Límite de una función
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
Límite matemático
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En
cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se
representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Límite de una sucesión
La sucesión para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.
Artículo principal:Límite de una sucesión.
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para
valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a ), y se denota como:
si y sólo si para todo valor realε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor
que converjan a cuando crezca sin cota. Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
Límite de una función
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal:Límite de una función.
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe: si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a Lsi y sólo si para todo número realε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades".
Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:
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Límite de una sucesión de conjuntos
Artículo principal:Límite (sucesión de conjuntos).
En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,
Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.
Límite de una sucesión de conjuntos
Artículo principal:Límite (sucesión de conjuntos).
En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la
definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,
Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.
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Redes
Véase también:Red (matemáticas)
Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios
topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites. Sea un espacio topológico y una red en . Se dice que es un punto límite de la red si la red está eventualmente en cada entorno de , es decir, si cualquiera que sea el entorno de (esto es, cualquiera que sea el conjunto de forma que exista un abierto tal que ) existe un de tal forma que para
cada con se cumple que . [editar]
Filtros
Véase también:Filtro (matemáticas)
En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o , si para todo entornoU de x, existe un B0∈B tal que B0⊆U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base
convergente.12
De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a éstas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en Xde un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro B de f es y, denotado como
si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.1
Límite de Banach
Artículo principal:Límite de Banach.
En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional linealcontinuo definido sobre el espacio de Banach para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si es una sucesión
convergente, entonces , generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, es una extensión del funcional continuo 3
En particular, la existencia del límite de Banach no es única.3
En teoría de categorías, una rama de la matemática, la noción abstracta delímite captura las propiedades esenciales de las construcciones universales tales como productos y límites inversos. La noción dual de colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, pushouts y límites directos.
Los límites y colímites, como las nociones fuertemente relacionadas con propiedades universales y funtores adjuntos, existen a un gran nivel de abstracción. De manera que, para
entenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos de esos conceptos que serán luego objeto de generalización.
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Definición
Antes de definir el límite de un funtor covariante debemos definir el cono (en el sentido teoría de categorías, de cone) de un funtor (covariante) F : J C , ayudándonos del diagrama de abajo, que consta de:
Dos objetos de la categoría J: X e Y.
Un morfismo f, de dicha categoría, f:X Y
Las imágenes por F de los dos objetos X e Y.
La "F-imagen" del morfismo f (imagen de f por F: F(f)).
Un objeto L de la categoría C, "vértice" del "cono".
Los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X) , y desde L hacia F(Y).
Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.
Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, un cono (L, X) de F decimos que es un límite para el funtor F si y sólo si para todo otro cono (N, X) de F, existe sólo un morfismo u: N L tal que X · u = X.
Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u. La definición de colímite y de co-cono es la de arriba pero con todas las flechas "al revés". Debiera explicitarse.
Regla del cociente
En cálculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.
y ≠ , entonces la regla afirma que la derivada de es igual a:
O de forma más precisa, para toda que pertenece a algún conjunto abierto que contiene al número , con ≠ ; y, tal que existen y ; entonces, también existe:
Ejemplo
La derivada de es:
El de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, sobre el de abajo al cuadrado.
En el ejemplo de arriba, se ha escogido:
De forma análoga, la derivada de (cuando ≠ 0) es: Para más información en lo referente a las derivadas de las funciones trigonométricas, véase: derivada.
donde y , y . La derivada de se determina tal como sigue:
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Demostraciones
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A partir de la definición de derivada
Suponiendo quedonde ≠ 0 y y son derivables.
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A partir de la regla del
producto
El resto consiste al aplicar las reglas del álgebra para hacer que sea el único término del miembro izquierdo de la ecuación y para
eliminar del miembro derecho de la ecuación.
