Regresión lineal múltiple

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(1),,rgr"/-r. I X . , R E G R E S ILOI N NE A M L ULTIPLE L a r e g r e s i ó nd e Y s o b r eu n a s o l a v a r i a b l e ' i n d e p e n d i e n tpeo d r f a s e r i n a d e c u a d ap a r a e x p l i c a r c l a r a m e n t eu n a r e l a c i ó n d e d e p e n d e n c i a .D o so m á s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t epsu e d e ne s t a r d i s p o n i b i e sp a r a p r o p o r c i o n a ri n formaciónadicional acerca de las variaciones de Y.. La metodologfaes. u n a e x t e n s i ó na l u s o d e l a r e g r e s i d nl i n e a l s i m p l e ; c q n oe l p r o c e s os e incrementa e n c u a n t oa v a r i a b l e s , 1 a i n t e r p r e t a c i ó ny m é t o d od e c á l c u 1 o c o m or e s u l t a d ol ó g i c o , s e i n c r e m e n t a tan¡bién. E n e s t a s n o t a s s o l a m e n t se e p r e s e n t a r áe l c a s o d e d o s v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s , e s d e c i r , X r J X z y l a v a r i a . b l ed e p e n d i e n t e Y . E l m o d e l od e r e g r e s i 6 ne n t a l c a s oe s t á d e f i n i d o p o r :. t = B o * B r x , +B r x r +e. lr \. donde:. Y=. v a r i a b le s a l e a t o r i a. X : , X z = c o n s t a n t e sc o n o cdi a s B o , B¡ , B z = p a r á m e t r odse l m o d eol -2. e - N ( 0 , u ) , n o c o r r e la ci o n a d a T a l c o m os e e x p r e s óe n r e g r e s i ó nl i n e a l s i m p l e r s ep u e d e na g r e g a ry q u i t a r los términos erX, V nrl, de tal forma que el modeloqueda: Y = B o +8 1 ¡ ¡ + B 2 X 2 + B,(x,- x¡)+Br(xr- xr)+ e. Y = Y+ Br(x,- xr) + B"(xr- 4) + e. (2). Este último modeloperrnite una metodologlade cálculo más sencilla que el Drimero..

(2) ,161. INTERPRETACION y coeficientes de regresión parcial A Br J 82 se les conocecomolos es simi'lar al "b" de regrese estiman por b, V br; su interPretacidn en una unidad' Y se sión lineal simple, por tanto si Xr se incrementa en una unidad Y se inincrerentará en b, unidades, si X. se incrementa ones anterioen b. unidades. Sin embargo'las i nterpretaci crenrentará los modeloseconométricos' res cambianen ciertos casoscomoocurre en úttimos se discutirá o tambiéncon modelospo1inomiales' sobre estos ÍBs tarde. para realizar ]a esEl rnodelOescrito en 2' es másfáci l ESTIMACI0N: t os c o m os i g u e ' p e r o a n t e s t i m a c i ó nd e B o , B r Y t s r , e l p r o c e s a m i e n e asl: o a r a f a c i l i d a d s e e s t a b l e c e na l g u n a si d e n t i d a d e s. scXr = txi-FC S C X Z= X X i - F C SCY = TY2-FC SPYX'= [XrY-FC SPYX'= IX2Y-FC S P X T X Tt= X ¡ X z - F C FC. =. Factor de corrección, segúnel caso'. Enel modelo y -y. +Br(xr -\). *e". (x. -D. + e. Parutu estimaciónde B o , B ¡ , B , s e P r o c e d e : b ¡ x SCX! + b 2 x S P X ' X 2 = S P X ¡ Y b r x sPXI X2 + b , x S C X ,= S P X z Y.

(3) 164. Estas,seconocen normal coÍiolas ecuaciones es. por los nétodosa'lgebraf cos conunesconLa soluciónde estas ecuacjones d u c ea l a s i g u i e n t es o l u c i ó n . x SPX"Y SCX.x SPX'Y- SPXTX2 br. b2. SCf,,x SPX'Y- SPXTXa x SPX'Y l). D. = . S C X ¡X S C X ,. ( S P X i X " ) ,. bo =Y-brT¡-bri', S e i l u s t r a r á e l c á ' l c u l od e b s , b r y b" nrediante e'l s'iguíente conjunto de observaciones: X¡. x2. Y. 77. 62. 1 .4 0. 7t. 55. t.47. 78. 62. r.5t. 43. 1 .1 5. 95. 57. L.2?. 96. 5l. 1.48. 7t. 41. l. 31. 63. 40. 7.27. 6?. 45. t.22. 67. JY. t. 36.

