ESTUDIO DE UN MODELO NO LINEAL
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO: PLANO INCLINADO
Autor: Fís. Abraham Vilchis Uribe. Fecha: Primavera–2006
OBJETIVOS
• Encontrar la relación que existe entre la distancia x, y el tiempo t, cuando un móvil se mueve con aceleración constante en una sola dimensión, escribiendo su ecuación experimental explícita.
• Ensayar una aproximación logarítmica para encontrar la relación que existe entre la distancia x, y el tiempo t, cuando un móvil se mueve con aceleración constante en una sola dimensión, escribiendo su ecuación experimental explícita.
• Identificar el significado físico de la pendiente, m, y de la ordenada al origen, b, en la aproximación logarítmica de los datos de distancia x, y tiempo t, cuando un móvil se mueve con aceleración constante en una sola dimensión, escribiendo sus valores experimentales explícitos.
• Estimar la magnitud de la aceleración de un móvil que se mueve con aceleración constante en una sola dimensión, escribiendo su valor experimental explícito.
HABILIDADES A DESARROLLAR
• Tomar datos utilizando el programa LoggerPro.
• Analizar datos por el método de los Mínimos Cuadrados.
• Interpretar los resultados que arroja el método de los Mínimos Cuadrados.
• Establecer diferencias y similitudes entre un modelo lineal y un modelo no lineal.
INTRODUCCIÓN
Se dice que un objeto o partícula experimenta un movimiento uniformemente acelerado (MUA), cuando se mueve en línea recta con aceleración constante. Este movimiento requiere entonces que el objeto o partícula tenga una aceleración constante distinta de cero en una sola dirección, lo cual implica que la sumatoria de las fuerzas externas actuando en esa partícula u objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración. Matemáticamente se puede expresar mediante la segunda ley de Newton, asumiendo que sólo se mueve en la dirección X:
Posicióncomo función del tiempo: 0 0x a0xt2 2 1 t v x x= + + aox ΣFx
Velocidad como función del tiempo: v = vox+ aox t
Partícula de masa m Aceleración como función del tiempo: a = aox = cte.
Sumatoria defuerzas: ΣFx = maox
Donde xo es la posición inicial al tiempo cero, y vox es la velocidad inicial al tiempo cero. Así pues, si se quiere experimentar con un móvil que se mueve describiendo un movimiento uniformemente acelerado, debemos asegurarnos que las fuerzas externas actuando sobre la partícula u objeto tengan una sola componente distinta de cero en la dirección «x» para que su aceleración sea constante y distinta de cero en esa misma dirección.
ACTIVIDAD: Para conseguir los objetivos propuestos arriba, vamos a necesitar el siguiente material:
MATERIAL: 1.- Interfase LabPro con un sensor de ultrasonido. 2.- Flexómetro. 3.- Carrito. 4.- Soporte universal. 5.- Plano inclinado
1
4 2 3
5
INSTRUCCIONES:
I.1. Predice cómo será la gráfica de la distancia–tiempo para un M. U. A. Dibújala en tu bitácora, recuerda que el tiempo, t, es tu variable independiente y la distancia, y, es la
variable dependiente.
I.2. Arma un dispositivo como lo muestra la foto y toma una serie de datos distancia-tiempo cuando el carrito baja por el plano inclinado partiendo del reposo. Para hacer esto consulta el Apéndice. 50.0 cm Sensor de Ultrasonido Carrito Plano inclinado
I.3. Una vez que tomaste la serie de datos; compara esta gráfica con la dibujada en la predicción de la actividad I.1, ¿son iguales o diferentes? Explica ampliamente en tu bitácora.
