Electrostática
• Definición
• Los conductores en electrostática. • Campo de una carga puntual. • Aplicaciones de la Ley de Gauss
• Integrales de superposición. • Potencial electrostático
–Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...
• Polarización de materiales. • Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores. • Energía y Fuerzas.
EyM 3c-1
J.L. Fernández Jambrina
• La ecuación indica que el campo electrostático es irrotacional.
– Recordando la identidad matemática se observa que el campo vectorial puede derivarse de un campo escalar Φ , que se denominapotencial electrostático, como:
» Se verá más adelante la razón de adoptar el signo menos en la anterior definición.
• El uso de la función potencial permite simplificar matemáticamente el problema de la determinación del campo vectorial .
– En lugar de necesitarse la determinación de las tres componentes del campo basta con encontrar una sola función escalar: el potencial Φ. – Se aclarará primero el contenido físico de la noción de potencial
electrostático para, posteriormente, obtener la ecuación que liga al potencial con las distribuciones de carga y cuya solución permite encontrar el potencial.
Potencial electrostático
E r 0 = × ∇ E r E r E rΦ
−∇
=
E
r
( )
∇Φ ≡0 × ∇ EyM 3c-2 J.L. Fernández Jambrina• Supóngase una carga qque se desplaza en el seno de un campo electrostático
– El campo ejerce sobre la carga una fuerza y el campo realiza un trabajo.
– Si el desplazamiento se realiza entre dos puntos P1y P2a lo largo de un trayecto C, el trabajo realizado por el campo será:
– Si la carga es unitaria y positiva (q=+1), la diferencia de potencialentre P1y P2, es el trabajo realizado por el campo para desplazarla desde el
primer punto, P1, hasta el segundo, P2,.
» Si este trabajo es positivo, el campo lo realiza a costa de liberar energía potencial (almacenada por el campo ).
» Si es negativo, el campo absorbe energía potencial.
• Se puede definir el potencial como: donde K
es una constante a determinar, que no afecta al cálculo del campo.
Sentido físico del Potencial
r E P2 P1 dl r r F q E q F r r = K l d E⋅ + − = Φ
∫
r r( )
( )
[
1 2]
2 1 2 1 2 1 2 1 F dl q E dl q dl q d q P P W P P P P P P C P P→ =∫
⋅ =∫
⋅ =−∫
∇Φ⋅ =−∫
Φ= Φ −Φ r r r r r r E r E EyM 3c-3 J.L. Fernández JambrinaPotencial de una carga puntual
• Supongase una carga puntual qen el origen de coordenadas e inmersa en un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido.
– El campo asociado es:
– La diferencia de potencial entre dos puntos puede calcularse así:
– Es inmediato que:
– Y es razonable y posible escoger Kde forma que Φen el infinito sea nulo, K=0.
» Está infinitamente lejos de la carga.
– En un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido el potencial debido a una carga puntual sólo depende de la distancia a la carga.
( )
r r q r r q r E ˆ 4 4πε 3 = πε 2 = r r r r( )
( )
(
)
B A r r r r A B B A r q r q dr r q d r rd r dr r r q l d E r r A B A B πε πε πε ϕ ϕ θ θ θ πε sen ˆ 4 4 4 ˆ ˆ ˆ 4 2 ⋅ + + =− 2 = − − = = ⋅ − = Φ − Φ∫
∫
∫
r r r r r r( )
K r q r = + Φ πε 4 r( )
r q rr r πε 4 = Φ EyM 3c-4 J.L. Fernández JambrinaPotencial de distribuciones de carga.
