Cálculo diferencial integral en una variable Facultad de Ingeniería - IMERL Primer semestre Práctico Semana 05. (esto se puede deducir).

Universidad de la Rep ´ublica C ´alculo diferencial integral en una variable

Facultad de Ingenier´ıa - IMERL Primer semestre 2018

Pr ´actico Semana 05

1.

Integrales ( ´

Areas algebr ´aicas)

En esta secci ´on se trabajara con la idea intuitiva de integral, donde la integral de una funci ´on f en el intervalo [a, b] es el ´area signada entre el gr´afico y el eje x

Algunos ejemplos de integrales

R3 0 f (t)dt = 1 × 1 + 2 × 2 = 5 R2 0 g(t)dt = −1 × 2 = −2, R4 0g(t)dt = 0 R4 0 h(t)dt = 2×2 2 = 2

Todos los resultados de este pr´actico se podr´an probar formalmente luego, aqu´ı estan para dar ideas intui-tivas del problema y trabajar con acotaciones.

Se recuerdan las propiedades de ´area. Propiedades basicas de ´areas

Si A ⊂ B entonces ´Area(A) ≤ ´Area(B)

El ´area de un rect´angulo R de lados a y b es ´Area(R) = ab. El ´area de un tri´angulo rect´angulo T de base b y altura h es ´Area(T ) = hb₂ (esto se puede deducir).

Si A ∩ B = ∅ entonces ´Area(A ∪ B) = ´Area(A) + ´Area(B). Adem´as si dos rectangulos R1y R2se intersecan

s ´olo en lados entonces ´Area(R1∪R2) = ´Area(R1) + ´Area(R2) (esto ´ultimo en realidad se puede deducir).

Se puede asumir que todas las funciones de esta secci ´on son integrables.

1. Calcular la integral de las siguientes funciones en el intervalo [0, 2]. Aclaraci ´on: El valor [x] es la distancia de x al entero mas pr ´oximo.

a) f (x) = 1 b) f (x) = x c) f (x) = ( x si 0 ≤ x ≤ 1 x − 2 si 1 < x ≤ 2 d) f (x) = |x − 1| e) f (x) = 3[x] f ) f (x) = [3x] g) f (x) = x + [x] h) f (x) = x − [x] i) f (x) = b3xc j) f (x) =jx2k k) f (x) =2 sin(x) l) f (x) = b2 cos(x)c

2. Sean f , g dos funciones afines y a, b ∈ R con a < b. Verificar que Zb a f (x) dx =(b − a)(f (b) + f (a)) 2

Probar que si f (a)−g(a) = −(f (b)−g(b)) entoncesR_abf (x) dx =R_abg(x) dx. Realize en un ejemplo los gr´aficos

de f y g bajo estas condiciones e interprete geometricamente.

3. a) ¿Que valores de a y b, a < b, maximizan el valor de la integralR_abx − x2dx? b) ¿Que valores de a y b, a < b, minimizan el valor de la integralR_ab−_2x2_{+ x}4_dx? 4. Bosquejar las funciones Fi(x) =

Rx

0 fi(t)dt, para las siguientes funciones.

5. Calcule explicitamente y grafique la funci ´on F(x) =R₀xfi(t) dt para

a) f1= t+1 b) f2(t) = m´ax{t, 2−t} c) f3(t) = [t] d) f4(t) = t−[t] e) f5= m´ax{2[t], 1} 6. Ordenar de forma creciente en ´area los siguientes conjuntos:

a) un cuadrado de lado 2 b) un rect´angulo de lado menor 2 c) un rombo de diagonales 2

d) una circunferencia de radio 1 e) una elipse de eje mayor √1 2

7. Calcule el ´area de la regi ´on S comprendida entre las graficas de f y g, en el intervalo indicado para cada caso. Bosquejar en cada caso las dos graficas y sombrear S.

a) f (x) = x, g(x) = −x en [−2, 2] b) f (x) = x, g(x) = 1 − 2x en [−1, 2] c) f (x) = |x|, g(x) = |x − 1| en [−1, 1] d) f (x) = |x − 1|, g(x) = x en [0, 2]

e) f (x) = b2xc, g(x) = 2bxc en [0, 3] f ) f (x) = x, g(x) = d2xe en [0, 2]

8. Para las siguientes gr´aficas estimar el valor c tal queR_abf (x) dx = c(b − a), bosquejar el rectangulo de alto c y base [a, b]

En cada caso discutir la existencia de x0tal que f (x0) = c.