De forma alternativa, se puede aplicar la regla del producto directamente, sin tener que usar la sustitución: Y acto seguido aplicar la regla de la cadena para derivar : [editar]
A
partir de
la regla
de la
cadena
Se considera la identidad Entonce s Llev a a O p e r a n d o s e o b t i e n e
P a r a a c a b a r , s e s a c a c o m ú n d e n o m i
n a d o r y q u e d a e l r e s u l t a d o e s p e r a d o
[ e d i t a r ]
U
t
i
l
i
z
a
n
d
o
d
i
f
e
r
e
n
c
i
a
l
e
s
t
o
t
a
l
e
s
U n a d e m o s t r a c i ó n i n c l u s o m á s e l e g a n t
e e s c o n s e c u e n c i a d e l a l e y r e f e r e n t
e a l o s d i f e r e n c i a l e s t o t a l e s , q u e d
i c e q u e e l d i f e r e n c i a l t o t a l , d e c
u a l q u i e r f u n c i ó n e n c u a l q u i e r c o n j u n
t o d e c a n t i d a d e s s e p u e d e d e s c o m p o n e
r d e l a s i g u i e n t e f o r m a , s i n i m p o r t a
r q u é v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s h a y a
e n l a f u n c i ó n ( e s d e c i r , n o i m p o r t a
q u é v a r i a b l e s s e t o m e n y a q u e n o p u e
d e n e x p r e s a r s e c o m o f u n c i o n e s d e o t r
a s v a r i a b l e s ) . E s o q u i e r e d e c i r q u e ,
s i N y D s o n l a s d o s f u n c i o n e s d e u
n a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e x , y , e n
t o n c e s h a d e s e r v e r d a d s i m u l t á n e a m e
n t e q u e (*) Y q u e .
Te explico: la noción de límite, busca capturar el comportamiento de la función "cerca" del punto de interés. No nos importa qué le pasa a la función lejos del punto en cuestión. Lo que quieres lograr, es que para cada , puedas encontrar un de forma que si en las preimágenes te encuentras a lo mucho a distancia de , en las imágenes te encuentres máximo a distancia de . Para ello, puedes restringir tu estudio al intervalo (o si quieres uno más pequeño o más grande, da lo mismo). De esta forma, cuando te muevas en ese intervalo, tendrás que . Ahora tenemos que (*). Queremos que sea menor a y tenemos completa libertad sobre . A partir de (*) vemos que si
tomamos , se tiene que . Pero recordemos que esto es válido si estamos en el intervalo , por lo que si es muy grande, nos salimos de este. Es por eso que tomamos para que se cumpla siemre lo que queremos.
Preparado p
or JOHN JA
IRO GARCÍ
A MORA Pá
gina
1
LÍMITE
DE FUN
CIONES
TRIGON
OMÉTRI
CAS
Antes de
analizar este
tipo de
límites
recordemos
algunos
conceptosbá
sicos de la
trigonometrí
a y de lo
relacionados
con esos
conceptos,lu
ego
estudiaremo
s los límites
de las
funciones
seno
y coseno
cuandoel
ángulo
tiende a
cero, y
algunos
límites
especiales
que no
puedenresol
verse por
los procedi
mientos
ya estudiad
os.La
medida en
radianes de
unángulo ,
está definid
a por, dond
e es la longi
tuddel arco
interceptad
o por
elángulo sob
re unacircun
ferencia de r
adio , cuyoc
entro
coincide con
el vérticedel
ángulo
según
podemosrec
ordar en la
figura 1.En
la figura 2
considerem
osahora un
círculo de
radio
unoy un án
gulo agudo
cuyamedida
en radianes
es
.
Como se tie
ne entonces
queEl
triángulo
rectánguloti
ene como c
atetos a y a
, en la
circunferenc
ia deradio 1
se obtiene
que:Podemo
s decir que
la medidade
los catetos
es:Si
empleamos
el teorema
dePitágoras
se
obtiene:La
longitud del
arco entre
los puntos P
y A es
mayor que
el
segmentoqu
e une los
mismos
puntos o
que es
mayor que
el ángulo ,
podemosesc
ribir como
:
Figura
1Figura 2
Preparado p
or JOHN JA
IRO GARCÍ
A MORA Pá
gina
2
Recordando
las
propiedades
básicas de
la suma
podemos
expresarque
si los dos
miembros
de la
desigualdad
anterior son
sumandosp
ositivos,
cada uno de
ellos esDe
la definición
formal de
límite: si
tomamos
un épsilon
como
unnúmero
positivo, y
asumimos
que delta y
épsilon son
iguales de
talforma
que el valor
absoluto del
seno del
ángulo Alfa
es menor
que elpropio
Alfa y este
menor que
épsilon y de
igual
manera se
planteapara
el otro
cateto
tenemos:Sie
mpre que:
siempre que por l
o quesiempre que
por lo que
Limites
de las
funcione
s
trigonom
étricasTe
orema:
Si
c
es un
número real
en el
dominio de
la
funcióntrigo
nométrica
indicada, se
cumple:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Cuando
calculamos
límites
trigonométri
cos es
necesario
recordar
lassiguiente
s
identidades
básicas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Preparado p
or JOHN JA
IRO GARCÍ
A MORA Pá
gina
3
Veamos
ahora dos
límites que
podemos
llamar
especiales y
que sonde
gran
utilidad
al evaluar
límites
trigonométri
cos:1.