– Si la carga puntual está situada en un punto :
– Si se tiene un sistema de ncargas puntuales, qi, en posiciones , por
superposición, se suman los Φidebidos a cada carga para obtener el Φ total:
– En distribuciones de carga continua, se considera cada dqcomo una carga puntual y se suman sus contribuciones, lo que supone integrar:
r rq
( )
q r r q r r r r − = Φ πε 4 r ri( )
∑
− = Φ N i i i r r q rr r r πε 4 1( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
′ ′ − ′ = Φ ⇒ ′ ′ = ′ ′ ′ − ′ = Φ ⇒ ′ ′ = ′ ′ ′ − ′ = Φ ⇒ ′ ′ = ′ ⇒ ′ − ′ = Φ∫
∫∫
∫∫∫
′ ′ ′ L L L S S S V l d r r r r l d r q d S d r r r r S d r q d V d r r r r V d r q d r r q d r d r r r r r r r r r r r r r r r r r r ρ πε ρ ρ πε ρ ρ πε ρ πε 4 1 4 1 4 1 4 1 on distribuci la de Punto ; campo el calcula se donde Punto ′= = r rr rAtención a las distribuciones que llegan al infinito
EyM 3c-5
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
• Considerando cualquier punto del espacio:
– De forma general: X Y Z R θθθθ ψ ψψ ψ r r r ′ r r r r− ′r ρS =σ
( )
∫∫
′( )
′ ′ − ′ = Φ S S S d r r r r r r r r ρ πε 4 1(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
Ψ ′ − ′ + = = ′ + ′ − ′ ′ − ′ + = ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ − − ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ + + + = = ′ ′ − + ′ ′ ′ − + ′ ′ ′ − = ′ − ′ ′ − + ′ ′ ′ − + ′ ′ ′ − = ′ − ′ + ′ ′ + ′ ′ ′ = ′ + + = cos 2 cos cos cos sen sen 2 cos cos sen sen sen sen cos cos sen sen 2 cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos cos sen sen sen sen cos sen cos sen ˆ cos cos ˆ sen sen sen sen ˆ cos sen cos sen ˆ cos ˆ sen sen ˆ cos sen ˆ cos ˆ sen sen ˆ cos sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r z r r y r r x r r r r z y x r r z y x r r θ θ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ r r r r r r EyM 3c-6 J.L. Fernández JambrinaEjemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(2)
• En este caso :
• Y el potencial:
• Puesto que la estructura tiene simetría de revolución, el resultado tiene que ser independiente del ángulo ϕ, así que tomando ϕ=0:
– Expresión que no se puede resolver de forma analítica.
(
)
[
]
(
ϕ ϕ)
θ θ θ ϕ ϕ θ θ ′ − ′ ′ − ′ + = = ′ + ′ − ′ ′ − ′ + = ′ − cos sen 2 cos cos cos sen sen 2 2 2 2 2 r r r r r r r r r rr r( )
(
)
∫ ∫
′= = + ′ − ′ − ′ ′ ′ ′ = Φ R r r r r r d r d r r 0 2 0 2 2 cos sen 2 4 π ϕ θ ϕ ϕ ϕ πε σ r( )
∫ ∫
= ′ = + ′ − ′ ′ ′ ′ ′ = Φ R r r r r r d r d r r 0 2 0 2 2 cos sen 2 4 π ϕ θ ϕ ϕ πε σ r 2 π θ′= EyM 3c-7 J.L. Fernández JambrinaEjemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(3)
• Representación de superficies equipotenciales.
0 +1 -1 0 +1 -1 z/a ρ ρρ ρ/a EyM 3c-8 J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(4)
• Aproximación para puntos lejanos:
– igual al de una carga puntual, de igual carga, en el origen.
• Limitando el cálculo al eje z:
[
]
( )
r Q r R r d r d r r r r r d r d r r r r r r r r r r r r r r r R r DISCO R r R r πε πε σπ ϕ πε σ ϕ θ ϕ πε σ ϕ θ ϕ θ π ϕ π ϕ 4 4 4 cos sen 2 4 1 cos sen 2 1 cos sen 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 / 1 2 2 2 / 1 2 2 1 = = ′ ′ ′ ≈ ≈ ′ ′ − ′ + ′ ′ ′ = Φ ⇒ ⇒ ≈ ′ ′ − ′ = = ′ ′ − ′ + = ′ − ⇒ ′ ≥ >>∫ ∫
∫ ∫
= ′ = = ′ = − − − r r r( )
[
]
[
z R z] [
z R z]
r z r z d r d r z z R R r − + = − + = = ′ + = ′ + ′ ′ ′ = Φ∫ ∫
= ′ = 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2 4 ˆ ε σ ε σ ε σ ϕ πε σ π ϕ EyM 3c-9 J.L. Fernández Jambrina• Representación del potencial sobre el eje Z.
Ejemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(5)
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.1 1 10 0.01 0.1 1 10 z/a σ εΦ(z) σ Φ ε σ Φ ε ) ( ) ( z z lejano EyM 3c-10 J.L. Fernández JambrinaEjemplo 1: Potencial de un disco con carga
constante
(6)
• A partir de la expresión de es posible, en este caso, calcular
– Por simetría:
– A partir de sólo se puede calcular
» Lo que no implica que las otras componentes sean nulas.
–El conocimiento del potencial sobre una curva sólo permite calcular la componente del campo tangencial a dicha curva y en los puntos de esa curva.
–El conocimiento del potencial sobre una superficie sólo permite calcular las componentes del campo tangenciales a dicha superficie y en los puntos de esa superficie.