(4) 165. X, =. E d a di n i c i a ' l e n d í a s. X2 =. P e s oe n l i b r a s. =. Y. Incrementode peso libras/dtla. s c x r = 7 7 2 + . . , + 6 7 2- F C = 1 2 8 8 = 1 . 4 0 2+ . . . + 1 . 3 6 2- F C= 0 . 1 0 9 8. scY. S P X r Y= 7 7 x 1 . 4 0 + . . . + 6 7 x 1 . 3 6 - F C= 3 . 5 4 SCX2 =. 622+...+ 3g2 - FC = 736. S P X T X=27 7 x 6 2 + . . , + 6 7 x 3 9 - F C= 5 4 5 s P x 2 Y= 6 2 x 1 . 4 0 + . . . + 3 9 x 1 . 3 6 - F C : 3 , 6 4. 60 4 9 4 36. ?U1. U . 6!4J U 'u l = _ - -7-3- -6-x- - 3. 6. 5540 -9 -5E4' -5-x- =36. 5 - , U^ ^ ^ ^ o E. D. = 1288x 736 - 545'?= 650943. '¡2.. =f1 f i 2 8 8x 3 . 6 4 5 4 5 x 3 . 5 4 = u - u ú + ¿. bo =. 1.33-0.00096x75-. 0.0042x49.5. LU't. bO. =. Y. = 1 . 0 4 + 0 . 0 0 0 9 6X , + 6 . 9 6 4 2 ¡ ,. E s t o i n d i c a q u e p o r c a d ad í a d e e d a d i n i c i a l m á s ,s e e s p e r au n i n c r e m e n t o promedioen el pesode 0.00096libras/día y por un incrementoen el peso 'libra de una se esperaun aumentopromediode 0.0042Iibras de peso/dia' PRUEBAS DEHIPOTESIS:AnáIogamente a comose estudió en regresión lineal s i m l l T e x i s t e n d i v e r s a sp r u e b a sd e h i p ó t e s i s , s i n e m b a r gsoó l o s e p r e s e n t a ran dos..

(5) 166. L a p r i m e r ad e é l l a s c o n s i s t ee n H o : B r = 8 . = 0 , é s t a e s u n a p r u e b ag l o b a l d e s i g n i f i c a c i ó n o p r u e b ad e s i g n i f i c a n c i a p a r a l a r e g r e s Í ó n . E l c r i t e r i o de pruebaes el de F y se conocecoÍlo el análisis de variancia para la reg r e s i ó n , l a t a b l a e s c o n ns i g u e : T a b l ad e a n á l i s i s d e v a r i a n c i a p a r a l a r e g r e s i ó n F. de V.. i ón Regres. ca. G .L .. 2. b r s P x r Y+ b 2 s P X 2 Y. Error. n-3. Diferencia. Total. n- 1. SCY. ll. = S . c .R E G / 2 CMREG. u. C M E R R 0=RS . C . E R R O R / ( n - 3 ). 'al. Fc = CMREG/CMERROR. c.H.. t!. Fc 3/. 2/. es un estimadorde o2 y se denota por S2. El valor de Fc se El CMERROR c o m p a r cao n F p a r a n i v a ' l o d e s i n i f i c a n c i a c o n 2 y n - 3 g r a d o sd e l i b e r t a d Si Fc es mayorque F, se rechazaHo y s e a c e p t aH a : g Í B z f 0 , s i e s é s t a 'la cuál de los coeficientes son los diferentes a cero. situación no sabemos Existe el criterio de T para probar si cada coeficiente es igual a cero (ó a u n a c o n s t a n t eK ) y e l d e s a m o l l od e ésta es comos igue:. Tc=+. b, -0. -sb-;-.