Límite
especial
1.Si medim
os el ángulo
en radianes
y sabiendo
que nuestro
denominado
r no puede
ser cero,
realicemos
una tabla
de valores
convalores
próximos a
cero tanto
por
la izquierda
como por la
derecha:
0.4 0.3
0.2 0.1
-0.01 -0.01 0.1
0.2 0.3
0.40.973 0.98
5 0.993 0.998
0.999 0.999 0.
998 0.993 0.9
85 0.973
Podemos
deducir
entonces
que:Ejempl
o 1: Hallar
el valor de
Solución.
En esta
función
debemos
aplicar la
propiedad
fundamenta
lde los
racionales
que me
permite
hallar
racionales
equivalente
s:
Multipliquem
os
numerador y
denominador
por 3:
2.
Para nuestro
segundo
límite
especial:
Recordando
que el
coseno de
cero grados
vale 1,
obtendríamo
s
unaindetermi
nación 0/0,
destruimos
ésta
multiplicando
por
su conjugada
:
De la
identidad Nº 1
*
Podemos
concluir:
P e r o s a b i e n d o q u
e y . S u s t i t u y e n d o y h a c i e n d o e s t
o s d i f e r e n c i a l e s t o t a l e s i g u a l e s a u
n t e r c e r o ( d a d o q u e r e p r e s e n t a n l í m i
t e s q u e s e p u e d e n m a n i p u l a r ) , s e o b t
i e n e l a e c u a c i ó n L a c u a l r e q u i e r e
q u e (#) . C a l c u l a n d o l a s p a r c i a l e s d e l a
d e r e c h a : ; . S i s e s u s t i t u y e n d e n t r
o d e ( # ) , y decimos "el límite de , cuando x tiende a a, es igual a L"
si podemos acercar arbitrariamente los valores de a L (tanto como deseemos) tomando a x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.
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Límites Laterales
Límite por la izquierda
Escribimos
decimos que el límite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a[ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda] es igual a L, si podemos aproximar los valores de a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero menor que a.
Límite por la derecha
Escribimos
decimos que el límite derecho de f(x) cuando x tiende a a[ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha ] es igual a L, si podemos aproximar los valores de a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero mayor que a.
Teorema de la existencia del límite si y sólo si y
Lee mas en : Límite de una función de una variable, por WikiMatematica.org www.wikimatematica.orgLímite por la izquierda
Escribimos
decimos que el límite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a[ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda] es igual a L, si podemos aproximar los valores de a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero menor que a.
Límite por la derecha
Escribimos
decimos que el límite derecho de f(x) cuando x tiende a a[ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha ] es igual a L, si podemos aproximar los valores de a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero mayor que a.
Teorema de la existencia del límite si y sólo si y
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Escribimos
decimos que el límite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a[ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la izquierda] es igual a L, si podemos aproximar los valores de a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero menor que a.
Límite por la derecha
decimos que el límite derecho de f(x) cuando x tiende a a[ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha ] es igual a L, si podemos aproximar los valores de a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero mayor que a.
Teorema de la existencia del límite si y sólo si y
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Propiedades de los Limites
Si c es una costante y existen los limites
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
--Jorgetr 00:43 26 jul 2009 (UTC)
Nota: Es importante saber como se traduce lo escrito con anterioridad , por ejemplo el teorema #1 se traduce como: el límite de una suma es la suma de los límites otro ejemplo sería el teorema #4 el cual se traduce como: el límite de una multiplicación es la multiplicación de los límites y así con el resto de teoremas.
