Estadística Bayesiana y Elecciones en México

Estadística Bayesiana y Elecciones en México

XXVIII Foro Nacional de Estadística

Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Aguascalientes, México. Septiembre 27, 2013.

Manuel Mendoza R.

Departamento de Estadística Instituto Tecnológico Autónomo de México Departamento de Probabilidad y Estadística



El sistema electoral en México se ha transformado radicalmente en los últimos 20 años.

 Las elecciones federales son organizadas por un organismo

autónomo, el Instituto Federal Electoral.

 _{Existe una variedad de fuerzas políticas con posibilidades}

reales de ganar elecciones.



El Instituto Federal Electoral (IFE),

 _{Es dirigido por Consejo General que integra a 9 Consejeros}

Ciudadanos.

 _{Opera el Registro Federal de Electores.}

 _{Recluta, cada tres años, un millón de ciudadanos que para que}

colaboren como funcionarios de casilla.

 Es el conducto para que los Partidos Políticos reciban el

 _{Audita los informes financieros de los Partidos y supervisa las}

campañas electorales.

 _{Despliega el operativo nacional para instalar las casillas de}

votación en todo el país.

 _{Recibe, y acumula los votos para anunciar los resultados y,}

 Actúa como árbitro entre los partidos y puede imponer sanciones

si alguno viola las reglas electorales.



Además, el IFE

 _{Convoca Especialistas en distintas materias para proponer,}

diseñar, auditar u operar algunos de los procedimientos con los que desahoga sus funciones.

• Comité Asesor del Programa de Resultados Preliminares (PREP).

• Comité Técnico del Padrón Electoral.

• Comité Técnico del Conteo Rápido.

 _{Opera el Registro Federal de Electores.}

 Recibe, y acumula los votos para anunciar los resultados .

 Convoca Especialistas.

 _{El Padrón Electoral es el listado donde se asientan los datos de}

todos los ciudadanos que tienen derecho a votar en las elecciones federales.

 _{El registro de un ciudadano se produce a solicitud del propio}

interesado.

 _{El ciudadano que concluye exitosamente su registro recibe una}

credencial para votar con fotografía.

El Padrón Electoral

 _{La credencial para votar sirve como medio de identificación.}  A partir del padrón se produce el Listado Nominal de votantes.  _{La credencial se presenta al momento de la votación, se coteja}

con el listado nominal y con la persona que la presenta.

 _{Antes de una elección federal, el Padrón Electoral debe ser}

declarado válido por el Consejo General del IFE.

 _{No existe una definición legal del concepto de Padrón Electoral} Válido.

 _{Dos características básicas:}

• Que estén todos los que deben estar. • Qué no estén los que no deben estar.

 _{Se traducen en dos indicadores:}

• Cobertura. • Actualización.

 No existen cotas mínimas legales para estos indicadores.  _{Se evalúan a través de encuestas.}

 _{Encuesta de Cobertura.}

• Encuesta Nacional de Personas Elegibles para el Padrón.

 _{Encuesta de Actualización.}

• Muestra de Registros en el Padrón Electoral.

 _{El Registro Federal de Electores cuenta con una Dirección de}

Estadística muy competente.

 Es indispensable una opinión (auditoría) externa.  _{Comité Técnico del Padrón Electoral integrado por}

• Demógrafos, • Geógrafos,

• Expertos en Sistemas de Información y, • Estadísticos.

 _{Comité Técnico del Padrón Electoral}

 Valora la seguridad e integridad del sistema de información,

 _{Confronta la cobertura reportada con la información demográfica.}  _{Evalúa los instrumentos cartográficos y de georeferencia que se}

utlizan para asignar los módulos de empadronamiento y para levantar las encuestas;

 _{Valora las componentes técnicas de las encuestas y contrastan}

sus resultados a partir de procedimientos alternativos.

 _{Distintos expertos Estadísticos han participado en este Comité.}  En general, los trabajos están directamente realcionados con el

análisis de encuestas (muestreo de poblaciones finitas).

 _{Existe mucha experiencia en el tema y gran cantidad de}

referencias bibliográficas (desde la perspectiva frecuentista).

 _{Con un enfoque Bayesiano, el acervo disponible es mucho más}

limitado.



Objetivo: Describir la variable aleatoria X, con soporte

X

y función

de probabilidad P( X_(n) |q ) totalmente conocida, excepto por valor del parámetro fijo de dimensión finitaq.