( )
zz Er ˆ( )
( )
( )
( )
[
]
( )
[
]
+ − = − + − = = Φ − = Φ − = Φ ∇ − = = ⇒ = = z R z z z z z R z z z z z z z z z z z z E z z E z z E z z E zz z z y x ˆ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 2 2 2 2 ˆ ε σ ε σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r( )
zzˆ Φ( )
zzˆ Φ( )
( )
z z z z z Ez ∂ ∂ ˆ ˆ =− Φ EyM 3c-11 J.L. Fernández JambrinaEjemplo 2: Línea de carga uniforme.
• Sea ahora una línea de carga uniforme de longitud L.
– Supongamos que está sobre el eje Z
y centrada en el origen: X Y Z L/2/2/2/2 -L/2/2/2/2 ρL=λ
(
)
(
z z)
dl dz r r z z z r r z z r z z r ′ = ′ ′ − + = ′ − ′ − + = ′ − ⇒ ′ = ′ + = 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ρ ρ ρ ρ r r r r r r( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
+ + + − − − + + − = ′− + + ′− + + − = ′− = = ′ − + ′ = ′ ′ − ′ = Φ − − − − − −∫
∫
2 2 2 2 2 / 2 / 2 2 1 1 2 / 2 / 1 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 / 2 / ln 4 ln 4 2 / senh 2 / senh 4 senh 4 4 4 1 z L z L z L z L z z z z z L z L z z z z z d l d r r r r L L L L L L L ρ ρ πε λ ρ πε λ ρ ρ πε λ ρ πε λ ρ πε λ ρ πε r r r r EyM 3c-12 J.L. Fernández JambrinaEjemplo 2: Línea de carga uniforme.
(2)
• Representación del potencial.
x/L 0 1 2 -1 -2 z/L 0 -1 -2 1 2 EyM 3c-13 J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
(3)
• En el eje Z el potencial no está definido, aunque se puede intentar obtener una prolongación analítica:
( )
( )
(
)
[
]
(
)
[
]
− < − − − = − ′ = − ′ ′ < < − ∞ = + − + − = − ′ ′ + ′ − ′ < − + = ′ − − = ′ − ′ = = ′ − ′ = ′ ′ − ′ = Φ − − − − − − =∫
∫
∫
∫
∫
∫
2 / ; 2 / 2 / ln 4 ln 4 4 2 / 2 / ; 0 2 / ln 2 / 0 ln 4 4 2 / ; 2 / 2 / ln 4 ln 4 4 4 4 1 ˆ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 0 L z z L z L z z z z z d L z L z L L z z z z d z z z d z L L z L z z z z z z d z z z d l d r r r z z L L L L L z z L L L L L L L L L πε λ πε λ πε λ πε λ πε λ πε λ πε λ πε λ πε λ ρ πε ρ r r r– Φse hace infinito sobre la propia línea de carga.
»Esto es común a todas las distribuciones lineales. 0 1 2 -2 -1 z/L Φ Φ Φ Φ(z) EyM 3c-14 J.L. Fernández Jambrina
• Como ya se ha visto si escoge el eje zen la dirección de invarianza, estas distribuciones se caracterizan porque:
• El primer paso es calcular el potencial debido a una línea de carga indefinida.
– Se puede partir del campo, ya conocido, pero por variar se va a resolver directamente el potencial.
– Si la línea está sobre el eje z: – La ecuación de Laplace se reduce a:
» Por integraciones sucesivas:
» Ase puede calcular aplicando la Ley de Gauss:
» No se puede escoger Bpara que Φsea cero en el infinito.
Distribuciones de carga
invariantes en una dirección
0 = z ∂ ∂ 0 = ∂ϕ ∂ ∆Φ =1 =0 ρ ∂ ∂ρρ ∂Φ ∂ρ − = − = Φ −∇ = + = Φ ⇒ = Φ ⇒ = Φ ⇒ = Φ ⇒ ≠ = Φ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ ρ ∂ρ ∂ ρ ∂ρ ∂ ρ ∂ρ ∂ ρ ∂ρ ∂ ρ ˆ ˆ ln 0 0 0 1 A D A E B A A A r r
( )
( )
πε λ ε π λ ρ ρ 2 2 ⇒ =− − = ⋅ = ⇒ ⋅ =∫∫
∫∫
A L A S d D L L q S d D L q Slat L Slat L r r r r EyM 3c-15 J.L. Fernández JambrinaDistribuciones de carga
invariantes en una dirección
(2)
• El potencial debido a la línea de carga es: • Es inmediato que:
• No se puede obtener este resultado directamente a partir del potencial debido a una línea de carga de longitud finita, haciendo tender su longitud a infinito:
– La razón es que la expresión de la línea finita asume que el potencial es nulo en el infinito y, por tanto, que también lo es para la infinita.
– Esto equivale a escoger B=∞y el resultado es obvio.