Nota: Es importante saber como se traduce lo escrito con anterioridad , por ejemplo el teorema #1 se traduce como: el límite de una suma es la suma de los límites otro ejemplo sería el teorema #4 el cual se traduce como: el límite de una multiplicación es la multiplicación de los límites y así con el resto de teoremas.
Ejemplo #1 Ejemplo #2 Evaluar.
--Jorgetr 01:24 26 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #3 Evaluar.
--Jorgetr 01:24 26 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #4
--DiegoTello (II) 08003368 23:31 27 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #5 Evaluar.
--DiegoTello (II) 08003368 23:53 27 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #6
Evaluar.
Como esta no se puede evaluar de una vez, por que seria indefinido. factorizamos para que el denominador se pueda evaluar!
Evaluamos el limite.
--Jorgetr 04:06 29 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #7
Evaluar.
En esta no se puede evaluar el limite, ni factorizar lo que se hace es hacer una tabla con valores muy cercanos
al valor que tiende el limite y estimar el valor de este. ___________________ El Valor aproximado es 1. --Jorgetr 04:35 29 jul 2009 (UTC)
Ejemplo #8
=
Ejemplo #10
Ejemplo #11
Cálculo en una variable/Límites
< Cálculo en una variableIntroducción
Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.
Es preferible comenzar con una función f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4.Sin embargo seamos un poco mas ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así Esta última función es igual a en todas partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como
Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Ahora usando variables podemos decir que L es el límite de una función f(x) cuando a x se aproxima a c si f(x) ≈ L cuando x ≈ c.
Decimos que el límite, cuando x se aproxima a c, de f(x) es L, si L existe como un número finito. Y lo expresamos algebráicamente como sigue
Intuitivamente, el límite L es simplemente el número al que f(x) se hace más y más cercana cuando x se aproxima a c, pero f(c) no necesita estar definido.
Esta idea de hablar acerca de una función cuando se aproxima a algo fue un descubrimiento importante, porque permite hablar de cosas de las que antes no se hubiera podido. Por ejemplo, consideremos una función 1/x. Cuando x se hace muy grande, 1/x se hace muy pequeña, más y más cercano a cero, cuanto más grande se haga x. Sin los límites es muy difícil hablar de este hecho, porque 1/x nunca llega realmente a ser cero. Pero el lenguaje de los límites existe
precisamente para permitirnos hablar de acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, sin preocuparnos acerca de que nunca llegará allí. Así que podemos decir
Para ver el poder del límite, vayamos atrás al ejemplo del auto en movimiento del que hablamos en la introducción. Suponga que tenemos un auto cuya posición es lineal con el tiempo. Queremos encontrar la velocidad. Esto es fácil de hacer desde el álgebra, simplemente tomamos la inclinación de la recta distancia contra tiempo para este auto y esta es nuestra velocidad.
Pero desafortunadamente (o tal vez afortunadamente si usted es un profesor de cálculo), las cosas en el mundo real no siempre viajan en agradables líneas rectas. Los carros aceleran, desaceleran, y generalmente se comportan en formas que hacen difícil calcular sus velocidades. (figura 2). Ahora lo que realmente queremos es encontrar la velocidad en un momento dado. (figura 3). El problema es que para encontrar la velocidad necesitamos dos puntos, mientras que en cualquier tiempo dado, sólo tenemos un punto. Podemos, por supuesto, encontrar siempre la velocidad promedio de auto, dados dos puntos en el tiempo, pero queremos encontrar la velocidad del auto en un momento preciso.
Acá es donde el truco básico del cálculo diferencial entra. Elegimos un par de puntos en nuestra gráfica de posición contra tiempo, uno en donde queremos hallar la velocidad instantánea y otro en cualquier otro sitio y luego trazamos una línea entre ellos. Empezamos a acercar cada vez más y más este último punto al primero y a trazar sucesivas líneas, entre ellos. En la medida en que los puntos se hacen más cercanos, la pendiente de la línea se acerca a la velocidad instantánea. [editar]
Definición formal de límite
La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarla primero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscinta.