 _{Se cuenta con una muestra de observaciones X(n) con función de}

probabilidad conjunta P( X_(n)|q ).

 Antes de los datos X_(n), la información sobre q se describe con la

probabilidad inicial ( a priori ) P( q ).

 _{Las interpretaciones de la probabilidad en el modelo de muestreo}

P( X_(n) |q) y en la distribución inicial

P(q) son distintas.

En el primer caso describen variabilidad mientras

que en segundo describen incertidumbre.

 Las inferencias sobre el parámetro, una vez observados e

incorporados los datos de la muestra, se realizan a partir de la distribución final (a posteriori) P( q | X_(n) )

P( q | X_(n) )  P( X_(n) | q ) P( q )



Ejemplo 1. X variable aleatoria Normal con media m y varianza s2 conocida (precisión t = 1/s2_). P( X | q ) = N( X | m, t ); q = m



Si la inicial para m es P( m ) = N ( m | m, t₀ ) P( m | X_(n) )  P( X_(n) | m ) P( m )  P( m | X_(n) ) = N( m | m_X, t_X )



Ejemplo 2. X variable aleatoria Normal con media m y varianza s2 desconocidas (precisión t = 1/s2_). P( X | q ) = N( X | m, t ); q = ( m, t )



Si la inicial para q es P( q ) = P( m,t ) = P( m

|

t ) P( t ) = N ( m | m, ct) Gamma ( t | a, b ) P( q | X_(n) )  P( X_(n) | q ) P( q )

P( q | X_(n) )  P( X_(n) | q ) P( q ) P( q| X_(n) ) = P( m, t | X_(n) ) = P( m

|

t

,

X_(n) ) P( t | X_(n) ) = N ( m | m_X, c_X t) Gamma ( t | a_X, b_X ) P( m | X_(n) ) =



P( m,t | X_(n) ) dt =



N( m | m_X, t_X ) Gamma ( t | a_X, b_X ) dt P( m | X_(n) ) =

Stu

( m | m_X,

g

_X, n-1 )



Ejemplo 3. X variable aleatoria Poisson con media l.

P( X | q ) = Poisson( X | l ); q = l



Si la inicial para l es P( l ) = Gamma ( l | a, b)

P( l | X_(n) )  P( X_(n) | l ) P( l )



P( l | X_(n) ) = Gamma ( l | a_X, b_X )

1 u1 2 u2 · · · · · · · · N u_N Unidades en la Población e identificadores

Poblaciones Finitas

1 u1 2 u2 · · · · · · · · N u_N Unidades en la Población e identificadores 1 u1 X(u1) 2 u2 X(u2) · · · · · · · · · · · · N u_N X(uN)

Valores de la variable bajo estudio

Unidades en la Población e identificadores 1 u1 X(u1) 2 u2 X(u2) · · · · · · · · · · · · N u_N X(uN)

Valores de la variable bajo estudio

1 u1 X(u1) 2 u2 X(u2) · · · · · · · · · · · · N u_N X(uN) Unidades en la Población e identificadores

Valores de la variable bajo estudio 1 u1 X(u1) p1 2 u2 X(u2) p2 · · · · · · · · · · · · · · · · N uN X(uN) pN Probabilidades de selección

Poblaciones Finitas

1 u1 X(u1) p1 2 u2 X(u2) p2 · · · · · · · · · · · · · · · · N uN X(uN) pN Unidades en la Población e identificadores

Valores de la variable bajo estudio

Probabilidades de selección (muestreo aleatorio simple)

1 u1 X(u1) 1/N 2 u2 X(u2) 1/N · · · · · · · · · · · · · · · · N uN X(uN) 1/N

Poblaciones Finitas



Problemas habituales:

 _{Estimación del total poblacional} T = X₁ + X₂ + · · · + X_N

 Estimación de la media poblacional M = T / N

 _{Estimación de una proporción poblacional}



Variable Aleatoria X  muestra ( x₁, x₂, …, x_n ); (n < N).

 P _{es totalmente conocida}



_X

es desconocido

 Los parámetros de interés ( T, M ) dependen de

X

 Espacio muestral

X

= { X₁, X₂, · · · , X_N }

 _{Función de probabilidad} P _{= {} p₁, p₂, · · · , p_N }

 El parámetro ( de dimensión finita, N ) es

X

Poblaciones Finitas

Análisis Bayesiano de Poblaciones Finitas



Existen distintas posibilidades para abordar este problema como un caso del análisis paramétrico. Por ejemplo, suponga que:



X

= { X₁, X₂, · · · , X_N } es una muestra aleatoria, de tamaño N, de una variable X*.