Dar un ejemplo de funci ´on integrable f tal que ∀c ∈ [a, b] se cumple queR_abf (x) dx , (b − a)f (c).

9. Estimar a partir de las gr´aficas las integrales de

a) f1(x) = 4 1 + x2 b) f2(x) = √ 1 − x2 _{c) f} 3(x) = 2x−1

Figura 1: gr´aficas de las funciones fi

10. Funciones convexas

Sea f : I → R una funci ´on, donde I es un intervalo o R, decimos que f es convexa si ∀x, y ∈ I, ∀t ∈ [0, 1] se cumple que f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y).

En otras palabras, dados dos puntos del gr´afico de f si se traza el segmento de recta por ellos, el gr´afico de f nunca esta por arriba del este.

a) Probar que la funci ´on f (x) = x2es convexa

b) Probar que f es convexa entonces

Zb a f (t) dt ≤ Z b a (t − a) f (b) − f (a) b − a ! + f (a) dt

c) Probar que si f es convexa y creciente entonces

Z a+b₂ a f (t) − f (a) dt ≤ Zb a+b 2 f (t) − f a + b 2 ! dt

11. Sea f : R → R una funci ´on monotona creciente e integrable. Probar que: d) n−1 X k=0 f (k) ≤ Zn 0 f (t) dt ≤ n X k=1 f (k) e) mn−1 X k=0 f_mk m ≤ Z n 0 f (t) dt ≤ mn X k=1 f_mk m , para todo m ∈ N +

2.

Definici ´on de integral y propiedades b ´asicas

(f , P ) y S∗(f , P ) en los siguientes casos

a) f (x) = 3x−1, P = {0, 1, 2, 3} b) f (x) = 2x, P = {−2, −1, 0, 1, 2} c) f (x) = −2x+3, P = {−1, 0, 1, 2} d) f (x) = 2x, P = {0, 1, 2, 3} e) f (x) = √ x, P = {0, 1, 4, 9} f ) f (x) = x2, P =  −_{1, 0,}1 2, 3 4, 1  g) f (x) = 1 x, P = {1, 2, 3, 4} h) f (x) = sin(x), P =  0,π 3, π 2, π  i) f (x) = cos(x), P =  0,π 6, π 4, π 3, π 2  j) f (x) = tan(x), P =  0,π 6, π 4, π 3  k) f (x) = arctan(x), P = ( 0,√1 3, 1, √ 3, ) 2.

a) Sea h : R → R tal queR−1₁h(t) dt = 0 y

R3

−₁h(t) dt = 6. Calcular

R3

1 h(t) dt. b) Sea f : R → R tal queR₂8f (t) dt = 20 yR₄8f (t) dt = −12. CalcularR₂4f (t) dt.

a) Probar queR₋4₁f (x) dx ≥ 14

b) Si adem´as se sabe que f (x) ≥ 3 para todo x ∈ [1, 3], hallar m ∈ R tal que 14 < m <R₋4₁f (x) dx.

4. Bosquejar la funci ´on f (x) definida por f (x) =(x si x ∈ Z 0 en otro caso CalcularR_abf (x) dx

5. Integrales polinomicas

a) CalcularR₁3x dx hallando sus sumas superiores e inferiores para particiones equispaciadas.

Recordar que Pn

i=1

i =n(n+1)₂ .

b) CalcularR₀3x2_{dx hallando sus sumas superiores e inferiores para particiones equiespaciadas.}

Recordar que Pn

i=1

i =n(n+1)₂ y Pn

i=1

i2=n(n+1)(2n+1)₆ .

c) CalcularR₀1x3dx hallando sus sumas superiores e inferiores para particiones equispaciadas. Puede

ser util recordar las f ´ormulas del pr´actico semana 03.

d) Sea fn: R → R definida por fn(x) = xn.