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o
si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que, para todo x, si 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε
Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entre este número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entre los dos números involucrados en ella. Démonos cuenta que ε y δ en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de f(x) y L, como entre los de c y x.
Es decir, una vez escogida una distancia entre x y c menor que δ pero mayor que cero
(pues c se acerca a x pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre f(x) y L es menor a ε Independientemente del ε elegido.
[editar]
Límites laterales
Obsérvese que sobre la recta real estamos en condiciones de acercarnos a una valor
particular de x bien sea por valores más grandes (a la derecha) o por valores más pequeños (a la izquierda). Debido a que existen funciones que no se comportan del mismo modo a la izquierda y a la derecha de un valor dado, el concepto de límite lateral puede ayudarnos a dilucidar este tipo de comportamiento. Consideremos por ejemplo la función parte entera de x
o escalón unitario (usada frecuentemente para exponer la idea de límites laterales), denotada por E(x) y que se define de la siguiente forma
E(x) = [x], donde [x] es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que, E(x) ≤ x < E(x) + 1.
http://enciclopedia.us.es/upload/parte_entera.png
Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Consideremos ahora un valor entero particular, por ejemplo 1. En la medida en que nos acercamos a 1 por la izquierda nos damos cuenta que los sucesivos valores de E(x) son iguales a cero, y en la medida en que nos acercamos a 1 por la derecha los valores son iguales a uno. La idea de acercarnos sucesivamente a un valor es la que introduce la noción de límite lateral. A continuación introduciremos las nociones formales de los límites laterales por izquierda y por derecha.
[editar]
Límite por la derecha
El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:
[editar]
Límite por la izquierda
El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si
∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se
denota como:
TEOREMA Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden
Nota:aunque también es valido si consideramos que le limite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.
[editar]
Teoremas fundamentales sobre límites
Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:
El límite de una constante es la constante:
El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:
El límite de una suma es igual a la suma de los límites:
El límite de un producto es igual al producto de los límites:
El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.
, siempre y cuando
El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:
El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función: [editar]
Demostraciones
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Teorema de la suma de límites
Debemos verificar que: (1)
Siendo:
Por lo tanto, segun la definición de límite, tiene que haber un para todo tal que:
(2)
Entonces, tomando en y sus límites para tendiendo a , tomamos un , tal que:
y
Si ahora tomamos un mínimo para y , es decir, , entonces:
(3) y
(4)
Por lo tanto, para todo luego: Usando desigualdad triangular:
Reemplazando por (3) y (4): Es decir:
Lo que demuestra (2), es decir, hay un para todo tal que:
Que según (1) verifica que: Es decir:
El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus límites.
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Teorema de Intercalación
(Teorema del Emparedado)
El teorema de intercalación, más coloquialmente llamado teorema del emparedado, es útil cuando queremos hallar el límite de una función que se encuentra "confinada" por dos funciones que ya conocemos.
Si y , entonces
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Límites de funciones
trigonométricas
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Demostración del límite de
sen(x)/x cuando x tiende a 0
Considerese que, un entorno reducido de 0,
Si dividimos todos los miembros por nos queda
Pero y
Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente
indeterminada
Si hallamos el de cada miembro, nos queda
Y como y , por Teorema del Emparedado nos queda
que
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Límites infinitos
Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezca o decrezca pero sin dejar atras la definicion de limite entonces en conclusion se podría
determinar que la función se acercaría al limite por un infinito de números pero nunca tocando el limite
Definición 1
Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto (a,+∞). El limite de f(x) cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:
Definición 2
Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como
Teorema
Sea n cualquier entero positivo, entonces [editar]
Límites al infinito
Se trata ahora de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca una sucesión según vamos avanzando términos. Usaremos un
ejemplo muy ilustrativo para introducir esta. Considérese la siguiente sucesión: Si escribimos algunos términos, nos haremos rápidamente una idea de hacia qué valor real se acercan los mismos: Como podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de esperar que, de existir
realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da una idea intuitiva de lo que significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es, aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos avanzando sobre la misma. Con la sucesión anterior, podemos escribir , y de hecho, nos podemos tomar la siguiente
licencia: .