 _{La función de probabilidad de X*, P( X* |} f ) es conocida salvo por el valor de f F.

Análisis Bayesiano de Poblaciones Finitas

 _{X(n) = { X1, · · · , Xn } es una submuestra de}

X

_{que se obtiene}

por un mecanismo de remuestreo.

 _{El remuestreo tiene probabilidades} P _{= {} p₁, p₂, · · · , p_N }.

 _{Si las probabilidades} P _{= {} p₁, p₂, · · · , p_N } son conocidas y no dependen de los valores de X, entonces se puede probar que

Análisis Bayesiano de Poblaciones Finitas

 _{A partir de una distribución inicial P(}

f

_{) para el parámetro}

f

_en

el modelo P( X* |

f

), y la función de verosimilitud P( X_(n) |

f

), se obtiene la final

P(

f

| X_(n) )  P( X_(n) |

f

) P(

f

).

 _Para T = X₁ + X₂ + · · · + X_N, la inferencia respectiva se obtiene

a través de la distribución predictiva

Análisis Bayesiano de Poblaciones Finitas

 _{En particular, si P( X* |}

f

_{) = Poisson ( X* |}

f

_{), entonces}

P( T |

f

) = Poisson ( T

|

N

f

)

 _{Si como inicial para}

f,

_{se utiliza una distribución}

Gamma, entonces

Análisis Bayesiano de Poblaciones Finitas

 _{Si la inicial conjugada es mínimo informativa, entonces}

P( T | X_(n) ) es Binomial Negativa

 _{Si se estima puntualmente el valor del total} T con una

función de utilidad cuadrática, entonces

Análisis Bayesiano de Poblaciones Finitas

 _{Además del valor estimado puntual, se cuenta con toda la}

distribución predictiva posterior de T

P( T | X_(n) )

 _{A partir de esta distribución es posible determinar intervalos de}

Volviendo al Padrón…

 Información a través de la Encuesta de Verificación Nacional

Muestral (cobertura) 2008.

 _{Diseño estratificado y polietápico.}

• Vivienda  Localidad  Sección  Estrato  Entidad Federativa • 3000 secciones en muestra de un total de 64, 619 ( 4.64% )



Información del Registro Federal Electoral Mexicano en 2008 para establecer la calidad del Padrón Electoral Mexicano.

 _{Se estimó el Total de habitantes con edad 18 años y más, residente}

en el país ( T_X ).

 _{Se estimó el Total de habitantes con edad 18 años y más, residente}

en el país, que estaba registrado en el padrón ( T_Y ).

 _{Se estimó la proporción de empadronamiento (} T_Y / T_X ).

 _{El país se integra con 32 entidades federativas (estados).}  _{Todas las entidades federativas se incluyeron en el estudio.}  _{El total nacional se estima sumando los totales estimados}

de todas las entidades federativas.

 _{Cada estado está dividido en estratos.}

 _{Todos los estratos fueron muestreados en cada estado.}

 _{El total de un estado se estima sumando los totales estimados}

para todos sus estratos.

 _{Si en el estado j cada estrato se muestrea independientemente, se}

obtiene una serie de distribuciones predictivas P( T_ji | X_(n(ji)) ) ; i = 1, … , e(j)

de manera que la distribución de interés

P( T_j | X_(n(j)) )

se puede determinar a partir de las predictivas de los estratos con la transformación

T_j = T_j1 + T_j2 + … + T_je(j)

 _{Si la distribución de la suma de los totales de los estratos no se puede}

calcular fácilmente, una alternativa es proceder por simulación.

• De la distribución para el estrato i se muestrea (simula) un valor t_ji,

entonces

t_j = t_j1 + t_j2 + … + t_je(j)

es un valor observado de la distribución predictiva del total del estado.

• Para el nivel del país, la suma t = t₁ + t₂ + … + t_k constituye un valor observado de la distribución predictiva del total nacional.

 _{Diseño estratificado y polietápico.}

• Vivienda  Localidad  Sección  Estrato  Estado  País

 _{Los pasos de Estrato a Estado y Estado a País se resuelven con la}

suma de predictivas.