I.4. Selecciona los últimos diez datos distancia-tiempo y, utilizando una aproximación logarítmica, efectúa el ajuste por mínimos cuadrados para los datos linealizados; recuerda que: VI = Ln(t); VD = Ln(x).
i) Efectúa un ajuste por mínimos cuadrados de estos datos.
ii) Calcula la pendiente y la ordenada al origen con sus desviaciones estándar, sus unidades y sus cifras significativas.
iii) Escribe las respuestas en tu bitácora recordando que debe tener el siguiente formato:
Pendiente: m =
(
m
±
S
m)
unidades
. Significado físico: Ordenada al origen: b =(
b
±
S
b)
unidades
. Significado físico:Escribe en la bitácora la ecuación explícita de para el logaritmo natural de la distancia en función del logaritmo natural del tiempo. Recuerda que debe tener el siguiente formato: I.4.1) Ln(x)=(m±Sm )Ln(t)+(b±Sb); ¿unidades?
Donde Ln(x) es la variable dependiente y Ln(t) es la variable independiente. La pendiente y la ordenada al origen serán las calculadas mediante los mínimos cuadrados.
I.5. A partir de los valores para la pendiente y para la ordenada al origen calculados en el paso anterior, obtén la función explícita de la distancia como función del tiempo. Desarrolla en tu bitácora el álgebra hasta obtener la siguiente expresión:
Ec. I.5.1) (m Sm) k
)t
S
k
(
x
=
±
± ; ¿unidades? Recuerda que: ( ± )=eb ±ebSb k S kDISCUSIÓN: Para saber si se cumplieron los objetivos propuestos, contesta las siguientes preguntas.
D.1.- ¿Qué tipo de linealización efectuaste para analizar los datos experimentales de
distancia y tiempo?
D.2.- De acuerdo con los resultados del experimento y del análisis de los mismos: ¿cuál es
el significado físico de la pendiente y de la ordenada al origen del modelo linealizado?
D.3.- En palabras del equipo, ¿son lógicos los valores para la pendiente y la ordenada al
origen obtenidos en I.4? Explica ampliamente en tu bitácora.
D.4.- De acuerdo con los resultados del experimento y los diferentes análisis de los
mismos: ¿qué tipo de relación existe entre la distancia y el tiempo? Explica ampliamente en tu bitácora:
a) Senoidal del tipo: y = Aseno(mx +ϕ) b) Exponencial del tipo: y = kemx c) De potencia del tipo: y = kxm d) Lineal del tipo: y = mx + b
D.5.- En palabras del equipo, ¿el modelo encontrado en I.5.1 concuerda con lo esperado en
la teoría? Explica ampliamente en tu bitácora.
D.6.- De acuerdo con la Ec. I.5.1), en tu bitácora calcula el valor de la magnitud de la
aceleración del carrito, a, con su desviación estándar y con el número adecuado de cifras
significativas ¿Es lógico este valor?
D.7. Un ejercicio muy interesante es analizar los datos de velocidad contra tiempo y encontrar su ecuación experimental explícita. Una vez obtenida ésta, utilizarla para encontrar la aceleración del carrito por otra vía y compararla con la obtenida arriba ¿Cómo se hace esto?
D.8.- Realiza algunas predicciones utilizando el onceavo dato para el valor del tiempo y
calculando entonces los valores correspondientes para la distancia y para la velocidad.
IMPORTANTE: haz un diagrama de cuerpo libre del carrito para poder completar el análisis midiendo el ángulo (≈ 7.9 °) del plano inclinado.
APÉNDICE
CÓMO CONECTAR Y TOMAR DATOS CON EL SENSOR DE ULTRASONIDO
Regresar: ;
A.1.- Conecta el sensor de ultrasonido a la interfase:
Cable USB
Sensor en: DIG/SONIC 1 Eliminador de corriente.
A.2.- Abre el programa LoggerPro3.3 siguiendo la ruta habitual: Inicio → Programas → Vernier Sofware → Logger Pro 3.3 y va a aparecer la pantalla de abajo: haz clic en Close.
Click
A.3.- Haz cero la distancia inicial: Coloca el carrito a una distancia de 0.50 m del sensor y abre: Experiment → ZERO.
A.4.- Haz clic en Collect y deja rodar el carrito. PRECAUCIÓN: nada debe interferir con
el sensor. Aparecerá una gráfica muy parecida a la siguiente:
A.5.- En tu bitácora copia once datos distancia-tiempo de la región donde bajó el carrito
con aceleración constante, por ejemplo, la zona sombreada y continúa con las actividades: