Unidad III
Tema 1. Función exponencial.
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la
base b, es una constante y el exponente (x) la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se
impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en
la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y
exponente x.
Representación gráfica
Supongamos que tenemos los pares ordenados tabulados de acuerdo a la función que se tiene más adelante, podemos obtener su gráfico, tal como se aprecia a continuación con los siguientes ejemplos.
O bien, puede quedar de la siguiente manera si el inverso del 2 se eleva a la potencia x.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = (1/2) x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
Continuidad, límite, intersección con los ejes
El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos. Es decir:
Dominio: . Recorrido: .
Además, después de un análisis de su grafico, se puede inferir lo siguiente:
La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.
Toma valores positivos para cualquier valor de x.
El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.
Todas las funciones pasan por el punto (0,1).
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son
crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.
Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<b<1
son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.
El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si b>1 y hacía la derecha si b<1.
La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.
La más común de las funciones exponenciales es la de base "e". Si se analizan los valores de la función para los distintos valores de "x", se llega a la conclusión, que la función nunca es negativa, por lo tanto no tiene intersección con el eje "x".
Otra característica importante (misma que se comprobará calculando límites) es que tiene una asíntota horizontal unilateral (sólo para valores muy negativos de "x") en y = 0; y que para valores grandes de "x" va a crecer indefinidamente. La intersección con el eje "y" es cuando x=0, y y=1.
Límite de la función exponencial.
Si a > 0
Tema 2. Función logarítmica
A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.
que se lee: "el logaritmo en base a del número x es b", o también: "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a ".
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se
denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor
real de b solo tiene sentido si a > 0.
La función logarítmica (o función logaritmo) es la función inversa de la función exponencial. La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a
del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, a distinto de 1)
Logaritmo de base 10 y logaritmo de base e.
Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.
5. Cambio de base:
Representación gráfica
La representación gráfica de la función logarítmica así como sus límites y las intersecciones con los ejes del plano cartesiano quedan indicados en las siguientes figuras.