Suma de predictivas Modelo Poisson

 _{Diseño estratificado y polietápico.}

• Vivienda  Localidad  Sección  Estrato  Estado  País

 _{Lo mismo ocurre con el paso de Sección a Estrato.}

 _{El paso de Localidad a Sección utiliza probabilidades de selección no}



El estrato i incluye N_i secciones de las cuales se selecciona, mediante

un mecanismo aleatorio, una muestra de tamaño n_i .

 Si las probabilidades de selección son: q_i1, q_i2, …, q_iNi entoncesse

contará con la información de las secciones S_i(1), S_i(2),…S_i(n_i) seleccionadas con probabilidades q_i(1), q_i(2),…q_i(n_i).

 _{De cada sección en la muestra se dispone de la distribución predictiva}

para el total de la sección

P( T_ir | X_(n(ir)) ) ; r = 1, … , n_i



Por simulación, para la r-ésima sección en la muestra se contará con un valor t_ir generado de la predictiva del total de la sección,

 _{Una posibilidad ingenua es promediar en cada simulación esos}

valores y multiplicar el resultado por el número de secciones en el estrato.

 _{De esa forma, primero se obtiene un valor simulado de la predictiva}

para el promedio de los totales de las secciones en la muestra que, a su vez, aproxima al promedio de los totales seccionales en el estrato.

 _{Al multiplicar ese promedio por el número de secciones en el estrato}

se aproxima el total del estrato.

 _{Otra posibilidad es utilizar la idea de factores de expansión.}

 Cada valor simulado se pondera con el recíproco de la probabilidad

de selección de la sección a la que corresponde

t_ir = t_ir / q_ir

este valor aproxima el total del estrato.

 Los valores ponderados se promedian y se obtiene una valor

aproximado proveniente de la distribución predictiva para el total del estrato.

Resultados población (T

_X

)

Q(97.5%) = 70,958,405 Q(2.5%) = 69,612,551 70,294,068 VNM 2008 = 70,311,037 CNP 2000 = 72,284,007 CNP 2005 = 68, 985,182

Aguascalientes _{Baja California}

Baja California Sur Campeche Resultados

Coahuila Colima

Chiapas Chihuahua

Distrito Federal Durango

Guanajuato Guerrero

( % )

Aguascalientes Baja California

Baja California Sur Campeche

Coahuila Colima

Chiapas Chihuahua

Distrito Federal Durango

Guanajuato Guerrero

Comentarios

 _{El mecanismo subsume la población finita en un modelo}

paramétrico para poblaciones infinitas y aborda un problema de inferencia sobre parámetros como uno de predicción.

 _{El mismo procedimiento puede visualizarse como inferencia}

paramétrica.

 _{El modelo paramétrico P( X* |}

f

_{) equivale a la especificación de}

una distribución a priori sobre el parámetro N-dimensional

X

.

 _{La actualización con X(n) produce la posteriori P(}

X

_{| X(n) ).}

 _{A partir de P(}

X

_{| X(n) ) se deriva la posteriori para la cantidad de}

El Conteo Rápido 2012

143, 495 casillas en un territorio de

2 millones de kilómetros cuadrados

Un padrón electoral con más de 70

millones de votantes



Para capturar diferencias regionales, las 143,495 casillas se

organizaron en los 300 distritos electorales del país.



En cada distrito se consideraron la parte rural y la parte urbana.



El resultado fue un conjunto 483 estratos de casillas.



En cada estrato se tomó una muestra aleatoria de casillas.



En total, la muestra fue de 7,597 casillas.



En cada casilla pueden votar alrededor de 500 ciudadanos.



La variables que se observan son el número de votos para cada

uno de los candidatos.



Es la suma de variables Bernoulli.



Se consideran i.d. porque pertenecen al mismo estrato.



No es razonable suponer que son independientes.



El número de votos se modela con una Normal con media y

varianza desconocidas y no relacionadas.



El esquema es mucho más simple que en el problema del

Padrón.



Al final se tiene la predictiva del número de votos a favor de cada

candidato y la predictiva del total de votos válidos.



De los valores simulados de esas predictivas se obtiene una

muestra de la proporción de voto efectivo en favor de cada

candidato.

18:00

Resultados Conteo Rápido 2006

21:40

22:10

22:15

Conteo Rápido Resultado Final

PAN (35.8, 36.4) 35.89

PRD (35.1, 35.6) 35.59

18:51

Resultados Conteo Rápido 2012

22:30

Comentarios Finales



Estos son solamente dos ejemplos del análisis Bayesiano de

muestras de poblaciones finitas.



Aún no existe una literatura abundante y concluyente sobre el

tema.