Análisis del caso promedio El plan:

Análisis del caso promedio

•

El plan:

– Probabilidad

– Análisis probabilista

– Árboles binarios de búsqueda construidos aleatoriamente

– Tries, árboles digitales de búsqueda y Patricia

– Listas “skip”

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Recordar… árbol binario de búsqueda (

abb

):

– La clave de todo nodo es mayor o igual

que las de sus descendientes izquierdos y menor que las de sus descendientes derechos.

– Las operaciones básicas (búsqueda, inserción, borrado…) tienen un

coste O(h), donde h es la altura del árbol.

– La altura de un abb varía con las inserciones y

borrados y, en el peor caso, puede llegar a ser igual al número de nodos, O(n).

¿Qué ocurrirá en un caso “promedio”?

ama su a al eso si sin

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Abb

de

n

nodos construido aleatoriamente:

– Es el resultante tras la inserción consecutiva de n

claves en orden aleatorio en un árbol vacío,

suponiendo que las n! permutaciones posibles de las claves son equiprobables.

– La pregunta: ¿cuál es el coste promedio de las operaciones con estos árboles?,

es decir, ¿cuál es la altura media de estos árboles?

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Longitud de los caminos internos y externos de

un árbol binario

– Definición. Árbol binario extendido: el resultante de añadir un nodo

especial en el lugar de cada subárbol vacío.

– Definición. Longitud de

caminos externos, E: es la suma de las longitudes de todos los

caminos desde la raíz hasta las hojas, .

– Definición. Longitud de caminos internos, I: es la suma de las longitudes de todos los caminos desde la raíz hasta todos los nodos internos, .

ama su a al eso si sin E = 26 I = 12

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Teorema:

E

=

I

+ 2

n

, donde

n

es el número de

nodos internos.

– Demostración: supongamos que se borra un nodo

interno V a distancia k de la raíz y tal que sus dos hijos son hojas.

• En tal caso, E disminuye en 2(k+1), porque los hijos de V

desaparecen, y aumenta en k, porque V pasa a ser hoja, luego

E se convierte en E-k-2.

• Por otra parte, I disminuye en k.

• Por tanto, E-I disminuye en 2 por cada nodo que se borra. • Borrando los n nodos se llega a un árbol vacío, es decir con

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Notación y relación fundamental:

– C_n : número medio de comparaciones en una búsqueda con éxito en un árbol de n nodos construido aleatoria- mente, suponiendo que la búsqueda de toda clave es equiprobable.

– C_n ': número medio de comparaciones en una búsqueda sin éxito, suponiendo que cada uno de los n+1

intervalos entre las claves y fuera de sus valores extremos son equiprobables.

– Entonces: C_n = 1 + I/n y C_n ' = E/(n+1) – Por tanto (E = I + 2n): 1 1  1        _n n C n C

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Finalmente…

– El número de comparaciones necesarias para

encontrar una clave es exactamente uno más que el número de comparaciones que se necesitaban cuando esta clave no estaba en el árbol, por tanto:

que unido a nos da la recurrencia: (n+1)C_n ' = 2n + C₀ ' + C₁ ' +  + C_n-1 ' n C C C C_n n        ₁ 0 1  1 1 1 1           _n n C n C

Supongamos que cada una de las n! ordenaciones posibles de las n claves es una secuencia de inserción igualmente probable para construir el árbol

Abb

’s construidos aleatoriamente

– Para resolver (n+1)C_n ' = 2n + C₀ ' + C₁ ' +  + C_n-1 ' se resta nC_n-1 ' = 2(n-1) + C₀ ' + C₁ ' +  + C_n-2 ' y se obtiene (n+1)C_n ' - nC_n-1 ' = 2 + C_n-1 ' es decir C_n ' = C_n-1 ' + 2/(n+1) y como C₀ ' = 0, entonces C_n ' = 2H_n+1 – 2 donde H_n es la serie armónica

Aplicando y simplificando: ) 1 ( ln 1 1 O n i H n i n      1 1 1           _n n C n C ) (log 3 1 1 2 H O n n C_n  _n         

Abb

’s construidos aleatoriamente

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El anterior es un buen resultado, pero…

– Si un abb se construye aleatoriamente y se “somete” después a una secuencia de inserciones aleatorias y de

borrados aleatorios, el árbol resultante pierde la aleatoriedad, con lo que se carece de resultados

teóricos sobre el coste promedio de las operaciones.

– No obstante, la evidencia empírica sugiere que tras una secuencia de borrados e inserciones aleatorios, la altura del árbol tiende a disminuir, si bien no he

encontrado en la literatura la explicación teórica de este comportamiento.