Dada la equipartici ´on de [0, 1] por k intervalos, digamos Pk, probar que

S∗(f , PK) − S∗(f , P_k) ≤ 1 k

Utilizar la desigualdad anterior para dar una f ´ormula que aproximeR₀1fn(x) dx con una precisi ´on

del 99,9 %.

6. Sea P una equipartici ´on de [0, 1], halle la suma superior e inferior de las siguientes funciones

a) f (x) =(0 si x ∈ Q 1 si x < Q b) f (x) = (0 si x ∈ Q x si x < Q c) f (x) = (1 si x =1_n, n ∈ N 0 en otro caso Determine cuales de estas funciones son integrables y cuales no.

7. De las siguientes variaciones de la definici ´on de integrabilidad, determine las implicancias entre ellas y si variaciones equivalentes.

La funcion f : R → R es integrable en el intervalo [a, b] si

a) (Definici ´on de integrable) Para todo  > 0, existe una partici ´on P de [a, b] tal que S(f , P ) − s(f , P ) ≤  b) Para todo  > 0, se cumple que toda partici ´on P de [a, b] verifica que S(f , P ) − s(f , P ) ≤ 

c) Existe  > 0, tal que existe una partici ´on P de [a, b] se verifica que S(f , P ) − s(f , P ) ≤  d) Existe  > 0, tal que para toda partici ´on P de [a, b] se verifica que S(f , P ) − s(f , P ) ≤ .

Para las siguientes funciones determinar cual de las varaiciones de integrabiliad se verifica:

f1(x) = x, f2(x) = 0, f3(x) =

(1 si x ∈ Q 0 si x < Q 8. Funciones de Lipschitz

Una funci ´on f : R → R se dice de Lipschitz o lipschitziana si existe K > 0 tal que para todo par de puntos

a) Probar que si f : [a, b] → R es integrable entonces la funci ´on F : [a, b] → R definida por F(x) =

Rx

af (t) dt, es lipschitziana.

b) Probar que si f es K lipschitziana entonces para todo intervalo [ai, ai+1] se cumple que

´ınf(f , [ai, ai+1]) ≥ f (ai) − K(ai+1−ai) y sup(f , [ai, ai+1]) ≤ f (ai) + K(ai+1−ai)

Utilize esto para probar que una funci ´on lipschitziana es integrable.

Las primeras desigualdades son una sugerencia. puede probar que una funci ´on lipschitziana es integrable de otra forma.

c) Sean f : R → R lipchitziana, no negativa, y a, b ∈ R con a < b. Probar que siR_abf (t) dt = 0 entonces f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Dar un ejemplo de funci ´on g : R → R no negativa, no nula, tal que

R1

0 g(t) dt = 0.

9. Probar que una funci ´on monotona creciente y acotada es integrable. Sugerencia: Para probar que es integrable en el intervalo [a, b], tomar una partici ´on equispaciadas de tama ˜no b−a_n

10. Sea f una estrictamente creciente en [a, b].

a) Probar que x Z a f (t) dt + f (x) Z f (a) f−1(t) dt − xf (x) + af (a) = 0 ∀ x ∈ [a, b]

Interprete geom´etricamente el resultado.

b) Calcular 2 R 1 √ t dt

11. Calcular F : R → R para los siguientes casos

a) F(x) = Z sin(x) −₁ 1 dt b) F(x) = Zcos(x) −₁ 1 dt c) F(x) = Z arctan(x) −₂ 1 dt d) F(x) = Z x 0 t dt e) F(x) = Zx2+1 x t dt f ) F(x) = Z |2x| x t dt

12. Sean f , g : [a, b] → R dos funciones integrables, no negativas. Sean P una particion de [a, b], M_i0, m0_i los supremos e infimos en el intervalo [xi, xi+1] para f . De forma an´aloga notamos M

00 i , m 00 i para g y Mi.mi para f g. a) Demuestre que Mi ≤M 0 iM 00 i y mi≥m 0 im00. b) Deduzca que S∗(f g, P ) − S∗(f g, P ) ≤ n−1 X i=0 [M_i0M_i00−_m0 im00](ti+1−ti)

c) Aplicando el hecho de que f , g estan acotadas, notemos M a una cota superior para ambas,

demues-tre que S∗(f g, P ) − S∗(f g, P ) ≤ M        n−1 X i=0 [M_i0−_m0 i](ti+1−ti) + n−1 X i=0 [M_i00−_m00 i](ti+1−ti)       

d) Demuestre que f g es integrable.