» Puede obtenerse una expresión razonable si, para la línea finita, se escoge que el potencial sea nulo en un punto situado a una distancia finita del origen y después se hace el paso al límite.
( )
(
)
(
+)
= − + =∞ + + − − − + + − = Φ ∞ → ∞ → 4 ln /2 /2 2 / 2 / 2 / 2 / ln 4 lim lim 2 2 2 2 L L L z L z L z L z L r L L πε λ ρ ρ πε λ r B + − = Φ ρ πε λ ln 2 ρ περ λ ˆ 2 = E r EyM 3c-16 J.L. Fernández Jambrina• Si la línea de carga no está sobre el eje z, basta con aplicar el cambio de coordenadas apropiado:
– Recuerde que tanto como son vectores de dos dimensiones: sin componente z.
• Si se trata de un sistema de distribuciones lineales de carga indefinidas en una dirección, se puede aplicar superposición.
– Hay que tomar la precaución de sustituir la suma de las constantes aditivas por una nueva constante.
» Supóngase dos distribuciones, λ1y λ2, situadas en y , y cuyas
constantes se eligen de forma que :
» La suma directa de los potenciales hace que en vez de V0.
Distribuciones de carga
invariantes en una dirección
(3)
rr rr′ 1 rr r2 r
( )
r0 =2V0 Φ r( )
Φrr0 =V0 B r r B r B=− + ⇒Φ=− − ′+ + − = Φ r lnr r 2 ln 2 ln 2 πε λ πε λ ρ πε λ 0 2 0 2 2 1 0 1 1 2 1 0 2 0 2 2 2 0 1 0 1 1 1 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 V r r r r r r r r V r r r r V r r r r + − − − − − − = Φ + Φ ⇒ + − − − = Φ + − − − = Φ r r r r r r r r r r r r r r r r πε λ πε λ πε λ πε λ EyM 3c-17 J.L. Fernández JambrinaDistribuciones de carga
invariantes en una dirección
(4)
• El potencial de ndistribuciones lineales de carga, independientes de
zes:
• De forma similar a como se hizo en el caso de , el potencial puede obtener combinando las contribuciones de infinitos diferenciales de carga lineal, asimilando cada uno de ellos a una línea de carga indefinida:
– Otra vez: Todos los vectores de posición implicados deben pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales.
r E
( )
( )
( )
+ ′ ′ ′ − − + ′ ′ ′ − − = + ′ ′ − − = Φ∫
∫∫
∫
K l d r r r K S d r r r K q r r d r L S S L L r r r r r r r r r ρ πε ρ πε ρ πε ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1( )
r r r K n i i i − + − = Φr∑
lnr r 2πε λ EyM 3c-18 J.L. Fernández JambrinaEjemplo: Potencial de una tira de carga
constante indefinida.
• Sea la tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Yya presentada:
– Se aplica: – De la geometría:
– Sustituyendo:
–Nota: Es posible calcular el potencial en cualquier punto del espacio. Z Y X ρS =σ w
( )
r r r( )
r dl K L − ′ S ′ ′+ − = Φ r∫
r r ρ r πε ln 2 1(
)
dl dx y x r r y y x x r r x x r y y r ′ = ′ + ′ = ′ − + ′ − = ′ − ⇒ ′ = ′ = 2 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ r r r r r r( )
(
)
(
)
K y w y w y w w K y x y x y x x K x d y x r w w w w + + − + πε σ − = = + ′ + ′ − + ′ ′ πε σ − = + ′ + ′ πε σ − = Φ −∫
− 2 arctg 4 2 2 ln 4 arctg 2 2 ln 4 ln 4 2 2 2 / 2 / 2 2 2 / 2 2 2 / r EyM 3c-19 J.L. Fernández JambrinaEjemplo: Potencial de una tira de carga
constante indefinida.
(2)
• Representación del potencial en los puntos del eje Y:
– Observe el cambio de pendiente al atravesar la distribución.
y/w ( ) Φ y -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 EyM 3c-20 J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo: Potencial de una tira de carga
constante indefinida.
(3)
• Representación del potencial:
0 1 -1 -1 0 1 x/w y/w EyM 3c-21 J.L. Fernández Jambrina
Condiciones de Regularidad en el Infinito.
• Se ha ido haciendo hincapié en todos ejemplos con distribuciones de dimensiones finitasen que el potencial tiende al de una carga puntual a medida que el punto de cálculo se aleja de la distribución.
• Esto lleva a la llamada Condición de Regularidad en el Infinito:
• Puede expresarse una condición similar para el campo eléctrico:
– Las condiciones de regularidad en el infinito del campo y del potencial son equivalentes.
– Son aplicables siempre que el medio en el infinito sea homogéneo, lineal e isótropo.