Dar una prueba para esta igualdad es algo complicado, pero podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo:
Supongamos que disponemos de una barra de pan y con ella debemos alimentar a toda la población de China. La pregunta es cuánto pan corresponde a cada persona.
Si tenemos en cuenta la cantidad de chinos que hay, habremos de realizar fracciones muy microscópicas de pan,
porciones casi moleculares que en ningún caso supondrán alimento alguno, por lo que podemos decir que a cada chino le toca cero pan. La idea es que al dividir una cantidad por otra inmensamente mayor, el resultado es inmensamente diminuto; por lo que dividir una cantidad por infinito, que vendría a ser el mayor de todos los valores, nos da el menor de todos ellos, que es cero.
Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas
igualdades que implican a infinito.
Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un concepto. Nos referimos a infinito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero
mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones: , , , -Por completar- [editar]
Indeterminaciones
Hay límites que evaluándolosdirectamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe).
Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos,
simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante
racionalización o factorización se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de l'Hôpital. Un ejemplo de indeterminación del tipo es la que se da en estos tres casos, y en cada caso (tras
simplificar), se obtiene un límite distinto :
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Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales una función se aproxima
indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al infinito.
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Usando la notación de
límite para describir
asíntotas
Ahora considere la función Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero? El valor de no existe puesto que
no está definido
Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función g tan grande como queramos, escogiendo un x suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer igual a un millón, escogemos que x sea 10-6. En este caso decimos que podemos hacer g(x) arbitrariamente grande (tan grande como queramos) tomando un x que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto
algebráicamente como sigue: Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x = 0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos).
De igual manera
podemos considerar que en la medida en que x se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto nos permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales. [editar]
Asíntota
Una asíntota vertical se da en x = c, para una función f(x) siempre que:
1. 2.
Vale la pena hacer énfasis en que en c el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tegamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a c bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).
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Asíntota
Horizontal
Una asíntota horizontal es la recta y se tiene siempre que:
1. 2.
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Continuidad
de una función
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En un punto
Ahora estamos listos para una definición formal de continuidad, que fue introducida en nuestra revisión de funciones. La definición es simple: f(x)es continua en c si y sólo si
Definición de Continuidad
Note que la función o el límite o ambos podrían no estar definidos en c, en cuyo caso la ecuación no sería cierta, y por tanto f no es continua en c.
Sean f y g funciones continuas en los reales. Los siguientes teoremas se cumplirán:
Teorema 1
es continua en todos los reales.
Teorema 2
es continua en todos los reales.
Teorema 3
es continua en todos los reales.
Teorema 4
es continua en los reales, mientras g sea diferente de 0.
Teorem a 5
que es la composición de funciones, es continua en los reales.
Eje mpl o
Con ,
ten dre mos que , son cont inua s. [edit ar]
En
int
er
val
os
abi
ert
os
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rra
do
s