(6) 52. = CMERR0R. ttol = s2cl1. s'bz = s' cz? Crr = sCxe/D cZZ = sCxl/D S i T c e s m a y o rq u e T , s e a c e p t aH a : B r l 0. ó Ho: Bz l0. s e g ú nc a d ac a s o .. Se ilustrarán a continuaci6nambaspruebaspara los datos del ejenp'lo: + ba SPX,Y S , C . R E G= b ¡ S P X ¡ Y S . C . R E G= 0 _ . 0 0 0 9x6 3 . 5 4 + 0 . 0 0 4 2x 3 . 6 4 S ' C . R E G= 0 . 0 1 8 8 S.C.TOTAL=SCY=0.1098 S . c . E R R 0 R= S . C . T 0 T A L- S C R T=G0 . 1 0 9 8- 0 . 0 1 8 8 = 0 . 0 9 1 0. Tabla de anáIisis de variancia para la regres'idn F. de V.. t. S.C.. C.M.. Fc. 0.72. 2. 0.0188. 0.0C94. Emor. 7. 0.'0910. 0.0230. Total. 9. 0.1098. Regresión. .. G. L.. =4.74aI 5%,2y7g.1 ..

(7) 1ó8. Por tanto se aceptaHo: Br = B, = 0, por consiguienteno existe suficiente evidenciacomoparaconclufr de que las edadesiniciales y pesosiniclade peso, les influyan sobreel incremento propuesta,se ilustrará como A pesarde que se aceptdla Ho anteriormente se probarfasi cadacoeficientees diferente de cero o no. C r¡. scx, /D. Crt. = 0.0011 736/6s0943. C,,. = SCXr/D. Czz. = 0.0020 = 1288/650943. O.IERROR= 0 . 0 1 3. s'bl. = CMERROR x Crr. ,tb,. = 0 . 0 1 3x 0 . 0 0 1 1= 0 . 0 0 0 0 1 4. stb,. = CI'|ERR0R x Czz. S,b?. = 0 . 0 1 3x 0 . 0 0 2 0= 0 . 0 0 0 0 2 6. sut =. 0.0038 ;. 5 6 2= 0 . 0 0 5 1. Para. Tc. = 308. 2 5 0.C009610.00. Para. Tc. 0 . 0 0 4 2 / 0 . 0 0 5 1= 0 . 8 2 amboscasos los coeficientes no difieren de cero, para la regresi6n ya era claro en ta] sentido. A s f c o m oe n e l c a s o d e r e g r e s i ó nl i n e a l s i m p l eo c u c o m ou n g r a d od e a s o c r a c i ó ne n t r e X , y X r .. tn.

(8) -16? correlaci6n múltiple' se Presentael caso de én tambi múltiple negresi6n X2' entre Y y el coniuntoX1' asociaci6n de grado ésta expresael máximo. .. . ,xk. corre'lapor mediodel coeficiente de expresa se El grado de asociación ca que lo define es: matemáti ción múltip'le R, la exPresión. que cero y m ú l t i p l e R ' s i e m p r ee s m a y o r c o r r e l a c i ó n d e El coefÍciente nenor a la unidad' como m ú i t i p ] e R 2 ' s e le conoce c o r r e l a c i ó n d e c o e f i c i e n t e A l c u a d r a d od e l de éste R2 se expresaen términos Si determinación' de el coeficiente i cada variación de Y que es exPl la de porciento e1 porcentaie' expresa p o r l a s v a r i a b l e sX 1 , X z ' " '. xk'. de regresión i'lustrando la metodología que está ejemplo del Para el caso se ti ene:. R=ffi-. =o'4138. R2= 0'1707 de peso se la variación del incremento de L7% e1 sólo Por consiguiente d e b ea l a s e d a d e sy p e s o si n i c i a l e s '.