3.

Aplicaciones

1. a) Suponga que un auto se desplaza a una velocidad constante, digamos 50km/h , en una carretera

recta. Digamos adem´as que la posici ´on inicial era el kilometro 0, y a la media hora estaba en el kilometro 25.

1) Calcular la posici ´on del veh´ıculo en un momento t1gen´erico.

2) Deducir que se verifica la f ´ormula

x(t) =

Zt

0

50 dt

3) Verificar que la igualdad de la parte anterior sigue siendo valida si la velocidad es constante a trozos.

b) Suponga que 3 autos inician en el mismo lugar x1(0) = x2(0) = x3(0) y tienen velocidades 0 ≤ v1(t) ≤ v2(t) ≤ v3(t) donde v1y v3son constantes a trozos.

1) Deducir que Zt 0 v1(t) dt ≤ x2(t) ≤ Z t 0 v3(t)dt

2) Discutir sobre si es valida la afirmaci ´on

x1(t1) − x(0) =

Zt₁

0

v1(t)dt

c) Repetir las partes de este ejercicio para relacionar la velocidad v(t) con la aceleraci ´on a(t). Verificar

que x(t1) − x(0) = Zt₁ 0 Z t 0 a(s) ds ! dt

d) Dada una particula que solo se mueve en una direcci ´on. Probar que la definici ´on de velocidad media

coincide con la de valor medio para la integral.

e) Caida libre

Si se suelta una pelota desde un edificio, digamos de 20m de altura, una primera aproximaci ´on dice que podemos suponer que la ´unica fuerza que actua sobre ella es la gravedad (ignorando la resistencia del aire). Bajo estas hipotesis se obtiene que la aceleraci ´on hacia la Tierra es de 9,8m/s2. ¿Cu´anto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿A qu´e velocidad llega?

f ) Caida libre con resistencia al aire

Un objeto se deja caer desde un helicoptero. El objeto cae cada vez m´as r´apido pero su aceleraci ´on decrece con el tiempo debido a la resistencia del aire. La aceleraci ´on se mide en pies/seg2y se regis-tra cada segundo despues de soltar el objeto durante 5 segundos, como se muesregis-tra en la siguiente tabla

t 0 1 2 3 4 5

a 32.00 19.41 11.77 7.14 4.33 2.63

1) Encuentre una estimaci ´on superior para la velocidad cuando t = 5. Repita para una estimaci ´on inferior.

4.

Complementarios

1. a) De ejemplo de 2 funciones f , g que sean integrables pero que f ◦ g no lo sea.

b) Determinar si es verdadero o falso la siguiente afirmacion. Si f2es integrable entonces f lo es 2. Sea f : R → R defnida por

f (x) =( 01 si x < Q

q si x = p q, con

p

q fracci ´on irreducible

Probar que f es integrable. 3. Sea f : R → R definida por

f (x) = ( 1 si x = a + b √ 2, a, b ∈ Z 0 en otro caso Determinar si f es integrable

Ejercicios m´ınimos obligatorios

D´ıa 1

• Ejercicio 1.1 dos por fila • Ejercicio 1.3

• Ejercicio 1.7 uno por fila • Ejercicio 1.8 y 1.9 D´ıa 2

• Ejercicio 1.4

• Ejercicio 2.1 uno por fila • Ejercicio 2.2 y 2.3 • Ejercicio 2.5.a y 2.5.b D´ıa 3 • Ejercicio 2.11 • Ejercicio 2.7 • Ejercicio 2.8 • Ejercicio 3.1