INT ER VA LO ABI ER TOSe dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del intervalo abierto
I N T E R V A
L O C E R R A D O
Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a.b], es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y solo si es continua en el intevalo (a,b), así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
[ e d i t a r ]
D
e
f
u
n
c
i
o
n
e
s
c
o
m
p
u
e
s
t
a
s
[ e d i t a r ]D
i
s
c
o
n
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i
n
u
i
d
a
d
e
s
U n a d i s c o n t i n u i d a de s u n p u n t o d o n d e u n a f u n c i ó n n o e s c o n t i n u a
. P o r e j e m p l o , l a f u n c i ó n s e c o n s i d e r a q u e
t i e n e u n a d i s c o n t i n u i d a d r e m o v i b l e e n . P o r
q u é l a l l a m a m o s ' r e m o v i b l e ' ? P o r q u e , s i m o d i f
i c a m o s l a f u n c i ó n l i g e r a m e n t e , p o d e m o s e l i m i n
a r l a d i s c o n t i n u i d a d y h a c e r l a f u n c i ó n c o n t i
n u a . E n p a r t i c u l a r , p o d e m o s d i v i d i r l a f u n c i ó
n p a r a o b t e n e r , e x c e p t o e n . S i h a c e m o s q u
e f ( x ) s e a 6 e n e s e p u n t o , o b t e n e m o s l a f u n c i
ó n c o n t i n u a : P e r o x + 3 = 6 p a r a x = 3 , y a
s í p o d e m o s s i m p l i f i c a r l a f u n c i ó n a g ( x ) = x
+ 3 . ( E s t a n o e s l a m i s m a q u e l a f u n c i ó n o r i g
i n a l , e n l a c u a l h a y u n p u n t o e x t r a e n ( 3 , 6 ) )
. A s í e l l í m i t e e n x = 3 e s 6 . D e h e c h o , e s t a
c l a s e d e s i m p l i f i c a c i ó n e s s i e m p r e p o s i b l e c
o n u n a d i s c o n t i n u i d a d r e m o v i b l e e n u n a f u n c i ó
n r a c i o n a l . C u a n d o e l d e n o m i n a d o r e s c e r o , p o
d e m o s r e d e f i n i r l a f u n c i ó n p a r a o b t e n e r u n a f
u n c i ó n q u e e s i g u a l a l a a n t e r i o r , s a l v o p o r
l o s n u e v o s p u n t o s , d o n d e p r e v i a m e n t e t e n í a m o s
u n a d i v i s i ó n p o r 0 . Y a r r i b a s e p r o b ó q u e e l
l í m i t e d e e s t a f u n c i ó n ( p u e s t o q u e e s c o n t i n
u a ) e s i g u a l a l l í m i t e d e l a f u n c i ó n a n t i g u a .
[ e d i t a r ]
A
p
l
i
c
a
c
i
o
n
e
s
p
a
r
a
a
i
s
l
a
r
r
a
í
c
e
s
[ e d i t a r ]
E
n
c
o
n
t
r
a
n
d
o
l
í
m
i
t
e
s
A h o r a n o s c o n ce n t r a r e m o s e n e n c o n t r a r l o s l í m i t e s , e n l u g a r
d e p r o b a r l o s . E n l a s p r u e b a s a n t e r i o r e s , e m p
e z a m o s c o n e l v a l o r d e l l í m i t e . ¿ C ó m o e n c o n t r
a m o s d i c h o l í m i t e p a r a e m p e z a r n u e s t r a s p r u e b
a s ? P r i m e r o , s i l a f u n c i ó n e s c o n t i n u a e n u n p
u n t o p a r t i c u l a r c , e l l í m i t e e s s i m p l e m e n t e e
l v a l o r d e l a f u n c i ó n e n c , d e b i d o a l a d e f i n
i c i ó n d e c o n t i n u i d a d . T o d a s l a s f u n c i o n e s p o l
i n ó m i c a s , t r i g o n o m é t r i c a s , l o g a r í t m i c a s y e x p
o n e n c i a l e s s o n c o n t i n u a s s o b r e s u s d o m i n i o s .
S i l a f u n c i ó n n o e s c o n t i n u a e n c , e n t o n c e s e
n m u c h o s c a s o s ( c o m o c o n l a s f u n c i o n e s r a c i o n
a l e s ) l a f u n c i ó n e s c o n t i n u a a l r e d e d o r , p e r o
e s d i s c o n t i n u a e n u n p u n t o a i s l a d o . E n e s t e c
a s o , q u e r e m o s e n c o n t r a r u n a f u n c i ó n s i m i l a r ,
e x c e p t o q u e e l " a g u j e r o " q u e a n t e s r e p r e s e n t a
b a l a d i s c o n t i n u i d a d a h o r a e s t á " r e l l e n o " . E l
l í m i t e d e e s t a f u n c i ó n e n c s e r á e l m i s m o , c
o m o p u e d e s e r v i s t o d e l a d e f i n i c i ó n d e l í m i t
e . L a f u n c i ó n e s l a m i s m a q u e l a a n t e r i o r e x c
e p t o e n e l p u n t o c . L a d e f i n i c i ó n d e l í m i t e d
e p e n d e d e f ( x ) s ó l o e n l o s p u n t o s d o n d e 0 < |
x -c | < δ . C u a n d o x c , l a d e s i g u a l d a d e s f a l
s a , y a s í e l l í m i t e e n c n o d e p e n d e d e l v a l o r
d e l a f u n c i ó n e n c . P o r t a n t o , e l l í m i t e e s