(9) -,to s i m p l e ' b á s i c a m e n tsee e s t a R E G R E SC I OUNR V I L i N E AE. n r e g r e s i ó nl i n e a l puede blece que la ecuaci6nde una llnea recta en ciertos tipos de experinpdelar un fen6nenoen cuestion' Sinembargo' Ia producciónde un cultivo rentos agrícolas o pecuarÍoscomopor ejemplo la papaa la aplicación de fósforo' de mangosen el tiempo, la respuestade d e u n e n e r g é t i c o 'e t c " l a l í n e a l a r e s p u e s t ad e l g a n a ó a 1 a a p l i c a c i ó n de respuesta' Unaalternativa recta puedeno proporcionar un buenmodelo curvilinea ó un polinomio de sería postular la que se denominaregresién e s t a d í s t i c os e r í a ; s e g u n dgor a d o , e l m o d e 1 o y = Bo+Br+ XB z X 4 e donde:. Y = V a r i a b l ea l e a t o r i a o b s e r v a b l e X=. Constanteconocida N(0, o'z). lo B o,8r ,8 z Parámetrosdel mode linea es un caso particular de Se observaque el nndelo 'le regresión curvi r e e m p l a z a mao sX p o r X r Y x 2 ' r e g r e s i 6 nm ú 1 t i p l e c o n d o s v a r i a b l e s ' S i del capítulo' El polip o r X 2 , e l n n d e ' l oe s i g u a l a l p r o p u e s t oa l i n i c i o se conocetambiéncomoel nomio de segundogrado ó regresión curvilínea rrnde]ocuadráticoyhasidodeampliousoeninvestigaciónagrícolaypec u a r ia . cuadrático para evaluar 1a Se jlustrará, el uso y ap'licación del modelo aolicación del nitrógeno aI arroz' a toneiaciaspor hectárea Los datos que se dan a continuacióncorresponden.

(10) 171. diferentes dosfs (kiloaplican se cuando 8, Cica variedad Paddy de arroz fueron tomadosde la Revlsgrarrospor hectárea)de nitrógeno' Los valores y Dario de Luis F' Sánchez ta ICAVo'lunnnXIII, página498, publicación Leal.. Y. x 2( N 2). I1Q. JU. 900. 4.9s0. 2n. 900. 5 .4 1 9. 30. 900. E, A^?. 30. 900. 6.075. 60. 3600. 5.83r. 60. 3600. 6.206. 60. 3600. s.737. 60. 3600. s.699. 45. 2025. 4. 4 5 6. 0. 0. 6 .0 9 3. 30. onn. 5.325. 30. 900. 5.943. 90. 8100. E. I. x' (ll). 5.719 6.018. 3600. ,60 60. 3600. se ti ene: Al reali iar las sumasde cuadradosy productos. scY. 3.384. sPxtY. to7.25. SCXr. 6750.0. stx2Y. ¿ Jtj\J . ¿. SCX¿. 60446250.0sPXrX2 6 0 7 5 0 0 . 0.

(11) I 172. L a e c u a c i ó nd e r e g r e s i ó ne s c o m os i g u e : Y = 4.4933+ 0.0404N- 0.00027N2 E ' l a n á i i s i s d e v a r i a n c i a p a r a 1 a r e g r e s i ó ns e r í a : T a b l a d e a n á ' l i s j sd e v a r i a n c i a p a r a l a r e g r e s i ó n F. de V.. G.L.. S.C.. C.M.. Regresión. 2. 2.132. 1.066. Error. 12. 1.251. 0.104. Total. 14. 3' 384. 70.?2**. 0 t r o s e s t a d í s t i c o sd e i m p o r t a n c i as o n : R. = 0.63. .^. Sst =1.60x10-'. si, =1.7744x10-8 una interpretac.ióna la ecuaciónde regresi6n anteriomlenteestimadaes d e q u e l a r e s p u e s t ad e l a r r o z a 1 n i t r ó g e n os i g u e l a L e y d e l o s r e n d i 'la e c u a c i ó ne i g u a l a r a c e r o e n c o n t r a m i e n t o sd e c r e c i e n t e s . A I d e r i v a r ríamosel nivel de nitrógeno, que produceel máximorendimientoy al d e r i v a r l a e c u a c i ó ne i g u a l a r a l a r e l a c i ó n i n v e r s a d e p r e c i o s s e o b t i e n e co el óptimo económi.