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Otra definición de “

abb

’s elegidos al azar”:

– Hipótesis de equiprobabilidad de todos los abb’s

posibles de n nodos.

– Primera cuestión: ver que ésta es una definición de “abb aleatorio” distinta a la anterior.

• Hay 5 abb’s distintos de 3 nodos (suponer a₁ <a₂ <a₃ ), por tanto cada uno tiene probabilidad 1/5:

a₁ a₂ a₃ a₁ a₃ a₁ a₃ a_{2 a} 1 a₃ a₂ a₃ a₂

Abb

’s construidos aleatoriamente

• Sin embargo, construyéndolos a partir de las permutaciones posibles de a₁ , a₂ , a₃ salen 6, cada uno con probabilidad 1/6:

a₁ a₂ a₃ a₁ a₃ a₂ a₂ a₁ a₃ a₂ a₃ a₁ a₃ a₁ a₂ a₃ a₂ a₁ a₁ a₂ a₃ a₁ a₃ a₂ a₁ a₃ a₂ a₁ a₃ a₂ a₁ a₃ a₂ a₁ a₃ a₂

Es decir, ¡éste árbol tiene el doble de probabilidad que los otros! (1/3)

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Cálculo de la profundidad media de un nodo en

un

abb

de

n

nodos elegido al azar:

– Recordar: longitud de caminos internos, I_n , de un

árbol de n nodos (suma de las longitudes de todos los caminos desde la raíz hasta todos los nodos internos).

– I₁ = 0

– Un árbol de n nodos tiene un subárbol izquierdo con i nodos (para algún 0  i < n) y un subárbol derecho con n-i-1 nodos, por tanto:

Abb

’s construidos aleatoriamente

– Hipótesis adicional: el número de nodos de un

subárbol (izquierdo o derecho) de un abb de n nodos elegido al azar es equiprobable para todos los valores posibles (de 0 a n-1), por tanto:

– Y aplicándolo a la recurrencia anterior (se omite el operador esperanza por comodidad), se obtiene la recurrencia:        1 0 1 1 ] E[ ] E[ n j j i n i I n I I 1 2 1 0             I n n I n j j n

Abb

’s construidos aleatoriamente

– Resolución de: • Multiplicando por n: • Y por tanto: • Restando ambas: • Es decir: 1 2 1 0             I n n I n j j n n n I nI n j j n             2 1 0 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 0 1                I n n I n n j j n 2 2 2 ) 1 (  ₁  ₁    n I _ I _ n nI_{n n n} 2 2 ) 1 (  ₁    n I _ n nI_{n n}

Abb

’s construidos aleatoriamente

– Y para resolver esta nueva recurrencia:

• Dividiendo por n(n+1) y despreciando la constante:

• Luego: 2 2 ) 1 (  ₁    n I _ n nI_{n n} 1 2 1 1     n n I n I_{n n} 3 2 2 3 1 2 2 1 2 1 1 2 3 2 2 1               I I n n I n I n n I n I n n n n        1 3 1 ₂ 1 2 1 : sumando n i n i I n I

Abb

’s construidos aleatoriamente

• Finalmente, como

• Se sigue que

• Y como I_n es la suma de las longitudes de todos los caminos desde la raíz hasta todos los nodos internos, entonces la

profundidad media de cada nodo es O(log n). ) log (n n O I_n  armónica) (serie ) (log 1 2 1 3 n O i n i   

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

De nuevo, al anterior es un buen resultado pero…

– El efecto de las operaciones de borrado destruye la

aleatoriedad.

– No he encontrado en la literatura resultados teóricos sobre el coste promedio resultante considerando

secuencias de operaciones de inserción y borrado.

Abb de 500 nodos

Profundidad media: 9’98

Tras 250.000 pares de operaciones de inser- ción y borrado. Profundidad media: 12’51

Abb

’s construidos aleatoriamente

•

Para evitar el crecimiento de la altura del árbol

hay dos tipos de soluciones:

– Realizar alguna operación de “equilibrado” del árbol tras cada inserción/borrado (árboles AVL, árboles 2-3, árboles B, árboles rojinegros).

– Renunciar a un equilibrado tan estricto y aplicar

alguna regla de re-estructuración que ayude a que las futuras secuencias de operaciones sean más eficientes (análisis amortizado, lo veremos más adelante).

• Este tipo de estructuras se llaman auto-organizativas (listas auto-organizativas, árboles auto-organizativos o “splay