtransitorios de la máquina síncrona, también se desprecia el voltaje transitorio en eje directo (E’d) y el control de excitación es muy simple. Las variables que representan este modelo son:. 38.

(39) x 1 ! ( $, (, E,q ) t. Variables del generador.. (2.23). x 2 ! (E fd ). Variables del regulador.. (2.24). x 3 ! (Id ,Iq ) t. Variables algebraicas del generador.. (2.25). Figura 14. Circuito de dos ejes para la máquina síncrona (Modelo B) jx,di. 7(x,. qi. " x,di ).Idi # jE,qi 8.e. Rsi. (Idi # jIqi ).e. j( $i"6 ) 2. j( $i" 6 ) 2. ( Vdi # jVqi ).e. j( $i"6 ) 2. ! Vi .e j-i. Figura 15. Modelo del AVR IEEE tipo II (Modelo B). Vref. +. 9. KA 1 # STA. EfD. -. 2.1.2.1 Ecuaciones diferenciales.. d$ i ! (i" (s dt. (2.26). x,qi .Idi D d(i TMi 5 E,qi " x,di .Idi 2 .Iqi " i ((i " (s ) ! "3 0.Iqi " Mi dt Mi 4 Mi Mi 1 E fd i dEi E,qi 5 x di " x,di 2 ! "3 0.Idi # dt Td,0 i 4 Td,0 i 1 Td,0 i dE fdi E K ! " fd i # A i ( VREF.i " Vi ) dt TAi TA i i ! 1,..., m.. 39. (2.27) (2.28) (2.29).

(40) 2.1.2.2 Ecuaciones algebraicas del estator.. El análisis es igual al hecho en el modelo A para las ecuaciones algebraicas del estator, solo que para este modelo se desprecia el voltaje en eje directo transitorio (E,d ) . Vi sen($i " -i ) # R si .Idi " x qi .Iqi ! 0. (2.30). E,qi " Vi cos($i " -i ) " R si .Iqi " x ,di .Idi ! 0. 2.2. i ! 1,..., m.. (2.31). CONTROL DEL REGULADOR DE VELOCIDAD. Los modos electromecánicos locales (frecuencias de 1 a 2)Hz) presentes en el sistema no se ven afectados por la respuesta de los gobernadores o reguladores, ya que ésta es demasiado lenta. Por el contrario los modos interáreas (frecuencias menores a 1)Hz) se pueden ver afectados por la respuesta del regulador de velocidad, pero el efecto en ellos no es muy significativo [9] [15]. A medida que el modo disminuya en frecuencia más puede aumentar sobre él, el efecto del regulador, entrando así en su ancho de banda de respuesta. En sistemas grandes de potencia, la sensibilidad del gobernador es reducida intencionalmente para evitar interacciones adversas con los modos de oscilación del sistema. En sistemas pequeños, los reguladores son ajustados para responder rápidamente a las variaciones de frecuencia y así ayudar a amortiguar las oscilaciones de potencia. En conclusión, los gobernadores o reguladores de velocidad no afectan de forma significativa las oscilaciones de potencia, pero al no estar bien ajustados podrían influir en la disminución del amortiguamiento [9].. 2.3. CONTROL DEL SISTEMA DE EXCITACIÓN. El AVR, la excitatriz y el PSS (si está presente) son los tres elementos principales en los cuales se divide el modelo del control del sistema de excitación. El sistema de excitación de los generadores es usado para cambiar el voltaje terminal y la producción de los MVAr, subsecuentemente cambiando. 40.

(41) el perfil de voltaje del SEP, así al aumentar el nivel del voltaje de excitación la producción de MVAr aumenta y viceversa. Mediante análisis de circuitos se logran determinar las funciones de transferencia de los AVRs y PSSs electrónicos (modernos) mientras que la caracterización de los AVRs convencionales (que utilizan equipos magnéticos) se logra a partir de pruebas de campo. Los AVRs modernos poseen altas ganancias y respuestas rápidas para proveer un control exacto del voltaje en terminales del generador. Estas características reducen el amortiguamiento intrínseco del generador y de aquí se desprende que aumente la inestabilidad a las oscilaciones de potencia. La reducción en amortiguamiento se puede superar adicionando un estabilizador del SEP (PSS) al control del sistema de excitación. Los PSSs utilizan como entrada, la potencia mecánica, la potencia acelerante, la velocidad, la frecuencia, o una combinación de las anteriores para adicionar torque amortiguante al generador. La Figura 16 muestra un modelo que sirve como ejemplo de un sistema de excitación con rectificador rotativo, AVR digital y PSS [15]. Es importante recalcar que si el sistema de excitación es controlado manualmente (voltaje constante de campo) los parámetros más importantes son la constante de inercia, y los parámetros del circuito de campo de la máquina. Ahora bien, cuando se tengan sistemas de excitación automáticos, se deben tener en cuenta sus datos, ya que como es de esperarse, estos juegan un papel importante en la naturaleza de los modos electromecánicos [6].. 2.4. CARGAS. Según el método de análisis que se este usando y del fenómeno bajo investigación se emplea un determinado tipo de modelo. El nivel de voltaje al que la carga modelada esta conectada es un aspecto importante para definir su representación, pues en bajos niveles, ésta es componente por componente, mientras que si las cargas se representan para estudios en altos niveles de voltaje, las cargas individuales se deben simplificar (proceso de agregación). Normalmente las variables de entrada al modelo son el voltaje y la frecuencia de la barra en la cual esta conectada la carga; sus salidas son las potencias activa y reactiva demandadas. Los modelos de carga se dividen en modelos estáticos y dinámicos, los cuales pueden ser linealizados alrededor de un punto de operación de estado estable.. 41.

(42) Figura 16. Ejemplo de un sistema de excitación. 42.

(43) 2.4.1 Modelo de carga estática. El modelo de carga estática se puede representar matemáticamente mediante las siguientes expresiones: Np 2 Np n ? 5 V 2 Np1 < 2 2 5 5 V V P ! P0 .1 # Mp "f /= a1 3 0 # a 2 3 0 # ! # a n 3 0 : = 4 V0 1 4 V0 1 4 V0 1 :; >. (2.32). Nqn Nq2 ? 5 V 2 Nq1 5V2 5 V 2 <: = Q ! Q 0 .1 # M q "f / b 1 3 0 # b 2 3 0 # ! # b n 3 0 = 4 V0 1 4 V0 1 4 V0 1 :; >. (2.33). Donde: P: Potencia activa de la carga. Q: Potencia reactiva de la carga. V: voltaje de la barra en donde está conectada la carga. 'f: Desviación de la frecuencia de la barra. Npi, Nqi, Mp, Mq son los parámetros del modelo de la carga. El subíndice 0 denota estado estable o cantidad nominal. Existen expresiones comúnmente usadas en SEPs, éstas se obtienen a partir de las anteriores eliminando en ellas la dependencia de la carga con la frecuencia y llevando la dependencia con el voltaje a un solo índice. ? V P ! P0 == > V0. < :: ;. Np. ? V Q ! Q 0 == > V0. < :: ;. Nq. (2.34). Los coeficientes Np y Nq pueden tomar valores reales positivos, pero existen casos especiales que consideran al modelo como la representación de una carga de impedancia constante, corriente constante o potencia constante, en este caso los valores para estos exponentes son iguales a 2, 1 y 0 respectivamente. Típicamente, para cargas agregadas, Np está en el rango de 1 a 2 y Nq en el rango 2 a 4. A continuación se muestra la forma linealizada de estos modelos: "P ! NpP0. "V V0. "Q ! Nq Q 0. 43. "V V0. (2.35).