(12) 173.. si. s e p o st u l a un modelode regresi6n lineal simple la ecuaciónserfa: Y = 4 . 9 2 2 4+ 0 . 0 1 5 9 N. Al graficar (se deia al lector) los dos modelos:Lineal y cuadrático' se 'tos datosque el lineal' o cuadráticoaiusta meior observaráque el model E.]ERCiCIOS 1.. papa' en La respuestaen incrementode peso (Y) al uso de harina de p o r c i n o ss e e x p r e s ae n l o s s i g u í e n t e sd a t o s :. v. I harina. 3.67. 10. 12.40. 20. 2 0 .8 3. JU. 24.50. 40. 24.73. EN. 3 0 .6 3. 60. 26.80. 70. a.. Ajuste una ecuaciónde regresi6n simple. b.. A j u s t e u n m o d e l oc u r v i l i n e o. ic.. Ias ecuacionegobteGrafique los datos originales y sobreponga el resultado. , nldas en a y b, Comente. d.. Realice tabla de análisis de variancfa para el modelocurvilfneo Y concluYa.. 'la. regresiónsegún.

(13) 174. e. Pruebe Ho: B, = 0. vs.. Ha: 3rl 0, use c = 0.05. Pruebe Ho: B¿= 0. vs.. Ha: B.l 0, use o = 0;05. f.. ffsico y R2, S. Obtengael máximo 2.. Los datos que se dan a continuacióncorrespondena malcesde clima frfo, se expresael rendiniento y dos de sus componentes:. Pesode granos. a.. 176.1. t56.2. 202.0. 183.1. 210.I. 184.4. 1 9 1. 8. 170.0. 188.6. 169.7. 1 7 7. L. 157.0. 179.6. 158.4. 193.6. 173.3. 111.6. 97.9. 130.5. L77.2. 1?n o. 115.3. 120.4. 106.9. 120.5. 107.2. 106.6. 9 4 .I. 119.8. 105.2. 125.6. 111.1. Proli fi ci dad. Asu¡na el modeloY = Bo+BrXr + g, X, + e y determinelos estimad o r e sn l n i m o sc u a d r á t i c opsa r a g o , S ¡ r B z ..

(14) :. 1:S. = E s I a r e g r e s i 6 ng l o b a ls i g n i f i c a t i v a ? ( u s ea 0 . 0 5 ) . r E s u n ad e 1 a sd o sv a r i a b l e sm á sú t i l q u e1 a otra para Predeci. b. c.. ento? el rendimi 3.. a longitud de hoias Los datos que se dan a continuacióncorresponden en mafz a diferente tiempode crecimiento.. Semanas. Cund.431. ntl e Cacahuaci. ICA H556. 4. 1 0 ,5 6. 11.59. 12.32. 6. 7 7. 9 9. t9.29. 2L.25. 8. 2 7. 4 2. 2 5 .8 1. 29.09. IU. 3 4 .1 6. 34.78. 3 8 .6 6. t2. 38.23. 40.30. 44.52. 14. 41.85. 54.72. 52.88. lo. 4 5 .1 4. 58.42. 57.48. l8. 49.07. 56.12. 5 6 .7 3. 20. 48.22. s8.62. 58.44. 22. 4 3 .5 1. 54.77. 5 5 .1 0. P a r a c a d a v a r i e d a dó h i b r í d o : A j u s t e u n a e c u a c i ó nd e r e g r e s i ó ns i m p l e A j u s t e u n m o d e l oc u r v Í l í n e o. b. c.. '. las ecuacionesobteniGrafique los datos originales y sobreponga das en a y b.. los resultae interprete agronómicamente Comente. dos. A. Realiceunatabladeanálisjsdevarianciaparalaregres.i6n' s e g ú ne l m o d e l oc u r v iI í n e o ..

(15) 116. e.. P r u e b e H o :B ¡ = 0. vs. Ha: S, I 0, use a = 0.05. f.. P r u e b e H o :g " = 0. vs. Ha: S, I 0, use o = 0.05. BIBLIOGRAFIA -. 195?. Statistiol Theory In R.L and T.A. BANCRoFT. ANDERSoN, l l o o kC o m p a n y . R e s e a r c hN . . Y, McGraw-HiB. -. D M P E RN , . R . a n d H . S M I T H . 1 9 6 6 . A p p l i e dr e g r e s s i o na n a l y s i s ' J o h n t , I i l e y& S o n s , I n c . N . Y . HUA¡{G, 0.S. 1970, Regressionand EconofietricMethods. John tliley & S o n s ,I n c . I l . Y ..

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